Daten, Modelle, Allgemeinbildung Stochastikuntericht vor neuen Herausforderungen. Rolf Biehler. Universität Kassel

Transkript

1 Daten, Modelle, Allgemeinbildung Stochastikuntericht vor neuen Herausforderungen Universität Kassel

2 1. Bildungsstandards und Entwicklungsziele für den Unterricht

3 Leitidee Daten und Zufall Aus: KMK Bildungsstandards Die Schülerinnen und Schüler werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus planen statistische Erhebungen entsprechend der zu untersuchenden Fragestellung sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software) interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten (a.a.o, S. 14)

4 Leitidee Daten und Zufall Aus: KMK Bildungsstandards Die Schülerinnen und Schüler werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus planen statistische Erhebungen entsprechend der zu untersuchenden Fragestellung sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software) interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten (a.a.o, S. 14)

5 Leitidee Daten und Zufall Aus: KMK Bildungsstandards Die Schülerinnen und Schüler werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus planen statistische Erhebungen entsprechend der zu untersuchenden Fragestellung sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software) interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten (a.a.o, S. 14)

6 Eine kleine Revolution Aufwertung der Stochastik überhaupt Zugunsten einer Dualität von Zufall und Daten, Data and chance Datenanalyse mit eigenständiger Bedeutung statt Primat des Wahrscheinlichkeitsbegriffs

7 Daten Integration von Daten in übliche Themen, z.b. Visualisierung von Zahlen, Funktionen; statistische Aspekte ernst nehmen Beschreibende Statistik -> anwendungsbezogene Datenanalyse: PPDAC: Problem Plan Daten Analyse (C)Konclusionen Verteilungen; Vergleich von Verteilungen

8 Wahrscheinlichkeit: Daten und Zufall Wahrscheinlichkeitsrechnung: Anreichern durch Simulation mit realen Zufallsgeräten und durch computergestützte Simulation Zusammenspiel Daten und Zufall: Experimentelle Daten (eigene Experimente, Simulation) und Theorie (Modelle)

9 Propädeutik: Schließen aus Daten Neubewertung von Hypothesen anhand von Daten Bayes Probleme mit natürlichen Häufigkeiten Wie sicher ist der AIDS-Test Wie schießt man von Stichproben auf die Grundgesamtheit? Repräsentative, Zufalls-Stichproben, verzerrte Stichproben Wie unsicher/genau ist eine Schätzung in einer Stichprobe?

10 Literatur

11 Computereinsatz? Datenerhebung Datenanalyse und präsentation Größere Datenmengen Daten drehen und wenden nach selbstgewählten Fragen Computergestützte Simulation Große Wiederholungszahlen Variation der Annahmen

12 Projekte Forschung und Entwicklung mit der Software Fathom

13 Tobias Hofmann: Multimediale Lernumgebung zur Einarbeitung in Fathom Datenauswertung Simulation 4 Module

14 2. Curriculare Stränge, rote Fäden von Daten und Zufall

15 Curriculare Stränge 1. Darstellung von Daten [in Medien; Interpretation] 2. Beschreibende Statistik Erhebung von Daten Verteilungen 3. Wahrscheinlichkeit und Zufallsexperimente, Simulation 4. Beurteilende Statistik, Schließen aus Daten 5. Funktionen und Daten 6. Zusammenhänge zwischen 2 numerischen Merkmalen

16 Warum curriculare Stränge Gleiches Recht für alle! Wir fordern: Spiralcurriculum für die Leitidee Daten und Zufall!

17 Warum curriculare Stränge Stufig-spiraliger Aufbau analog zu anderen Themen, z.b. Geometrie Begriffe wie Mittelwerte Streuungsmaße Wahrscheinlichkeit Kompetenzen im PPDAC-Zyklus Daten erheben, Fragen stellen, Schlüsse ziehen, Kommunizieren und Begründen -> Leitidee Daten und Zufall sollte in jedem Schuljahr auftauchen

18 Datenkompetenz in der Grundschule

19 3.1. Strang 1: Darstellung von Daten

20 Start in Klasse 5 Multivariate Datenanalyse Wir lernen unsere Klasse kennen!

21 Manuelle Arbeit mit Datenkarten Name Alter Körpergröße Armlänge Anzahl der Geschwister Weitsprung 50m Lauf Auf rechteckiger Karte notieren, dann unterschiedlich anordnen: sortieren, trennen

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24 Datendarstellungen und ihre Variation Interpretationsebenen Beispiel in Klasse 5

25 Beispiel : Was ist mit dem Tapir los?

26 Datendarstellungen und visualisierungen Aus: Neue Wege 5, S. 17 Gut gemeinter Einbau statistischer Aspekte Keine gute statistische Aufgabe Mehr Daten; Fragen; Interpretationen; Visualisierungsalternativen Datei

27 Tiere Affe Biber Chipmunk Dachs Eichhörnchen Elefant Esel Fledermaus Giraffe Hamster Hund Hyäne Kamel Kaninchen Katze Lemming Löwe Manatee Maus Meerschweinchen Opossum Pferd Ratte Rind Schwein Seehund Spitzmaus Stachelschwein Stinktier Tapir Tiger Tümmler Wal Wiesel Ziege Herzschläge Bar Chart Umfangreichere Daten Visualisierung mit Software

28 Tiere Wal Kamel Elefant Löwe Pferd Tapir Esel Manatee Hyäne Tiger Giraffe Rind Schwein Ziege Seehund Hund Katze Dachs Biber Tümmler Stinktier Opossum Wiesel Affe Kaninchen Meerschweinchen Stachelschwein Ratte Eichhörnchen Lemming Hamster Maus Chipmunk Spitzmaus Fledermaus Herzschläge Tiere Bar Chart Dot Plot Bitte nach Größe sortieren und interpretieren! Womit hängt die Herzfrequenz zusammen? Größe, Typ des Tieres? Herzschläge

29 Was lernen wir von den Tieren? Tiere Wal Kamel Elefant Löwe Pferd Tapir Esel Manatee Hyäne Tiger Giraffe Rind Schwein Ziege Seehund Hund Katze Dachs Biber Tümmler Stinktier Opossum Wiesel Affe Kaninchen Meerschweinchen Stachelschwein Ratte Eichhörnchen Lemming Hamster Maus Chipmunk Spitzmaus Fledermaus Herzschläge Säulendiagramm

30 Was lernen wir von den Tieren? Tiere Wal Kamel Elefant Löwe Pferd Tapir Esel Manatee Hyäne Tiger Giraffe Rind Schwein Ziege Seehund Hund Katze Dachs Biber Tümmler Stinktier Opossum Wiesel Affe Kaninchen Meerschweinchen Stachelschwein Ratte Eichhörnchen Lemming Hamster Maus Chipmunk Spitzmaus Fledermaus Herzschläge Säulendiagramm Tiere Wal Kamel Elefant Löwe Pferd Tapir Esel Manatee Hyäne Tiger Giraffe Rind Schwein Ziege Seehund Hund Katze Dachs Biber Tümmler Stinktier Opossum Wiesel Affe Kaninchen Meerschweinchen Stachelschwein Ratte Eichhörnchen Lemming Hamster Maus Chipmunk Spitzmaus Fledermaus Lebensspanne Je schneller das Herz schlägt, desto kürzer das Leben! Jedenfalls tendenziell! Säulendiagramm

31 Einsichten Ordnen von Säulendiagrammen nach verschiedenen Kriterien Leseniveau von Säulendiagrammen: Lesen der Daten, Lesen zwischen den Daten und hinter den Daten Tendenzaussagen: Je schneller das Herz, desto tendenziell kürzer das Leben Basisoperationen zur Ordnung und Umordnung von Daten, zur geometrischen Kodierung von Zahlen Streudiagramme als Basisdarstellung

32 Beispiele Graphiken in Medien kritisch hinterfragen

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34 Grundproblem Visualisierung durch Position zur Achse, nicht durch Länge oder Fläche Interpretation als Längenvisualisierung führt zu Fehlschlüssen Grundproblem bei allen Visualisierungen, auch bei Funktionen (Fensterabhängigkeit, Darstellungsverhältnis, Skalen)

35 Aus: Neue Wege 5, S. 19 Verbesserung der Aufgabe: Eine Zeitung berichtet: Zwischen 1987 bis 1990 hat sich die Menge der Ladendiebstähle auf ein Mehrfaches gesteigert! Nimm dazu Stellung! Achtung: Fehlinterpretation durch Vergleich der absoluten Längen, statt Bezug auf die Achse (Ähnlich: schwere Aufgabe in PISA)

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37 Lesen zwischen den Daten, hinter den Daten Inflationsrate Anzahl der Studierenden Andere Bundesländer Etats anderer hessischer Ministerien.

38 Quelle: Hessenletter 37, 11. Juni 2004

39 Probleme bei Visualisierung mit Längen, Flächen, Volumina

40 Zu Beschreibende Statistik

41 Vergleich von Standarddiagrammen (leicht mit EXCEL, wenn Daten schon ausgezählt) Landtagswahlen in Sachsen-Anhalt 1994 und 1998

42 Landtagswahlen in Sachsen-Anhalt 1994 und

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45 Aufgaben dazu Problem 1: Welche Kriterien ziehe ich zum Vergleich heran Absolute und relative Vergleiche bezogen auf verschiedene Zwecke Problem 2: Warum werden die Graphiken eigentlich nicht hinsichtlich der politischen Bedeutung interpretiert

46 Es fehlt ein Diagrammtyp: Anordnung der Verteilungen nebeneinander (untereinander)

47 3.2. Strang 2 Beschreibende Statistik ( Explorative Datenanalyse) Erhebung von Daten Verteilungen Vergleich von Verteilungen

48 Thema: Umfragen im Mathematikunterricht 2 Projekte mit der Reformschule Kassel (Gesamtschule, jahrgangsübergreifend Kl 6-8) Albert-Schweitzer-Gymnasium, Kassel, Kl. 9 Ca. 4 5 Wochen Unterricht Abschluss: Projekt mit selbstgewählten Fragestellungen mit eigener Präsentation

49 Prinzipien Integration des Lernens statistischer Darstellungen und Begriffe in einen Zyklus von Datenerhebung bis Auswertung Verwendung relativ komplexer Datensätze, die über die Schüler selber (mehrere Jahrgänge) erhoben wurden Online-Unterstüzung der Datenerhebung (Testdatei) Computereinsatz nach Vorbereitung mit händischen Aktivitäten

50 Beispiele für Fragen im Ausgangsdatensatz Verteilungen Verteilungsvergleiche TV-Konsum in Abhängigkeit von Geschlecht, Alter, Einfluss der Eltern, Jahrgangsstufe, Verfügbarkeit von TVs Einfluss der Eltern und Geschlecht Interesse an TV-Sendungen in Abhängigkeit von Geschlecht Zum Datensatz

51 Umsetzung von Rohdaten in Verteilungen:kategorial und numerisch (ohne Prozente)

52 Verändern von Histogrammen: Klasseneinteilung

53 Verteilung und typische Werte Reformschule TV-Befragung Histogramm TV_Gesamt 1. Stufe: Mittlerer Haufen (nicht eindeutig) so zwischen 2 und 10 Std. sehen die meisten fern Präzisierung durch verschiedene Mittelwerte + Streuung

54 Verteilungsbeschreibung mit Mittelwerten 1. Stufe: Berechnung von amittel und Zentralwert Interpretation als Gleichverteilungs- bzw. Halbierungswert Einbettung in Verteilungskontext Favorisierung je nach Passung als Beschreibung des mittleren Haufens

55 Streuung und Verteilungen Beispiel für unterschiedliche Streuung: qualitativ Reformschule TV-Befragung Mädchen Geschlecht Junge Histogramm Median ( ) = TV_Wochenende

56 Streuung und Verteilungen Beispiel 2 für unterschiedliche Streuung: qualitativ Reformschule TV-Befragung viel wenig gar nicht Punktdiagramm TV_Gesamt Median ( ) = 5,5 Größere Abweichungen vom Median bei kein Einfluss Größere Streuung Rein visuell bei unterschiedlicher Datenanzahl: Fehlurteile möglich

57 Streuungsmaß für die Schule? Standardabweichung nicht verständig und intuitiv vermittelbar Alternative: Quartilabstand Boxplot als Visualisierung einer Viertelung der Daten

58 Verwirrend: die Einteilung in Quartilränge Auf den ersten Blick etwas verwirrend ist die Einteilung in so genannte Quartile. Die teilnehmenden Schulen jeder Aufgabengruppe wurden nach Punktzahl gelistet und dann in vier zahlenmäßig gleichgroße Gruppen (Quartile) geteilt. Die Punktzahlen der besten und der schlechtesten Schule in jeder der vier Gruppen bilden die»quartilsgrenzen«, die je nach Ergebnis von Jahr zu Jahr und von Schulform zu Schulform variieren. Bei der Aufgabengruppe A (Gymnasien) sind sie aktuell wie folgt Quartil I: 6 bis 17,32 Punkte; Quartil II: 17,34 bis 20,76 Punkte; Quartil lii: 20,77 bis 23,85 Punkte, Quartil IV: 23,9 bis 31,2 Punkte.

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60 Boxplot und Quartile Stufe 1 Intervall von Q1 bis Q3 präzisiert den mittleren Haufen ohne Streuungsmaß Stufe 2 Qualitative Quartilabstandsvergleiche ohne numerische Werte Stufe 2 Quartilabstand kann die Ausdehnung des mittleren Haufen messens

61 Beispiel Verteilungsvergleich Grenzen visueller Vergleiche Kein Einfluss: größere Heterogenität und leichte Zunahme des Medians

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63 Wahrscheinlichkeitsrechnung

64 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung (mit Bruchrechung und frequentitischer Interpretation) Verbindung von kombinatorisch-theoretischer und experimenteller Methode Gesetz der großen Zahl Ws. auch in nicht-laplace-situationen

65 Gesetz der großen Zahl Einfaches Gesetz Multiples Gesetz

66 Höhere Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Sek. I Mehrstufige Zufallsexperimente mit Pfadregeln Erwartungswertaufgaben Simulation komplexerer Situationen Gesetz der großen Zahl: 1/Wurzel(n) Gesetz

67 Rolle von Experimenten und Simulation Stütze bei der Modellierung Zufall erfahren, veranschaulichen Ws als erwartete relative Häufigkeit betonen Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten vereinfachen (Elementarisieren) Experimentelles Pendant zu theoretischen Rechnungen (wechselseitige Kontrolle) Selbstzweck: Methoden mit eigener Bedeutung Zum Differenzspiel

68 Anfang der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeit von Augensummen Jemand bietet Dir ein Würfelspiel an. Dazu sollen zwei Würfel gleichzeitig geworfen und die Augensumme gezählt werden. Du darfst die vorher aussuchen, ob Du mit der Augensumme 5,6,7,8 (Ereignis A) oder mit allen übrigen Augensummen (Ereignis B) gewinnen möchtest. Begründe, ob Du eine der beiden Gewinnmöglichkeiten bevorzugen würdest. Müller, J. H. (2005). Die Wahrscheinlichkeit von Augensummen Stochastische Vorstellungen und stochastische Modellierung. Praxis der Mathematik, 47(4), 17-22

69 Theorie 1 Summe Anteil 5 A 4 0,36 6 B 7 0, B ist günstiger!

70 Theorie 2 Summe Kombinationen 2 1/1 3 1/2 4 1/3,2/2 Anteil 5 1/4,2/3 A 11 0,52 6 1/5,2/4,3/3 B 10 0,48 7 1/6,2/5,3/4 8 2/6,3/5,4/ /6,4/5 10 4/6,5/5 11 5/6 12 6/6 A ist günstiger!

71 Theorie 3 Summe Kombinationen weitere Komb. 2 1/1 3 1/2 2/1 Anteil 4 1/3,2/2 3/1 5 1/4,2/3 4/1,3/2 A ,56 6 1/5,2/4,3/3 5/1,4/2 B ,44 7 1/6,2/5,3/4 6/1,5/2,4/3 8 2/6,3/5,4/4 6/2,5/ /6,4/5 6/4,5/4 10 4/6,5/5 6/4 11 5/6 6/5 12 6/6 A ist günstiger!

72 Theorienvergleich Ereignis A B % % Theorie Theorie Theorie Zur fertigen Simulation Aufbau einer Simulation

73 N = 100

74 Simulation N = 5000