Wärmedurchgang und mittlere Temperaturdifferenz in Rekuperatoren

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1 Wärmedurchgang und mittlere Temperaturdifferenz in Rekuperatoren Vom Fachbereich Maschinenbau der Universität der Bundeswehr Hamburg genehmigte Habilitationsschrift von Bernhard Spang Hamburg 1998

2 Gutachter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. J. Ahrendts Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Roetzel Univ.-Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. mult. K. Stephan Tag der Habilitation: ii

3 Inhaltsverzeichnis Liste der Formelzeichen 5 1 Einführung 9 2 Definitionen und grundlegende Gleichungen Örtlicher Wärmeübergangskoeffizient Örtlicher Wärmedurchgangskoeffizient Mittlerer Wärmeübergangskoeffizient Mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient und mittlere Temperaturdifferenz Berechnung des mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten Einfluß der thermischen Randbedingung auf den Wärmedurchgang Konvektiver Wärmeübergang bei voll ausgebildeter laminarer Kanalströmung Voll ausgebildete laminare Kanalströmung bei Gegen- und Gleichstromführung

4 3.3 Näherungsgleichungen für den Zusammenhang zwischen dem Parameter m und der Nußeltzahl bei voll ausgebildeter Laminarströmung Laminare thermische Anlaufströmung bei Gegen- und Gleichstromführung und einem konstanten örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten Laminare thermische Anlaufströmung bei Gegen- und Gleichstromführung und einem veränderlichen örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten Einfluß der thermischen Randbedingung auf den konvektiven Wärmeübergang bei gleichzeitiger thermischer und hydrodynamischer Anlaufströmung Gleichzeitige thermische und hydrodynamische Anlaufströmung bei Gegen- und Gleichstromführung Allgemeines Näherungsverfahren zur Berechnung des laminaren Wärmeübergangs bei Gegen- und Gleichstromführung Längeneffekt Einleitende Bemerkungen Bekannte Ergebnisse und Vergleich mit exakten Werten

5 4.2.1 Längeneffekt auf einer Seite Identische Längeneffekte auf beiden Seiten im Gleichstrom Laminare thermische Anlaufströmung auf beiden Seiten im Gegen- und im Kreuzstrom Turbulente Strömung bei kleinen Prandtlzahlen Laminare Strömung bei gleichzeitigem hydrodynamischem und thermischem Anlauf Näherungsweise Berechnung mit Hilfe der individuellen Längeneffekte auf einer Seite Mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient bei Kreuzstromführungen Ortsabhängiger örtlicher Wärmedurchgangskoeffizient Temperaturabhängiger örtlicher Wärmedurchgangskoeffizient Näherungsweise Berechnung Überprüfung der näherungsweisen Berechnung

6 6 Mittlere Temperaturdifferenz Einleitende Bemerkungen Näherungsgleichung zur einheitlichen Berechnung von Stromführungen Genauigkeit der Näherungsgleichung Anwendung der Näherungsgleichung auf Gegenstromschaltungen Zusammenfassung und Ausblick 146 Literatur 151 4

7 Liste der Formelzeichen Symbol Bedeutung SI-Einheit A Übertragungsfläche m 2 a Temperaturleitfähigkeit m 2 /s a, b, c anpassbare Parameter C vorzeichenbehaftetes Wärmekapazitäts- stromverhältnis C k Konstante c p spezifische Wärmekapazität bei J/(kg K) konstantem Druck D h hydraulischer Durchmesser m d Exponent F Korrekturfaktor für die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz f (x, y) Verteilung des örtlichen Wärmedurchgangs- koeffizienten bei Kreuzstromführung k mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient W/(m 2 K) k loc örtlicher Wärmedurchgangskoeffizient W/(m 2 K) k üblicher mittlerer Wärmedurchgangs- W/(m 2 K) koeffizient, Gl. (2.15) k flächenmittlerer Wärmedurchgangs- W/(m 2 K) koeffizient, Gl. (2.16) L Länge m L dimensionslose Länge des Wärmeübertragers, Gl. (3.16) 5

8 l Längenkoordinate m m Parameter der thermischen Randbedingung nach Gl. (3.1) ṁ Massenstrom kg/s n Zahl der Durchgänge n Exponent im Ansatz Gl. (4.2) NTU Anzahl der Übertragungseinheiten Nu Nußeltzahl P dimensionslose Temperaturänderung Pe Pécletzahl Pr Prandtlzahl Q Wärmestrom W q Wärmestromdichte W/m 2 R Wärmekapazitätsstromverhältnis R Radius m r radiale Koordinate m R w Wandwiderstand K/W Re Reynoldszahl u radiale Geschwindigkeitskomponente m/s V Korrekturfaktor für Längeneffekt, Gl. (4.1) Ẇ Wärmekapazitätsstrom W/K w axiale Geschwindigkeitskomponente m/s x dimensionslose Koordinate, x = l/l x dimensionslose Strömungswegkoordinate, x = l/(d h Pe) y dimensionslose Koordinate bei Kreuzstrom- führung 6

9 z axiale Koordinate m z dimensionslose axiale Koordinate, z = z/(2rp e) α mittlerer Wärmeübergangskoeffizient W/(m 2 K) α loc örtlicher Wärmeübergangskoeffizient W/(m 2 K) β k Eigenwert δ relative Abweichung ζ thermisches Widerstandsverhältnis, Gl. (3.19) Θ dimensionslose Temperatur ϑ Temperatur K ϑ m mittlere Temperaturdifferenz K λ Wärmeleitfähigkeit W/(m K) ν kinematische Viskosität m 2 /s ξ scheinbarer Rohrreibungsbeiwert ξ Mittelwert der NTU-Werte ρ Dichte kg/m 3 Φ Widerstandsverhältnis, Gl. (4.4), (4.6) Indizes, tiefgestellt 0 an der Stelle x =0 1, 2 Stoffstrom 1, 2 1/2 mittlere Stützstelle a, b an den Enden des Wärmeübertragers Gl Gleichstrom 7

10 H für thermische Randbedingung Gl. (3.1) loc örtlicher Wert m Mittelwert q bei konstanter Wärmestromdichte ref Bezugswert T bei konstanter Wandtemperatur w Wand für voll entwickelte Strömung Indizes, hochgestellt hypothetischer Wert + dimensionslose Größe, Gln. (3.34) (3.37), (3.41) am Eintritt am Austritt 8

11 1 Einführung Zur Berechnung des Wärmestroms Q, der in einem Rekuperator mit der gesamten Übertragungsfläche A übertragen wird, benötigt man nach der Gleichung Q = ka ϑ m (1.1) den auf die Fläche A bezogenen mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten k und die mittlere Temperaturdifferenz ϑ m. Der örtliche Wärmedurchgang und damit der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient hängen in komplizierter Weise von den Strömungswegen und den Temperaturen auf beiden Seiten sowie von der thermischen Randbedingung an der Wand ab. Die mittlere Temperaturdifferenz ist abhängig von den Strömungsrichtungen beider Fluide relativ zueinander und vom Grad der Vermischung der Fluidelemente auf beiden Seiten. Mittlerer Wärmedurchgang und mittlere Temperaturdifferenz sind im allgemeinen auch nicht unabhängig voneinander. Beide Größen können deshalb in der Praxis nur näherungsweise berechnet werden. In der vorliegenden Arbeit soll die Güte dieser Näherungen im Hinblick auf die verschiedenen Einflußgrößen untersucht und es sollen, soweit notwendig, verbesserte Methoden zur genaueren Berechnung entwickelt werden. Hierzu werden zunächst die Größen, die den Wärmedurchgang und die Temperaturdifferenz beschreiben, eindeutig und allgemeingültig definiert (Kapitel 2). Die mittlere Temperaturdifferenz wird dabei zweckmäßigerweise so festgelegt, daß die aus der Literatur bekannten Gleichungen 9

12 für idealisierte Stromführungsmodelle [1, 2] weiterhin gültig bleiben. Zur einheitlichen Berechnung der mittleren Temperaturdifferenz für verschiedene Stromführungen wurde eine Näherungsgleichung entwickelt (Kapitel 6). Bei der Berechnung des mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten ist zu beachten, daß die thermische Randbedingung für den Wärmeübergang und die Abhängigkeit des örtlichen Wärmedurchgangs vom Strömungsweg und den örtlichen Fluid- und Wandtemperaturen unmittelbar von den Betriebsgrößen und der Stromführung des Wärmeübertragers beeinflußt werden. Bei der Untersuchung der Abhängigkeit von den Strömungswegen und den Temperaturen interessiert hierbei nicht die als prinzipiell bekannt vorausgesetzte Abhängkeit des Wärmeübergangs von diesen Größen, sondern der von der Stromführung abhängige Einfluß auf den Wärmedurchgang. Während der bei turbulenter und laminarer Strömung gleichermaßen große Einfluß der Temperaturverläufe auf den Wärmedurchgang (Temperatureffekt) bereits in einer Vielzahl von Arbeiten untersucht wurde, und auch eine Reihe von Gleichungen und Verfahren zur näherungsweisen Berücksichtigung dieses Temperatureffektes vorgeschlagen wurden (siehe Kapitel 2.5), liegen zum Einfluß der Strömungswegabhängigkeit des Wärmeübergangs (Längeneffekt) und zum Einfluß der thermischen Randbedingung auf den Wärmedurchgang in Wärmeübertragern erheblich weniger Arbeiten vor. Beide Effekte sind allerdings im allgemeinen auch nur bei laminarer Strömung von Bedeutung. 10

13 Bisherige Arbeiten zum Einfluß der thermischen Randbedingung beschränken sich auf eine meist numerische Untersuchung der Auswirkungen auf den Wärmeübergang und die thermische Leistung [3] [13], liefern aber keine Verfahren zur einfachen Berücksichtigung dieses Effektes bei der thermischen Berechnung. In Kapitel 3 werden Berechnungsmethoden dargestellt, die für die praktische Anwendung geeignet sind. Für den Längeneffekt wird die Genauigkeit bekannter Korrekturmethoden untersucht, und es werden für bisher nicht behandelte Fälle neue Korrekturgleichungen entwickelt (Kapitel 4). Die hier gewählte Definition für den mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten und die mittlere Temperaturdifferenz hat auch zur Folge, daß nur für die Stromführungsmodelle des reinen Gegenstroms und des reinen Gleichstroms der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient gleich dem Flächenmittelwert der örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten ist. Für Kreuzstromführungen wird beispielhaft untersucht, wie groß die Abweichungen sind, und es wird eine Korrektur zur näherungsweisen Berechnung vorgeschlagen (Kapitel 5). 11

14 2 Definitionen und grundlegende Gleichungen 2.1 Örtlicher Wärmeübergangskoeffizient Zur Beschreibung des örtlichen Wärmeübergangs zwischen einem Fluid und einer festen Wand durch Konvektion und Strahlung wird der örtliche Wärmeübergangskoeffizient α loc eingeführt: q = α loc (ϑ w ϑ ref ) (2.1) Gl. (2.1) geht auf einen erstmals von Newton verwendeten Ansatz zurück (siehe Grigull [14]). q ist dabei die Komponente des Vektors der Wärmestromdichte an der Wandoberfläche in Richtung der Wandnormalen, ϑ w die örtliche Temperatur der Wandoberfäche und ϑ ref eine noch festzulegende Bezugstemperatur. Beim Wärmeübergang an umströmte Körper (external flow) wird als Bezugstemperatur bei der Definition von α loc in der Regel die konstante Freistromtemperatur außerhalb der Temperaturgrenzschicht gewählt, beim Wärmeübergang in geschlossenen Kanälen (internal flow) die vom Strömungsweg abhängige adiabate Mischungstemperatur in jedem Querschnitt [15]. Diese Bezugstemperaturen sind besonders gut geeignet für die Behandlung von Fällen, in denen einfache thermische Randbedingungen (z.b. konstante Wandtemperatur oder konstante Wärmestromdichte an der Wand) vorliegen. Bei komplexeren thermischen Randbedingungen, wie sie im allgemeinen auch in Wärmeübertragern vorliegen, führt die 12

15 Wahl dieser Bezugstemperaturen zu nicht unerheblichen Schwierigkeiten bei der exakten Definition und Bestimmung von Größen. Zur Vermeidung der Schwierigkeiten, die mit diesen üblichen Bezugstemperaturen bei komplexeren Randbedingungen auftreten, wurde als Bezugstemperatur die adiabate Wandtemperatur vorgeschlagen [16], wie sie bereits seit langem bei der Untersuchung des Wärmeübergangs von einer Wand an Überschallströmungen verwendet wird [17]. Bei Kanalströmungen ist die dann vom Ort abhängige adiabate Wandtemperatur die Temperatur, die die Wand annehmen würde, wenn bei stromaufwärts gleichem Verlauf der Wärmestromdichte an der Wand die Wandwärmestromdichte lokal verschwinden würde und keine Längswärmeleitung in der Wand vorhanden wäre [16]. Bei vollständiger Vermischung der Strömung wäre die adiabate Wandtemperatur gleich der adiabaten Mischungstemperatur des Fluids im jeweiligen Querschnitt. Im allgemeinen Fall ist diese Temperatur aber unmittelbar nur beim Wärmeübergang zwischen einem Fluid und diskreten Elementen messbar, so wie dies z.b. bei der Kühlung von elektronischen Leiterplatten der Fall ist. Hier kann die adiabate Wandtemperatur eines bestimmten Elements einfach durch Abschalten der Leistung dieses Elements bestimmt werden. Bei kontinuierlicher Beheizung oder Kühlung entlang der Strömungswegkoordinate, wie dies in Wärmeübertragern der Fall ist, bereitet die Berechnung der adiabaten Wandtemperaturen im Gegensatz zu den adiabaten Mischungstemperaturen des Fluids erhebliche Schwierigkeiten. Im folgenden wird deshalb als Bezugstemperatur in Gl. (2.1) die adiabate Mischungstemperatur des Fluids gewählt. 13

16 Der örtliche Wärmeübergangskoeffizient nach Gl. (2.1) mit der adiabaten Mischungstemperatur als Bezugstemperatur hängt von der Geometrie, den Stoffeigenschaften, dem Strömungsfeld, den thermischen Randbedingungen und in einigen Fällen auch von der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Fluid ab. Für einen Wärmeübertrager mit festliegender Geometrie und gegebenen Fluidströmen und Eintrittstemperaturen lassen sich diese Abhängigkeiten letztendlich auf eine Abhängigkeit vom Ort zurückführen. Für die folgenden Untersuchungen ist es aber zweckmäßig diese Abhängigkeit vom Ort als zusammengesetzte Funktion aufzufassen, und die Abhängigkeit von den Größen, die auch von den Verhältnissen auf der anderen Seite des Wärmeübertragers beeinflusst werden, getrennt zu betrachten. Diese Größen sind die örtlichen Temperaturen des Fluids und der Wandoberfläche und der Verlauf der Wandtemperatur oder der Wärmestromdichte an der Wand zwischen dem Eintritt und der Stelle x. Die Abhängigkeit vom Strömungsweg kommt durch die Entwicklung der Geschwindigkeits- und Temperaturprofile sowie eine eventuell zu berücksichtigende Druckabhängigkeit der Stoffwerte bei hohen Druckverlusten zustande und wird als Längeneffekt bezeichnet [1]. Die Abhängigkeit von den Temperaturen ergibt sich durch die Veränderlichkeit der Stoffwerte mit der Temperatur oder durch Strahlung und wird als Temperatureffekt bezeichnet [1]. Schließlich beeinflußt der Verlauf der Wärmestromdichte an der Wand ebenfalls die Entwicklung der Temperaturprofile und damit den Wärmeübergang. 14

17 2.2 Örtlicher Wärmedurchgangskoeffizient Zur Beschreibung des Wärmetransports zwischen zwei, durch eine Wand getrennten Fluiden (Wärmedurchgang) mit den örtlichen Temperaturen ϑ 1 und ϑ 2 wird nach d Q = k loc (ϑ 1 ϑ 2 ) da (2.2) der auf die Fläche A bezogene örtliche Wärmedurchgangskoeffizient k loc eingeführt. Die Fläche A ist dabei im Prinzip frei wählbar. Bei vernachlässigbarer Längswärmeleitung in der Wand mit dem Wandwiderstand R w ergibt sich mit Gl. (2.1): 1 k loc da = R w + (2.3) α 1,loc da 1 α 2,loc da 2 oder mit den Übertragungsflächen 1 k loc A = R w + (2.4) α 1,loc A 1 α 2,loc A 2 Für einen gegebenen Wärmeübertrager hängt damit der örtliche Wärmedurchgangskoeffizient von beiden Fluidtemperaturen, beiden Wandtemperaturen, beiden Strömungswegen und dem Verlauf der Wärmestromdichte zwischen dem Eintritt und der Stelle x auf beiden Seiten ab. 15

18 2.3 Mittlerer Wärmeübergangskoeffizient In der Literatur [18] werden Gleichungen zur Berechnung des mittleren Wärmeübergangskoeffizienten α für den Wärmeübergang zwischen einem Fluid und einer Wand der Länge L oder der Fläche A angegeben. α wird als der Flächenmittelwert der örtlichen Wärmeübergangskoeffizienten definiert [1]: L α = 1 α loc dl = 1 L A l=0 A α loc da (2.5) Außerdem gilt: Q = A qda = αa (ϑ w ϑ) m (2.6) mit einem Mittelwert (ϑ w ϑ) m der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Fluid. Dieser Mittelwert wird durch Gl. (2.6) definiert. Für die stationäre, isobare, einphasige Strömung eines Fluids mit dem Massenstrom ṁ und der mittleren spezifischen Wärmekapazität [c p ] ϑ ϑ zwischen der Eintrittstemperatur ϑ und der Austrittstemperatur ϑ gilt allgemein (ϑ w ϑ) m = ṁ [c p] ϑ ϑ (ϑ ϑ ) αa (2.7) Für die Sonderfälle einer konstanten Wandtemperatur oder einer konstanten Wärmestromdichte ergibt sich unter der zusätzlichen Annahme einer konstanten spezifischen Wärmekapazität als maßgebender Mittelwert der Temperaturdifferenz 16

19 (ϑ w ϑ) m = (ϑ ϑ ) ln ϑ w ϑ ϑ w ϑ (2.8) der zusammen mit Gl. (2.6) häufig zur Definition des mittleren Wärmeübergangskoeffizienten verwendet wird [15, 18]. Diese Definition ist aber im allgemeinen Fall nicht gleichwertig mit der Definition nach Gl. (2.5). Aus gemessenen oder berechneten örtlichen Wärmeübergangskoeffizienten kann nach Gl. (2.5) durch einfache Integration der mittlere Wärmeübergangskoeffizient bestimmt werden. Direkte Messungen des mittleren Wärmeübergangskoeffizienten aus den Bedingungen am Ein- und Austritt liefern aber im allgemeinen nur dann Ergebnisse, die mit der Definition nach Gl. (2.5) konsistent sind, wenn die Wandtemperatur oder die Wärmestromdichte konstant ist. Die hier verwendete Definition des mittleren Wärmeübergangskoeffizienten bereitet Schwierigkeiten bei der Anwendung, wenn die örtlichen Wärmeübergangskoeffizienten veränderlich sind und beliebige Verläufe der Wandtemperatur oder der Wärmestromdichte an der Wand vorgegeben werden, da die maßgebende mittlere Temperaturdifferenz in Gl. (2.6) zunächst nicht bekannt ist. Außerdem ergibt sich durch die Einführung des Wärmeübergangskoeffizienten dann keine Arbeitsersparnis, da der Wärmeübergang von der thermischen Randbedingung abhängt und sowieso für jeden Fall untersucht werden muß. Bei der Anwendung auf Wärmeübertrager treffen diese Einschränkungen aber nicht zu, da die Wandtemperaturen und die Wärmestromdichten von den Betriebsbedingungen abhängen und somit keine unabhängigen Variablen sind. 17

20 2.4 Mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient und mittlere Temperaturdifferenz Zur Berechnung des in einem stationär betriebenen Wärmeübertrager mit der Fäche A übertragenen Wärmestroms Q = A qda (2.9) wird ein auf die Fläche A bezogener mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient k und eine mittlere Temperaturdifferenz ϑ m eingeführt, so daß Q = ka ϑ m (2.10) Durch Gl.(2.10) kann aber nur eine der beiden neu eingeführten Größen k und ϑ m definiert sein. Die andere Größe muß durch eine weitere Gleichung festgelegt werden. Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten: 1. Definition des mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten als Fächenmittelwert der örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten nach k = 1 A A k loc da (2.11) entsprechend der Definition des mittleren Wärmeübergangskoeffizienten nach Gl.(2.5). Die mittlere Temperaturdifferenz ϑ m wäre dann durch Gl. (2.10) festgelegt. 18

21 2. Festlegung der mittleren Temperaturdifferenz als Flächenmittelwert der tatsächlichen örtlichen Temperaturdifferenzen nach ϑ m = 1 (ϑ 1 ϑ 2 ) da (2.12) A A Der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient k wäre dann durch Gl. (2.10) festgelegt. 3. Festlegung der mittleren Temperaturdifferenz durch ϑ m = 1 (ϑ 1 ϑ 2 ) da (2.13) A A wobei (ϑ 1 ϑ 2 ) eine hypothetische örtliche Temperaturdifferenz ist, die sich bei konstanten Wärmekapazitäten und einem konstanten örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten, der gleich dem mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten ist, einstellen würde. Dieser mittlere Wärmedurchgangskoeffizient ist dann durch Gl.(2.10) definiert [1]. Tatsächlich wird häufig davon ausgegangen, daß sich Gl. (2.10) ergibt, wenn gleichzeitig der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient nach Gl.(2.11) und die mittlere Temperaturdifferenz nach Gl.(2.12) definiert werden. Dies ist allerdings nur richtig, wenn der örtliche Wärmedurchgangskoeffizient und die Wärmekapazitäten konstant sind. In diesem Fall ergibt sich Gl. (2.10) durch Integration von Gl. (2.2) über der Fläche. Die Annahme eines konstanten örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten und konstanter Wärmekapazitäten wird deshalb in der Regel als Voraussetzung für die Gültigkeit der Gleichungen zur thermischen Berechnung von Wärmeübertragern genannt (siehe z. B. [2]). Diese Annahmen sind aber keineswegs notwendig, wie die oben genannten Möglichkeiten der Definition 19

22 von k und ϑ m durch Gl.(2.10) in Verbindung mit einer der Gln. (2.11), (2.12) oder (2.13) zeigen. Die Festlegung des mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten durch Gl.(2.11) hätte für die mittlere Temperaturdifferenz nach Gl. (2.10) zur Folge, daß die in der Literatur [1, 2] für eine Vielzahl von Stromführungsmodellen angegebenen Beziehungen zur Berechnung der mittleren Temperaturdifferenz im allgemeinen nicht mehr gültig wären. Stattdessen müßte, ähnlich wie bei der Korrektur der mittleren Temperaturdifferenz für die vom reinen Gegenstrom abweichenden Stromführungen durch den Korrekturfaktor F, eine Korrektur eingeführt werden, die den Einfluß veränderlicher örtlicher Wärmedurchgangskoeffizienten auf die mittlere Temperaturdifferenz der jeweiligen Stromführung berücksichtigt. Nur für die Stromführungsmodelle des reinen Gegenstroms und des reinen Gleichstroms würde diese Korrektur auch bei veränderlichen örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten verschwinden, wie bereits von Bošnjaković et al. [19] gezeigt wurde. Angesichts der Tatsache, daß für die Abhängigkeit des örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten von der Ortskoordinate und von der Temperatur keine allgemeingültigen Beziehungen aufgestellt werden können, wäre die Einführung einer solchen Korrektur für die anderen Stromführungsmodelle wenig praktikabel. Auch bei der Festlegung der mittleren Temperaturdifferenz durch Gl. (2.12) wäre diese vom Verlauf des örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten über der Übertragungsfläche abhängig. Aus Zweckmäßigkeitsgründen wird deshalb im folgenden die Definition der mittleren Temperaturdifferenz nach Gl. (2.13) in Verbindung mit Gl. (2.10) für den mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten zugrunde gelegt. 20

23 Nur durch diese, zunächst etwas umständlich anmutende Definition ist sichergestellt, daß die bekannten Gleichungen für alle Stromführungsmodelle [1, 2] auch bei veränderlichen örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten ohne eine zusätzliche Korrektur angewendet werden können. Allerdings wird dadurch die Berechnung des mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten schwieriger. 2.5 Berechnung des mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten Die Integration der Gl. (2.2) über der gesamten Übertragungsfläche A ergibt in Verbindung mit Gl. (2.10) und Gl. (2.13) für den mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten: k loc (ϑ 1 ϑ 2 ) da A k = (ϑ 1 ϑ 2 ) da A (2.14) Nach Gl. (2.14) kann der exakte Wert des mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten im allgemeinen numerisch berechnet werden. In der Praxis wird häufig ein Mittelwert k verwendet, der nach 1 ka = 1 + R w + 1 (2.15) α 1 A 1 α 2 A 2 berechnet wird. Gl. (2.15) ergibt sich formal aus Gl.(2.4), indem dort die örtlichen durch die mittleren Wärmeübergangskoeffizienten ersetzt wer- 21

24 den. k ist nur dann gleich dem tatsächlichen mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten, wenn die örtlichen Wärmeübergangskoeffizienten konstant sind, wie dies bei voll entwickelter Strömung in Kanälen mit konstantem Querschnitt und vernachlässigbarer Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte der Fall ist. Aber auch dann sind die Wärmeübergangskoeffizienten im allgemeinen nicht unabhängig von der Stromführung und den Betriebsparametern des Wärmeübertragers. Diese Abhängigkeit ergibt sich, weil die Stromführung und die Betriebsparameter die thermische Randbedingung an der Trennwand beeinflussen und diese wiederum den Wärmeübergang. Während dieser Effekt bei turbulenter Strömung gering ist, kann bei laminarer Strömung die Berechnung des Wärmeübergangs unter Verwendung der bekannten Beziehungen für konstante Wandtemperatur oder für konstante Wärmestromdichte an der Wand zu nicht vernachlässigbaren Fehlern führen. Dies wird in Kapitel 3 untersucht. Da in Gl. (2.4) die Kehrwerte der örtlichen Wärmeübergangs- und Wärmedurchgangskoeffizienten stehen, geht Gl. (2.15) natürlich nicht durch eine Integration über der Fläche A aus Gl. (2.3) hervor. Deshalb stimmt dieser übliche Mittelwert k im allgemeinen Fall veränderlicher örtlicher Wärmeübergangskoeffizienten auch nicht mit dem Flächenmittelwert k = 1 A A k loc da (2.16) überein. Der örtliche Wärmeübergangskoeffizient ändert sich aber im allgemeinen sowohl mit der sich ändernden Fluidtemperatur (Temperatureffekt) als auch mit dem Strömungsweg über der Übertragungsfläche (Längeneffekt). 22

25 Der Temperatureffekt wird durch die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte verursacht. Diese Temperaturabhängigkeit führt bei sich über der Fläche ändernden Fluidtemperaturen im Wärmeübertrager auch zu veränderlichen Wärmeübergangskoeffizienten über der Fläche. Der Temperatureffekt spielt aufgrund der stärkeren Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte vor allem bei Flüssigkeiten eine Rolle und ist bei turbulenter und laminarer Strömung gleichermaßen ausgeprägt. Deshalb wurden in einer Vielzahl von Arbeiten Methoden zur Berücksichtigung des Temperatureffektes vorgeschlagen. Bereits Colburn [21] hat für reinen Gegen- und Gleichstrom eine geschlossene Lösung zur korrekten Berücksichtigung eines sich linear mit der Temperatur eines der beiden Stoffströme ändernden Wärmedurchgangskoeffizienten angegeben. Sieder und Tate [22] haben Colburns Lösung durch Multiplikation mit dem Korrekturfaktor F für die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz näherungsweise auf Kreuzstromführungen angewendet und eine im allgemeinen ausreichende Genauigkeit erzielt. Später haben Bowman et al. [23] diese Näherung von Sieder und Tate auch auf das Stromführungsmodell des Rohrbündelwärmeübertragers mit einem äußeren und zwei inneren Durchgängen (1,2-RWÜ) angewendet. Gardner [24] hat den Temperatureffekt bei Rohrbündelwärmeübertragern mit einer geraden Zahl innerer Durchgänge (1, 2n-RWÜ) bei linerarer Änderung des Wärmedurchgangskoeffizienten mit der mantelseitigen Temperatur untersucht. Seine Ergebnisse sind im Grenzfall einer unendlich großen Zahl innerer Durchgänge n (dies entspricht dem Stromführungsmodell des beidseitig quervermischten Kreuzstroms) exakt und für endliche Zahl von inneren Durchgängen im praktisch wichtigen Bereich F > 23

26 0, 7 zumindest eine gute Näherung. Tiller et al. [25] und Ramalho und Tiller [26] haben den Einfluß des Temperatureffektes erstmals numerisch durch Unterteilung der gesamten Übertragungsfläche in eine große Zahl endlicher Teilflächen und Anwendung der Energiebilanzgleichungen und der Wärmeübergangsbeziehungen auf diese Teilflächen untersucht. Bei ihren Rechnungen haben sie aber ebenfalls nur eine lineare Änderung des Wärmedurchgangskoeffizienten mit der Temperatur berücksichtigt. Eine Methode, mit der prinzipiell auch nichtlineare Abhängigkeiten des Wärmedurchgangskoeffizienten und daneben auch veränderliche Wärmekapazitätsströme bei einem 1, 2n-RWÜ berücksichtigt werden können, hat Kao [27] angegeben. Eine geschlossene Lösung für eine lineare Abhängigkeit des Kehrwertes des Wärmedurchgangskoeffizienten von der örtlichen Temperaturdifferenz hat Butterworth [28] entwickelt. Eine ausführliche Übersicht findet man bei Shah [29]. Mit Ausnahme der Matrixmethode von Kao [27] setzen alle genannten Untersuchungen einen bestimmten, in der Regel linearen Zusammenhang zwischen Wärmedurchgangskoeffizient und Temperatur voraus. Auch Kao hat seine Methode letztendlich nur auf lineare Zusammenhänge angewendet. In Anbetracht des nichtlinearen Zusammenhangs zwischen den Stoffwerten und der Temperatur liefern diese Methoden nur in beschränkten Temperaturbereichen brauchbare Näherungswerte. Ein allgemeingültigeres Verfahren, bei dem keine Annahmen über den Zusammenhang zwischen Wärmedurchgangskoeffizient und Temperatur gemacht werden müssen, hat Roetzel [30] [33] vorgeschlagen. Der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient wird dabei näherungsweise durch numerische Integration mit zwei oder drei Stützstellen nach Gauss bzw. Simp- 24

27 son bestimmt. Diese ursprünglich nur für reinen Gegen- und Gleichstrom gültigen Zwei- und Drei-Punkt-Methoden [30, 31] können durch eine Korrektur der Bezugstemperaturen auch bei anderen Stromführungen verwendet werden [32]. Bei Verwendung einer hypothetischen, enthalpieproportionalen Temperaturskala können mit diesen Methoden auch veränderliche Wärmekapazitäten berücksichtigt werden [33]. Wie Vergleiche mit exakten numerischen Rechnungen zeigen [1, 34], ist die Genauigkeit für praktische Anwendungen mehr als ausreichend. Der Einfluß des Längeneffektes auf den mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten wird in Kapitel 4 genauer untersucht. Auch der Flächenmittelwert k ist im allgemeinen verschieden vom tatsächlichen mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten nach Gl. (2.14). Aus den Gln. (2.2), (2.10) und (2.13) folgt zunächst nur für eine über der Übertragungsfläche konstante Temperaturdifferenz ϑ 1 ϑ 2 =const, daß k = k, wobei der örtliche Wärmedurchgangskoeffizient in beliebiger Weise vom Ort und von den Temperaturen abhängen darf. Darüber hinaus ist auch bei den Stromführungsmodellen des reinen Gegenstroms und des reinen Gleichstroms der tatsächliche mittlere Wärmedurchgangskoeffizient gleich dem flächenmittleren Wert, wenn zusätzlich noch die Wärmekapazitätsströme konstant sind [19]. Für andere Stromführungen gilt dies nicht. Der Unterschied zwischen dem tatsächlichen und dem flächenmittleren Wärmedurchgangskoeffizienten wirdumsogrößer sein, je stärker sich die Stromführung im betrachteten Betriebspunkt vom reinen Gegen- oder reinen Gleichstrom unterscheidet. Durch einen Vergleich der P 1,P 2 -Diagramme [1, 20] kann man entschei- 25

28 den, wie stark eine Stromführung im betrachteten Betriebspunkt vom reinen Gegen- oder Gleichstrom abweicht. Vor allem bei dem Stromführungsmodell des reinen Kreuzstroms treten bei höheren NTU-Werte größere Unterschiede auf. Dies wird im Kapitel 5 untersucht. 26

29 3 Einfluß der thermischen Randbedingung auf den Wärmedurchgang 3.1 Konvektiver Wärmeübergang bei voll ausgebildeter laminarer Kanalströmung Bei hydrodynamisch und thermisch ausgebildeter Laminarströmung in einem Kanal mit konstanter Querschnittsfläche ergeben sich bei konstanter Wärmestromdichte an der Wand oder konstanter Wandtemperatur bekanntlich vom Strömungsweg unabhängige Werte der Nußeltzahl [35]. Dies gilt allerdings nur für inkompressible Fluide bei vernachlässigbarer Dissipation und Wärmeleitung in Strömungsrichtung und unter der Annahme temperaturunabhängiger Stoffwerte. Wie von Hall et al. [36] für das Kreisrohr erstmals gezeigt wurde, ergeben sich unter den genannten Voraussetzungen auch bei einem exponentiellen axialen Verlauf der Wärmestromdichte an der Wand nach q = q 0 e mx (3.1) konstante Nußeltzahlen. In Gl. (3.1) ist x = l/(d h Pe) die bei laminarer Strömung gebräuchliche dimensionslose Koordinate des Strömungsweges und q 0 die Wärmestromdichte am Eintritt x =0. Der Parameter m charakterisiert den axialen Verlauf der Wärmestromdichte und kann im Prinzip Werte im Bereich <m< annehmen. Für m =0ist der Fall konstanter Wärmestromdichte an der Wand natürlich in dem Ansatz 27

30 nach Gl.(3.1) enthalten. Nicht so offensichtlich ist, daß auch der Fall konstanter Wandtemperatur durch Gl. (3.1) beschrieben wird. Beim Kreisrohr ist dies z. B. für m = 14, 627 der Fall, wie von Hasegawa und Fujita [37] durch numerische Rechnungen demonstriert wurde. Hasegawa und Fujita [37] haben daüberhinaus auch die Werte der Nußeltzahl in Abhängigkeit von m berechnet. Gräber [38] hat ähnliche Berechnungen für andere Kanalformen (ebener Spalt, konzentrischer Ringspalt, längsdurchströmte Rohrbündel) durchgeführt und seine Ergebnisse bezogen auf die jeweilige Nußeltzahl bei konstanter Wärmestromdichte an der Wand graphisch dargestellt. Analytische Lösungen zur Berechnung der Nußeltzahl für verschiedene Kanalformen bei exponentiellem Verlauf der Wärmestromdichte haben Shah und London [39] angegeben. Dabei wurden zunächst unter Anwendung des Superpositionsprinzips [40] aus den bekannten Lösungen für konstante Wärmestromdichte an der Wand bei thermischer Anlaufströmung die für die Randbedingung nach Gl. (3.1) gültigen Lösungen hergeleitet. Es ergibt sich z. B. für das Kreisrohr [39] 1 Nu loc,h = C k βk 2 m +2βk 2 k=1 ( 1 exp [ ( m +2β 2 k ) x ]) (3.2) und für den ebenen Spalt 1 Nu loc,h = 8 3 k=1 C k βk 2 { [ ( m exp m + 32 ) ]} 3 β2 k 3 β2 k x (3.3) wobei β k und C k die Eigenwerte und Konstanten der jeweiligen Lösung für konstante Wärmestromdichte an der Wand sind (Tabelle 3.1). Die Ei- 28

31 genwerte und Konstanten beim Kreisrohr für k>20 können nach folgenden Näherungsgleichungen berechnet werden [41]: β k =4k (3.4) C k = 2, β 5/3 k (3.5) Entsprechend gilt beim ebenen Spalt für k>10 näherungsweise [43]: β k =4k (3.6) C k = 2, β 5/3 k (3.7) Für andere Kanalformen lassen sich nach dem Superpositionsprinzip entsprechende Gleichungen einfach herleiten, sofern eine Lösung für den Fall konstanter Wärmestromdichte an der Wand bekannt ist. Shah und London [39] haben dann durch eine Betrachtung des Grenzübergangs x die Werte der Nußeltzahl in Abhängigkeit vom Parameter m für die jeweilige Kanalform bei voll entwickelter Strömung bestimmt. Allerdings haben sie dabei übersehen, daß die Exponentialfunktion in den Gln. (3.2) und (3.3) bei diesem Grenzübergang nicht in allen Fällen verschwindet. Deshalb ergeben sich bei ihrer Berechnung teilweise physikalisch nicht sinnvolle negative Werte für die Nußeltzahl. Tatsächlich geht beim Kreisrohr für m< 2β1 2 und beim ebenen Spalt für m< (32/3) β1 2 29

32 Tabelle 3.1: Eigenwerte und Konstanten der Lösungen für die thermische Anlaufströmung bei konstanter Wärmestromdichte an der Wand nach Hsu [41] und Sparrow et al. [42] Kreisrohr Ebener Spalt k βk 2 C k βk 2 C k 1 25, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

33 Tabelle 3.1 (Fortsetzung) Kreisrohr Ebener Spalt k βk 2 C k βk 2 C k , , , , , , , , , , die Exponentialfunktion gegen unendlich und damit die Nußeltzahl gegen 0. Die richtige Lösung für die voll entwickelte Strömung lautet damit: [ ] 1 C k βk 2 m 51, 359 m+2β Nu H, = k=1 k 2 0 m< 51, 359 (3.8) für das Kreisrohr und Nu H, = [ 3 8 k=1 C k β 2 k m+(32/3)β 2 k ] 1 m 196, 06 0 m< 196, 06 (3.9) für den ebenen Spalt. In den Bildern 3.1 und 3.2 sind diese beiden Zusammenhänge graphisch dargestellt. Die Spezialfälle konstanter Wärmestromdichte an der Wand (m =0) und konstanter Wandtemperatur (m = 14, 63 bzw. m = 30, 16) sind hervorgehoben. 31

34 Nu H, m = -14, m+2β 1 m=0 Bild 3.1: Nußeltzahl bei voll ausgebildeter Strömung und exponentiellem Verlauf der Wärmestromdichte an der Wand im Rohr Nu H, m = -30, m+(32/3)β 1 m=0 Bild 3.2: Nußeltzahl bei voll ausgebildeter Strömung und exponentiellem Verlauf der Wärmestromdichte an der Wand im ebenen Spalt 32

35 3.2 Voll ausgebildete laminare Kanalströmung bei Gegen- und Gleichstromführung Unter der Annahme eines konstanten örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten k = k loc im gesamten Apparat und konstanter Wärmekpazitätsströme Ẇ 1 und Ẇ 2 auf beiden Seiten ergibt sich für den Verlauf der Wärmestromdichte q [44] q k (ϑ 1 ϑ 2) =exp[ NTU 1 (1 R 1 ) x] (3.10) bei Gegenstromführung (Bild 3.3) und q k (ϑ 1 ϑ 2) =exp[ NTU 1 (1 + R 1 ) x] (3.11) bei Gleichstromführung (Bild 3.4). Dabei ist x = l/l die dimensionslose Koordinate im Wärmeübertrager. Die Gln. (3.10) und (3.11) beschreiben einen exponentiellen Verlauf der Wärmestromdichte. Damit sich dieser Verlauf einstellt muß allerdings der örtliche Wärmedurchgangskoeffizient konstant sein. Wie oben gezeigt wurde, ergibt sich umgekehrt bei voll entwickelter Strömung und einem exponentiellen Verlauf der Wärmestromdichte als thermische Randbedingung ein vom Strömungsweg unabhängiger Wert des örtlichen Wärmeübergangskoeffizienten. Daraus folgt, daß sich bei Gegen- und Gleichstromführung eine thermische Randbedingung nach dem Ansatz Gl. (3.1) einstellt, wenn entweder die Strömung auf beiden Seiten voll entwickelt 33

36 ' ϑ 1 " ϑ 2 ϑ 1 " ϑ 1 ϑ q ϑ 2 q ' ϑ x Bild 3.3: Temperaturverlauf und Wärmestromdichte bei Gegenstromführung ' ϑ 1 ϑ " ϑ 1 " ϑ 2 ϑ 1 q ϑ 2 q ' ϑ x Bild 3.4: Temperaturverlauf und Wärmestromdichte bei Gleichstromführung 34

37 ist, oder der Wärmeübergangswiderstand bei einer Anlaufströmung auf einer der beiden Seiten gegenüber dem Wärmeübergangswiderstand einer voll entwickelten Strömung auf der anderen Seite vernachlässigbar ist. Dies gilt auch, wenn auf der anderen Seite eine voll entwickelte turbulente Strömung vorliegt, da auch hier der Wärmeübergangskoeffizient unabhängig vom Strömungsweg ist. Mit q 0 = q (x =0)=k (ϑ 1 ϑ 2) (3.12) für Gegenstrom und q 0 = q (x =0)=k (ϑ 1 ϑ 2) (3.13) für Gleichstrom ergibt sich ein Zusammenhang zwischen den Betriebsparametern der Gegen- und Gleichstromführung und dem Parameter m des Ansatzes für die Wärmestromdichte an der Wand nach Gl. (3.1): m 1 = NTU 1 (1 R 1 ) L (3.14) bei Gegenstromführung und m 1 = NTU 1 (1 + R 1 ) L (3.15) 35

38 bei Gleichstromführung. L ist dabei eine dimensionslose Länge des Wärmeübertragers nach L = L D h Pe (3.16) Mit einem vorzeichenbehafteten Wärmekapazitätsstromverhältnis C 1 = ±R 1, wobei das positive Vorzeichen für Gleichstrom und das negative für Gegenstrom gilt [45], lassen sich die Gln. (3.14) und (3.15) auch zusammenfassen: m 1 = NTU 1 (1 + C 1 ) L (3.17) für Gegen- und Gleichstromführung. Neben der Geometrie hängt damit der Wärmeübergangskoeffizient oder die Nußeltzahl eines voll entwickelten laminaren Stromes 1 letztendlich nur vom NTU-Wert NTU 1, dem Wärmekapazitätsstromverhältnis C 1 und den Verhältnissen der Wärmeübergangs- und Wärmeleitwiderstände ab. Für eine gegebene Kanalgeometrie ist die Nußeltzahl zunächst eine Funktion des Parameters m 1 : Nu H,,1 = f (m 1 ) (3.18) Für das Kreisrohr und den ebenen Spalt ist dieser funktionale Zusammenhang Gl. (3.18) durch die Gln. (3.8) und (3.9) gegeben. Für andere Geometrien läßt er sich in einfacher Weise unter Verwendung des Superpositionsprinzips herleiten, wenn eine Lösung für den Fall der konstanten 36

39 Wärmestromdichte an der Wand bekannt ist. Führt man nun ein thermisches Widerstandsverhältnis ζ 1 nach ζ 1 = R w + 1 α 2 A 2 1 α 1 A 1 (3.19) ein, so ergibt sich aus Gl.(3.17) m 1 = 4Nu H,,1 (1 + C 1 ) 1+ζ 1 (3.20) Wenn die Geometrie, das Wärmekapazitätsstromverhältnis C 1 und die thermischen Widerstände R w und 1/ (α 2 A 2 ) gegeben sind, kann aus den Gln. (3.18) bis (3.20) iterativ die Nußeltzahl Nu H,,1 bestimmt werden. Die iterative Lösung ausgehend von einem beliebigen Startwert für m oder Nu H,,1 bereitet für negative Werte von C 1 keine Schwierigkeiten. Für größere positve Werte (C 1 > 2) treten aber wegen der Fallunterscheidung in der Lösung für Nu H,,1 = f (m) (Siehe Gln. (3.8) und (3.9)) Konvergenzprobleme auf. In diesem Fall wurden die Werte von m und Nu H,,1 durch Intervallhalbierung über m bestimmt. Die Bilder 3.5 und 3.6 zeigen den Zusammenhang nach den Gln. (3.18) bis (3.20) für das Kreisrohr und den ebenen Spalt. In beiden Bildern sind der Parameter m (linke Ordinate) und die Nußeltzahl Nu H,,1 (rechte Ordinate) jeweils für ein thermisches Widerstandsverhältnis ζ 1 =0, ζ 1 =1und ζ 1 = über dem Wärmekapazitätsstromverhältnis C 1 aufgetragen. 37

40 150 ζ 1 = 0 Gleichstrom m 1 50 ζ 1 = ζ 1 = Nu H,,1 3 0 ζ 1 = 2-50 Gegenstrom C Bild 3.5: Parameter m 1 und Nußeltzahl Nu H,,1 für verschiedene Widerstandsverhältnisse ζ 1 beim Kreisrohr ζ 1 = 0 Gleichstrom ζ 1 = 9 8 m ζ 1 = ζ 1 = Nu H,, Gegenstrom C Bild 3.6: Parameter m 1 und Nußeltzahl Nu H,,1 für verschiedene Widerstandsverhältnisse ζ 1 beim ebenen Spalt 38

41 Man erkennt, daß sowohl m als auch Nu H,,1 mit zunehmendem Wärmekapazitätsstromverhältnis C 1 kleiner werden. Daraus folgt, daß für ein fest vorgegebenes ζ 1 die Nußeltzahlen bei Gleichstromführung (C 1 > 0) generell kleiner sind als bei Gegenstromführung (C 1 < 0). Im allgemeinen hat aber das thermische Widerstandsverhältnis ζ 1 bei vorgegebenen und nicht verschwindenden Wand- und Wärmeübergangswiderständen auf der Seite 2 keinen konstanten Wert, sondern wird bei Gegenstromführung größer sein als bei Gleichstromführung. Dies kompensiert teilweise die Abnahme der Nußeltzahlen beim Übergang von Gegenstrom zu Gleichstrom. Im Grenzfall eines verschwindenden Wand- und Wärmeübergangswiderstandes auf der Seite 2 (ζ 1 =0) ist die Abhängigkeit des Parameters m und der Nußeltzahl vom Wärmekapazitätsstromverhältnis C 1 am stärksten ausgeprägt. Mit zunehmendem ζ 1 werden die Kurven flacher und erreichen für ζ 1 konstante Werte von m =0und Nu H,,1 =4, 36 für das Kreisrohr (Bild 3.5) bzw. Nu H,,1 =8, 24 für den ebenen Spalt (Bild 3.6). Dieser Grenzfall ist aber praktisch nicht von Interesse, da bei endlichem Wärmeübergangswiderstand auf der Seite 1 gleichzeitig der übertragene Wärmestrom gegen null geht. In den Bildern 3.7 bis 3.10 sind Diagramme zur graphischen Bestimmung der Nußeltzahl Nu H,,1 im Kreisrohr und im ebenen Spalt angegeben. In den Diagrammen 3.7 und 3.8 ist dabei ein weiter Bereich des Wärmekapazitätsstromverhältnisses 10 < C 1 < 10 dargestellt, während in den Diagrammen 3.9 und 3.10 der praktisch wichtigste Bereich 2 <C 1 < 1 genauer wiedergegeben wird. 39

42 Bei der Bestimmung der Nußeltzahl bewegt man sich im allgemeinen nicht auf einer Kurve ζ 1 =const. Vielmehr ist für einen gegebenen Wärmeübertrager zunächst nur das Wärmekapazitätsstromverhältnis C 1 vorgegeben. Die genauen Werte von ζ 1 und Nu H,,1 müssen dann durch Probieren oder einen geeigneten Iterationsalgorithmus bestimmt werden. Den Diagrammen 3.7 bis 3.10 ist für den gegebenen Abszissenwert also zunächst nur der Bereich von Nu H,,1 zwischen ζ 1 =0und ζ 1 = zu entnehmen. Der genaue Wert muß dann durch weitere Rechnungen mit den vorgegebenen oder anderweitig zu bestimmenden Werten von R w und α 2 A 2 und unter Verwendung des in den Diagrammen dargestellten Zusammenhangs zwischen ζ 1 und Nu H,,1 ermittelt werden. 40

43 ,4 ζ1 =0 0,2 Kreisrohr 8 7 0, Nu H,, C 1 Bild 3.7: Diagramm zur Bestimmung der Nußeltzahl Nu H,,1 in einem Kreisrohr bei gegebenem Wärmekapazitätsstromverhältnis C 1

44 ,2 0,4 0,71 ζ1 =0 Ebener Spalt Nu H,, C 1 Bild 3.8: Diagramm zur Bestimmung der Nußeltzahl Nu H,,1 in einem ebenen Spalt bei gegebenem Wärmekapazitätsstromverhältnis C 1

45 5.5 Kreisrohr Nu H,, , ,4 0,2 ζ1 = C 1 Bild 3.9: Diagramm zur Bestimmung der Nußeltzahl Nu H,,1 in einem Kreisrohr bei gegebenem Wärmekapazitätsstromverhältnis C 1

46 9.0 Ebener Spalt 8.5 Nu H,, ,4 1 0,7 0,2 ζ1 = C 1 Bild 3.10: Diagramm zur Bestimmung der Nußeltzahl Nu H,,1 in einem ebenen Spalt bei gegebenem Wärmekapazitätsstromverhältnis C 1

47 Kreisrohr Gegenstrom ζ 1 =0 1 Nu H,, R 1 Bild 3.11: Nußeltzahl Nu H,,1 im Kreisrohr bei Gegenstrom und großen Wärmekapazitätsstromverhältnissen Mehr von theoretischem Interesse ist das Verhalten der Nußeltzahl für große Werte des Wärmekapazitätsstromverhältnisses. Die Bilder 3.11 und 3.12 zeigen für Gegenstromführung den Verlauf in logarithmischer Auftragung bis zu Werten von R 1 = Man erkennt, daß Nu H,,1 für R 1 einem Potenzansatz folgend gegen strebt. Mit zunehmendem ζ 1 wird dabei der dem Potenzansatz folgende Verlauf erst bei größeren Werten von R 1 erreicht. Die Bilder 3.13 und 3.14 zeigen ebenfalls in logarithmischer Auftragung den Verlauf für große Werte von R 1 bei Gleichstromführung. Hier streben die Nu H,,1 für R 1 einem Potenzansatz mit negativem Exponenten folgend gegen 0. 45

48 Ebener Spalt Gegenstrom ζ 1 =0 5 Nu H,, R 1 Bild 3.12: Nußeltzahl Nu H,,1 im ebenen Spalt bei Gegenstrom und großen Wärmekapazitätsstromverhältnissen Nu H,,1 1 5E-01 5 Kreisrohr Gleichstrom 1E R 1 ζ1 =0 1 Bild 3.13: Nußeltzahl Nu H,,1 im Kreisrohr bei Gleichstrom und großen Wärmekapazitätsstromverhältnissen 46

49 Ebener Spalt Gegenstrom ζ 1 =0 5 Nu H,, R 1 Bild 3.14: Nußeltzahl Nu H,,1 im ebenen Spalt bei Gleichstrom und großen Wärmekapazitätsstromverhältnissen Abhängig von den Betriebsbedingungen kann die Nußeltzahl also Werte zwischen 0 und annehmen. Dabei ist aber zu beachten, daß die hier gezeigten Ergebnisse für eine voll entwickelte einphasige Laminarströmung des Fluids auf der Seite 1 gelten. Der Fall eines unendlich großen Wärmekapazitätsstromverhältnisses R 1, der prinzipiell bei Kondensation oder Verdampfung eines reinen Stoffes auf der Seite 1 vorliegt, kommt hier also überhaupt nicht in Betracht. Auch größere Werte von R 1 haben unter dieser Voraussetzung eher geringe Bedeutung. In den Bildern 3.15 und 3.16 ist schließlich noch die Abhängigkeit der Nußeltzahl vom thermischen Widerstandsverhältnis ζ 1 dargestellt. Die oben dargestellten Zusammenhänge gelten natürlich auch, wenn die voll entwickelte laminare Strömung auf der Seite 2 des Wärmeübertra- 47

50 10 9 C 1 =-10 Kreisrohr Nu H,, ζ 1 Bild 3.15: Nußeltzahl Nu H,,1 im Kreisrohr über dem thermischen Widerstandsverhältnis ζ C 1 =-10 Ebener Spalt 10-5 Nu H,, ζ 1 Bild 3.16: Nußeltzahl Nu H,,1 im ebenen Spalt über dem thermischen Widerstandsverhältnis ζ 1 48

51 gers auftritt. Für diesen Fall muß einfach der Index 1 in den obigen Gleichungen und Diagrammen durch den Index 2 ersetzt werden. Bei voll entwickelter Laminarströmung auf beiden Seiten muß iterativ unter abwechselnder Betrachtung der beiden Seiten vorgegangen werden. 3.3 Näherungsgleichungen für den Zusammenhang zwischen dem Parameter m und der Nußeltzahl bei voll ausgebildeter Laminarströmung Für praktische Anwendungen ist die Auswertung der in den exakten analytischen Lösungen für Nu H, = f (m) nach Gl. (3.18) auftretenden unendlichen Reihen sehr unhandlich. Da dieser Zusammenhang aber nicht nur für die Bestimmung der Nußeltzahl bei voll entwickelter Strömung benötigt wird, sondern auch bei dem weiter unten dargestellten allgemeinen Verfahren zur Berechnung der Nußeltzahl bei Anlaufströmung, wurden Näherungsgleichungen zur Berechnuung von Nu H, = f (m) für verschiedene Geometrien entwickelt. Idealerweise sollte der Ansatz für diese Näherungsgleichungen so beschaffen sein, daß beim Einsetzen in Gl. (3.20) eine explizit nach m auflösbare Gleichung entsteht. Dies wäre z. B. für ein Polynom bis maximal 4. Grades der Fall. Leider gelingt mit solchen Ansätzen eine Anpassung an die exakten Werte nicht mit befriedigender Genauigkeit. 49

52 Folgender Ansatz erwies sich als geeignet: a ln [(m m 0 )+b]+c für m m 0 Nu H, = (3.21) 0 für m<m 0 mit den anpassbaren Parametern a, b und c und dem Wert m 0 von m, bei dem Nu H, gerade 0 wird. Wegen Nu H, (m 0 )=0sind a, b und c nicht unabhängig voneinander. Es gilt c = a ln b (3.22) Die anpassbaren Parameter wurden durch nichtlineare Regression mit exakten Werten für das Kreisrohr und den ebenen Spalt bestimmt. Für das Kreisrohr ergab sich mit m 0 = 2β 2 1 = 51, 4 3, 46 ln [m +72, 3] 10, 4 für m 51, 4 Nu H, = 0 für m< 51, 4 (3.23) und für den ebenen Spalt mit m 0 = 32 3 β2 1 = 196 5, 65 ln [m + 255] 23, 0 für m 196 Nu H, = 0 für m< 196 (3.24) Um im wichtigen Bereich 10 <m m 0 < 1000 eine etwas größere Genauigkeit zu erreichen, wurde in Gl. (3.23) für das Kreisrohr statt des sich 50

53 20 10 Nu H, 5 Kreisrohr Ebener Spalt m-m 0 Bild 3.17: Vergleich der Nußeltzahlen nach den Näherungsgleichungen (3.23) für das Kreisrohr und (3.24) für den ebenen Spalt (Kurven) mit den exakten Werten (Punkte) nach Gl.(3.22) ergebenden Wertes von -10,5 für den Parameter c ein Wert von -10,4 eingesetzt. Bild 3.17 zeigt einen Vergleich der Näherungsgleichungen (3.23) und (3.24) mit den exakten Werten. 3.4 Laminare thermische Anlaufströmung bei Gegen- und Gleichstromführung und einem konstanten örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten Der konvektive Wärmeübergang bei ausgebildetem Strömungsgeschwindigkeitsprofil und gleichzeitig sich entwickelndem Temperaturprofil kann 51

54 prinzipiell für beliebigen Verlauf der Wärmestromdichte an der Wand nach dem Superpositionsprinzip berechnet werden, wie erstmals von Siegel et al. [46] gezeigt, wenn für die betrachtete Geometrie die Lösung für den Fall einer konstanten Wärmestromdichte an der Wand bekannt ist. Noyes [47] hat für das Kreisrohr eine Integrallösung in geschlossener Form angegeben. Verschiedene Autoren [48, 49] haben später die Anwendung des Superpositionsprinzips verfeinert. Shapalov [50] hat die Entwicklung des Temperaturprofils unter Verwendung von hypergeometrischen Funktionen dargestellt. Eine Übersicht gibt Kays [51], der die Ergebnisse auch auf einen sinusförmigen Verlauf der Wärmestromdichte an der Wand angewendet hat. Von Shah und London [39] wurden, wie oben bereits angegeben, analytische Lösungen für das thermische Anlaufproblem im Kreisrohr (Gl. (3.2))und im ebenen Spalt (Gl. (3.3)) bei exponentiellem Verlauf der Wärmestromdichte an der Wand nach Gl. (3.1) hergeleitet. Die genannten Methoden und Gleichungen sind allerdings in der Regel nicht auf die Berechnung des konvektiven Wärmeübergangs bei thermischer Anlaufströmung in Gegen- oder Gleichstromführung anwendbar. Dies hängt damit zusammen, daß hier im Gegensatz zur oben behandelten voll entwickelten Strömung die örtlichen Wärmeübergangskoeffizienten und damit in der Regel auch die örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten vom Strömungsweg abhängen. Nur im Falle eines über der gesamten Länge überwiegenden und konstanten Wärmeübergangswiderstandes auf der anderen Seite (z. B. voll entwickelte Strömung) oder Wandwiderstandes ist hier der örtliche Wärmedurchgangskoeffizient konstant und der axiale Verlauf der Wärmestromdichte folgt den Gln. (3.10) bzw. (3.11). In diesem Fall, der im übrigen durchaus von Interesse ist zur Be- 52