Modellbildung mit Funktionen

Transkript

1 Modellbildung mit Funktionen am Beispiel von Potenz-Funktionen 26. Mai 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn 1

2 Inhalt Antiproportionale i Funktionen und umgekehrter Dreisatz Potenzfunktionen mit Anwendungsbeispiele Wurzelfunktionen 2

3 Antiproportionale p Funktionen und umgekehrter Dreisatz 3

4 Was haben die folgenden Tabellen gemeinsam? Geschwindigkeit v Benötigte Zeit t 60 km/h 3 h 90 km/h 2 h 120 km/h 15 1,5 h 180 km/h 1 h Anzahl der Fassungsvermögen y Flaschen x 16 1,5 l 24 1 l 32 0,75 l 48 0,5 l Die Gesamtstrecke v t und das Gesamtvolumen x y sind konstant. Produktgleichheit i 4

5 Produktgleichheit Funktionale Abhängigkeiten mit x y = a konstant Das Produkt aus x- und y-koordinate eines Graphenpunktes P ist konstant, d.h. die Rechtecke unter dem Funktionsgraphen haben denselben Flächeninhalt. y = 24 x Der Graph einer Funktion y = a/x heißt Hyperbel. y x 5

6 Begriff der antiproportionalen antiproportionalen Funktion Eine reelle Funktion mit der Gleichung f(x) = a/x (x 0) heißt antiproportionale Funktion. Für zwei beliebige Punkte auf dem Funktionsgraphen ist das umgekehrte Verhältnis gleich: x 1 = x2 y y 2 1 Eine Verhältnisgleichung wird in der Mathematik als Proportion bezeichnet. 6

7 Die Hyperbel als Kegelschnitt Wenn die Schnittebene E die Kegelspitze nicht enthält, entsteht eine Hyperbel, wenn der Schnittwinkel i von E mit der Kegelachse kleiner ist als der Öffnungswinkel des Kegels. 7

8 Die Hyperbel als Ortslinie : Alle Punkte einer Hyperbel haben die gleiche Abstandsdifferenz zu den beiden Brennpunkten F 1 und F 1 y = 1 x Konstante te Abstandsdifferenz ee a = PF PF 1 2 = 2,83 8

9 Wie ändert sich der Funktionswert f(x) bei Änderungen des x-wertes? x y = a/x a 2 ½a 3 ⅓a 8 ⅛a :3 :4 x 1 f(x 1 ) r :r r x 1 r f(x 1 ) Eine Ver-r-fachung r der Variable x bewirkt eine Division des Funktionswertes f(x) durch r. 9

10 Beispiel 1: Modellierung von Arbeitsaufwand Anzahl der Maschinen Einsatzdauer h h x f(x) = 210 / x Die Lösung von umgekehrten Dreisatzaufgaben beruht auf der Annahme eines antiproportionalen Zusammenhangs zwischen Größen z.b. 3 Mähdrescher benötigen 70 Stunden für die Weizenernte. Wie lange benötigen 5 Mähdrescher? 10

11 Vertiefung: Doppelte Dreisatzaufgaben Zur Produktion von 2800 Einheiten einer Ware benötigt man bei einem Einsatz von 16 Maschinen 21 Stunden. Welche Zeit wird zur Produktion von 5000 Einheiten bei einem Einsatz von nur fünf Maschinen gebraucht? Modellannahmen: 1. Bei jeder Maschine ist die Anzahl der produzierten Teile z proportional zur Produktionsdauer y. 2. Die Anzahl der eingesetzten Maschinen x ist umgekehrt proportional zur Produktionsdauer y 11

12 Der Dreisatz bei Adam Ries Ist eine Regel von drei Dingen. Setz hinten, was du wissen willst, wird die Frage geheißen. Das ihm unter den anderen zwei (Angaben) am Namen gleich ist setz vorn, und das ein anderes Ding bedeutet in die Mitte. Danach multipliziere l die hintere und mittlere (Zahl) und teile das Ergebnis durch die vordere (Zahl). So erhältst du wie teuer das dritte Ding kommt. 32 Ellen Tuch kosten 28 Floren. Was kosten 6 Ellen? 12

13 Beispiel2: Wie unterscheiden sich die Tierarten mit schnellem oder langsamen Herzschlag? Biehler und Hartung: Die Leitidee Daten und Zufall. In: Blum u.a. (Hrsg.): Bildungsstandards Mathematik: konkret, S. 60ff. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Herzfrequenz und der Lebenserwartung? Gibt es biologische Erklärungen für einen Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen?

14 Herzfrequenz und Lebenserwartung bei Tieren Daten im Streudiadramm Tiere Streudiagramm Herzschläge_pro_Minute Je häufiger das Herz pro Minute schlägt, desto kürzer die Lebenserwartung.

15 Herzfrequenz und Lebenserwartung bei Tieren ein linearer Zusammenhang? Tiere 35 Streudiagramm Korrelationskoeffizient r 0, Herzschläge_pro_min Herzschläge_pro_min _ 2 15

16 Modellierung des Zusammenhangs mit einer antiproportionalen Funktion Tiere Streudiagramm Herzschläge äge_pro_ min Herzschläge_pro_min k Lebenserw artung_in_a = k = Herzschläge_pro_min

17 Herzfrequenz und Lebenserwartung bei Tieren Vergleich von Balkendiagrammen Herzschläge pro min Lebenserwartung Chipmunk Maus Hamster Eichhörnchen Ratte Stachelschwein Meerschweinchen Kaninchen Affe Opossum Dachs Katze Hund Ziege Schwein Giraffe Tiger Hyäne Esel Tapir Pferd Löwe Elefant Kamel Wal Chipmunk Maus Hamster Eichhörnchen Ratte Stachelschwein Meerschweinchen Kaninchen Affe Opossum Dachs Katze Hund Ziege Schwein Giraffe Tiger Hyäne Esel Tapir Pferd Löwe Elefant Kamel Wal Je größer das Tier, desto geringer die Herzfrequenz und desto höher die Lebenserwartung.

18 Potenz-Funktionen n n mit Anwendungenndun n 18

19 Begriff der Potenz-Funktion Eine reelle Funktion mit der Gleichung f(x) = x r r Q heißt Potenzunktion. Die Eigenschaften der Potenzfunktionen onen hängen vom Zahlbereich ab, aus dem der Exponent stammt. 19

20 Graphen von Potenzfunktionen mit positiven ganzzahligen Exponenten y = x n mit n N ungerade Exponenten x, x 3, x 5, gerade Exponenten x², x 4, x 6, 20

21 Graphen von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten y = x -n mit n N ungerade Exponenten x -1, x -3, x -5, (x 0) gerade Exponenten x - ², x -4, x -6, (x 0) 21

22 Anziehungskräfte zwischen Massen Newtonsches Gravitationsgesetz Zwei kugelförmige Massen M und m, deren Mittelpunkte den Abstand r haben, ziehen sich infolge der Gravitation gegenseitig g g an. Die Gravitationskraft F, die auf jeweils eine der Massen wirkt, ist eine Funktion n des Abstandes r: F( r) = G m M r 1 2 Gravitationskonstante G 6, m 3 kg s 2 M F r F m anderthalb/schwerkraft-lan.asx 22

23 Warum unterscheidet sich der berechnete Wert von 9,81? Mit zunehmendem Abstand von der Erdoberfläche nimmt die Erdbeschleunigung g mit 1/r 2 ab. 23

24 Erdbeschleunigungen g 9,78 m/s 2 am Äquator. 9,81 m/s 2 auf dem 45. Breitengrad. 9,83 m/s 2 an den Polen Modellbildung: Die Erde als Kugel, Ellipsoid, 24

25 Anziehungskräfte zwischen Ladungen Coulombsches Gesetz Ladungen mit unterschiedlichem (gleichem) Vorzeichen ziehen sich an (stoßen sich ab). Zwei kugelförmig verteilte Ladungsmengen Q und q, deren Mittelpunkte den Abstand r haben, ziehen sich infolge der Coulombkraft gegenseitig an. F F +Q -q r q Q F( r) = 4 πε 0 1 r 2 Die Coulombkraft F, die auf jeweils eine der Ladungen wirkt, ikt ist eine Funktion des Abstandes r. 25

26 Kubische Zusammenhänge in der Geometrie: Volumenformeln als Potenzfunktionen Seitenlänge x eines Würfels Volumen V = x 3 Radius r einer Kugel Volumen V = 4/3πr 3 r Bei Verdopplung der Seitenlänge eines Würfels oder des Radius einer Kugel verachtfacht (2³) sich das Volumen. 26

27 Anwendung bei der Ermittlung von Umrechnungsfaktoren Einen Dezimeterwürfel erhält man aus 10³= 1000 Zentimeterwürfeln. So lässt sich der Umrechnungsfaktor 1000 zwischen den benachbarten Volumeneinheiten dm³ (Liter) und cm³ (Milliliter) erklären. 27

28 Funktionaler Zusammenhang zwischen Füllhöhe y und Fülldauer x bei einem Kegel Ein kegelförmiger Behälter mit der Grundfläche 1 m² und der Höhe 1 m wird mit Wasser gefüllt. Der Zulauf betrage gleichbleibend 10 Liter pro Minute. Die Füllhöhe y ist eine Funktion von der Fülldauer x. Für die Funktionsgleichung erhält man eine Wurzelfunktion. y Das Volumen des Gesamtkegels beträgt t V = ⅓ G h = ⅓ m³. Da 1 m³ = 1000 Liter sind, ist der Zylinder nach x = 33 ⅓ (Minuten) vollgelaufen. Die Füllhöhe y beträgt dann 10 dm. y = 3 30 x 28

29 Ausblick: Wurzelfunktionen als Potenzfunktionen mit rationalem Exponent Eine reelle Funktion f mit der Gleichung f(x) = x 1/n mit n N, n 2, heißt Wurzelfunktion. Zur Erinnerung : x 1 n = n x y = x y = 5 x y = 3 x y = 4 x 29

30 Wurzelfunktionen als Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen f(x) = x n mit n N 30