Fachbereich Mathematik, Aktuarswissenschaften Ostbayerische Technische Hochschule Regensburg. Skriptum zur Vorlesung.

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1 Fachbereich Mathematik, Aktuarswissenschaften Ostbayerische Technische Hochschule Regensburg Skriptum zur Vorlesung Risikotheorie (Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden) WiSe 2013/14 Prof. Dr. Michael Fröhlich

2 Inhaltsverzeichnis 1 Erweiterung der Verteilungsmodelle Lage-Skalen-Familie Spezielle Verteilungen Exponentialverteilungen Mischverteilungen Zusammengesetzte Verteilungen Risikomaße Risiken Risikomessung Berechnung Kollektive Ausgleichseffekte, Kohärenz Sicherheitskapital Stochastische Modell Das kollektive Modell der Risikotheorie Abhängigkeitsstrukturen Markovketten Monte-Carlo Methoden Zufallszahlen Die Inversionsmethode Das Verwerfungsverfahren Spezielle Transformationsverfahren Abhängigkeitsstrukturen Datenanalyse Motivation Überblick der Aufgabenstellungen und Verfahren Wichtige Grundregeln statistischer Arbeit Punktschätzung Maximum Likelihood-Schätzer Eigenschaften von ML-Schätzern Numerische Verfahren Konfidenzintervalle Hypothesentests Grundbegriffe der Testtheorie Der Likelihood Quotienten Test Verteilungsunabhängige Tests

3 8 Verallgemeinerte Lineare Modelle Motivation Definition, Zusammenhänge Theorie: ML-Schätzung Modelldiagnose Quasi-Likelihood, Ãœberdispersion Praktische Anwendungen Credibility Problemstellung Der Bayer-Ansatz: Das Modell Bayes-Schätzer Bühlmann und Bühlmann-Straub-Credibility Bühlmann-Credibility Bühlmann-Straub-Credibility Biometrische Rechnungsgrundlagen Ermittlung von relativen Sterbehäufigkeiten Ausgleichsverfahren Trendfunktionen Überprüfung biometrischer Rechnungsgrundlagen Berücksichtigung von Risiken

4 Prof. Dr. Michael Fröhlich Fakultät Informatik und Mathematik OTH Regensburg Postfach Regensburg Tel.: / Raum U 320, Sammelgebäude, Universitätsstraße 31. Sprechzeiten: Montag, Uhr in der Vorlesungszeit, und nach Vereinbarung. Während der vorlesungsfreien Zeit nur nach Vereinbarung. Literaturempfehlungen zur Vorlesung Diese Vorlesung orientiert sich sehr eng an dem in den Repetitorien und Seminaren der DAA und DAV zur Verfügung gestellten Unterlagen für die Prüfungsvorbereitung Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden, 2007 entwickelt und gelehrt von Hermann, Pfeifer, Sandor und Sussmann. Bühlmann und Gisler [2005]: A Course in Credibility Theory and its Applications Springer. Burkschat [2001]: Beschreibende Statistik - Grundlegende Methoden Springer. DAV-Arbeitsgruppe Biometrische Rechnungsgrundlagen des Fachausschusses für Altersversorgung [2002]: Biometrische Rechnungsgrundlagen für Pensionskassen und Pensionsfonds DAV-Mitteilung. DAV-Unterarbeitsgruppe Rentnersterblichkeit [2005]: Herleitung der DAV Sterbetafel 2004 R für Rentenversicherungen. Heilmann [1987]: Grundbegriffe der Risikotheorie Karlsruhe: VVW. Lehmann und Casella [1998]: Theory of Point Estimation Springer. Meyers, Montgomery, Vining [1999]: General Linear Models Wiley. Nelsen [1999]: An introduction to Copulas Springer. Pruscha [2000]: Vorlesungen über mathematische Statistik Teubner. 4

5 Kapitel 1 Erweiterung der Verteilungsmodelle 1.1 Lage-Skalen-Familie 1.2 Spezielle Verteilungen 1.3 Exponentialverteilungen 1.4 Mischverteilungen 1.5 Zusammengesetzte Verteilungen 5

6 Kapitel 2 Risikomaße 2.1 Risiken 2.2 Risikomessung 2.3 Berechnung 2.4 Kollektive Ausgleichseffekte, Kohärenz 2.5 Sicherheitskapital 6

7 Kapitel 3 Stochastische Modell 3.1 Das kollektive Modell der Risikotheorie 3.2 Abhängigkeitsstrukturen 3.3 Markovketten 7

8 Kapitel 4 Monte-Carlo Methoden 4.1 Zufallszahlen 4.2 Die Inversionsmethode 4.3 Das Verwerfungsverfahren 4.4 Spezielle Transformationsverfahren 4.5 Abhängigkeitsstrukturen 8

9 Kapitel 5 Datenanalyse 5.1 Motivation 5.2 Überblick der Aufgabenstellungen und Verfahren 5.3 Wichtige Grundregeln statistischer Arbeit 9

10 Kapitel 6 Punktschätzung 6.1 Maximum Likelihood-Schätzer 6.2 Eigenschaften von ML-Schätzern 6.3 Numerische Verfahren 6.4 Konfidenzintervalle 10

11 Kapitel 7 Hypothesentests 7.1 Grundbegriffe der Testtheorie 7.2 Der Likelihood Quotienten Test 7.3 Verteilungsunabhängige Tests 11

12 Kapitel 8 Verallgemeinerte Lineare Modelle 8.1 Motivation 8.2 Definition, Zusammenhänge 8.3 Theorie: ML-Schätzung 8.4 Modelldiagnose 8.5 Quasi-Likelihood, Ãœberdispersion 8.6 Praktische Anwendungen 12

13 Kapitel 9 Credibility 9.1 Problemstellung 9.2 Der Bayer-Ansatz: Das Modell 9.3 Bayes-Schätzer 9.4 Bühlmann und Bühlmann-Straub-Credibility 9.5 Bühlmann-Credibility 9.6 Bühlmann-Straub-Credibility 13

14 Kapitel 10 Biometrische Rechnungsgrundlagen 10.1 Ermittlung von relativen Sterbehäufigkeiten 10.2 Ausgleichsverfahren 10.3 Trendfunktionen 10.4 Überprüfung biometrischer Rechnungsgrundlagen 10.5 Berücksichtigung von Risiken 14