Klausur Mathematik 1 für Wirtschaftswissenschaftler

Transkript

1 Klausur Mathematik 1 für Wirtschaftswissenschaftler WS 2003/04 Prof. Dr. Matthias Blonski Man beachte folgende Hinweise: 1. Die Klausur umfaßt 5 Aufgaben (jeweils auf einem Blatt) zuzüglich einer Lösungsliste, also insgesamt 7 Blätter inklusive dieses Deckblattes. Bitte überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit. 2. Trennen Sie die Lösungsliste ab und tragen Sie rechts oben Ihre Matrikelnummer und Ihre Sitzplatznummer deutlich lesbar in die dafür vorgesehenen Felder ein und unterschreiben Sie die Liste unten. Für die Lesbarkeit und Zuordnung sind Sie selbst verantwortlich. Geben Sie am Ende der Klausur nur die unterschriebene Lösungsliste ab. 3. Die Verwendung irgendwelcher Hilfsmittel abgesehen von Schreibmittel, Lineal und Taschenrechner ist nicht zulässig. 4. Für jede Aufgabe sind auf dem Lösungsblatt entsprechend gekennzeichnete Antwortfelder vorgegeben. Sie enthalten jeweils doppelte Kästchen mit den Feldern w für wahr und f für falsch, von denen als Antwort jeweils genau eines anzukreuzen ist. Nicht eindeutig gekennzeichnete oder unleserliche Antworten werden als falsche Antwort bewertet. 5. Bewertung: Es sind maximal 140 Punkte erreichbar. Für jede richtig bearbeitete Teilaufgabe erhalten Sie 2 Punkte, für jede nicht beantwortete Teilaufgabe erhalten Sie 1 Punkt, für jede falsch beantwortete Teilaufgabe erhalten Sie 0 Punkte. Da Sie in diesem Bewertungssystem 50% der Punkte umsonst erreichen können, also ohne etwas zu bearbeiten, gilt folgende leicht modifizierte 50%-Regel: Falls 50% der Aufgaben richtig beantwortet sind und der Rest nicht falsch, gilt die Klausur als bestanden. Viel Erfolg! 1

2 Aufgabe 1: Gegeben seien die Mengen A = {0, 1, 2,...,9} B = {a,b,c,...,z} C = {2, 4, 6,...} D = {a, e, i, o, u}. (a) (b) (c) (d) (e) Die Menge A B hat 36 Elemente. (5,c) A B (9,y,d) B B A (A C) D A B Die Menge (A \ C) (B \ D) hat 27 Elemente. Betrachten Sie nun die Aussageformen und die Mengen A(x) := x 3 Z B(x) := 5x 1 1 x X = {1, 2, 3,...,10} Y = R + \{0}. (f) x X mit A(x) (g) x X gilt A(x) (h) y Y mit A(y) (i) x Y \ X mit A(x) (j) 3 {y Y B(y)} (k) 0 {y Y A(y) und B(y)} (l) {y R B(y)} = {y R B( y)} (m) {y R B(y)} [ 10, 10] (n) {z R A(z)} {y R B(y)} = 2

3 Aufgabe 2: Wir betrachten die Folgen (a n ) = ( 0, 1, 0, 1 2, 0, 1 4,...) (b n ) gegeben durch b 1 =1,b n+1 = bn 2 (c n ) gegeben durch c n =1 e n. (a) Alle drei Folgen sind beschränkt. (b) Alle drei Folgen sind alternierend. (c) (c n ) ist monotone Folge. (d) (a n ) ist konvergente Folge. (e) (b n ) ist konvergente Folge. (f) (c n ) ist konvergente Folge. (g) lim n a n =0 (h) lim n b n =0 (i) lim n c n =0 (j) lim n a n c n =0 (k) Jede konvergente Folge ist monoton. (l) Jede strikt monotone Folge alterniert nicht. (m) Jede monotone Folge konvergiert. (n) Jede konvergente Folge ist beschränkt. 3

4 Aufgabe 3: Gegeben seien die Funktionen f : R 2 R mit f(x 1,x 2 )=x x2 2 und g : R 2 R mit g(x 1,x 2 )= 2x 1. Wir betrachten die folgenden durch diese Funktionen definierten Teilmengen des R 2 : A = f 1 [0, 1] = {(x 1,x 2 ) R 2 f(x 1,x 2 ) [0, 1]} B = A = {(x 1,x 2 ) R 2 f(x 1,x 2 ) / [0, 1]} C = g 1 [0, 1] = {(x 1,x 2 ) R 2 g(x 1,x 2 ) [0, 1]} D = g 1 (1) = {(x 1,x 2 ) R 2 g(x 1,x 2 )=1} (Tip: Machen Sie sich zunächst eine Skizze, um die folgenden Fragen einfacher beantworten zu können.) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) A ist beschränkt. B ist beschränkt. D C C ist abgeschlossen. A ist kompakt. B ist offen. A C ist konvexe Menge. A D ist konvexe Menge. B ist nicht konvexe Menge. Jede konvexe Menge ist kompakt. Jede kompakte Menge ist konvex. Jede kompakte Teilmenge des R 2 ist abgeschlossen. 4

5 Aufgabe 4: Gegeben sei die Funktion f : R R mit { 1+(x 2) 3 für x 2 f(x) = 1 (x 2) 2 für x>2 (Tip: Machen Sie sich zunächst wieder eine Skizze, um die folgenden Fragen einfacher beantworten zu können.) (a) f ist injektiv. (b) f ist surjektiv. (c) f ist bijektiv. (d) f(r) =(, 1] (e) f 1 (0) = {1} (f) f ist stetig. (g) f ist differenzierbar. (h) f ist quasikonkav. (i) f ist konkav. (j) f ist monoton. (k) f ist beschränkt. (l) f ist homogen. (m) f hat ein lokales Maximum bei x =2. (n) f hat ein globales Maximum bei x =2. (o) Jede monotone, quasikonkave Funktion ist konkav. 5

6 Aufgabe 5: Seien R ++ =(0, ) die strikt positiven reellen Zahlen. Gegeben seien die Funktion f : R 2 ++ R mit f(x, y) =xy und die beiden Geraden im R 2 g 1 : g 2 : y =3 2x y = 3 1x 2 2 (Tip: Machen Sie sich eine Skizze, um die folgenden Fragen einfacher beantworten zu können.) (a) (b) (c) ist konvex. (d) Sei f ist strikt monoton im gesamten Definitionsbereich. f ist quasikonkav. Die Menge B 1 := {(x, y) R 2 ++ y 3 2x} B 2 := {(x, y) R 2 ++ y x}. Dann ist B 1 B 2 eine konvexe Menge. (e) Der Gradient f(x, y) steht senkrecht auf der durch den Punkt (x,y) verlaufenden Isohöhenlinie. (f) f(1, 3) = (3, 1) (g) g 1 und g 2 schneiden sich im Punkt (x, y) =(1, 1). (h) (x, y) =(1, 1) erfüllt die Beschränkungsqualifikation BQ. (i) Eine Lösung des Maximierungsproblems max (x,y) B1 B 2 f(x, y) zusammen mit geeigneten Lagrange-Variablen erfüllen die zugehörigen Kuhn-Tucker-Bedingungen. (j) (x, y) =(1, 1) löst das Maximierungsproblem max (x,y) B1 f(x, y). (k) (x, y) =(1, 1) löst das Maximierungsproblem max (x,y) B2 f(x, y). (l) (x, y) =(1, 1) löst das Maximierungsproblem max (x,y) B1 B 2 f(x, y). (m) f ist stetig auf R (n) B 1 B 2 ist kompakt. (o) Zum Optimierungsproblem existiert eine Lösung. max f(x, y) (x,y) B 1 B 2 6