Holographie und holographische Interferometrie

Transkript

1 Physik Projektpraktikum Holographie und holographische Interferometrie Georg Herink Max Neudecker Marvin Walter Hendrik Söhnholz Jason Mansour Michael Mell Kai Ubben Johannes Schröder-Schetelig Betreuer: PD Dr. Peter Schaaf Göttingen, Mai 2005

2 ii

3 Vorwort Danksagung Wir bedanken uns herzlich bei den Betreuern, die die Durchführung unseres Projektes ermöglicht und unterstützt haben, das sind: PD Dr. Peter Schaaf (II. Institut), Johann Krawczyk und Dr. Reinhard Oldenburg (XLAB), Elke Hanke und Dr. Thomas Kurz (III. Institut) und Herr Nolte (GwDG). Überblick PPP Die ersten Planungen zum PPP fanden Mitte Februar statt. Wir entschieden uns für die Aufnahme von Weißlichthologrammen, holographischen Interferogrammen sowie die Berechnung von Hologrammen(digitale/synthetische Holographie). Die ersten Versuche des Aufbaus mit einem optischen Linos-Baukasten schlugen fehl, weil das System für unsere Zwecke nicht geeignet war. Daraufhin führten wir die Weißlichtholographie im Keller des XLAB durch, weil dort alle wesentlichen Komponenten zur Verfügung stehen, inklusive eines 8mW-Lasers. Die Transmissionshologramme sowie die Echtzeitinterferometrie nahmen wir schließlich im III. Physikalischen Institut auf, weil dort ein professioneller Zweistrahlaufbau vorhanden ist. iii

4 iv

5 Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte der Holographie 1 2 Theoretische Grundlagen Wellengleichung für elektromagnetische Wellen Lösung für eindimensionale Wellen Ebene Wellen Kugelwellen Anforderungen an die Lichtquelle Digitale Holographie Transmissionshologramme und digitale Holographie Berechnung der Intensität Der Graustufenalgorithmus Das Eingabeformat Das Portable Gray Map Format (PGM) Virtueller Aufbau Algorithmus Der Schwarz-Weiß Algorithmus Berechnung der Intensität Implementierung der Berechnung Zusammenfügen des Bildes Berechnete Hologramme Auswertung des PPP-Hologramms Linsenanalogie Vergleich mit den Messwerten Probleme Ausblick Verbesserung durch vorberechnete Kugelwellenschnitte Berechnung von Hologrammen mittels 3D-Grafikhardware 27 4 Weißlichtholographie Prinzip Aufbau Belichtungszeit und Filmmaterial Die Fotoplatten v

6 vi INHALTSVERZEICHNIS 4.5 Die Belichtung Fertigstellung des Weißlichthologramms Durchführung Der Entwickler Das Bleichbad Das Benetzungsmittel Die Rekonstruktion des Weißlichthologramms Ergebnisse und Betrachtung Transmissionsholographie Aufnahme & Entwicklung Aufnahme Die Fotoplatte Fertigstellung des Transmissionshologramms Rekonstruktion Holographische Interferometrie Einleitung Prinzip der Interferometrie Prinzip der holographischen Interferometrie Doppelbelichtungsverfahren Das Prinzip der Echtzeit-Interferometrie A Quelltexte 51 A.1 Der Graustufenalgorithmus A.2 Der Schwarz-Weiß-Algorithmus B Rezepteliste 59 B.1 Entwickler B.2 Bleichmittel B.3 Fixierer B.4 Netzmittel

7 Kapitel 1 Geschichte der Holographie Holographie ist ein Aufzeichnungsverfahren zur räumlichen Abbildung von Objekten. Es werden Frequenz-, Amplituden- und Phaseninformationen der einfallenden Wellenfronten in Form von Interferenzmustern fotografisch festgehalten. Beleuchtet man ein aufgenommenes Hologramm mit dem zur Aufnahme verwendeten kohärenten, monochromatischen Laserlicht, so werden die ursprünglichen Wellenfronten rekonstruiert, das räumliche Bild des aufgezeichneten Objektes lässt sich beobachten. Dennis Gabor entwickelte 1947 die Grundlagen der Holographie, als er versuchte mit Hilfe der Interferenzphänomene des Lichts das Auflösungsvermögens und die Abbildungsqualität von Elektronenmikroskopen zu verbessern. Er zeigte dabei, wie Phaseninformation (die die räumliche Ausdehnung von Objekten beschreiben) durch die Überlagerung der vom Objekt ausgehenden Wellen und einer Referenzwelle fotografisch festgehalten werden konnten (Veröffentlichung unter dem Titel Bilderzeugung mit Hilfe der Rekonstruktion von Lichtwellenfronten ). Gabors damalige Möglichkeiten waren sehr beschränkt, so stand als Lichtquelle nur die Quecksilberdampflampe zur Verfügung, das notwendige monochromatische und kohärente Licht musste durch Verwendung von Farbfiltern und Lochblenden erzeugt werden. Gabor benutzte zur Aufnahme die sog. In-Line-Methode, bei der die optischen Elemente in Reihe aufgebaut werden und nur ein einzelner Lichtstrahl benutzt wird. Die Veröffentlichung erregte wenig Aufmerksamkeit, Gabor zeigte sich unzufrieden mit seinen Ergebnissen und wandte sich von diesem Thema ab. Mit der Entwicklung des ersten Lasers 1960 durch Theodore H. Maiman stand nun eine geeignete Lichtquelle zur Verfügung, was ein Wiederaufleben des Interesses an der Holographie in den sechziger und siebziger Jahren zur Folge hatte. So stellten Emmeth Leith und Juris Upatnieks 1962 ein verbessertes Aufnahmeverfahren vor, das auf Gabors theoretischen Grundlagen beruhte, jedoch einen getrennten Objekt- und Referenzstrahl verwendete (Zwei-Strahl- bzw. Transmissionsverfahren) wurden von Uri N. Denisyuk erfolgreich holographische Versuche mit Weißlichtholografie durchgeführt, bei der zur Betrachtung der Hologramme kein mono- chromatisches Licht mehr benötigt wurde und der Aufbau durch das Wegfallen eines Strahlteilers vereinfacht wurde. Stephen A. Benton entwickelte 1968 die Regenbogen-Transmissionsholographie, die erstmals die maschinelle Produkti- 1

8 2 KAPITEL 1. GESCHICHTE DER HOLOGRAPHIE on von Weißlichthologrammen in größeren Stückzahlen erlaubte. Hier werden anhand eines Prägeverfahrens Kopien eines Master-Hologramms erstellt wurde Gabor schließlich für seine Entdeckungen mit dem Nobelpreis für Physik ausgezeichnet. In der heutigen Anwendung spielt neben der Verwendung von Hologrammen als Sicherheits- oder Designmerkmal die holographische Interferometrie eine wichtige Rolle, mit deren Hilfe sich kleinste statische und dynamische Deformationen (im Bereich der Wellenlänge des verwendeten Lasers) beliebiger Objekte sichtbar machen lassen. Die weiteren Anwendungsgebiete der Holographie sind vielfältig: so lassen sich etwa holographische Verfahren zur Datenspeicherung verwenden, anhand von Zeitmittelungsverfahren lassen sich Schwingungsmoden von Objekten sichtbar machen und die Holographie von Nanostrukturen erlaubt unter der Verwendung von Röntgenstrahlung hochauflösende Aufnahmen.

9 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Wellengleichung für elektromagnetische Wellen Licht breitet sich als elektromagnetische Welle aus. Die Eigenschaften der Welle kann man durch Lösen der Wellengleichung unter Benutzung der Maxwellschen Gleichungen bekommen. Die Maxwellschen Gleichungen lauten allgemein: B = 0 D = ρ ext E = B t H D t = j ext (2.1) wobei D die dielektrische Verschiebung, B die magnetische Flussdichte, H das Magnetfeld, E das elektrische Feld, µ 0 die magnetische Feldkonstante und ε 0 die elektrische Feldkonstante ist. Betrachtet man ausschließlich elektromagnetische Strahlung, so sind Ladungsdichte ρ ext und Ströme j ext gleich Null. Für Lichtausbreitung im Vakuum bekommt man darüber hinaus noch die Abhängigkeiten D = ε 0 E und B = µ0 H. Mit diesen Anforderungen werden die Maxwellschen Gleichung für unsere Situation zu: H = 0 E = 0 E = µ0 H t H = ε0 E t (2.2) Die Wellengleichung lautet 2 ψ t 2 = v2 ψ, (2.3) wobei = der Laplace Operator und v die Phasengeschwindigkeit der Welle ist. x 2 y 2 z 2 Für die Ausbreitung des E-Feldes der elektromagnetischen Welle bildet man die linke Seite der Wellengleichung und zeigt, dass man mit Hilfe der Maxwell- 3

10 4 KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN schen Gleichungen auf die rechte Seite der Gleichung kommt: 2 E t 2 = ( ) 1 H t ε 0 = 1 ε 0 ( Hz y t H y z t, H x z t H z x t, H y x t H x y t Nach dem Satz von Schwarz sind die gemischten partiellen Ableitungen vertauschbar, wenn beide partielle Ableitungen existieren und stetig sind. Somit bekommt man 2 E t 2 = 1 ) 1 H = ( 1µ0 E ε 0 ε 0 1 ( ) = E ε 0 µ 0 = 1 ε 0 µ 0 }{{} =c 2 0 ( E ( ) } {{ } = ( ) ) E } {{ } =0 = c 2 0 E (2.4) wobei c 0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Für die Ausbreitung des Magnetfeldes H geht man analog vor und bekommt: 2 H t 2 = c2 0 H (2.5) 2.2 Lösung für eindimensionale Wellen Zur Vereinfachung schaut man sich die Ausbreitung einer eindimensionalen Lichtwelle an, die der folgenden Gleichung gehorcht: 1 2 ( E c 2 0 t 2 = 2 E E x 2 x + 1 ) ( E E c 2 0 t x 1 ) E c 2 (2.6) 0 t Zur Lösung geht man von der sogenannten d Alembertschen Lösung aus, bei der E(x, t) = f(x±at) und a eine Konstante ist. Wähle nun für f den Exponentialansatz, also f(x) = A exp(i(k at)) und setze diese in (2.6) ein, dann bekommt man, wenn man aus physikalischen Überlegungen heraus die Konstante a als Kreisfrequenz ω wählt: ) 1 c E t 2 = 1 c 2 Ae ikx e iωt i 2 ω 2 0 ω 2 c 2 0 = Ae iωt e ikx i 2 k 2 = 2 E x 2 = k 2 Dabei ist ω die Kreisfrequenz der Schwingung, die man an jedem Ort findet und c 0 die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Lichtwelle. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit gilt c 0 = λ ν, wobei ν die Frequenz darstellt und λ die Wellenlänge. Gleichzeitig ist ω = 2πν, sodass man für k, auch Wellenzahl genannt,

11 2.3. EBENE WELLEN 5 folgenden Ausdruck bekommt: k = 2π λ (2.7) Mit dieser Wellenzahl bekommt man für die eindimensionale Welle: E(x, t) = Ae ikx e iωt = Ae i( 2π λ x ωt) (2.8) 2.3 Ebene Wellen Die in Abschnitt 2.2 angegebene Lösung für eindimensionale Wellen lässt sich auch auf dreidimensionale Wellen anwenden. Hierbei wird dann die Wellenzahl k zum Wellenvektor k, für den gilt: k = k = 2π λ. Dieser gibt die Ausbreitungsrichtung der Welle an. Nun zeichnen sich Ebene Wellen dadurch aus, dass die Amplituden an allen Orten die auf einer Ebene liegen, welche wiederum senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, gleich sind. Für jede Ebene gibt es dann eine Konstante a, sodass k r = a, wobei r der Ortsvektor ist. Ansonsten gilt für ebene Wellen die auf drei Dimensionen verallgemeinerte Form von (2.8): E = A e i( k r ωt) (2.9) 2.4 Kugelwellen Um die Lösung der Wellengleichung für Kugelwellen zu bekommen, nimmt man als erstes eine Koordinatentransformation vor. Als neue Koordinaten wählt man Kugelkoordinaten, da sie bei der Beschreibung der Situation am sinnvollsten sind. Die Transformation der kartesischen Koordinaten ist durch folgende Gleichungen gegeben: x = r sin ϑ cos ϕ y = r sin ϑ sin ϕ z = r cos ϑ Durch die Koordinatentransformation ändert sich allerdings auch der Laplace- Operator. Für Kugelkoordinaten lautet der Laplace-Operator: = 1 ( r 2 r 2 ) + r r 1 r 2 sin ϑ ϑ ( sin ϑ ) + ϑ 1 r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 Bei Kugelwellen handelt es sich nun aber um kugelsymmetrische Objekte. D.h. die Amplitude der Lichtkugelwelle ist für alle Punkte auf gleichen Kugeln gleich. Die Funktion E( r, t) = E(r, ϕ, ϑ, t) kann also nur von r und t abhängen. Der Laplace-Operator vereinfacht sich durch diese Symmetrie enorm auf folgende Form: = 1 ( r 2 r 2 ) = 1r ) 2 (2r r r r 2 + r2 r 2 = 2 r 2 r + 2 r 2

12 6 KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN Mit diesem Laplace-Operator wird die Wellengleichung (2.4) zu dem folgenden Ausdruck: 1 2 ( ) c 2 0 t 2 2 E(r, t) = r r + 2 E(r, r 2 t) ( = 1 2 ) E(r, t) + r 2 E(r, t) r r r 2 ( ( = 1 E(r, t) + r )) E(r, t) r r r 1 2 t 2 E(r, t) = 1 2 ( r r 2 re(r, ) t) (2.10) c 2 0 Die Gleichung (2.10) multipliziert man nun mit r und nutzt anschließend aus, dass man r mit der partiellen Ableitung nach der Zeit vertauschen kann: 1 c r 1 c 2 0 t 2 E(r, t) = r 1 r 2 ( t 2 re(r, ) t) 2 ( r 2 re(r, ) t) = 2 r 2 ( r E(r, t) Offensichtlich erfüllt also r E(r, t) die Gleichung (2.6) für eindimensionale Wellen. Dementsprechend erhält man die Lösung für Kugelwellen, indem man die Lösung für eindimensionale Wellen (2.8) durch r teilt und x durch r ersetzt. Die Kugelwelle wird also durch die folgende Funktion beschrieben: E(r, t) = A r ei( 2π λ r ωt) (2.11) ) 2.5 Anforderungen an die Lichtquelle Ein Interferenzmuster bzw. Hologramm kann nur aufgenommen werden, wenn das Licht eines Objektpunktes mit der Referenzwelle so interferiert, dass die Phasenbeziehung zeitlich konstant bleibt. Man kann mit einer normalen Glühbirne, die weißes Licht emittiert, keine konstruktiven oder destruktiven Interferenzen erzeugen, da dort alle Wellenlängen λ und alle möglichen Richtungen variieren. Im zeitlichen Verlauf mitteln sich dann die Interferenzerscheinungen heraus, sodass man kein Muster erhält. Man benötigt daher eine Lichtquelle, die möglichst lange, zusammenhängende Wellenzüge mit konstanter Wellenlänge emittiert. Diese Eigenschaft einer Welle, über einen größeren räumlichen bzw. zeitlichen Bereich hinweg eine konstante Phasenbeziehung aufzuweisen, nennt man Kohärenz (siehe Abb. 2.1). Die maximale Wegstrecke, bis zu der noch Interferenzphänomene beobachtet werden können, heißt entsprechend Kohärenzlänge. Perfekte Kohärenz wird theoretisch durch eine ebene Welle beschrieben (siehe Theorie), die nur aus einer Komponente besteht, d.h. nur Licht genau einer Wellenlänge enthält (monochromatisches Licht).

13 2.5. ANFORDERUNGEN AN DIE LICHTQUELLE 7 Diese Form der ebenen Welle lässt sich leider nicht realisieren. Das hat nicht nur technische Gründe, sondern liegt in der Quantenmechanik begründet: Für eine solche perfekte Welle könnte man zu jeder Zeit und jedem Ort ihren Impuls p und Ort x exakt bestimmen bzw. voraussagen, was nach der Heisenbergschen Unschärferelation ( x p h 2 ) nicht möglich ist. Mit dem Laser erreicht man jedoch Kohärenzlängen bzw. relativ monochromatische Wellen, die für experimentelle Zwecke ausreichend sind. Die bei He-Ne- Lasern angegebene Wellenlänge von 632,8nm ist also nicht exakt, sondern nur das Maximum einer Verteilung von Wellenlängen um 623,8nm. Eine weitere Einschränkung ist, dass nur Wellenzüge endlicher Länge emittiert werden können (siehe Abb. 2.1 b). Die Leistung des Lasers verhält sich dabei reziprok zur Länge der Wellenzüge, z.b. Laser mit sehr hoher Leistung können nur sehr kurze Pulse bzw. Wellenzüge erzeugen. Ein Experiment mit dem Michelson-Interferometer Abbildung 2.1: Kohärenzlänge: a) ideal, unendlich; b) typische, begrenzte Kohärenzlänge macht deutlich, welchen Einfluss die Kohärenzlänge auf den Kontrast der Interferenzstreifen hat. Das Interferometer kann z.b. dazu benutzt werden, Wellenlängen zu messen. Dazu wird einer der beiden Spiegel leicht verschoben und das Interferenzmuster am Detektor gemessen. Sei die Verschiebung d, dann Abbildung 2.2: Michelson-Interferometer: der einfallende Strahl wird aufgeteilt, die Anteile werden am Spiegel oben sowie rechts reflektiert, und unten wieder zusammengeführt

14 8 KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN beträgt der Wegunterschied zwischen den beiden Strahlenbündeln w = 2d. Betrachtet man nun Anzahl z der Interferenzmaxima bei einer Verschiebestrecke, dann gilt für die Wellenlänge λ: d = λ 2 z (2.12) Dies gilt allerdings nur, solange man sich im Bereich der Kohärenzlänge befindet. Wird nun der obere Spiegel nach verschoben, sodass sich die Weglängen s1 und s2 unterscheiden, so nimmt der Kontrast der beobachteten Interferenzstreifen immer weiter ab. Daher ist die Einhaltung der Kohärenzlänge v.a. bei Zweistrahlaufbauten zu beachten, wenn man kontrastreiche Interferenzmuster aufzeichnen möchte. Die Weglängen der getrennten Strahlen müssen also möglichst gleich sein.

15 Kapitel 3 Digitale Holographie 3.1 Transmissionshologramme und digitale Holographie Zur Aufnahme eines Transmissionshologramms, auch Aufbildhologramm genannt, teilt man zuerst einen Laserstrahl mit einem Strahlenteiler auf, wobei der so genannte Referenzstrahl intensiver zu wählen ist als der Objektstrahl, damit das Hologramm nicht zu dunkel wird. Der Objektstrahl wird mit einer Linse aufgeweitet und die Beleuchtung des Objekts mit einem Spiegel eingestellt. Der Referenzstrahl wird über Spiegel so gelenkt und aufgeweitet und die Photoplatte so platziert, dass sich der vom Objekt reflektierte Strahl mit dem Referenzstrahl vor bzw. auf der Photoplatte überlagern. Siehe auch Abbildung 3.1. Strahlenteiler Spiegel Laser + Aufweitung Objekt Spiegel Photoplatte Abbildung 3.1: Prinzipieller Aufbau zur Aufnahme von Transmissionshologrammen Bei der Berechnung eines digitalen Hologramms simuliert man die Aufnahme eines Transmissionshologramms. Auf der Fotoplatte überlagern sich die ebenen Lichtwellen des Referenzstrahls und die Kugelwellen, die vom Objekt reflektiert 9

16 10 KAPITEL 3. DIGITALE HOLOGRAPHIE werden. Durch die Interferenz der beiden Wellen entsteht auf der Fotoplatte ein Interferenzmuster, und die dreidimensionalen Informationen des Objekts sind durch die Interferenz ebenfalls in der resultierenden Amplitude gespeichert. Die Schwärzung der Fotoschicht hängt dabei von der Intensität der resultierenden Lichtwelle ab. Bei der digitalen Holographie wird dementsprechend für jeden Pixel des zu berechnenden Interferenzmusters, das sozusagen die Fotoplatte darstellt, über die Intensität eine Graustufe berechnet. Die Intensität lässt sich dabei wie im Folgenden aus den Informationen über den Referenzstahl und den Ortsinformationen des Objektes berechnen Berechnung der Intensität Als Erstes fasst man jeden Punkt des Objekts als eine Lichtquelle auf, von der Kugelwellen ausgehen. Die Anzahl der Lichtquellen sei L. Der Ort jeder einzelnen Lichtquelle wird mit P l = (x l, y l, z l ) angegeben. Die digitale Photoplatte wird nun in m Pixel auf der x-achse (Breite) und n Pixel auf der y-achse (Höhe) eingeteilt. Die Entfernung von einer Lichtquelle zu einem Pixel auf der Photoplatte beträgt somit: r obj = (x m x l ) 2 + (y n y l ) 2 + zl 2 (3.1) Wir verwenden die Amplitude des elektrischen Feldes des Lichtes, um die Lichtwelle zu beschreiben. Die resultierende Lichtwelle, die vom Objekt am Pixel mit den Koordinaten (x m, y n ) ankommt, ist die Summe aller E-Feld-Vektoren der ganzen Lichtquellen des Objekts: E obj mn = L l=1 ( E 0,l exp i 2π ) r obj λ r obj Die gesamte Intensität an dem Pixel ist das Betragsquadrat aus der Summe der Amplituden von Referenz- und Objektstrahl. Der Referenzstrahl ist dabei eine ebene Welle: I mn E mn ref + E mn obj 2 = E 0 ref e i( k r ωt) + L l=1 = e iωt 2 E }{{} 0 ref e i k r + = = ( ( + =1 E ref 0 e i k r + L l=1 E ref 0 cos( k r) + ( E 0,l 2π i( e r obj L l=1 E 0,l r obj e i 2π E 0,l r obj e i 2π λ r obj L l=1 E ref 0 sin( k r) + E 0,l r obj L l=1 2 λ r obj ωt) λ r obj ) ( E 0,l r obj 2 E ref 0 ei k r + L l=1 ( ) ) 2 2π cos λ r obj ( ) ) 2 2π sin λ r obj ) E 0,l e i 2π λ r obj r obj (3.2)

17 3.2. DER GRAUSTUFENALGORITHMUS Der Graustufenalgorithmus Mit diesem Algorithmus berechnen wir die Intensitätsverteilung des Hologramms. Dabei beschränken wir uns auf 256 mögliche Grauwerte und verwenden zur Berechnung die Gleichung 3.2. Die Parameter des Aufbaus wie z.b. die Wellenlänge des Laserlichts und die Koordinaten der Objektpunkte werden aus einer Textdatei gelesen. Das fertige Hologramm speichern wir im Portable Gray Map Format (PGM). Der vollständige Quelltext unseres C-Programms befindet sich im Anhang. Wir werden hier nur einige Ausschnitte betrachten. Der Aufruf des Programms geschieht folgendermaßen: holo_grau eingabe.dat hologramm.pgm Wahlweise kann auch noch ein Bereich in Prozent angegeben werden. Die Prozentzahlen beziehen sich auf die Pixelhöhe. So ist es möglich nur einen Teil eines Hologramms zu berechnen. Der folgende Aufruf erzeugt die untere Hälfte des Hologramms: holo_grau eingabe.dat hologramm.pgm Das Eingabeformat Alle Parameter sowie die Koordinaten der Objektpunkte werden aus einer Eingabedatei gelesen. Dies ist eine Textdatei, die folgendermaßen aufgebaut ist: <Breite> <Hoehe> <Pixelbreite> <Pixelhoehe> <Wellenlaenge> <Einfallswinkel> <Anzahl Objektpunkte> x1 y1 z1 a1 x2 y2 z2 a2... Eingabedatei Breite, Höhe, Wellenlänge sowie die Koordinaten der Objektpunkte werden in m, der Einfallswinkel in angegeben. Pixelbreite und -höhe geben die Abmessungen des Hologramms in Pixeln an (Auflösung). a 1, a 2,... legen die Amplitude für den jeweiligen Objektpunkt fest (a i [0, 1]). Jeder Objektpunkt steht in einer eigenen Zeile. Eine solche Eingabedatei könnte beispielsweise so aussehen: beispiel.dat 36e-3 24e e

18 12 KAPITEL 3. DIGITALE HOLOGRAPHIE Das Portable Gray Map Format (PGM) Die berechneten Hologramme speichern wir im PGM Format, da es besonders einfach ist. Als erstes steht in der PGM Datei ein Header der Form PGM Header P5 <Pixelbreite> <Pixelhoehe> 255 Die 255 ist der maximal mögliche Graustufenwert (weiß). Da auch die 0 (schwarz) mitzählt, haben wir also insgesamt 256 Graustufen. Der Header wird durch ein Newline-Zeichen (\n) abgeschlossen. Die berechneten Graustufenwerte werden nun Pixel für Pixel in der linken oberen Ecke des Bildes beginnend zeilenweise in die Datei geschrieben. Die Werte werden im Binärformat gespeichert, jeder Pixel belegt also 1 Byte. Wir schreiben die Werte mit dem Befehl fputc() in die PGM Datei: holo_grau.c 147 for (i=0; i<(bis-von)*pixelx; i++) { 148 fputc(pixel[i], out); 149 } holo_grau.c Virtueller Aufbau Wir legen die Photoplatte zur Aufnahme des Hologramms in die xy-ebene. Der Referenzstrahl liegt in der xz-ebene und ist um einen Winkel α gegen die z-achse geneigt. Der Aufbau ist in Abb. 3.2 und 3.3 dargestellt. Wir nehmen an, dass der Referenzstrahl eine ebene Welle ist. Die von den einzelnen Objektpunkten ausgehenden Wellen sind Kugelwellen. Nach Gleichung 3.2 ist die Intensität am Ort r = (x, y, z) auf dem Hologramm 2 I( r) = E ges 2 = = Eref + j Eref 0 e i k r + j E obj j E obj 0 r j e ikr j 2 (3.3) Dabei sind r j = (x j, y j, z j ) die Orte der Objektpunkte und r j = (x x j ) 2 + (y y j ) 2 + zj 2 die Abstände der Objektpunkte vom Ort r auf dem Hologramm. Da das Hologramm in der xy-ebene liegt, ist stets z = 0. Der Betrag des Wellenvektors k = k berechnet sich aus der Wellenlänge λ: k = 2π λ (3.4) Die Komponenten des Wellenvektors ergeben sich dann aus Abb. 3.3 zu k x = k sin α (3.5) k y = 0 (3.6) k z = k cos α (3.7)

19 3.2. DER GRAUSTUFENALGORITHMUS 13 y Hologramm z 0 x Abbildung 3.2: Aufbau von vorne Da z = 0 für alle Punkte auf der Hologrammplatte, bleibt nur die x-komponente übrig: k r = xk sin α (3.8) Insgesamt erhalten wir E ges = E ref 0 e ikx sin α + j E obj q 0 e ik (x x j ) 2 +(y y j ) 2 +zj 2 (3.9) r j Am Ort r haben wir also die Intensität I( r) = E ges 2 = (Re E ges ) 2 + (Im E ges ) 2 (3.10) = E ref 0 cos(xk x ) + j + E ref 0 sin(xk x ) + j E obj 0 cos(kr j ) r j E obj 0 2 sin(kr j ) r j 2 (3.11) (3.12) Algorithmus Im ersten Teil des Programms (d.h. bis Zeile 82) werden die Parameter und die Koordinaten aller Objektpunkte eingelesen. Anschließend berechnen wir in den Zeilen 85 und 86 den Wellenvektor k, reservieren Speicher für das zu berechnende Hologramm (Zeile 89-92) und schreiben den PGM Header in die Ausgabedatei (Zeile 95). Ab Zeile 97 beginnt die Berechnung des Hologramms. In einer Schleife, die über alle Pixel iteriert, wird für jeden Pixel die Intensität berechnet. Dabei merken wir uns den minimalen und den maximalen für

20 14 KAPITEL 3. DIGITALE HOLOGRAPHIE Hologramm x α z Referenzstrahl Laser Abbildung 3.3: Aufbau von oben die Intensität aufgetretenen Wert. Diese Werte brauchen wir später, um die berechneten Intensitäten auf die 256 Graustufen zu verteilen. Am Anfang der Schleife werden die Koordinaten von Pixeln in m umgerechnet: holo_grau.c 104 for (y=von; y<bis; y++) { 105 holoy=y*diay/pixely - diay/2; 106 for (x=0; x<pixelx; x++) { 107 holox=x*diax/pixelx - diax/2; holo_grau.c Nun berechnen wir zunächst Re E ges und Im E ges und addieren dann die Quadrate zur Intensität I: holo_grau.c 108 E_ref=REF_AMP*npoints*cos(k_refx*holox); 109 E_ref_i=REF_AMP*npoints*sin(k_refx*holox); 110 E_obj=0; 111 E_obj_i=0; 112 for (i=0; i<npoints; i++) { 113 r = sqrt( (ox[i]-holox)*(ox[i]-holox) (oy[i]-holoy)*(oy[i]-holoy) oz[i]*oz[i] ); 116 E_obj+=oa[i]*cos(k*r)/r; 117 E_obj_i+=oa[i]*sin(k*r)/r; 118 } 119 E=E_ref+E_obj;

21 3.3. DER SCHWARZ-WEISS ALGORITHMUS E_i=E_ref_i+E_obj_i; 121 *ip = E*E + E_i*E_i; holo_grau.c Wir haben eine Konstante REF_AMP definiert, die als Faktor in der Amplitude des Referenzstrahls auftritt. Damit können wir ihm eine größere Amplitude als den Objektstrahlen geben. Letztere sind ja in der Realität auch schwächer als der Referenzstrahl. Außerdem haben wir die Amplitude des Referenzstrahls mit der Anzahl der Punkte multipliziert, damit sie von der gleichen Größenordnung ist wie die Summe der Amplituden der Objektstrahlen. Wenn alle Intensitäten berechnet sind, verteilen wir sie auf die 256 Graustufen. Dazu subtrahieren wir von jedem Intensitätswert die kleinste aufgetretene Intensität min, dividieren durch (max-min) und multiplizieren mit 255: holo_grau.c 141 for (i=0; i<(bis-von)*pixelx; i++) { 142 pixel[i] = (char) ((image[i]-min) * 255 / (max-min)); 143 } holo_grau.c Eine hohe Intensität führt bei der Aufnahme auf Photoplatten zu einer Schwärzung, Bereiche mit kleiner Intensität sind heller. Da der Wert 0 der Farbe schwarz und der Wert 255 der Farbe weiß entspricht, müssen wir den errechneten Intensitätswert noch von 255 subtrahieren. Das entspricht einer Umkehrung der Farben ähnlich wie beim Negativ eines Photos. Schließlich werden die Grauwerte wie oben angegeben pixelweise in die PGM-Datei geschrieben. 3.3 Der Schwarz-Weiß Algorithmus Der komplette Quelltext zu dem Schwarz-Weiß-Algorithmus befindet sich in Abschnitt A.2. In diesem Abschnitt werden lediglich Ausschnitte aus dem Quelltext erläutert. Bei dem Schwarz-Weiß-Algorithmus haben wir die Berechnung des Hologramms in zwei Programme aufgeteilt, um die Berechnung auf mehrere Rechner verteilen zu können. Das eine Programm berechnet für eine angegebene Zeilenanzahl pixelweise die Intensität und bestimmt danach, ob ein Pixel schwarz oder weiß ist. Der Wert wird anschließend in eine Ausgabedatei geschrieben. Das andere Programm liest nun eine Datei, in der die jeweiligen Ausgabedateien angegeben sind, schreibt den Dateiheader für das Portable Gray Map Format und fügt anschließend in der richtigen Reihenfolge die Farbangaben für jeden Pixel ein Berechnung der Intensität Die Berechnung der Intensität an dem betrachteten Pixel geschieht bei diesem Algorithmus nicht nach Formel (3.2), weil man vorher einige Vereinfachungen, besonders für die Objektwelle, macht:

22 16 KAPITEL 3. DIGITALE HOLOGRAPHIE 1. Man vernachlässigt Phasenverschiebungen der Wellen, damit fällt der aus dem komplex konjugierten Teil der Funktion stammende Teil der Intensität weg (die Elemente, die eine Sinusfunktion enthalten). 2. Es wird angenommen, dass sich das Objekt im Fernfeld befindet, sodass die Abstandsabhängigkeit der Kugelwelle vernachlässigt werden kann. E 0,l r obj E 0,l 3. Bei dem Graustufenalgorithmus haben wir eine lineare Intensitätsverteilung benutzt, die nahe an dem realen Verhalten eines Photomaterials liegt, d.h. wir haben maximale und minimale Intensität bestimmt und die Graustufen für alle anderen Intensitäten über die lineare Funktion, welche durch die Extrema läuft, bestimmt. Da wir mit diesem Algorithmus jedoch nur ein Schwarz-Weiß Bild erhalten wollen, ist diese Art zur Berechnung von Farben zu umständlich. Anstelle der linearen Verteilung sucht man sich den Mittelwert der Intensität heraus und prüft jede Intensität mit dem Mittelwert und färbt den jeweiligen Pixel schwarz, wenn dessen Intensität über dem Mittelwert liegt, und ansonsten weiß. 4. Die mittlere Intensität schätzt man durch die Intensität des Referenzstrahls ab: I mn E ref mn 2 Das lässt sich damit begründen, dass auch im Experiment die Intensität des Referenzstrahls stärker gewählt wird, als die des Objektstrahls, damit die Helligkeit des Hologramms an sich über den Referenzstrahl gesteuert werden kann. Trotzdem muss der Objektstrahl noch stark genug sein, dass sich Interferenzmuster mit genügend Kontrast bilden können. 5. Die Amplituden des Referenzstrahls sind reell und größer als Null: E ref mn R, E ref mn 0 Mit diesen Vereinfachungen setzt man noch einmal wie bei der Herleitung von (3.2) an, setzt jedoch nicht sofort die jeweiligen Funktionen ein: I mn E mn ref + E mn obj 2 ( = E ref mn + E ) ( mn obj E ref ( = E ref mn + E mn obj mn + E obj mn ) ( E ref mn + E mn obj = E ref mn 2 + E ref mn E obj mn + E ref mn E obj mn + E obj mn 2 = E mn ref 2 + E mn obj E mn ref + E mn ref E mn obj + E mn obj 2 = E ( mn ref 2 + 2Re E obj ) mn Emn ref + E mn obj 2 (3.13) Jetzt benutzt man die Vereinfachungen, dass man nur eine binäre Farbcodierung hat und wie oben beschrieben die Farbwahl über den Mittelwert der Intensität ) )

23 3.3. DER SCHWARZ-WEISS ALGORITHMUS 17 steuert. Somit erhält man mit (3.13) und diesen Forderungen für das Setzen eines schwarzen Pixels die folgende Ungleichung: E ref mn 2 + 2Re( E obj mn ) E ref mn + E obj mn 2 E ref mn 2 2Re( E obj mn ) E ref mn + E obj mn 2 0 (3.14) Aufgrund der Forderung, dass der Objektstrahl im Gegensatz zu dem Referenzstrahl schwach sein soll, ist E mn obj 2 auf der linken Seite zu vernachlässigen. Außerdem ist E mn ref 0 gefordert, sodass ein schwarzer Pixel immer dann gesetzt wird, wenn Re( E L ( ) mn obj ) = E 2π 0,l cos λ r obj 0 (3.15) l=1 gilt. Leider ist es durch die gemachten Vereinfachungen nicht mehr möglich, den Einfallswinkel des Referenzstrahls im Programm einstellen zu können Implementierung der Berechnung Das von uns geschriebene Programm arbeitet zu einem großen Teil mit Dateien, deren Namen als Argumente an das Programm übergeben werden. Das Programm, welches die Intensitäten berechnet, wird wie folgt aufgerufen: sw-holo-calc <daten-datei> <ausgabe-datei> <anfangszeile> <endzeile> Die Datei daten-datei muss dabei das gleiche Format haben, wie bereits in Abschnitt beschrieben. In dem Programm werden nun zuerst die Daten des Objekts eingelesen, für das das Hologramm berechnet werden soll. Auf die Prozeduren zum Reservieren des Speichers, Einlesen aus Dateien u.ä. soll hier nicht genauer eingegangen werden. 74 k = 2 * M_PI / wavelength; out = fopen(argv[2], "w"); 77 if(out == NULL) 78 { 79 printf("fopen() failed\n"); 80 return 1; 81 } sw-holo-calc.c sw-holo-calc.c In den oberen Zeilen wird nun die Wellenzahl mit der angegebenen Wellenlänge ausgerechnet. M_PI ist dabei eine in math.h definierte Konstante, deshalb ist auch in der ersten Zeile #define _BSD_SOURCE zu finden, welches die Definition der Konstante freischaltet. Als nächstes wird die Datei geöffnet, in die die Farbinformationen geschrieben werden (2. Argument). sw-holo-calc.c 83 for(n=(atoi(argv[3]) - 1); n < atoi(argv[4]); n++) 84 {

24 18 KAPITEL 3. DIGITALE HOLOGRAPHIE 85 /* y-koordinate des Pixels berechnen */ 86 y_n = ((pixel_height/2) - n)*dia_height/pixel_height; for(m=0; m < pixel_width; m++) 89 { 90 /* x-koordinate des Pixels berechnen */ 91 x_m = ((-pixel_width/2) + m)*dia_width/pixel_width; /* Berechnung des Objektstrahls */ 94 obj_beam1 = 0; sw-holo-calc.c Die erste for-schleife in Zeile 83 ist für die Zeilen des Bildes zuständig. Zu jeder Zeile wird anschließend die y-koordinate auf dem Hologramm errechnet. In Zeile 88 folgt dann die zweite, geschachtelte for-schleife, welche die Pixel in x-richtung durchgeht. Nachdem auch die x-koordinate berechnet wurde (zum gewählten Koordinatensystem siehe Abschnitt 3.2.3), wird die Variable, in der die Intensität gespeichert wird, auf Null zurückgesetzt. sw-holo-calc.c 96 for(counter=0; counter < no_objects; counter++) 97 { 98 /* Abstand des Punktes vom Pixel */ 99 distance = sqrt(((x_m - points_x[counter])* 100 (x_m - points_x[counter])) ((y_n - points_y[counter])* 102 (y_n - points_y[counter])) (points_z[counter]*points_z[counter])); /* Amplitude des Punktstrahls am Pixel */ 106 obj_beam1 += (points_amp[counter]*cos(k*distance)); 107 } sw-holo-calc.c In diesem Abschnitt wird nun für jeden Objektpunkt mit Gleichung (3.1) der Abstand des Objektpunktes zum aktuellen Pixel berechnet (Zeile ) und anschließend das zu dem Objektpunkt gehörende Argument der Summe aus (3.15) zu dem bisherigen Wert der Summe addiert. sw-holo-calc.c 109 if(obj_beam1 >= 0) 110 { 111 fprintf(out, "0 "); 112 } 113 else 114 { 115 fprintf(out, "255 "); 116 } sw-holo-calc.c In diesen Zeilen wird die Bedingung (3.15) geprüft und anschließend die jeweilige Farbangabe in die Ausgabedatei geschrieben.

25 3.4. BERECHNETE HOLOGRAMME Zusammenfügen des Bildes Das Programm, welches nun die Dateien (bei Parallelisierung getrennt berechnet), die Informationen für bestimme Zeilen enthalten, zu einem Bild im Portable Gray Map Format zusammenfügt, wird folgendermaßen ausgeführt: sw-holo-image <daten-datei> <index-datei> <grafik-datei> Dabei muss index-datei eine Datei sein, die die Dateinamen der verschiedenen Dateien mit Bildinformationen in der richtigen Reihenfolge enthält. 47 graphfile = fopen(argv[3], "w"); 48 if(graphfile == NULL) 49 { 50 printf("fopen() failed!\n"); 51 return 1; 52 } 53 sw-holo-image.c 54 fprintf(graphfile, "P5 %d %d 255\n", pixel_width, pixel_height); sw-holo-image.c In dem oberen Quelltextabschnitt wird die Grafikdatei (.pgm) geöffnet und als Erstes in Zeile 54 der PGM Datei Header geschrieben. sw-holo-image.c 56 while(fgets(filename, PATH_MAX, index)!= NULL) 57 { 70 while(fscanf(data, "%d", &value)!= EOF) 71 { 72 fputc(value, graphfile); 73 } fclose(data); 76 }. sw-holo-image.c In Zeile 56 wird die Indexdatei Zeile für Zeile ausgelesen, die Datei mit dem gerade gelesenen Dateinamen wird geöffnet und in den Zeilen 70 bis 73 wird dann die Farbinformation zu jedem Pixel aus der Datei gelesen und in die Grafikdatei geschrieben. Ist das Programm fertig, so hat man (im Normalfall) ein fertiges Portable Gray Map Bild vorliegen. 3.4 Berechnete Hologramme Mit unseren Programmen berechneten wir zuerst einfachste Strukturen, wie z.b. das Interferenzmuster von einer Objektlichtquelle, um zu sehen, ob unsere Programme die gewünschte Fresnelsche Zonenplatte (siehe Abb. 3.9 rechtes Bild)

26 20 KAPITEL 3. DIGITALE HOLOGRAPHIE liefern. Unter den ersten Testmustern waren ansonsten noch einfache Geometrien wie Dreiecke oder Rechtecke. Die Probleme des Ausdrucks dieser Testmuster mit einem Diabelichter werden in Abschnitt 3.6 besprochen. Mit einem 1200dpi Laserdrucker gelang es uns jedoch, funktionierende digitale Hologramme auszudrucken. Anschließend haben wir ein Muster konstruiert, welches aus drei P s besteht, die sich in verschiedenen Entfernungen vom Hologramm befinden, um die gespeicherte dreidimensionale Information des Musters deutlich machen zu können. b 1 b 2 h z l z m z r Abstände zum Schirm wenn scharf gestellt Abbildung 3.4: Die gemessenen Längen des (re)konstruierten Bildes In Abbildung 3.5 sind Aufnahmen des PPP Hologramms zu sehen. Beim Ausmessen des Hologramms (Abschnitt 3.5) haben wir auf die verschiedenen Ebenen des PPP Hologramms mit einer Mattscheibe scharf gestellt und abfotographiert. Abbildung 3.5: Abfotographierte Mattscheibe: a) linkes P scharf gestellt, b) mittleres P scharf gestellt, c) rechtes P scharf gestellt Das linke P in Abb. 3.5-a), das sich am nächsten am Hologramm befindet, ist qualitativ relativ schlecht, es ließ sich jedoch nicht besser abbilden. Das mittlere P ist schon ziemlich unscharf, das rechte P lässt sich gar nicht erkennen. In Abbildung 3.5-b) ist das mittlere P scharf gestellt, sowohl das linke als auch das rechte P sind unscharf zu erkennen. Das in Abbildung 3.5-c) scharfgestellte rechte P ist lediglich unscharf abfotographiert worden bzw. waren lange Belichtungszeiten notwendig und trotz Stativ kann es auch verruckelt sein. Die anderen beiden P s sind bei dieser Fokussierung mit der Mattscheibe schon nicht mehr zu erkennen.

27 3.5. AUSWERTUNG DES PPP-HOLOGRAMMS 21 Um die heutige Rechenleistung und auch die Parallelisierbarkeit der Programme auszunutzen, haben wir außerdem ein aus 4345 Objektpunkten bestehendes 3D Modell einer Ameise berechnen lassen. Da wir mit der Mattscheibe aber nur auf gewisse Ebenen des Hologramms abbilden können und uns auch keine anderen Möglichkeiten zur Abbildung eingefallen sind, war das Ergebnis ernüchternd. Dass in Abbildung 3.6 ein Modell einer Ameise abgebildet ist, ist nur zu erraten. Abbildung 3.6: a) 3D-Modell, b) Polygoneckpunkte des Modells (Seitenansicht), c) Auf Mattscheibe projiziertes Hologramm des Ameisenmodells 3.5 Auswertung des PPP-Hologramms Zum Schluss unseres Projekts haben wir einige Messungen an den computergenerierten Hologrammen vorgenommen. Dazu haben wir das Testmuster mit den 3 P s verwendet, und jedes P nacheinander auf einen matten Schirm scharf abgebildet. Wir haben die Breite der Buchstaben an zwei Stellen (b 1 und b 2 ), ihre Höhe (h), und den Abstand des Schirms zur Hologramm-Folie aufgezeichnet. Alle Messwerte sind in Tabelle 3.1 angegeben. b 1 [mm] b 2 [mm] h [mm] z [cm] b, h z Linkes,P 5,0 6, ,5 0,5 0,1 5,0 6, ,0 5,0 6, ,5 5,0 6, ,33 0,29 0,06 Mittleres,P 5,5 6,5 10,5 79,0 5,0 7,0 10,5 78,7 5,5 7,0 11,0 79,0 5,33 6,83 10,67 78,9 0,29 0,06 Rechtes,P 6,5 7 11,5 104,0 6,0 7,5 11,0 107,5 6,0 7,5 11,5 104,7 6,17 7,33 11,33 105,4 0,29 0,06 Tabelle 3.1: Messwerte, sowie Mittelwerte für jedes P

28 22 KAPITEL 3. DIGITALE HOLOGRAPHIE b 1 [mm] b 2 [mm] h [mm] z l [cm] z m [cm] z r [cm] Tabelle 3.2: Daten, die zur Berechnung verwendet wurden Die Angaben, die wir für die Berechnung verwendet haben, stehen in Tabelle 3.2. Man stellt fest, dass die Bilder nicht dort scharf erscheinen, wo sie es nach der Theorie sollten, d.h. die gemessenen Entfernungen entsprechen nicht den Angaben in unserem Programm. Im Experiment erscheinen die Bilder weiter weg und sind größer. Abbildung 3.7 illustriert das. Gemessene Position z [cm] Programmvorgabe Abbildung 3.7: Vergleich der Vorgaben mit den Messwerten (maßstabsgetreu) Linsenanalogie Das einfachste Hologramm, dass eines einzelnen Punktes, entspricht einer Fresnelschen Zonenplatte, und verhält sich für senkrecht einfallendes (und kohärentes) Licht wie eine Sammellinse mit entsprechender Brennweite. Eine Sammelf g b Abbildung 3.8: Einfache Sammellinse linse der Brennweite f bildet einen Gegenstand bei g in der Entfernung b scharf ab. Es gilt die Beziehung: 1 f = 1 g + 1 (3.16) b Unsere holographische Folie ist nun im Prinzip einfach eine Überlagerung vieler Zonenplatten. Wenn das Licht senkrecht auf die Folie fällt, dann bildet jede Zonenplatte einen scharfen Punkt an einer bestimmten Stelle im Raum,

29 3.5. AUSWERTUNG DES PPP-HOLOGRAMMS 23 sagen wir (x, y, z ), ab 1. Statt der Platte können wir uns nun eine Linse der Brennweite z bei (x, y, 0) denken. Mit dieser Analogie kann man nun überlegen, was passiert, wenn der einfallende Lichtstrahl nicht parallel, sondern aufgespreizt ist. Ein aufgespreizter Lichtstrahl ist dadurch charakterisiert, dass er im Laufrichtung immer breiter wird. Wenn man den Lichtstrahl zurückverfolgt, scheint er aus einer punktförmigen Lichtquelle zu stammen. (Der Strahl muss nicht tatsächlich aus einer punktförmigen Quelle stammen. In unserem Aufbau hat der Laserstrahl zu Beginn eine endliche Breite, und wird danach aufgeweitet. Die scheinbare Lichtquelle liegt hier irgendwo hinter dem aufweitenden Spiegel, siehe Abb.4.2, wobei Fotoplatte und Objekt durch das Objekt ersetzt sind.) Wir wissen, dass ein punktförmiges Licht im Abstand g vor der Linse bei b hinter der Linse abgebildet wird (Gleichung 3.16), wobei b größer als die Brennweite ist. Der Punkt rückt also weiter von der Linse weg, wenn das einfallende Lichtbündel aufgeweitet ist. Das ist auch die Erklärung dafür, dass unsere Hologramme in z-richtung gestreckt erscheinen. Es lässt sich auch erklären, warum die Bilder in x- und y-richtung gestreckt sind. Man kann alle Bildpunkte, die dieselbe z-koordinate haben, zu einem Bild zusammenfassen, welches durch eine einzige Linse abgebildet wird. Bei einer solchen Abbildung ist der Quotient aus Bildhöhe und Entfernung zur Linse konstant, d.h. es gilt: B b = G g = F f, (3.17) wobei B, G und F die Höhen der Bilder bei b, g bzw. f sind. F und f sind durch unsere Vorgaben bestimmt, und wenn aufgrund der Aufspreizung des Lichts b größer wird, muss auch die Bildhöhe B größer werden Vergleich mit den Messwerten Wir werden nun anhand unserer Messwerte überprüfen, inwieweit die obigen Überlegungen korrekt sind. Wir wollen für Punkte, die im Abstand z erscheinen sollen, Linsen der Brennweite f = z betrachten. Unsere Bilder sollten jeweils die Höhe F = h haben. Die tatsächlich gemessenen Werte sind z und h. Wenn sich die holographische Folie tatsächlich wie eine Linse verhält, muss Gleichung (3.17) erfüllt sein, also muss gelten: h z = h z (3.18) Tabelle 3.3 zeigt, dass diese Beziehung ganz gut erfüllt ist. 1 Koordinaten mit Strich (x, y, z,...) bezeichnen im folgenden Angaben im Programm, bzw. bei parallelem Lichteinfall. Koordinaten ohne Strich verwenden wir bei Messwerten, bzw. sobald das Lichtbündel nicht mehr parallel ist.

30 24 KAPITEL 3. DIGITALE HOLOGRAPHIE h/z h /z Links 0,184(5) 0,178 Mitte 0,135(4) 0,133 Rechts 0,108(3) 0,107 Tabelle 3.3: Verhältnis von Bildhöhe zu Entfernung für Programmangaben und Messwerte 3.6 Probleme der Hologrammerstellung mittels Diabelichter Die GwDG stellt ein Gerät zur Belichtung von Dias bereit, das wie ein Drucker angesprochen werden kann. Darauf bezogen sich anfangs alle unsere Hoffnungen und Bemühungen. Denn da im Gegensatz zu Laserdruckern Graustufen statt nur Schwarz-Weiß-Werte erzeugt werden können und das Gerät laut Datenblatt eine viel höhere Auflösung bietet, waren wir sehr zuversichtlich schöne Transmissionshologramme herstellen zu können. Ein persönliches Gespräch mit Herrn Nolte von der GwDG ließ auch keine großen Schwierigkeiten erwarten. Er nannte uns den genauen Druckbefehl und meinte das Gerät würde kaum noch genutzt werden, weshalb wir anrufen sollten, wenn wir einige Dias gedruckt hätten, damit der Film in die Entwicklung gebracht werden könnte. Der Diabelichter Polaroid ProPalette 8000 ist mit einem Rückteil bestückt, in das herkömmliche 35mm Kleinbild-Diafilme eingelegt werden können. Die Belichtung funktioniert über eine herkömmliche Braunsche Röhre, deren Mattscheibenbild über eine Optik auf den Film abgebildet wird. Jede Farbe wird dabei mit einem vorgeschobenen Filter einzeln belichtet. Bei einer maximalen Auflösung von Punkten ergibt sich rechnerisch eine Auflösung von 227 Linien/mm. Nachdem unsere Programme soweit fortgeschritten waren, dass sie erste Graustufenhologramme berechnen konnten, berechneten wir einige Hologramme aus wenigen Punkten, die in verschiedenen Testmustern im Raum verteilt waren. Zusätzlich erstellten wir ein Testbild, das aus horizontalen und vertikalen schwarzen und weißen Linien verschiedener Dicke bestand (als Beugungsgitter). Weiterhin enthielt es einen Graustufenverlauf sowie Bereiche mit Schrift unterschiedlicher Größe. Mit den Beugungsgittern wollten wir die Auflösungsgenauigkeit des Diabelichters bestimmen. Unsere erste Serie haben wir mit dem genannten Druckbefehl von Herrn Schaafs GwDG-Account ausgedruckt. Als die Dias nach einigen Tagen abholbereit waren, waren wir von den Ergebnissen sehr enttäuscht. Die Dias schienen fast alle völlig transparent zu sein. Nur auf einem, das zwei Dreiecke in verschiedenen Tiefen darstellen sollte, waren leichte Ringmuster erkennbar. Dies war das einzige Dia, das auch bei der Rekonstruktion mit dem Laser ein auf dem Schirm sichtbares Ergebnis lieferte. Es bildeten sich in zwei verschiedenen Ebenen scharfe helle Punkte, die die beschriebenen Dreiecke formten. Das Testbild mit den Beugungsgittern lieferte nichts. Mit bloßem Auge sah man schon, dass im Farbverlauf der mittlere Grauwert stark zum Rand hin verschoben war, so-

31 3.6. PROBLEME 25 dass das Bild insgesamt viel zu hell war. Außerdem erschienen die Bereiche mit horizontalen Linien in einem anderen Grauwert als die Bereiche mit vertikalen Linien. Eine Untersuchung der Dias mit einem Mikroskop ließ nichts gutes erkennen: Nur in den Bereichen, wo sich die Helligkeit des Originals nur über große Distanzen hin änderte, war auf dem Dia etwas zu erkennen. In den Bereichen, wo sich die Helligkeit im Bereich von wenigen Pixeln änderte, ließ sich nichts erkennen und alles war völlig unscharf. Wir vermuteten eine oder mehrere folgender möglicher Ursachen für das Problem: 1. der Diabelichter ist nicht richtig scharf gestellt, 2. der Diabelichter ist auf eine zu geringe Auflösung eingestellt, 3. das Auflösungsvermögen des Films ist zu gering (ISO-Wert zu hoch), 4. man sollte einen Schwarzweißfilm verwenden, 5. die Belichtungszeit ist zu groß, 6. die einzelnen von der Kathodenstrahlröhre belichteten Punkte strahlten ineinander über, 7. die einzelnen Belichtungen der drei Farben kamen nicht richtig zur Deckung, 8. es war im Druckertreiber ein falsches Filmprofil geladen. Die erste Möglichkeit haben wir prinzipiell ausgeschlossen, bzw. nach einem kurzen Gespräch in der GwDG war klar, dass niemand Zeit hatte das Gerät neu zu kalibrieren. Aber wir konnten für den nächsten Versuch unseren eigenen Film mitbringen und direkt von dem PC drucken, an dem der Diabelichter angeschlossen ist. Die Punkte 2, 5, 7 und 8 wollten wir dadurch verhindern, dass für den zweiten Versuch in dem Druckprogramm alles richtig eingestellt wird. Da kein Schwarzweißfilm aufzutreiben war und die Entwicklung wahrscheinlich sehr viel länger gedauert hätte, haben wir einen 50er Farbdiafilm von Kodak gekauft. Leider gab es nur ein Profil für einen 50er Film von FUJI, weshalb wir im Ergebnis auch einen leichten Rotstich festgestellt haben. Zu Punkt 6 haben wir im Internet einen Testbericht gefunden, indem an dem Gerät von Polaroid bemängelt wurde, dass es so scharf abbildete, dass unter dem Mikroskop zwischen den einzelnen Linien kleine Abstände zu sehen waren. Punkt 7 haben wir auch ausgeschlossen, weil an scharfen Schwarz-Weiß-Übergängen keine Farbverschiebungen zu sehen waren. Das Dia war insgesamt einfach sehr unscharf. Zusätzlich zu den Einstellungen am Gerät haben wir noch bei einigen Hologrammen den Kontrast erhöht und die Helligkeit erniedrigt. Als die zweite Serie fertig war, stellte sich heraus, dass die Dias prinzipiell genauso unbrauchbar waren wie zuvor. Nur auf den nachbearbeiteten Bildern konnten mit dem

32 26 KAPITEL 3. DIGITALE HOLOGRAPHIE Auge leichte Ringmuster festgestellt werden, aber für die Rekonstruktion im Laserstrahlengang waren sie immer noch zu hell und zu verwaschen. Ob ein erneuter Versuch mit einem Schwarzweißfilm und nur einer Belichtung noch Verbesserungen gebracht hätte, wagen wir zu bezweifeln. Nach einem überraschend guten Test eines mit einem Laserdrucker auf Transparenzfolie gedruckten Binärhologramms, haben wir diese Methode weiterverfolgt. Jedenfalls wurde uns seitens der GwDG von Herrn Nolte sehr gute Hilfestellung geleistet. Als Alternative zu dem Diabelichter hätten wir auch noch die Möglichkeit gehabt unsere Graustufenhologramme mit einem Tintenstrahldrucker großformatig auszudrucken und mit einer herkömmlichen Kamera abzufotografieren. Ein DIN-A4-Testausdruck zeigte auch recht gutes Detailreichtum, jedoch hatten wir im verbleibenden Zeitraum nicht die nötige Ausrüstung und Erfahrung zur präzisen Abbildung auf Diafilm. 3.7 Ausblick: Weitere Algorithmusoptimierungen und Ausnutzung moderner 3D-Grafikhardware Das hier vorgestellte Verfahren zur Erzeugung der Graustufen- und Binärhologramme beruht auf einem pixelweisen Berechnen der Superposition der komplexen Feldstärken aller Objektpunkte. Dieses Vorgehen ist sehr rechenintensiv, da die Abstandsberechnungen und die trigonometrischen Funktionen für jeden Punkt und jeden Pixel neu ausgewertet werden müssen. Für ansehnliche Objekte müssen Linien oder gar Flächen durch sehr viele Objektpunkte angenähert werden. Hierdurch wächst der Rechenaufwand schnell in astronomische Größenordnungen. Kleine Algorithmusoptimierungen, wie Vorberechnen von Größen, die in inneren Schleifen konstant sind, bewirken nur minimale Geschwindigkeitsverbesserungen und ändern nichts am Grundproblem Verbesserung durch vorberechnete Kugelwellenschnitte Der naheliegendste Ansatz zur Verbesserung des Algorithmus ist es, das Berechnen der trigonometrischen Funktionen zu beschleunigen bzw. zu umgehen, indem man Werte vorberechnet und mehrfach wiederverwendet. Es ist nun so, dass die Kugelwelle jedes Objektpunktes geschnitten mit der Hologrammebene ein konzentrisches Ringmuster erzeugt, das von dem senkrechten Abstand des Punktes und seiner Phase abhängt. Die Schnittmuster jedes Punktes überlagern sich dann additiv. Gibt man allen Objektpunkten die gleiche Phase, so reicht es für alle Punkte einer Ebene nur ein Schnittmuster zu berechnen. Die darauffolgenden Additionen werden im Rechner bekanntlich sehr schnell ausgeführt. Sinnvoll ist dieses Vorgehen für Objekte, wo viele Punkte in einer Ebene liegen, also z.b. Schriftzüge oder Fotografien (wo sich die Zonenplatten nur in ihrer Helligkeit unterscheiden). Problematisch wird es für Objekte, bei denen die einzelnen Punkte eher zufällig im Raum verteilt sind (also wenig Symmetrien vorhanden sind). Dann kann man nur wenige Zonenplatten wiederverwenden. Außerdem müssten die Symmetrien erst gesucht werden, also z.b. alle Punkte

33 3.7. AUSBLICK 27 der Tiefe nach geordnet werden. Der geschwindigkeitsoptimierende Effekt würde stark abnehmen Berechnung von Hologrammen mittels 3D-Grafikhardware Fragt man sich nun worin sich die Schnittmuster von zwei Lichtpunkten mit unterschiedlicher Tiefe unterscheiden, so stellt man fest, dass es sich um eine einfache skalierung um einen bestimmten Faktor handelt. Steht man weiterhin vor der Aufgabe dies programmtechnisch umzusetzen, so kommt man als Student mit Erfahrung im 3D-Programmieren sofort auf den Gedanken, hierfür eine auf solche Aufgaben hochspezialisierte Grafikkarte eines modernen Computers auszunutzen, statt die langsame CPU zu quälen. Die Idee ist also das Schnittmuster nur einmal zu berechen und als sogenannte Textur abzuspeichern. Diese wird dann einfach auf simple Quadrate projiziert, welche beliebig im virtuellen Raum positioniert (u.a. skaliert) werden können. Diesen Ansatz hätten wir gerne weiter verfolgt, jedoch hätte der Aufwand unseren zeitlichen Rahmen gesprengt, zumal nur Johannes Programmierkenntnisse in OpenGL bzw. Direct3D hat, er sich aber auch neu in die Materie hätte vertiefen müssen. Im folgenden beschreiben wir einen solchen Ansatz wie er in einer Publikation [8] der Fakultät für Informatik an der Otto-von-Guericke Universität Magdeburg beschrieben wird. Verwendet wurde dazu die Grafikbibliothek OpenGL, wobei man aber auch z.b. Microsoft Direct3D hätte nehmen können. Letzteres zielt im Gegensatz zum hauptsächlich im professionellen Bereich anzutreffenden OpenGL auf den PC-Spiele-Markt ab, stellt aber grundsätzlich die gleichen Operationen bereit. Das Verfahren gliedert sich in folgende Schritte: Zuerst werden einige spezielle Bilder berechnet, die später als komplexe Texturen hardware-basiertes Interferieren verschiedener Wellenmuster erlauben. Das Hologramm wird durch Interferenz von komplexen Texturen berechnet, welche die einzelnen Objektpunkte repräsentieren. Die Interferenz mit einer Referenzwelle wird berechnet. Die resultierenden Intensitäten werden mittels Look-up-Tabellen generiert. Der Vorteil dieses Verfahrens ist, dass sobald die komplexen Texturen vorliegen, alle weiteren Schritte standardmäßig von der Grafikhardware unterstützt und durch einfache OpenGL-Befehle zur Verfügung gestellt werden. Vorberechnen der komplexen Texturen Da Grafikkarten nur positive Zahlen als Farbwerte behandeln können, muss um mit komplexen Zahlen zu arbeiten auf einen Trick zurückgegriffen werden: Benutzt wird das Standard-Grafikformat RGBA (Rot, Grün, Blau, Alpha/Transparenz), wobei die vier Kanäle benötigt werden um die positiven

34 28 KAPITEL 3. DIGITALE HOLOGRAPHIE und negativen Werte der reellen und imaginären Komponenten der komplexen Wellenmuster zu speichern. Also der rote Kanal wird für positive reelle Werte benutzt, der grüne Kanal speichert die Absolutwerte für negative reelle Werte. Analoges gilt für den blauen und den Alpha-Kanal, welche die imaginären Werte speichern. Abbildung 3.9: Die Kanäle einer komplexen Textur und die rekonstruierte Zonenplatte In die komplexe Textur wird nun der Schnitt durch eine sphärische Welle berechnet. Da die Objektpunktlichtquellen i.a. unterschiedliche Phase besitzen wird gleich ein ganzer Satz von z.b. 32 unterschiedlichen komplexen Texturen berechnet. Wie schon angesprochen muss für Lichtquellen unterschiedlicher Tiefe nur die komplexe Textur skaliert werden. Dies wird auch von der Grafikhardware unterstützt. Sei eine komplexe Textur ursprünglich für einen Punkt der Tiefe z 0 berechnet worden, dann muss die Textur für einen Punkt der Tiefe z um den Faktor s skaliert werden: s = z/z 0 (3.19) Um ein Hologramm aus N Punkten zu erzeugen, muss für jeden Punkt die Phase und der Abstand zur virtuellen Hologrammplatte berechnet werden. Anhand der Phase wird eine passende komplexe Textur aus dem Satz ausgewählt. Die Parallelprojektion des Punktes auf die Platte bestimmt den Mittelpunkt der Textur, die dann nach Gleichung (3.19) skaliert wird. Abbildung 3.9 zeigt die einzelnen Kanäle einer komplexen Textur und die bei Interferenz mit einer ebenen Referenzwelle erhaltene Zonenplatte. Interferenz der komplexen Texturen Für die Berechnung der Interferenz der komplexen Texturen muss die Grafikhardware einen speziellen Puffer, den sog. Accumulationbuffer bereitstellen. Mit ihm lassen sich (hardwarebasiert) arithmetische Operationen auf ganze Bilder anwenden. Das Hologramm wird auf folgende Art und Weise erzeugt: Zuerst werden alle komplexen Texturen additiv in den Accumulationbuffer gerendert. Zweitens wird die Referenzwelle, welche ebenfalls durch eine komplexe Textur repräsentiert wird, mit einem optimalen Kontrast gewährleistenden Gewichtungsfaktor addiert.

35 3.7. AUSBLICK 29 Drittens werden die negativen Werte der reellen und imaginären Komponenten aus dem grünen und alpha Kanal des Accumulationbuffer gelesen und von den rot und blau Kanälen subtrahiert. Schließlich wird die Intensität I aus der Amplitude A = E des Elektrischen Feldes E berechnet: I = A 2 = Re 2 E + Im 2 E (3.20) Gleichung (3.20) wird mit Hilfe einer sog. Pixelmap-Operation implementiert. Diese Operation wird normalerweise für Gammakorrekturen verwendet und bildet jeden Wert des Framebuffer auf einen bestimmten Wert in der Pixelmap- Tabelle ab. Für unsere Zwecke erstellen wir uns eine Pixelmap, die einem Wert sein Quadrat zuordnet. Stellt die Hardware einen Accumulationbuffer bereit, so können alle Schritte zur Berechnung der Intensitätsverteilung des Interferenzmusters auf der Grafikkarte ausgeführt werden, wodurch es möglich wird Hologramme aus sehr vielen komplexen Texturen zu erzeugen. Andere komplexe Texturen Das vorgestelle Verfahren hat den Vorteil, dass anstelle von Punkten auch andere Primitive wie z.b. Linien als Lichtquellen benutzt werden können. Dann muss nicht mehr eine Linie aus vielen komplexen Texturen von Punkten angenähert werden, sondern das Wellenmuster der kompletten Linie wird als komplexe Textur gespeichert und kann dann beliebig oft wiederverwendet werden. Dies führt wiederum zu einem gewaltigen Zeitgewinn. Für lineare Phasenverteilungen entlang einer Linie emittiert diese zylindrische oder kegelförmige Wellen. Schnitte hierdurch erzeugen als komplexe Texturen parallele oder gescherte Linienmuster (nicht äquidistant) ähnlich den Zonenplatten. Die Texturen werden wie oben beschrieben einfach parallelprojiziert. Verläuft eine Linie in den Raum hinein, so muss die zugehörige Textur entsprechend geschert werden. Soll mit zufälligen Phasen gearbeitet werden, so hat man bei Linien, die in den Raum hinein verlaufen, Probleme. In diesem Fall müssen komplexe Texturen für Linien mit unterschiedlichen Inklinationswinkeln vorberechnet werden. Auf diese Weise lassen sich schnell Hologramme von Objekten aus hunderten von Linien berechnen, z.b. zur Visualisierung von sog. Drahtgittermodellen.

36 30 KAPITEL 3. DIGITALE HOLOGRAPHIE

37 Kapitel 4 Weißlichtholographie 4.1 Prinzip Normalerweise muss die Rekonstruktion des Bildes exakt mit dem gleichen Laserlicht und dem gleichen Betrachtungswinkel erfolgen. Im weißen Licht, dessen sichtbares Spektrum λ = 400nm 800nm abdeckt, könnte man das Hologramm nicht erkennen. Durch die unterschiedliche Wellenlänge beugt nämlich jeder aufgenommene Bildpunkt das Licht in einem anderen Winkel. Jeder Teil des Spektrums erzeugt so ein unterschiedliches Bild, das sich mit den anderen Teilen überlagert, teilweise auslöscht und die Rekonstruktion unmöglich macht. Die Weißlichtholographie ermöglicht es dagegen, Hologramme in normalem Tageslicht zu betrachten. Für die Aufnahme verwendeten wir den in Abb. 4.2 schematisch gezeigten Aufbau. Die Referenzwelle trifft von rechts auf die Hologrammplatte, und beleuchtet gleichzeitig das Objekt, der reflektierte Objektstrahl trifft also von links auf die Platte. Durch die Belichtung entstehen Interferenzmuster in den einzelnen, photographischen Schichten des Filmmaterials. Beleuchtet man das Hologramm mit weißen Licht, tritt unter einem Betrachtungswinkel nur für eine bestimmte Wellenlänge λ konstruktive Interferenz auf. In Abb. 4.1 ist dieser Zusammenhang dargestellt. Nach der Braggschen Reflektionsbedingung gilt: 2d sin α = nλ, (4.1) wobei d der Abstand der Schichten ist, α der Einfalls- bzw. Betrachtungswinkel. d liegt in der Praxis in der Größenordnung von einer halben Wellenlänge, die gesamte Photoschicht ist ca. 8 µm dick. 4.2 Aufbau Alle Komponenten des Weißlichtaufbaus (siehe Abb. 4.2) sind in optischen Reitern bzw. Achsen befestigt, die auf schwingungsgedämpften Tischen stehen. Das System muss bei der Aufnahme in absoluter Ruhe sein, damit keine Verschiebungen das feine Interferenzmuster der Platte zerstören. Bei Verschiebungen im Rahmen einer Lichtwellenlänge würde man kein richtiges Interferenzmuster und daher kein Hologramm erhalten. Die Tischplatten bestehen aus schwerem 31

38 32 KAPITEL 4. WEISSLICHTHOLOGRAPHIE Abbildung 4.1: Braggsche Reflexion an den Photoschichten Abbildung 4.2: Aufbau zur Aufnahme von Weißlichthologrammen

39 4.3. BELICHTUNGSZEIT UND FILMMATERIAL 33 Material(Stein) und sind über Gummifüße auf einem Holzrahmen gelagert. In professionellen Labors lagert man meistens Granitplatten auf luftgefüllten Reifenschläuchen, sodass nahezu alle Gebäudeschwingungen herausgefiltert werden. Der verwendete Laser ist linear polarisiert, hat eine Leistung von 8mW und einen Ausgangsstrahldurchmesser von ca. 1mm. Man kann sich die lineare Polarisation des Lasers zunutze machen, um die unerwünschte Reflexion des einfallenden Strahls an der Hologramm-Glasscheibe zu verringern. Bei der Reflexion an Grenzflächen wird unpolarisiertes Licht teilweise polarisiert, d.h. der Anteil, der senkrecht zur Einfallsebene schwingt, wird bevorzugt reflektiert, der andere Anteil wird gebrochen. Für den Spezialfall, dass der Winkel zwischen reflektiertem und gebrochenem Strahl gerade 90 beträgt, ist das reflektierte Licht vollständig polarisiert. Dieses Phänomen ist nach dem Physiker David Brewster benannt, der entsprechende α p Winkel heißt Brewsterwinkel und hängt ab vom Brechungsindex n des verwendeten Mediums: tan α p = n. (4.2) Für Glas in Luft, d.h. n = 0.66 erhält man α p 57. Stellt man also die Hologrammplatte in einem Winkel von =33 zum Laser, lässt sich der Laser so drehen, dass die Polarisationsrichtung in der Einfallsebene liegt(parallel zur Tischebene) und die Reflexion verschwindet. In der Praxis muss man allerdings zwischen der optimalen Brewster-Winkel- Position und einer möglichst guten Ausleuchtung des Objektes Kompromisse machen. 4.3 Belichtungszeit und Filmmaterial Der entscheidende Punkt für die Qualität des Hologramms ist die Belichtungszeit. Eine zu lange Belichtung ist anfällig gegenüber Erschütterungen und liefert ein extrem kontrastschwaches Bild, während eine zu kurze Belichtung das Objekt nicht stark genug auf der Fotoplatte aufzeichnet. Für die Bestimmung der Belichtungszeit sind die wesentlichen Faktoren: Leistung P des Lasers Fläche A des aufgeweiteten Strahles am Ort der Platte Empfindlichkeit des Filmmaterials Intensitätsverluste durch Linsen und Reflexionen Die Belichtungszeit t bel ist proportional zur Fläche (A = π 4 d2 ), die ausgeleuchtet wird, und verkürzt sich bei höherer Laserleistung sowie Filmempfindlichkeit. Wir verwendeten die Holographie-Platten PFG-01 der Firma Slavich/Geola mit einer Auflösung von 3000 Linien/mm. Dieser Film ist speziell rotempfindlich, wie in Abb. 4.3 dargestellt, und die benötigte Belichtungsenergie E (Exposure)

40 34 KAPITEL 4. WEISSLICHTHOLOGRAPHIE ist mit µj cm 2 angegeben. Auf einer Seite befindet sich die lichtempfindliche Schicht, die Abmessungen betragen 6,3cm x 6,3cm. Mit der einfachen Formel t bel = AE P = π 4 d2 E P (4.3) kann man nun die Belichtungszeit berechnen, wenn man die ausgeleuchtete Fläche ausmisst. Da man normalerweise die gesamte Platte belichten möchte, der aufgeweitete Laserstrahl aber kreisrund ist, ist nicht die gesamte Leistung nutzbar. Durch die quadratische Geometrie der Platte hat man für die Platte höchstens noch 1 den Anteil π/2 0, 64 der Ausgangsleistung zur Verfügung. In den Randbereichen fällt die Helligkeit jedoch schnell ab, sodass der effektive Wert noch etwas darunter liegt. Mit einem praktisch gemessenen Durchmesser von ca. 12cm kommt man auf eine Belichtungszeit von t bel 1, 1s. Die Brechungseffizienz ist definiert als η diff = I I I C (4.4) wobei I I die Intensität der rekonstruierten Objektwelle und I C die der Rekonstruktionswelle bezeichnet. Hier ist ein möglichst hoher Wert anzustreben, um einen guten Kontrast zu erhalten. In Abb. 4.3 erkennt man, dass die Brechungseffizienz bei 110 µj/cm 2 ihr Maximum mit nahezu 50% hat. Berücksichtigt man noch Helligkeitsverluste in den Linsen, kommt man mit der Belichtungsformel auf Belichtungszeiten t bel von 1-2 Sekunden. Die Ausleuchtung lässt sich noch verbessern, wenn man diffus streuende Folie, z.b. geknitterte Alufolie, oder helle Pappe hinter das Objekt stellt. Dieser Effekt ist sehr schön beim Hologramm Nr. 14 (Beetle) zu erkennen, bei geeigneter Betrachtung schräg von links sieht man den Schatten des Objektes auf der Rückwand. 4.4 Die Fotoplatten Sowohl die Fotoplatten für die Weißlichtreflexionsholographie also auch die Fotoplatten der Transmissionsholographie basieren auf dem AgX-Fotosystem, das auch in den Filmen für herkömmliche Fotoapparate benutzt wird. Die Fotoplatten enthalten eine lichtempfindliche Emulsion, die aus Gelatine besteht, in der feine Körner aus Silberhalogenid suspendiert sind (daher AgX, wobei das X für ein Halogen, wie z.b. Chlor (Cl) oder Fluor (F l) steht). Dabei bestimmt die Größe der AgX-Körner Feinheit/Auflösung und die Lichtempfindlichkeit. Je kleiner die Körner sind, desto besser ist die Auflösung, allerdings umso geringer die Empfindlichkeit. In unserem Fall kamen Fotoplatten zum Einsatz, die eine feine Körnung hatten (Durchschnittsgröße eines Korns: 40 nm) und auf Licht der Wellenlänge nm empfindlich reagierten. Bei der Belichtung der Emulsion werden einige der AgX-Bindungen photolytisch gespalten. Das heißt

41 4.5. DIE BELICHTUNG 35 Abbildung 4.3: a) Spektralempfindlichkeit von PFG-01(graue Linie), Maximum bei λ = 633nm; b) Brechungseffizienz in Abhängigkeit der Belichtungsenergie, Maximum ca. bei E = 110µJ/cm 2 (Quelle: Prospekt Geola) das bindende Elektronen-Paar wird gleichmäßig aufgeteilt, sodass elementares Silber und Halogenradikale entstehen: 2 AgCl Licht 2 Ag 0 + X 2 (4.5) Das hat zur Folge, dass alle belichteten AgX-Körner nach der Belichtung Anteile von elementarem Silber enthalten, die sogenannten Ag 0 -Keime, welche für die spätere Entwicklung wichtig sind (siehe 4.6.2). Bei Fotoplatten für die Weißlichtholographie ist die lichtempfindliche Emulsion dicker aufgetragen als bei Fotoplatten, die ausschließlich für Transmissionshologramme gedacht sind. In der dickeren Emulsionsschicht befinden sich mehrere Lagen AgX-Körner übereinander. Die von uns verwendeten Fotoplatten sind sowohl für Weißlicht- als auch für Transmissionsholographie geeignet, wobei der Unterschied der beiden Holographietechniken, aus den unterschiedlichen Belichtungs- und Entwicklungsmethoden herrührt. 4.5 Die Belichtung Bei der Belichtung der Weißlichthologramme mit dem skizzierten Aufbau (Abb. 4.2) überlagern sich die vom Objekt reflektierten Lichtwellen (Objektwellen) und die Referenzwelle an der Fotoplatte, wobei die Objektwellen gegen die Referenzwelle laufen. Dadurch kommt es in der Emulsion zu stehenden Wellen, sodass die Emulsion an den Knotenstelle nicht belichtet wird (siehe Abb. 4.4). Dadurch entstehen verschiedene fotographische Schichten, von denen jede einzelne später als Reflexionsgitter wirkt und damit einem Hologramm der Objektwelle entspricht (daher der Name Weißlichtreflexionsholographie). Diese Reflexionsgitter erzeugen die konstruktive Interferenz, die jedoch nur für Licht mit einer Wellenlänge des zur Belichtung verwendeten Lasers zustande kommt.

42 36 KAPITEL 4. WEISSLICHTHOLOGRAPHIE Abbildung 4.4: Das Entstehen der Netzebenen beim Belichten der Fotoplatte 4.6 Fertigstellung des Weißlichthologramms Nach der Belichtung müssen die Hologramme entwickelt werden. Die Entwicklung ist dabei zunächst, sowohl für die Weißlichthologramme als auch für die Transmissionhologramme analog zur Herstellung eines Negativs bei der Schwarz- Weiß-Fotographie. Wie im folgenden deutlich wird, unterscheiden sich Herstellungsverfahren der beiden Hologrammtypen danach jedoch wesentlich. Bemerkung: Alle im folgenden genannten Chemikalien sind mehr oder weniger giftig, sodass wir immer mit Gummihandschuhen und Fotozangen arbeiteten Durchführung Zunächst wird die Fotoplatte mit der lichtempfindlichen Seite nach oben für bis 2 Minuten in den Entwickler gelegt und das Schälchen leicht geschwenkt, um eine gleichmäßige Entwicklung zu erreichen. Der Film sollte nun gleichmäßig schwarz sein. Danach wird sie mit der Fotozange für 1 bis 2 Minuten in einem Wassereimer geschwenkt (falls man mehrere Hologramme aufnimmt, sollte man sie davor noch kurz in einer zusätzlichen Wasserschale abspülen, um eine zu schnelle Verschmutzung des Wassers im Eimer zu verhindern). An dieser Stelle ist der Film lichtunempfindlich und das Licht kann angeschaltet werden. Nun wird die Fotoplatte für 1 bis 2 Minuten in das Bleichbad gegeben. Das Hologramm ist nun wieder klar geworden, hat aber durch die Entwicklung einen

43 4.6. FERTIGSTELLUNG DES WEISSLICHTHOLOGRAMMS 37 gelb-orangen Ton angenommen. Nach dem Bleichen folgt die Schlusswässerung. Sie sollte einige Minuten dauern, um die benutzten Chemikalien aus der Gelatineschicht zu waschen. Zum Schluss wird der Film für einige Minuten in das Benetzungsmittel gegeben. Nun kann der Film getrocknet werden Der Entwickler Wie bereits oben erwähnt, bilden sich bei der Belichtung der Fotoplatte an den AgX-Körnern Keime aus elementarem Silber (Ag 0 ). Diese AgX-Körner mit Keimen werden durch den Entwickler vollständig zu elementarem Silber umgewandelt, wobei das dabei entstehende Halogen aus der Emulsion gelöst wird. Der Entwickler ist ein organisches Reduktionsmittel, das genügend chemisches Potential besitzt, um an den Silberkeimen weiteres Silber abzuscheiden, jedoch nicht genügend, um neue Keime zu erzeugen. Es werden also nur Körner entwickelt, in denen bereits Keime durch die Entwicklung erzeugt wurden. Die Silberkeime sind also Katalysatoren für die Reduktion des AgX. Sie bilden Keimzellen für die Reaktion (daher der Name): AgX + Red. Ag 0 + Ox. (4.6) wobei Red. der Entwickler und Ox. das Entwickler-Oxidationsprodukt sind. Als Entwickler verwendeten wir zu Beginn unseres Versuch eine Mischung aus Pyrogallol, Natriumsulfit und Natriumcarbonat (s. Rezeptliste Abschnitt B). Dieser erzeugte zwar leuchtkräftigere und lichtbeständigere Hologramme als das später verwendete Dokumol, allerdings reagiert Pyrogallol an Luft (besonders im alkalischen Medium wie es hier vorliegt) unter Bräunung zu Kohlendioxid, Essigsäure und anderen Produkten, sodass die Entwicklerstärke mit der Zeit abnimmt und die Mischung nach etwa 3-4 Stunden nicht mehr zu gebrauchen ist. Das macht die Nutzung sehr aufwendig und sie bedarf einiges an Erfahrung aufgrund sich ständig ändernder Entwicklungszeiten. Aus diesem Grund entschieden wir uns nach den ersten drei Tagen die Chemikalie Dokumol der Firma Tetenal als Entwickler zu nutzen. Dieser Entwickler wird in einem Verhältnis 1:4 mit destilliertem Wasser gemischt und hält sich äußerst lang (ein Schale des Entwicklers konnten wir für eine ganze Woche nutzen) Das Bleichbad Durch das Bleichbad wird das aufgenommene Hologramm zu einem Phasenhologramm umgewandelt. Dabei wird das durch das elementare Silber entstandene Schwärzungsprofil in ein absorptionsfreies Brechungsindexprofil umgewandelt. Hierzu benutzten wir ein Bleichmittel, das wir aus Kaliumdichromat und Schwefelsäure herstellten (s. Rezeptliste Abschnitt B). Dieses löst das elementare Silber aus der Fotoplatte, sodass die unbelichteten AgX-Körner in den fotographischen Schichten zurückbleiben.

44 38 KAPITEL 4. WEISSLICHTHOLOGRAPHIE Das Benetzungsmittel Das Netzmittel hat die simple Aufgabe zu vermeiden, dass sich beim Trocknen Kalkflecken auf dem Hologramm bilden. 4.7 Die Rekonstruktion des Weißlichthologramms Die unterschiedliche Dichte an AgX-Körnern erzeugt einen unterschiedlichen Brechungsindex innerhalb der fotographischen Schichten, da eine höhere Konzentration an Silberbromidkristallen (AgX) einen höheren Brechungsindex hat. Aufgrund ihrer Anordnung in den Schichten, kommt das Hologramm durch Interferenz des Rekonstruktionsstrahls zustande, wobei die Amplitude nicht verändert wird. Deshalb wird das Weißlichthologramm auch Phasenhologramm genannt. Es ist dadurch außerdem lichtstärker als vergleichbare Transmissionshologramme, die auf der Veränderung der Amplitude beruhen (siehe unten). 4.8 Ergebnisse und Betrachtung Wir haben die besten Resultate mit 2-3 Sekunden Belichtungszeit erhalten, im Vergleich zu den berechneten 1-2 Sekunden. Allerdings liefern so auch die dunkleren Stellen der Objekte genügend Intensität, ohne Kontrastverlust. Längere Zeiten erhöhen nur die Gefahr von Verwacklungen und verringern den Kontrast. Mehrere Hologramme eines gleichen Objektes, mit 3s, 5s sowie 8s Belichtungszeit, unterschieden sich nicht sichtbar von dem 3s lang belichteten. Bei einer Belichtungszeit ab 10s wird das Bild merklich schlechter, ab 40s konnten wir kein Hologramm mehr rekonstruieren. Bei den Zeiten für das Entwickeln und Bleichen haben wir uns an die Literaturangaben von 3 Minuten gehalten. Kürzere Zeiten reichen nicht aus, wie ein Versuch mit 30s und 60s Entwicklungszeit zeigte. In dieser kurzen Zeit kann nicht das gesamte Silberbromid zu Silber reduziert werden. Die Betrachtung der Hologramme erfolgt am besten mit einem Halogenspot, der mindestens einen halben Meter entfernt stehen sollte, sehr gut eignet sich auch Sonnenlicht. Diffuses Licht ist dagegen nicht geeignet, weil dort der Rekonstruktionsstrahl aus keiner ausgezeichneten Richtung kommt und somit nur eine schwache Bragg-Reflexion stattfindet. Wichtig ist auch, dass für die Rekonstruktion wieder möglichst ebene Wellenfronten auf das Hologramm auftreffen. Je näher man mit der Punktlichtquelle an das Hologramm kommt, desto stärker ist der Verzerrungseffekt der auftreffenden Kugelwellen. Bei der Betrachtung lässt sich auch die Braggsche Reflektionsbedingung 2d sin α = nλ anschaulich machen. Für einen größeren Gitterabstand d sollte λ ebenfalls größer werden. Man kann das erreichen, indem man ein Hologramm mehrmals von beiden Seiten anhaucht, sodass die Feuchtigkeit die Photoschichten quellen lässt. Das Hologramm wird rot oder verschwindet sogar, falls die Wellenlänge schon in den infraroten Bereich verschoben wurde. Dann erscheint es nach einigen Sekunden im rötlichen Spektralbereich und erreicht schließlich wieder die ursprüngliche Farbe.

45 Kapitel 5 Transmissionsholographie Die Aufnahme von Transmissionshologramme erfolgt nach dem in Kap. 3.1 dargestellten Prinzip: Der Laserstrahl wird zunächst in Objekt- und Referenzstrahl aufgeteilt, die jeweils durch Linsen (Sammellinsen mit kurzer Brennweite) aufgeweitet werden. Die Strahlengänge werden so justiert, dass der Referenzstahl direkt auf die Aufnahmeplatte trifft, der Objektstrahl hingegen trifft über einen Spiegel auf das Objekt (dabei darf er nicht direkt auf die Platte treffen), das reflektierte Licht interferiert nun auf der Platte mit dem Referenzstrahl. Objekt- und Referenzwelle treffen (im Gegensatz zur Weißlichtholografie) von der gleichen Seite auf die Filmschicht, der Abstand zwischen Objekt und Aufnahmeplatte sollte cm betragen. Der verwendete Zweistrahlaufbau ist in Abb. 5.1 dargestellt. In dem hier verwendeten Aufbau wird ein HeNe-Laser mit einer Leistung von 7 mw verwendet, der Strahlteiler besteht aus einem drehbaren, teildurchlässigen Spiegel, der variable Intensitätsaufteilungen erlaubt. Um nach der Aufweitung einen sauberen Strahl zu erhalten, werden Pinholes (Durchmesser im Bereich weniger µm) als Raumfilter in die Brennpunkte der Aufweitungslinsen gebracht. Diese erlauben es störende Beugungsmuster (verursacht etwa durch Verschmutzungen an optischen Flächen oder Staubteilchen in der Luft) herauszufiltern (siehe Abb. 5.2). Im Wesentlichen werden hier Strahlanteile herausgenommen, die nicht mehr parallel zur optischen Achse auf die Linse treffen und somit nicht exakt durch den Brennpunkt laufen. Desweiteren ist darauf zu achten, dass der Gangunterschied zwischen den geteilten Strahlen kleiner als die Kohärenzlänge des Lasers ist (hier: cm, siehe Kap. 2.5), da sonst keine dauerhaften Interferenzmuster beobachtet werden können. Die größte Fehlerquelle bei der Aufnahme von Hologrammen sind Erschütterungen: Bewegt sich der Aufbau während der Aufnahme, kommt es zu Phasenverschiebungen zwischen den beiden Strahlen (insbesondere, wenn diese wie hier früh getrennt werden), die das Interferenzmuster verändern. Bereits Differenzen im Nanometer-Bereich können zu einer drastischen Kontrastabnahme führen. Aus diesem Grund wurde der Versuchsaufbau auf einer luftgefederten Granitplatte mit großer Masse ausgeführt, zudem wurden zwischen Einspannen der Hologrammplatten und Aufnahme Ruhephasen ( s) eingehalten, in denen der Aufbau zur Ruhe kommen konnte. 39

46 40 KAPITEL 5. TRANSMISSIONSHOLOGRAPHIE 4a 3a b 3b 5 Abbildung 5.1: Verwendeter Zweistrahlaufbau 1: Laser (7mW), 2: variabler Strahlteiler (drehbar ), 3a/b: Oberflächenspiegel, 4a/b: Aufweitungsobjektive mit Pinholes, 5: Oberflächenspiegel, 6: Objekttisch mit Objekt, 7: Halter mit Hologrammplatte Abbildung 5.2: Pinhole als Raumfilter mit Strahlaufweitung

47 5.1. AUFNAHME & ENTWICKLUNG 41 Da die Platten hauptsächlich für Lichteinstrahlung mit einer Wellenlänge im Bereich der des Lasers ( 633 nm) empfindlich sind, lassen sich diese auch bei gedämpftem (idealerweise grünem) Licht handhaben. Um an der Aufnahmeplatte eine ideale Intensitätsverteilung zwischen Objektund Referenzstahl von 2:1 zu erreichen, lässt sich durch den variablen Stahlteiler das Transmissionsverhältnis einstellen. 5.1 Aufnahme & Entwicklung Aufnahme Zunächst wird die Platte in die entsprechende Halterung eingespannt und nach einer Ruhephase von ca. 30 s für s belichtet. Die Platte wird nun noch bei Dunkelheit bzw. schwachem Licht aus dem Aufbau genommen und entwickelt Die Fotoplatte Wie bereits erwähnt, unterscheiden sich Fotoplatten für die Transmissionsholographie von denen, die für die Weißlichtholographie gedacht sind (wobei unsere Platten für beides geeignet waren). Bei der Transmissionsholographie erzeugt man im Gegensatz zur Weißlichtholographie Amplitudenhologramme. Das heißt, dass in der Fotoplatte nicht einzelne Photoschichten aufgenommen werden, sondern nur ein Schwärzungsprofil, welches für die Rekonstruktion des Hologramms genutzt wird. Dies ist auch der Grund, dafür dass man Transmissionshologramme nur mit Laserlicht rekonstruieren kann, das die gleiche Wellenlänge besitzt wie der Laser mit dem das Hologramm erstellt wurde Fertigstellung des Transmissionshologramms Durchführung Zunächst wird die Fotoplatte mit der lichtempfindlichen Seite nach oben für ca. 4 Minuten in den Entwickler gelegt und das Schälchen leicht geschwenkt, um eine gleichmäßige Entwicklung zu erreichen. Der Film sollte nun gleichmäßig schwarz sein. Nun wird der Film, nachdem er in einem Wassereimer abgespült wurde (s. Abschnitt 4.6), für 4 Minuten in das Fixierbad gegeben. Nach einer erneuten, ca. 4 minütigen Wässerung wird die Fotoplatte für 1 Minute in das Netzmittel gegeben. Nun kann sie getrocknet werden. Der Entwickler Da der Entwickler für die Transmissionshologramme der gleiche war wie bei den Weißlichthologrammen und wir auch die gleichen Fotoplatten nutzten, verweisen wir an dieser Stelle auf Abschnitt Das Fixierbad Der Fixierer macht im Prinzip das genaue Gegenteil des Bleichbades. Da sich nach dem Entwickeln der fotographischen Schicht an den unbelichteten Stellen

48 42 KAPITEL 5. TRANSMISSIONSHOLOGRAPHIE noch lichtempfindliches Silberhalogenid befindet, muss dieses zur Fixierung des Bildes vollständig entfernt werden. Dies ist Aufgabe des Fixierers. Er bestand in unserem Fall aus einprozentiger Essigsäure. Das Netzmittel Das Netzmittel ist dasselbe, das auch bei der Weißlichtholographie verwendet wurde und soll auch hier verhindern, dass sich Kalkflecken bilden. 5.2 Rekonstruktion Nach dem Entwickeln lässt sich das aufgenommene Hologramm betrachten, indem die Platte wieder an die ursprüngliche Stelle in den Strahlengang eingebracht und mit dem Referenzstahl (gleicher Einfallwinkel wie bei der Aufnahme) beleuchtet wird. Idealerweise lässt sich nun an der Stelle, an der sich das Objekt befand, dessen Hologramm beobachten, das von dem mit Laserlicht bestrahlten Objekt kaum zu unterscheiden ist.

49 Kapitel 6 Holographische Interferometrie 6.1 Einleitung Die Interferometrie stellt die häufigste Anwendung der Holographie dar. Die spezielle Problematik von holographischen Experimenten und häufige Fehlerquelle ist die extrem hohe Empfindlichkeit der holographischen Aufzeichnung gegen Bewegungen, was besondere Anforderungen an den Aufbau stellt. Gerade diese Eigenschaft ermöglicht die erfolgreiche Anwendung der Holographie in der Interferometrie: die Messung von Objektdeformationen in der Größenordung der Lichtwellenlänge. Diese können durch thermische Belastung oder mechanische Kräfte hervorgerufen sein. Interferometrie bedeutet im Allgemeinen die Überlagerung zweier kohärenter Lichtstrahlen gleicher Wellenlänge. Aus dem sich ergebenden Interferenzmuster und dessen Änderungen kann man auf die Phasenbeziehung der Lichtwellen rückschließen. Als holographische Interferometrie wird der Vergleich von mehreren verschiedenen überlagerten Wellen bezeichnet, wobei mindestens eine holographisch rekonstruiert ist. Mit den im Interferenzmuster enthaltenen Phasendifferenzen werden die physikalischen Veränderungen des Objekts nicht nur skalar, sondern gerichtet, als vektorielle Verschiebungen und Deformationen gemessen. 6.2 Prinzip der Interferometrie Der Strahl einer kohärenten Lichtquelle, in der Regel ein Laserstrahl, wird in einen Referenzstrahl- und einen Objektstrahl aufgeteilt. Wenn die Strahlen nach dem Durchlaufen je nach Anwendung unterschiedlicher Strahlengänge auf einem Schirm zusammengeführt werden, ergibt sich ein charakteristisches Interferenzmuster. In einem typischer Aufbau nach Mach und Zehnder durchlaufen die Strahlen nach Aufweitung zwei zu vergleichende Objekte. Diese müssen einfacher 43

50 44 KAPITEL 6. HOLOGRAPHISCHE INTERFEROMETRIE Abbildung 6.1: Mach-Zehnder Interferometer Geometrie und transparent sein. Die Referenzwelle durchläuft das Referenzobjekt, der Objektstrahl das eventuell leicht abweichende Untersuchungsobjekt. Das sich bei Zusammenführung der transmittierten Wellen ergebende Interferenzmuster ist abhängig vom Gangunterschied, bzw. der Phasendifferenz beider Wellen, die sich durch Abweichungen in der Geometrie, der Zusammensetzung und somit der Ausbreitungsgeschwindigkeit ergibt. Praktisch können auf diese Weise optische Komponenten während ihrer Herstellung mit einem Referenzmuster verglichen werden. Die Interferometrie bleibt jedoch auf besonders einfache Geometrien, auf Spiegel und transparente Objekte beschränkt. Durch die holographische Interferometrie wird diese starke Beschränkung aufgehoben und das direkte optische Vergleichen von streuende Objekten beliebig komplizierter Geometrie möglich. 6.3 Prinzip der holographischen Interferometrie Zuerst wird von einem beliebig geformten, streuenden Objekt ein Hologramm des Grundzustands aufgenommen. Anschließend wird das Objekt deformiert und die von ihm ausgehende Objektwelle mit der Rekonstruktion des Grundzustandes überlagert. Die beiden unterschiedlichen Wellen interferieren, sodass die Objekte optisch direkt verglichen werden können: aus dem Interferenzmuster kann auf die Phasenverschiebungen rückgeschlossen werden. Eine einfache Realisierung besteht in dem Doppelbelichtungsverfahren, anhand dessen die prinzipiellen Zusammenhänge zwischen Objektdeformation und Interferenzmuster deutlich gemacht werden Doppelbelichtungsverfahren Um die gestreuten Wellen des Grund- und des manipulierten Zustands zu vergleichen, wird zuerst das Hologramm des Grundzustands aufgenommen und anschließend nach Einwirken der gewünschten Kraft das Hologramm des veränderten Zustands auf dieselbe Fotoplatte an gleicher Position aufgezeichnet.

51 6.3. PRINZIP DER HOLOGRAPHISCHEN INTERFEROMETRIE 45 Dazu wird ein Off-Axis Aufbau wie zur Aufnahme eines einfachen Transmissionshologramms, siehe Kapitel 5, verwandt. Nach der Belichtung mit dem Grundzustand, wird das Objekt manipuliert und ein zweites Bild aufgenommen. Durch die holographische Aufnahme wird die vollständige räumliche Information beider Zustände hochaufgelöst festgehalten. Aufgrund der Linearität der Aufzeichnung werden gemäß des Superpositionsprinzips bei der Rekonstruktion der Aufnahmen mit dem Referenzstrahl die holographischen Bilder beider Objekte rekonstruiert. Durch die Überlagerung beider Objektwellen erscheinen auf dem rekonstruierten Bild des Objekts schwarze Streifen, ein Interferenzmuster. Ziel der messtechnischen Auswertung ist es, aus diesem Muster aus Phaseninformation die punktuellen Verschiebungsvektoren zu bestimmen. Die vom Grundzustand des Objekts ausgehende, aufgezeichnete und schließlich rekonstruierte Welle habe die komplexe Amplitude A 1 (x, y), die Welle des manipulierten Zustands die Amplitude A 2 (x, y) mit der Phasenverschiebung δ: A 1 (x, y) = a(x, y) exp( iφ(x, y)) A 2 (x, y) = a(x, y) exp i[φ(x, y) + δ(x, y)] Für die sicht- und messbare Intensität der rekonstruierten Welle I(x, y) gilt: I(x, y) = (A 1 (x, y) + A 2 (x, y)) 2 I(x, y) = a(x, y) exp( iφ(x, y) + a(x, y) exp( i[φ(x, y) + δ(x, y)]) 2 = 2a 2 (x, y)1 + cos[δ(x, y)] Die maximale absolute Amplitudenverteilung a 2 wird somit durch eine Wellenfunktion moduliert. Dunkle Streifen sind somit Konturen des Objekts, zu denen die rekonstruierten Wellen beider Bilder konstante Phasendifferenz haben, in diesem Fall ungerade Vielfache von π/2. Entlang der hellen Streifen beträgt die Phasendifferenz Werte um die Vielfachen von π. Um einen direkten Zusammenhang zwischen der Punktverschiebung und dem Interferenzmuster herzustellen, muss die Geometrie des Interferometers berücksichtigt werden. Ziel ist die Ermittlung des Verschiebungsvektors d des Messpunkts in Abhängigkeit von der Phasendifferenz δ. Nach der Grundgleichung der Hologramminterferometrie gilt die Beziehung: δ(p ) = 2π λ [ e B(P ) + e Q (P )] d(p ) (6.1) Gemäß Abbildung 6.2 ist e B (P ) der Vektor in Beobachtungsrichtung, e Q (P ) der in Beleuchtungsrichtung. Über das Produkt der Vektoren ist der sogenannte Sensitivitätsvektor S definiert: S = e B (P ) + e Q (P ) Dieser Vektor hat die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen Beleuchtungs- und Beobachtungsstrahl. Man setzt für einen beliebigen rekonstruierten

52 46 KAPITEL 6. HOLOGRAPHISCHE INTERFEROMETRIE Abbildung 6.2: Definition der Vektoren unveränderten Objektpunkt die Interferenzstreifenordnung N = 0 fest und betrachtet einen Objektpunkt der durch N Streifen entfernt ist. Wie oben hergeleitet, wird bei der Zweistrahlinterferenz die Intensität durch eine Cosinusfunktion modelliert. Somit ergibt sich die einfache Beziehung zwischen der Ordnung N der Maxima der Phasendifferenz δ: δ = N 2π Wir können schließlich mit (6.1) zusammenfassen: Nλ = S d Ein Interferenzstreifen N.-Ordnung stellt somit die Projektion des Verschiebungsvektors d auf den Sensitivitätsvektor dar, letzterer kann somit als Richtung höchster Messempfindlichkeit des Interferometers interpretiert werden. Mit diesem, der sich aus der Geometrie des Aufbaus ergibt, und durch Abzählen der Interferenzstreifenordnung kann somit die Komponente d s in Richtung von S bestimmt werden: d s = Nλ S Wir haben somit eine Verschiebungskomponente mithilfe der Holographischen Interferometrie bestimmt, jedoch keine Information über die Richtung der Verschiebung und ihren Gesamtbetrag erhalten. Zur Messung von d müssen alle 3 Komponenten bestimmt werden, d.h. es werden 3 unabhängige Gleichungen benötigt. Es gibt unterschiedliche Methoden diese zu erhalten, eine besonders einfache Technik ist die Beobachtung des gleichen Punktes P aus insgesamt

53 6.3. PRINZIP DER HOLOGRAPHISCHEN INTERFEROMETRIE 47 drei verschiedenen Beobachtungsrichtungen, sodass das Gleichungssystem für d gelöst werden kann und so die Verschiebung bemessen ist. Das Doppelbelichtungshologramm zeigt das Objekt, das durch die dunklen Interferenzkonturen in gegenüber dem Ausgangszustand äquidistante Flächen unterteilt ist. Die zusammenhängenden hellen Bereiche dieses Höhenreliefs sind gleicher Ausdehnung. Die Doppelbelichtungsinterferometrie ist jedoch auf den Vergleich zweier statischer Zustände beschränkt. Durch ein Zeitmittelungsverfahren ist mit einer einfachen Hologrammaufnahme die Untersuchung periodische Deformationen wie sie etwa bei Membranschwingungen auftreten möglich Das Prinzip der Echtzeit-Interferometrie Als gewagten Abschluss des Experimentalteils unseres Projekts machten wir es uns zum Ziel, eine besonders eindrucksvolle und in weitesten Bereichen anwendbare Interferometriemethode experimentell zu realisieren: die Echtzeit-Interferometrie. Während sich Doppelbelichtungsverfahren auf statische, Zeitmittelungsverfahren auf periodische Deformationen beschränken, lassen sich durch die Echtzeitinterferometrie nahezu beliebige Verschiebungen der Objektoberfläche in Echtzeit aufzeichnen und auswerten. Es sind vor allem diese Möglichkeiten, welche den Erfolg und die Verbreitung der Holographie in der Anwendung begründen. Anhand dieses Verfahrens wird das große Potential holographischer Aufzeichnungen, also der zusätzlichen Speicherung von Phaseninformation, deutlich und mit dem Verfahren für unterschiedlichste Untersuchungen ausgeschöpft. Realisierung und experimentelle Durchführung der Echtzeit-Interferometrie Der experimentelle Aufbau zur Realisierung der Echtzeit-Holographie entspricht in unserem Experiment weitgehend dem zur Aufnahme eines Transmissionshologramms, siehe Kapitel 5. Die Methode besteht prinzipiell aus zwei Schritten: Zuerst wird ein Transmissionshologramm des zu untersuchenden Objekts im nichtdeformierten Grundzustand aufgenommen. Dieses muss an der Aufnahmestelle entwickelt werden ohne die Hologrammplatte in der Größenordnung λ/10 zu verrücken. Hierin besteht die besondere experimentelle Herausforderung an den Aufbau und das Verfahren: Glücklicherweise konnten wir auf die Ausstattung und Erfahrungen des 3. Physikalischen Instituts zurückgreifen, ohne die die besonderen Anforderungen nicht zu bewältigen waren. Die Hologrammplatte wird in einem speziell angefertigten Halter fixiert, der gleichzeitig ein Gefäß mit sehr massiven Fuß darstellt, indem die Entwicklungschemikalien ohne Erschütterung der Platte ausgetauscht werden können. Die Entwicklungsschritte sind entsprechend der Aufnahme eines Transmissionshologramms. Im zweiten Schritt wird das Transmissionshologramm durch den Referenzstrahl der Aufnahme und somit das Ausgangsobjekt rekonstruiert. Gleichzeitig wird das Objekt mit dem Objektstrahl belichtet: Das holographische Bild des Objekts interferiert mit der Streuwelle des realen Objekts. Bei diesem handelt

54 48 KAPITEL 6. HOLOGRAPHISCHE INTERFEROMETRIE Abbildung 6.3: Erste Erwärmung: Deutlich erkennbar die Konzentration der konzentrischen Interferenzlinien um die Lampenposition (wegen Druck Histogramm bearbeitet) Abbildung 6.4: 3 zeitlich aufeinanderfolgende Aufnahmen eines dynamischen Deformationsmusters (wegen Druck Histogramm bearbeitet) es sich um eine mattweiße Metalldose mit einem Durchmesser von 6,5cm, deren Grundfläche untersucht wird. Im Inneren befindet sich eine 30Watt Halogenglühbirne, die zur Erhitzung der Außenfläche angeschaltet werden kann. Ziel ist es, die temperaturbedingte Ausdehnung in Richtung der Hologrammplatte zu erfassen, die sich erwartungsgemäß auf eine Auswölbung im unmittelbaren Bereich der Wärmequelle konzentrieren soll. Beobachtung und Interpretation Nach mehreren vollkommen gescheiterten Versuchen das Transmissionshologramm des Referenzzustandes aufzunehmen, gelang es uns am Ende der Versuchszeit ein leider schwaches, aber zur prinzipiellen experimentellen Bestätigung ausreichendes Hologramm aufzuzeichnen. Bei der Überlagerung mit dem Bild des Objekts waren zunächst korrekterweise keine Interferenzstreifen vorhanden. Nach Anschalten der Birne bildeten sofort annähernd konzentrische schwarze Interferenzlinien auf dem Objekt vor der Position der Birne. Diese Kreise vergrößerten unter Bildung neuer Linien ihren Radius und wanderten zum Rand der Dose bis schließlich alle Linien verschwanden. Beim Abkühlen des Objekts erschienen die Linien nach und nach zurück, bis sie sich wieder bis zur Unsichtbarkeit verkleinerten. Nach weiteren Erwärmungsphasen entstanden bleibende parallele Interfe-

55 6.3. PRINZIP DER HOLOGRAPHISCHEN INTERFEROMETRIE 49 Abbildung 6.5: Interferenzmuster durch Relativbewegung zwischen Platte und Objekt (wegen Druck Histogramm bearbeitet) renzlinien, die das ganze Objekts überlagerten. Nach etwa 15 Minuten verschwanden alle Interferenzlinien und konnten nicht mehr reproduziert werden. Die Beobachtungen stimmen exakt mit den erwarteten Ergebnissen überein: Durch die stetige Auswölbung der Oberfläche bildet sich ein Relief aus Interferenz-Höhenlinien, die äquidistante Flächen in der Größenordnung der Lichtwellenlänge markieren, sodass es mit dem durchgeführten Experiment prinzipiell möglich ist die Objektdeformation mit einer Auflösung in der Größenordnung von λ auszumessen. Die konkrete Bestimmung des Verschiebungsvektors d von Objektpunkten wurde nicht verfolgt und wäre in diesem Rahmen zu umfangreich jedoch wie gezeigt mit unserem Experiment möglich. Das Verschwinden der Interferenzlinien nach langer Erwärmung ist auf eine zu starke Verschiebung vom Ausgangszustand zurückzuführen. Rekonstruierte und direkte Objektwelle überlagern sich aufgrund zu starker Abweichung unsystematisch, sodass absolut gegenphasige Interferenz über große Bereiche nicht möglich ist. Gleiches ist auch die Folge des kompletten irreversiblen Verschwindens aller Interferenzlinien nach ca. 15 Minuten, nachdenen sich geringe Relativbewegungen zwischen Objekt und Film, zudem thermische Prozesse auswirken. Auch die sich eingestellten parallelen Interferenzlinien zeugen von einer relativen Verschiebung. Durch diese Faktoren ist die Untersuchungszeit beschränkt, das Hologramm des Objekts kann nicht mehr mit der direkten Objektwelle in die erforderliche Deckung gebracht werden. Wie sich anschließend als wahrscheinlicher Grund der unbefriedigenden Schwäche des Transmissionshologramms herausgestellt hat, haben wir die für unseren He-Ne-Laser auf etwa 20cm beschränkte Kohärenzlänge nicht beachtet. Der Objekt-Strahlengang war deutlich länger als der Referenz-Strahlengang.

56 50 KAPITEL 6. HOLOGRAPHISCHE INTERFEROMETRIE Abbildung 6.6: Professionelles holographisches Interferogramm einer thermisch beanspruchen Platte nach a) Doppelbelichtungstechnik; b) Echtzeitinterferometrie (nach [4]). Nach dieser Differenzlänge laufen die räumlich diskreten daher aus Wellen verschiedener Wellenlängen bestehenden Wellenpaketen auseinander. Durch Überlagerung hat die Lichtwelle somit andere Frequenzen, also steht die Objektwelle mit der Referenzwelle in keinem festen Phasenverhältnis mehr. Dies ist für die Holographie existentiell die Folge: der Kontrast nimmt ab, bis schließlich keine Aufzeichnung mehr möglich ist. Für eine Wiederaufnahme und Fortsetzung der Versuchsreihe müsste besonders hierauf geachtet werden, sodass es auch in diesem Rahmen möglich wird annähernd so deutliche und kontrastreiche Untersuchung zu betreiben, wie sie in der Literatur zu finden sind.