2) Begründet: Vernachlässigt man die Luftreibung, so hängt bei gleicher Stablänge die Kippzeit T nicht von der Stabmasse m ab.

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1 Club Apollo 13, Aufgabe 2, Jonglierphysik Gruppenname: the3.1obgrthdfe Mirjana Voelsen, Nicole Knust, Saskia Schmaltz, Geschwister-Scholl Gymnasium Berenbostel a) Stablänge, Luftreibung und Anfangsbedingung 1) Beschreibt die Kippbewegung mithilfe physikalischer Begriffe. ϕ F=m*g a F=m*g Die Masse des Stabes ist homogen über seine Länge verteilt. Sein Schwerpunkt liegt deshalb auch in der Stabmitte. Kippt der Stab um, verläuft die Bewegung nicht geradlinig, sondern es erfolgt eine Drehbewegung nach unten um den Kontaktpunkt (also die Stelle an der der Stab auf dem Boden steht) herum. Das Moment M=F*a, das auf den Stab wirkt, setzt sich zusammen aus der Kraft F=m*g, und dem Hebelarm a = sin(ϕ) *(L/2). Es gilt also M=m*g* sin(ϕ) *(L/2). Da das Moment vom Hebelarm abhängig ist und dieser beim Kippen immer größer wird, wird das Moment, und damit auch die Drehbeschleunigung, immer größer. 2) Begründet: Vernachlässigt man die Luftreibung, so hängt bei gleicher Stablänge die Kippzeit T nicht von der Stabmasse m ab. Die Formel, welche man benötigt, um den Drehmoment M einer Drehbewegung auszurechnen, lautet M= J*b. J ist das Trägheitsmoment und b die Winkelbeschleunigung (also die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit). Das Trägheitsmoment einer Punktmasse in einem gewissen Abstand um eine Drehmasse errechnet man mit der Formel: J=m*L 2. M ist die punktuelle Masse mit dem Abstand L zur Drehachse. Da unsere Masse aber über die ganze Länge L homogen verteilt ist (also m/l), müssen wir die Formel integrieren. J= ((m/l)*x 2 ) im Bereich von 0 bis L J= [(1/3)*(m/L) x 3 ] jetzt können die Grenzen eingesetzt werden J= (1/3)*(m/L)*L 3 J= (1/3)*m*L 2 Die Formel für das Drehmoment kennen wir schon aus der letzten Aufgabe: M=m*g* sin(ϕ) *(L/2). Stellt man die Formel M=J*b jetzt nach b um, erhalt man b=m/j Jetzt setzt man die Formel für J und M ein: b= (m*g* sin(ϕ) *(L/2))/( (1/3)*m*L 2 ) Durch Kürzen ergibt sich: b=(3/2)*g*(1/l) * sin(ϕ) die Formel für b - die Winkelbeschleunigung - mit der man für jeden beliebigen Winkel die momentane Winkelbeschleunigung ausrechnen kann, ist also nicht mehr

2 von der Masse m abhängig, da diese sich raus kürzt. Daher ist auch die Fallzeit T nicht mehr von der Masse abhängig. Praktisch gesehen, wirkt die Masse einmal in das wirkende Moment mit ein, aber auch in die Trägheit. Wird das Moment größer, wird auch die Beschleunigung größer. Wird die Trägheit größer, wird die Beschleunigung kleiner. Dadurch das die Masse in beide Formeln proportional (auf gleiche Weise) einfließt, verändert sich die resultierende Beschleunigung aufgrund einer Massenveränderung nicht. Anhand der Formel kann man auch erkennen, dass, je größer die Stablänge L, umso kleiner wird die Winkelbeschleunigung, und dadurch die Fallzeit T größer. Auch von dem Ortsfaktor g ist die Winkelbeschleunigung abhängig: je kleiner g, desto kleiner ist die Winkelbeschleunigung und desto größer die Fallzeit. (Auf dem Mond würde der Stab also langsamer umfallen, als hier auf der Erde.) 3)Demonstriert den Einfluss der Luftreibung auf die Kippzeit experimentell. Um die Luftreibung/Luftwiderstand unseres Stabes zu erhöhen, seine Masse aber nicht allzu sehr zu verändern, befestigen wir einen leichten Kinderdrachen aus Plastik an ihm. Dadurch vergrößern wir seine Oberfläche. Um den Vergleich anstellen zu können, messen wir die Kippzeiten des Stabes mit dem Drachen und ohne ihn. Dabei arbeiten wir mit demselben Anfangswinkel schließlich müssen die Werte vergleichbar sein. Um auf einen möglichst genauen Wert zu kommen, führen wir die Versuche mehrmals durch und ermitteln einen Durchschnittswert. Außerdem führt stets dieselbe Person das Experiment durch und übernimmt zeitgleich auch das Zeitnehmen, damit wir weniger Schwierigkeiten bei der Abstimmung der Vorgänge haben. Folgende Messzeiten (angegeben in Sekunden) beinhalten auch die Reaktionszeit der Person. Ohne Drachen 1,31 1,34 1,26 1,20 1,33 1,30 1,28 1,31 1,16 1,30 Mit Drachen 1,70 1,48 1,74 1,78 1,72 1,60 1,66 1,76 1,73 1,74 Durchschnittswert Ohne Drachen : Durchschnittswert Mit Drachen : 1,27 Sekunden 1,69 Sekunden Reaktionszeit der messenden Person: 0,295 Sekunden

3 Es ergibt sich eine Differenz von 0,42 Sekunden durch die vergrößerte Luftreibung. Es ist also festzustellen, dass bei größerem Luftwiderstand eine längere Kippzeit vorhanden ist. Die Reaktionszeit der experimentierenden Person kann man entweder über mehrere Tests im Internet herausfinden, oder selbst durch einen Versuch ermitteln. Der Vollständigkeit halber möchten wir hier eine Möglichkeit dazu vorstellen: Ein Lineal wird von einer Person A am oberen Ende festgehalten. Person B, deren Reaktionszeit ermittelt werden soll, hält Daumen und Zeigefinger an Punkt a um das Lineal herum, darf dieses aber nicht berühren. Wenn das Lineal fällt, soll Person B versuchen, es durch Aufeinanderführen von Daumen und Zeigefinger festzuhalten. Person A lässt nun das Lineal irgendwann ohne Vorwahnung fallen. Person B soll es auffangen. Der Punkt, an dem das Lineal anschließend festgehalten wird, wird Punkt b genannt. Die Strecke s zwischen den beiden Punkten ist für die Berechnung der Reaktionszeit relevant, über sie wird ermittelt, wie lange Person B brauchte, um auf das Loslassen zu reagieren: Lineal s b a Um die Reaktionszeit zu errechnen, stellen wir die Formel des freien Falles nach t um. So erhalten wir die gewünschte Formel für die Berechnung der Reaktionszeit, da t dieser entspricht. g steht für den Ortsfaktor. Formel des freien Falls: s=g/2*t² nach t umgestellt: t= ((2s)/g) 4) Alltägliche Erfahrung: Je kleiner der Anfangswinkel ist, desto größer ist die Kippzeit T. Bestimmt für zwei deutlich unterschiedliche Stablängen l experimentell T als Funktion des Anfangswinkels ϕ 0 = ϕ(t = 0). Zeichnet eure Messergebnisse in ein Diagramm. Bestätigt die Messung eure Erfahrung? Reaktionszeit der durchführenden Person: 0,25 Sekunden Messergebnisse bei einer Stablänge von 2,50m: Winkel Mittelwert: Zeit (in sec) ( ohne Reaktionszeit:) errechnete Kippzeit 5 1,66 1,58 1,68 1,58 1,64 1,62 1,37 1, ,30 1,32 1,25 1,39 1,34 1,32 1,07 0,9 15 1,31 1,26 1,21 1,23 1,19 1,24 0,99 0, ,99 1,04 1,03 1,09 1,05 1,04 0,79 0, ,92 0,91 0,98 0,98 0,97 0,95 0,7 0, ,82 0,87 0,82 0,84 0,93 0,85 0,6 0, ,71 0,72 0,80 0,83 0,81 0,77 0,52 0, ,74 0,75 0,71 0,73 0,75 0,73 0,48 0,33

4 Messergebnisse bei einer Stablänge von 1,40m: Winkel Mittelwert: Zeit (in sec) ohne Reaktionszeit: errechnete Kippzeit 5 1,14 1,12 1,10 1,15 1,12 1,12 0,88 0, ,00 0,93 0,96 0,92 0,94 0,95 0,7 0, ,81 0,83 0,86 0,85 0,84 0,83 0,58 0, ,74 0,65 0,70 0,81 0,74 0,72 0,47 0, ,67 0,66 0,68 0,74 0,68 0,68 0,43 0, ,58 0,52 0,48 0,63 0,59 0,56 0,31 0,33 Die blaue Kurve ist der lange Stab mit 2,50m und die rote Kurve der kurze Stab mit einer Länge von 1,40m. Ja, die Messung bestätigt unsere Erfahrung, denn je kleiner der Winkel ist, desto größer ist die (gemessene) Fallzeit des Stabes. Außerdem spielt die Länge des Stabes eine Rolle. Umso länger dieser ist, umso länger ist auch die Kippzeit. 5) Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglieren möglichst leicht gelingt? Je länger der Stab ist, desto leichter ist das Jonglieren, denn die Kippzeit ist größer. Dadurch besteht eher die Möglichkeit, dass Wegkippen des Stabes durch eine (Finger-)Bewegung auszugleichen.

5 Je länger der Stab ist, desto einfacher ist es auch, ihn zu balancieren, da seine Kippzeit größer ist. b) Der Einfluss der Schwerkraft 1) Berechnet τ für die Stäbe, mit denen ihr experimentiert. Wir experimentieren mit zwei Stäben mit den Längen 1,40m und 2,50m. Formel für die Zeitkonstante: τ = (2*l/(3*g)) Berechnung der Zeitkonstante für den Stab der Länge 1,40m: τ = (2*1,40/(3*9,81)) τ = 0,308 Berechnung der Zeitkonstante für den Stab der Länge 2,50m: τ = (2*2,50/(3*9,81)) τ = 0,412 2) Begründet: Aus der Messung der Fallzeiten T für verschiedene Anfangswinkel ϕ 0 kann man durch einen Vergleich zwischen Messergebnissen und Gl. (1) den Ortsfaktor g bestimmen. Der Ortsfaktor ist in der Formel zu der Zeitkonstante enthalten, welche sich in die Formel für die Fallzeit T einsetzen lässt. Nach g umgeformt, kann man den Ortsfaktor mithilfe unserer Experimentierwerte berechnen. τ = ((2*l)/(3g)) T = τ*ln((π/2)*(1/ϕ)) Nun kann man mit dem Umformen beginnen und die Formel für die Zeitkonstante einsetzen: T = ((2*l)/(3g)) *ln((π/2)*(1/ϕ)) Um die Wurzel zu entfernen, quadrieren wir die Formel T 2 = ((2l)/(3g))*(ln((π/2)*(1/ ϕ))) 2 / (2l/3g) T 2 /((2l)/(3g))=(ln((π/2)*(1/ ϕ))) 2 mit dem Kehrwert mal nehmen T 2 *((3g)/(2l))=(ln((π/2)*(1/ ϕ))) 2 *(2l) T 2 *3g=((ln((π/2)*(1/ ϕ))) 2 )*2l /(3T 2 ) g=(((ln((π/2)*(1/ ϕ))) 2 )*2l)/(3T 2 ) 3) Welchen Wert liefern eure Messungen? Wie groß ist die Abweichung zum Literaturwert? g=(((ln((π/2)*(1/ ϕ))) 2 )*2l)/(3T 2 ) (1) wir setzen für l=1,40m; für ϕ=20 =0, ; T=0,47 ein:

6 g=(((ln((π/2)*(1/ 0, ))) 2 )*2*1,4)/(3*0,47 2 ) g=9,55 (2) wir setzen für l=1,40m; für ϕ=10 =0, ; T= 0,7 ein: g=(((ln((π/2)*(1/0, ))) 2 )*2*1,4)/(3*0,7 2 ) g=9,19 (3) wir setzen für l=1,40m; für ϕ=30 =0, ; T= 0,31 ein: g=(((ln((π/2)*(1/0, ))) 2 )*2*1,4)/(3*0,31 2 ) g=11,72 (4) wir setzen für l=2,50m; für ϕ=10 =0, ; T=1,07 ein: g=(((ln((π/2)*(1/0, ))) 2 )*2*2,5)/(3*1,07 2 ) g=7,02 Der Literaturwert beträgt 9,81 N/kg. Es ist möglich, dass die verfälschten Ergebnisse durch Messungsungenauigkeiten der Zeit T und durch Rundungsfehler bei der Bogenmaß Berechnung. Die Abweichung vom Literaturwert 9,81 N/kg beträgt: (1) absolute Abweichung: 0,26 prozentuale Abweichung: 6,31% (2) absolute Abweichung: 0,62 prozentuale Abweichung: 9,84% (3) absolute Abweichung: 1,91 prozentuale Abweichung: 14,97% (4) absolute Abweichung: 2,79 prozentuale Abweichung: 31,1% 4) Welche plausiblen Gründe könnt ihr für diese Abweichung angeben? Welche der gemessenen Größen ist mit der (prozentual) größten Ungenauigkeit behaftet? Wir rechnen hier mit l; T; und ϕ, diese müssen allerdings zunächst bestimmt werden. Dabei kann es zu Ungenauigkeiten kommen, welche jedoch unterschiedlich gravierend sind. Die Länge des Stabes lässt sich leicht und ziemlich genau bestimmen. G Problematischer ist ϕ. Um diesen einzustellen gibt es zwei Möglichkeiten: Man behilft sich mit einen großen Geodreieck und nimmt große Ungenauigkeiten in Kauf, oder man berechnet die Seitenlänge der Gegenkathete (rot A eingezeichnet) zu ϕ. ϕ

7 Für diese Berechnungen braucht man nur noch die Höhe der Ankathete, und die Größe des Anfangswinkels. (So kann man auch die Versuche anordnen man nimmt eine Senkrechte, z.b. einen Schrank als Richtlänge und berechnet dann, wie groß G sein muss. Dann muss man den Stab mit seiner Spitze nur noch in die gewünschte Entfernung G bringen, und hat den Winkel). Der Anfangswinkel lässt sich also eigentlich auch recht präzise einstellen. Übrig bleibt die Kippzeit T. Man muss es nicht nur schaffen, den Stab gleichzeitig zu Beginn der Stabmessung fallen zu lassen, sondern diese auch mit Aufkommen des Stabes auf den Boden beenden. Hier muss man allerdings erstmal reagieren, dass heißt, die Reaktionszeit fließt ein, welche man später allerdings wieder abziehen muss. Dies führt zu spürbaren Ungenauigkeiten und hier ist es somit auch am wahrscheinlichsten, das kleine Fehler/Ungenauigkeiten auftreten. Vor allem bei größerem Winkeln führt die kurze Kippzeit zu höheren Ungenauigkeiten. Die Zeitmessung führt also zu den prozentual größten Abweichungen. Danach folgen die durch den Anfangswinkel entstehenden Ungenauigkeiten. Bei der Länge des Stabes handelt es sich höchstens um Rundungsungenauigkeiten. c) 1) Messt für eine geeignete Stablänge den Kippwinkel ϕ als Funktion der Zeit. Wählt möglichst genau ϕ0 = 10. Um die Winkel beim Umkippen eines Stabes einer Zeit zuordnen zu können, kann man so vorgehen: Zunächst filmen wir das Umkippen eines Stabes. Dabei benutzen wir ein Stroboskop, damit die einzelnen Bilder des Filmes klar werden, und der Stab nicht nur verschwommen zu erkennen ist. Wir passen die Häufigkeit der Lichtblitze des Stroboskops dabei der Bilderanzahl pro Sekunde der Kamera an. Mit einer Analysesoftware verfolgen wir die Stabspitze während des Umfalls. Dadurch erhalten wir Koordinaten, in Abhängigkeit von der Zeit. Da wir dem Programm die Länge des Stabes gegeben haben, konnte es die Koordinaten in Meter berechnen.

8 Diese Daten erhalten wir mithilfe unserer Analysesoftware mit Ausnahme der Winkel. Um den Winkel zu erhalten, haben wir zunächst die Koordinaten des anderen, unteren Endes des Stabes ermittelt. X1 Y1 Y2 X3 Y3 X2 Der Kasten stellt den Videobereich dar. Da das Analyseprogramm die Koordinaten auf den Videobereich bezieht (X1 und Y1), wir den Nullpunkt aber am unteren Ende des Stabes (blau) haben wollen, müssen wir diesen ausrechnen. Mithilfe von Sinus und Cosinus berechnen wir mit den Anfangskoordinaten (und dem Winkel 10 ) X2=0,239m und Y2=1,359m. Anschließend berechnen wir X3=X1-X2=0,593m und Y3=Y1-Y2=0,145m. Nun können wir von allen folgenden Koordinatenpunkten X3 bzw.y3 abziehen und erhalten X2 und Y2 für den jeweiligen Winkel. Mithilfe vom Arkustangens können wir so zu jeder Koordinate den dazugehörigen Winkel ausrechnen (siehe Tabelle). Da wir auf der x-achse nicht direkt die Fallzeit auftragen wollen, sondern den Bruchteil der Fallzeit rechnen wir T(momentan) /T(gesamt), und erhalten so folgenden Graphen:

9 2)Auf diese Weise lassen sich die Messungen für unterschiedliche Stablängen vergleichen (begründe das). Je länger der Stab ist, desto Länger ist auch die Fallzeit. Da wir die Fallzeit jetzt aber sozusagen prozentual auftragen, und wir jetzt ablesen können, nach wie viel Prozent der Fallzeit der Stab welchen Winkel erreicht hat, können wir diese Werte mit denen von anderen Stablängen gut vergleichen. Somit müsste für jede Stablänge der Graph genauso aussehen, da immer nach z.b 50% der Kippzeit der gleiche Winkel eingenommen wird. Bei längeren Stäben ist die absolute Kippzeit länger, ein bestimmter Winkel wird aber dennoch stets zu dem gleichen Anteil der Kippzeit erreicht. 3) Berechne dazu die Kippzeit aus Gl. (1). Überprüft diese theoretische Vorhersage mit euren Messungen. Welche Abweichungen beobachtet ihr, welche Erklärungen findet ihr für diese Abweichungen? Überlegt euch dazu z.b., wie die Abweichungen zwischen Theorie und Messung wären, wenn eure Messzeiten immer ein wenig zu groß wären oder wenn der Stab wegen des Luftwiderstandes etwas gebremst würde. Die Kippzeit für den Stab mit dem wir auch unser Experiment durchgeführt haben, beträgt, errechnet mit Gleichung (1), bei einem Winkel von 10, 0,67 Sekunden. Die mithilfe des Stroboskops ermittelte Kippzeit beträgt 1,08 Sekunden, bei unseren Messungen von Hand kamen wir auf einen Wert von 0,7 Sekunden. Die Abweichungen vom errechneten Wert betragen also für 1,08 Sekunden 61% und für die 0,7 Sekunden 4%. Die Werte sind jeweils größer, da durch die ungenauen Versuche und das Problem mit der Zeitmessung noch die Reaktionszeit und Messungsungenauigkeiten einfließen. Bei der Berechnung fließt außerdem der Luftwiderstand nicht mit ein, in der Realität wirkt er aber bremsend und verlängert so die Kippzeit, wenn auch minimal. Außerdem kann es zu Ungenauigkeiten bei der Winkelausrichtung kommen, und die Länge der Stäbe ist gerundet.