Modellbildungsmethoden

Transkript

1 Modellbildungsmethoden Ansätze, Entwicklung, Parametrisierung In-House-Seminar, Patrick Einzinger

2 Warum ist das überhaupt interessant? Valide Modelle müssen die für eine Problemstellung wichtigen Aspekte eines Systems abbilden können Unterschiedliche Methoden fokussieren auf unterschiedliche Aspekte Auftraggeber und Entscheidungsträger können ihre Fragestellungen besser formulieren, wenn sie die Grundzüge der Methoden kennen

3 Abschnitt 1 Einführung

4 Modelle als Abbildung der Realität System & Problemstellung Modell Simulator Wissenschaftliche Aufgabenstellung Abstraktion der Realität Experimentierapperat

5 Problemlösung mit Modellbildung und die dritte Säule Theorie Problem Lösung Abstraktion der Realität Experiment

6 Struktur von Systemen

7 Methodenabhängige Struktur von Modellen Modelle bestehen wie Systeme aus Elementen und Relationen zwischen diesen Elemente und mögliche Relationen methodenabhängig: Math. Variablen Agenten Gleichungen Prozessnetzwerke

8 Methoden fokussieren auf unterschiedliche Aspekte! Methode 1 Problemstellung 1 Rückkopplungen Methode 2 Problemstellung 2 Interaktion zwischen Individuen Methode 3 und viele weitere Problemstellung 3

9 Beispiel: Kapazität von Leistungserbringern im Gesundheitswesen Problem: Lange Wartezeiten bei Leistungserbringern Lösungsansatz: Finanzierung von mehr Leistungserbringern und Gesundheitseinrichtungen

10 Beispiel: Kapazität von Leistungserbringern im Gesundheitswesen (2) Durch negative Rückkopplung kann Problem trotz Lösungsansatz weiter bestehen! Arztbesuche - - Arztbesuche + pro Leistungserbringer Leistungserbinger Wartezeit

11 Unterscheidungsmerkmale Statisch Dynamisch Systemzustand zeitunabhängig vs. Systemzustand über die Zeit veränderbar Deterministisch Stochastisch Modelloutput fix spezifiziert vs. zufällige Elemente und variierende Ergebnisse Kontinuierlich Diskret Zustand ändert sich ständig vs. Zustand ändert sich an getrennten Zeitpunkten

12 Abschnitt 2 System Dynamics

13 Allgemeines - Begründung Methodik der Modellbildung und, eingeführt von Jay W. Forrester Übertrug Methoden der Systemanalyse technischer Systeme auf soziale Systeme (an MIT Sloan School of Management, ab 1956) Kritik an damaligen mathematischen Modellen der Managementwissenschaften

14 Ziele und wichtige Elemente Größeres Verständnis von Verhalten und Zusammenhängen eines Systems Systemverhalten vor allem bedingt durch: Rückkopplungen Systemgedächtnis (Speichergrößen) Verzögerung von Material- und Informationsfluss

15 Graphische Notation und Bedeutung Zustand t = t 0 Zustandsveränderung dt + Anfangszustand

16 Beispiel für komplexeres SD-Modelle World Model (Meadows, Forrester)

17 Beispiel: SIR-Modell Klassisches SIR-Modell nach Kermack & McKendrick: ds dt di dr = β S I, = β S I γ I, = γ I dt dt S Susceptible, I Infected, R Recovered Infizierte übertragen Krankheit mit Rate β an Suszeptible und werden mit Rate γ (1/γ = mittlere Krankheitsdauer T) gesund (immun)

18 Umsetzung in System Dynamics

19 Abschnitt 3 Statistische Modelle

20 Grundidee Statistische Modelle beschreiben einen statistischen Zusammenhang zwischen Input- und Outputdaten Sie sind i.a. Blackbox-Modelle, d.h. die für den Zusammenhang verantwortliche interne Struktur und die Prozesse sind nicht sichtbar Der statistische Zusammenhang wird durch Daten ermittelt ( Fitting )

21 Beispiel: Regressionsmodell für Epidemic Peak Der Epidemic Peak entspricht der maximalen Anzahl gleichzeitiger infizierter Personen Im vorigen Beispiel (R0 = 5, T = 10, N = ): ca Personen Der Epidemic Peak ist im SIR-Modell eindeutig durch Wahl von R0, T und N bestimmt

22 Epidemic Peak im SIR-Modell

23 Regressionsmodell y Epidemic Peak Lineares Regressionsmodell mit Modellparameter b i : y = b + b R + b T + ε Anpassung der Modellparameter an Daten (Minimierung der Summe der quadrierten Fehler)

24 Regressionsmodell im Vergleich (fünf Datenpunkte)

25 Abschnitt 4 Decision Trees & Markovmodelle

26 Decision Trees (Entscheidungsbäume) Statische Modelle (Modellstruktur lässt Zeit unberücksichtigt) Baumartige Struktur mit Pfaden für jede mögliche Kombination von Ereignissen Pfade haben eine bestimmte Wahrscheinlichkeit und sind mit Konsequenzen (Kosten, Nutzen) bewertet

27 Beispiel für einen Entscheidungsbaum Zufallsknoten Ergebnisknoten Entscheidungsknoten

28 Markovmodelle Beschreiben den stochastischen Prozess, den ein Individuum durchläuft (dynamisch) Insgesamt gehen in einer Kohorte in jedem Zeitschritt Anteile der Individuen von einem Zustand in die anderen Zustände

29 SIR als Markov-Modell Übergangswahrscheinlichkeiten p und q zwischen Zuständen hängen nicht von Anzahl der Individuen in einem Zustand ab Wie viele Suszeptible sich anstecken hängt nicht von Anzahl der Infizierten ab! Gleichungen: S( t + 1) = (1 p) S( t) I( t R( t + 1) = + 1) p S( t) + (1 q) I( t) = q I( t) + R( t)

30 Ergebnisse (p wie bei Infizierten)

31 Abschnitt 5 Agentenbasierte Modelle

32 Einführung Historischer Hintergrund: Wurzel agentenbasierter Modellierung ist die Untersuchung komplexer adaptiver Systeme (CAS) Allgemeine Charakterisierung: Modellierung mittels einzelner, unabhängiger Individuen oder Teile, der Agenten

33 Charakteristische Eigenschaften von Agenten Wooldridge (1997): Autonomie: Kontrolle über eigene Aktionen und Zustand Reaktivität: Agenten nehmen Umwelt wahr und können flexibel auf sie reagieren Proaktivität: Zielgerichtetes Verhalten, Eigeninitiative Soziale Interaktionsfähigkeit

34 Charakteristische Eigenschaften von Agenten (2) Casti (1997): Komponenten mit Verhaltensregeln und Regeln, um Verhaltensregeln zu ändern (CAS!) Agent Attribute Gedächtnis Ressourcen Verhaltensweisen (Regeln) Ausgereifte Möglichkeiten zur Entscheidungsfindung Regeln, um Verhaltens- weisen zu ändern Umgebung

35 Beispiel SIR: Ansteckung von Agenten durch Kontaktnetzwerk Grün: suszeptibel, Rot: infiziert, Kreis: könnte momentan angesteckt werden

36 Interne Zustände der einzelnen Agenten Susceptible Trigger: Nachricht Infected Rate: γ Recovered

37 Ergebnisse mit homogenem Kontaktnetzwerk (jeder mit jedem)

38 Ergebnisse mit wenigen Agenten und speziellem Netzwerktyp (4 Kontakte/Agent)

39 Abschnitt 6 Weiterentwicklung: Modularer Aufbau

40 Grundidee Unterschiedliche Teile eines Systems werden durch unterschiedliche Methoden abgebildet Voraussetzung: Gute Trennbarkeit der Teile mit klaren Schnittstellen und schwacher Kopplung Wiederverwendbarkeit Baukastensystem

41 Beispiel für Teile eines modular aufgebauten Modells Oft sehr gut abgekoppelt, kann berechnete Fälle einfach auf Kosten und Nutzen abbilden Ökonomiemodell Kontaktmodell Krankheitsmodell Bevölkerungsmodell

42 Fazit Modellbildungsmethoden haben unterschiedliche Eigenschaften und Anwendbarkeit (SIR-Beispiel) Flexibilität bringt mehr Möglichkeiten, aber auch mehr zusätzliche Entscheidungen und Datenanforderungen Komplexere Aufgabenstellungen können von einem modularen Aufbau profitieren