TI-200 Befehlsübersicht

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1 TI-200 Befehlsübersicht 1 Grundlagen CAS-Einstellungen Hinweise zur Eingabe im Hauptfenster Sonderzeichen Editieren der Eingabezeile Eingabe häufig verwendeter Funktionen Wurzelfunktionen Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Weitere Funktionen Terme und Gleichungen Termumformungen Gleichungen Gleichungssysteme Analysis Definition von Funktionen und Funktionenscharen Funktionen Abschnittsweise definierte Funktionen Funktionenscharen Funktionsanpassung mittels Regression Funktionsuntersuchungen Nullstellen Ableitungsfunktionen Integralrechnung Berechnung von Integralen Stammfunktionen Grenzwerte Lineare Algebra Vektoren Matrizen Eingabe von Matrizen im Hauptbildschirm Eingabe von Matrizen im Data/Matrix-Editor Matrixoperationen Lineare Gleichungssysteme in Matrixform Stochastik Kombinatorik Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Normalverteilung Problembehebung Fehlermeldungen und mögliche Ursachen Argument Error Dimensionsfehler (Dimension, Dimension Mismatch) Domain Error Unvollständige Gleichungen Fehlerhafte Verwendung von Namen Verwendung bereits definierter Variablen Verwendung gelöschter Variablen Syntaxfehler Eingabefehler Klammerfehler Auswertungsfehler Abbruch von Berechnungen Befehlsreferenz Index Version 1.3, 2012, D. Lühning

2 1 Grundlagen 1.1 CAS-Einstellungen Mit der Taste [MODE] wird das Einstellungsmenü des CAS aufgerufen, das aus drei Seiten besteht, die mit [F1], [F2] und [F3] angezeigt werden. Alternativ kann man mit den Cursortasten [] und [] durch die Liste der Einstellungen scrollen. Zu den Einstellungen, die in einigen Situationen verändert werden müssen, gehören: Graph Umschaltung des Y-Editors zwischen Funktionen (1:FUNCTION) und Folgen (4:SEQUENCE) Display Digits Einstellung der Anzahl von Stellen, die im Ergebnis angezeigt werden Angle Umschaltung zwischen Winkelangaben im Bogenmaß (1:RADIAN) oder Gradmaß (2:DEGREE) Exact/Approx Umschaltung zwischen den möglichen Einstellungen für die Ergebnisausgabe (Standardeinstellung ist 1:AUTO) In dieser Befehlsübersicht wird als Spracheinstellung Englisch (Language 1:ENGLISH) vorausgesetzt. Veränderte Einstellungen werden mit [ENTER] gespeichert. Mit [ESC] verlässt man das Menü, ohne die Einstellungen zu speichern. Eine weitere wichtige Einstellung kann man im Format-Menü des Graph-Bildschirms vornehmen, das man im Graph-Bildschirm mit der Tastenkombination [F1][9] aufruft. Ist die Funktion Discontinuity Detection abgeschaltet, dann werden Graphen mit Sprung- oder Polstellen nicht korrekt gezeichnet. Daher sollte man diese Funktion einschalten (ON). Die folgende Abbildung zeigt den Graphen von 1/(x 1) links ohne und rechts mit eingeschalteter Discontinuity Detection. 1.2 Hinweise zur Eingabe im Hauptfenster Für die in den folgenden Abschnitten beschriebenen Befehle stehen häufig die folgenden Eingabemöglichkeiten zur Verfügung: Eingabe über die QWERTY-Tastatur des TI-200, Eingabe mit Hilfe einzelner Sondertasten oder Tastenkombinationen Auswahl aus Menüs So kann man den solve-befehl über die Tastatur eingeben oder mit der Tastenkombination [F2][1] bzw. [F2][ENTER] aus dem Algebra-Menü auswählen. In vielen Fällen ist die Tastenkombination kürzer als die direkte Eingabe des Befehls. Es gibt auch Ausnahmen, so z.b. beim rref-befehl mit der Tastenkombination [2nd][5][4][4]. Es hängt aber vor allem von den eigenen Vorlieben und Gewohnheiten ab, welche der Möglichkeiten man nutzt. 2 Version 1.3, 2012, D. Lühning

3 1.2.1 Sonderzeichen Die Tastenbelegung, die mit Hilfe der Taste [2nd] zu erreichen ist, ist auf dem Tastenfeld des TI-200 in blau aufgedruckt. Einige Sonderzeichen sind jedoch auch mit Hilfe der Taste [ ] zu erreichen. In diesen Fällen ist die Tastenbelegung leider nicht immer angegeben. Für drei häufig gebrauchte Zeichen sind daher nachfolgend die Tastenkombinationen angegeben. [ ] [=] [ ] [0] alternativ: <= [2nd] [0] [=] [ ] [.] alternativ: >= [2nd] [.] [=] Griechische Buchstaben (z.b. µ für den Erwartungswert einer Zufallsgröße) werden über die Tastenkombination [ ][G][Buchstabe] eingegeben. Welche Buchstabentaste nach der Taste [G] gedrückt werden muss, ist der folgenden Übersicht (Quelle: pdf-anleitung des TI-200) zu entnehmen. Die Kreiszahl π erhält man schneller über die Tastenkombination [2nd][^]. Die Eulersche Zahl e kann man mit Hilfe der Tastenkombination [2nd][LN] eingeben. Entweder vervollständigt man die Eingabe zu e^(1) oder man löscht die Zeichen ^(. Die Taste [E] kann hier nicht verwendet werden! Editieren der Eingabezeile In der Eingabezeile des Hauptfensters stehen Funktionen zur Verfügung, die man in ähnlicher Form vom PC kennt. Bei gehaltener Umschalttaste [ ] kann man mit den Cursortasten [ ] und [] einen Teil der Eingabezeile markieren. Bei Verwendung der Cursortasten [] und [] wird alles zwischen dem Cursor und dem Anfang bzw. dem Ende der Zeile markiert. Den markierten Teil der Eingabezeile kann man dann mit [ ][X] ausschneiden, mit [ ][C] kopieren und mit [ ][V] an anderer Stelle einfügen. Mit den Tastenkombinationen [2nd][ ] und [2nd][] bewegt man den Cursor an den Anfang bzw. an das Ende der Eingabezeile. Die Backspace-Taste [ ] dient zum Löschen des Zeichens links neben dem Cursor, bei gedrückter [ ]-Taste wird dagegen das Zeichen rechts neben dem Cursor gelöscht. In Verbindung mit der [2nd]-Taste sorgt die Backspace-Taste häufig für Verwirrung: Die Tastenkombination [2nd][ ] schaltet vom Einfüge- in den Überschreibmodus. Im standardmäßigen Einfügemodus wird der Cursor als senkrechter Strich dargestellt. In diesem Modus kann man an jeder Stelle der Eingabe Zeichen einfügen. Im Überschreibmodus, erkennbar am blockförmigen Cursor, ist das nicht möglich. Befindet sich rechts vom Cursor ein Zeichen, so wird dieses überschrieben. Mit der Tastenkombination [2nd][ ] schaltet man dann wieder zurück in den Einfügemodus. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel, in dem eine Null vergessen wurde. Links ist der Einfügemodus aktiv, so dass an der Cursorposition die fehlende Null eingefügt werden kann. Rechts dagegen ist der Überschreibmodus eingeschaltet. Wenn jetzt die Taste [0] gedrückt würde, würde das Komma durch die Null überschrieben. 3 Version 1.3, 2012, D. Lühning

4 1.3 Eingabe häufig verwendeter Funktionen Wurzelfunktionen Für die Berechnung von Quadratwurzeln steht das übliche Wurzelzeichen (Tastenkombination [2nd][ ]) zur Verfügung. Für andere Wurzelfunktionen wird der Befehl root (Tastenkombination [ ][^] oder [ ][9]) verwendet. Alternativ kann auch die Schreibweise mit gebrochenen Exponenten verwendet werden Logarithmusfunktionen Der natürliche Logarithmus ln wird über die Taste [LN] eingegeben. Andere Logarithmen können mit Hilfe des log-befehls (Tastenkombination [ ][LN] oder [ ][7]) eingegeben werden, wobei ein oder zwei Parameter angegeben werden können. Bei Eingabe von log mit einem Parameter wird der Zehnerlogarithmus berechnet. Bei zwei Parametern steht der zweite Parameter für die verwendete Basis Trigonometrische Funktionen Bei der Verwendung der Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens muss man beachten, dass diese Funktionen in zwei unterschiedlichen Anwendungszusammenhängen vorkommen. Bei der Berechnung von Winkeln in der Geometrie wird das Gradmaß verwendet, während die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen sin(x), cos(x) und tan(x) auf dem Bogenmaß basieren. Je nach Anwendung muss der TI-200 daher auf Gradmaß (DE- GREE) oder Bogenmaß (RADIAN) eingestellt werden. Dazu wählt man im Einstellungsmenü (vgl. 1.1) unter Angle den passenden Eintrag aus. Alternativ kann man auch den TI-200 permanent auf Radian eingestellt lassen und bei der Berechnung von Winkeln das Gradzeichen (Tastenkombination [2nd][D]) in die Eingabe aufnehmen Weitere Funktionen Die Betragsfunktion f(x)= x wird als abs(x) eingegeben, die Signumfunktion f(x)=sgn(x) als sign(x). Bei der Berechnung von sgn(0) wird leider nicht der mathematisch korrekte Wert 0 ausgegeben. 4 Version 1.3, 2012, D. Lühning

5 1.4 Terme und Gleichungen Termumformungen Der Befehl expand (Tastenkombination [F2][3]) dient zum Umwandeln von Produkten und Quotienten in Summen. Typische Anwendungen sind das Ausmultiplizieren von Termen sowie die Polynomdivision. Das Gegenstück dazu ist der Befehl factor (Tastenkombination [F2][2]) zum Faktorisieren von Termen Gleichungen Zum Lösen von Gleichungen wird der solve-befehl (Tastenkombination [F2][1]) verwendet. Als Parameter wird zuerst die Gleichung und danach die Variable angegeben, nach der die Gleichung aufgelöst werden soll. Der solve-befehl kann auch auf Gleichungen mit Funktionen, Vektoren und Matrizen angewendet werden. Es ist möglich, Bedingungen für die Lösung vorzugeben. Dazu wird die Bedingung nach einem senkrechten Strich (Tastenkombination [2nd][K]) im Anschluss an den solve-befehl angegeben. Die Lösungsmenge wird dann entsprechend eingeschränkt, wie an dem Beispiel in der folgenden Abbildung zu sehen ist Gleichungssysteme Der solve-befehl wird auch zum Lösen von Gleichungssystemen verwendet. Die einzelnen Gleichungen des Gleichungssystems werden in diesem Fall mit and verknüpft eingegeben. Dabei muss vor und nach jedem and ein Leerzeichen eingegeben werden!statt einer Variablen sollen im Regelfall alle auftretenden Variablen bestimmt werden. Dazu gibt man die Variablen durch Komma getrennt in Mengenklammern an. Um bei umfangreichen Gleichungen die Länge des Befehls auf ein übersichtliches Maß zu beschränken, kann man die Gleichungen auch jeweils unter eigenem Namen speichern und im solve-befehl nur die Namen der Gleichungen mit and verknüpfen. 5 Version 1.3, 2012, D. Lühning

6 2 Analysis 2.1 Definition von Funktionen und Funktionenscharen Funktionen Funktionen können definiert werden, indem man den Funktionsterm eingibt und ihm dann mit Hilfe der Taste [STO] einen Namen zuweist. Dabei muss in Klammern die Variable angegeben werden, von der die Funktion abhängig ist. Danach kann man die Funktion über den zugewiesenen Namen ansprechen und so z.b. Funktionswerte berechnen. Im folgenden Beispiel wurde die Funktion f(x) = x 3 2x 2 definiert und der Funktionswert von f an den Stellen 1; 2 und 3a berechnet. Es lassen sich auch Funktionen definieren, die von anderen Variablen als x abhängen. Für einen zeitabhängigen Wachstumsprozess könnte z.b. die Funktion w(t) = 100 2,5 t definiert werden. Auch im Y-Editor können Funktionen definiert werden, allerdings ist man in der Wahl der Funktionsnamen und der Variablen eingeschränkt. Alle im Y-Editor verwendeten Funktionen sind von x abhängig. Als Namen sind y1 bis y99 vorgegeben. Wie in der folgenden Abbildung bei y3 zu sehen ist, kann man einer Funktion im Y-Editor auch eine vorher im Hauptbildschirm definierte Funktion zuordnen. Umgekehrt kann man die im Y-Editor definierten Funktionen im Hauptbildschirm ansprechen Abschnittsweise definierte Funktionen Abschnittsweise definierte Funktionen werden in unterschiedlichen Intervallen durch unterschiedliche Funktionsterme bestimmt. Für die Betragsfunktion gilt z.b. x = x x für x 0 x < 0 Mit dem Befehl when kann man auch solche Funktionen definieren. Der when-befehl hat den Aufbau when(bedingung, Term für erfüllte Bedingung, Term für nicht erfüllte Bedingung). Für die Betragsfunktion lautet die Definition when(x<0,-x,x). Alternativ könnte man die Definition auch mit der Bedingung für x 0 beginnen lassen. 6 Version 1.3, 2012, D. Lühning

7 Mehrere when-befehle können ineinander verschachtelt werden, um Definitionen mit mehr als zwei Intervallen zu realisieren. Die folgende Abbildung zeigt die Definition der Signum-Funktion, bei der drei unterschiedliche Terme auftreten. Die Bedingungen können auch aus mehreren mit and bzw. or verknüpften Teilbedingungen bestehen. Im folgenden Beispiel wird das an einer Funktion demonstriert, deren Graph im Intervall [ 5; 5] einen Halbkreis mit Radius 5 um den Ursprung beschreibt und sonst auf der x-achse verläuft Funktionenscharen Eine Funktionenschar definiert man, indem man eine Funktion erstellt, die von zwei Variablen abhängig ist. Im folgenden Beispiel wird die Funktionenschar f k (x)=kx 2 +3x als f(x, k) definiert. Ersetzt man k durch eine Zahl, so erhält man die Funktionsgleichung einer Funktion der Schar. Zur Berechnung von Funktionswerten dieser Funktion ersetzt man zusätzlich x durch die Stelle, an der der Funktionswert berechnet werden soll Funktionsanpassung mittels Regression Gegebenen Datenpunkten kann man mit Hilfe des Regressionsbefehls des TI-200 einen möglichst guten Funktionsgraphen anpassen. Dazu gibt man die Datenpunkte im Data/Matrix-Editor ein. Nach dem Aufruf des Editors über die Tastenkombination [APPS][6][3] wird unter Type die Art der Eingabe eingestellt (Data) und unter Variable ein Name für die Tabelle angegeben. Nach Drücken der Taste [ENTER] gelangt man in den Editor, in dem man die Datenwerte eingibt (hier x-werte in Spalte 1, y-werte in Spalte 2). 7 Version 1.3, 2012, D. Lühning

8 Nach der Eingabe der Datenwerte kann man die Regression mit [F5] starten. In dem daraufhin angezeigten Menü muss der Typ der Regression (hier lineare Regression) angegeben werden. In den Feldern x und y werden die entsprechenden Spalten mit Daten eingetragen (hier c1 bzw. c2). Nach Drücken von [ENTER] liefert der TI-200 die Regressionsgerade. Bei der Auswahl des Regressionstyps kann man außer der linearen Regression noch andere Typen wählen, z.b. quadratische (QuadReg), kubische (CubicReg), exponentielle (ExpReg) oder logistische Regression (Logistic). 2.2 Funktionsuntersuchungen In diesem Abschnitt wird vorausgesetzt, dass die untersuchte Funktion mit [STO] definiert wurde Nullstellen Die Nullstellen einer Funktion f bestimmt man, indem man die Gleichung f(x)=0 mit Hilfe des solve-befehls löst. Der TI-200 kennt aber auch einen speziellen Befehl zur Nullstellenberechnung (zeros, Tastenkombination [F2][4]) Ableitungsfunktionen Die Ableitung einer Funktion bestimmt man mit dem Befehl d (für differenzieren), der nur mit der Tastenkombination [2nd][8] oder alternativ über das Menü mit [F3][1] eingegeben wird. Die Taste [D] kann für die Ableitung nicht verwendet werden! Nach dem Funktionsterm ist die Variable anzugeben, nach der differenziert werden soll. Zur Bestimmung höherer Ableitungen wird als dritter Parameter die Nummer der gewünschten Ableitung angegeben. In der folgenden Abbildung sieht man in der Eingabezeile den Befehl zur Bestimmung der dritten Ableitung von f. Es ist sinnvoll, die so ermittelten Ableitungsfunktionen unter einem eigenen Namen zu speichern. Es hat sich bewährt, die erste Ableitung einer Funktion f als f1, die zweite Ableitung als f2 usw. zu speichern. Wenn man 8 Version 1.3, 2012, D. Lühning

9 nicht den Term der Ableitungsfunktion, sondern den Ableitungsbefehl unter diesem Namen speichert, dann stehen nach einer Neudefinition von f sofort die Ableitungen zur Verfügung: Die Angabe der Variablen, nach der abgeleitet werden soll, ist vor allem bei Funktionenscharen von Bedeutung. Ein Beispiel ist nachfolgend zu sehen. Je nachdem, ob nach x oder nach k abgeleitet wird, erhält man unterschiedliche Ableitungen von g(x, k). 2.3 Integralrechnung Berechnung von Integralen Integrale werden mit dem entsprechenden Symbol (, Tastenkombination [2nd][7] oder alternativ über das Menü mit [F3][2]) eingegeben. Es werden vier Parameter angegeben: Funktionsterm, Integrationsvariable, untere Grenze und obere Grenze. Der Integralbefehl kann auch dazu verwendet werden, die Integralfunktion J a einer Funktion f zur unteren Grenze a zu definieren. Im folgenden Beispiel wird die Integralfunktion von f(x)=sin(x 2 ) zur unteren Grenze 1 definiert Stammfunktionen Zur Bestimmung einer Stammfunktion verwendet man ebenfalls den Integralbefehl, lässt aber die untere und obere Grenze bei der Eingabe weg. Das Ergebnis ist die einfachste Stammfunktion, die übrigen erhält man ggf. durch Addition einer Konstante c. 9 Version 1.3, 2012, D. Lühning

10 2.4 Grenzwerte Zur Bestimmung von Grenzwerten steht der Befehl limit (Tastenkombination [F3][3]) zur Verfügung. Zunächst wird der Term angegeben, für den der Grenzwert berechnet werden soll. Danach wird die Variable angegeben, die gegen einen bestimmten Wert streben soll, gefolgt von diesem Wert. Als Term kann natürlich auch der Name einer bereits definierten Funktion verwendet werden. Für reelle Werte wird der Grenzwert sowohl von rechts als auch von links ermittelt. Nur bei Übereinstimmung beider Grenzwerte wird ein Ergebnis ausgegeben. Stimmen die beiden Grenzwerte nicht überein, lautet das Ergebnis undef. Die einseitigen Grenzwerte können in solchen Fällen durchaus existieren. Man erhält sie, indem man den Befehl um die Angabe 1 (für den Grenzwert von rechts ) bzw. 1 (für den Grenzwert von links ) erweitert. In der folgenden Abbildung ist das am Beispiel der Signum-Funktion zu sehen. 3 Lineare Algebra 3.1 Vektoren Vektoren können als Zeilen- oder Spaltenvektoren eingegeben werden. Die Koordinaten des Vektors werden in eckigen Klammern eingegeben, wobei sie bei einem Zeilenvektor durch Komma, bei Spaltenvektoren durch Semikolon getrennt werden. Die Art der Eingabe wirkt sich auf die Interpretation des Vektors als n 1- oder als 1 n-matrix aus, was auch an der Darstellung des Vektors zu erkennen ist. In der folgenden Abbildung wurde der gleiche Vektor links als Zeilenvektor, rechts als Spaltenvektor eingegeben. Für die in der Vektorrechnung üblichen Fragestellungen können prinzipiell beide Darstellungen für Vektoren verwendet werden. Da das Komma (Taste [,]) bequemer eingegeben werden kann als das Semikolon (Tastenkombination [2nd][M]), ist die Verwendung von Zeilenvektoren komfortabler. Hat man einen Vektor z.b. als Zeilenvektor eingegeben und benötigt ihn später doch einmal als Spaltenvektor, dann kann man den Vektor mit dem Operator T in die andere Form transponieren. Diesen Operator findet man entweder im Untermenü Matrix 10 Version 1.3, 2012, D. Lühning

11 des Math-Menüs (Tastenkombination [2nd][5][4][1]) oder mit Hilfe der Katalogfunktion des TI-200 (Tastenkombination [2nd][2][T][ENTER]). In der Abbildung ist außerdem zu erkennen, dass Vektoren mit der Taste [STO] unter einem Namen gespeichert und dann über diesen Namen angesprochen werden können. Für Vektoren sind folgende Operationen definiert: Vielfachenbildung (Multiplikation mit einer reellen Zahl, mit negativem Vorzeichen auch zur Bildung des Gegenvektors), Addition und Subtraktion von Vektoren sowie Betrag eines Vektors (Befehl norm). Mit Hilfe dieser Operationen kann man auch Geraden und Ebenen definieren.. Zur Berechnung des Einheitsvektors zu einem gegebenen Vektor dient der Befehl unitv. Das Skalarprodukt von Vektoren wird mit dem Befehl dotp berechnet. Für das Vektor- oder Kreuzprodukt kann der Befehl crossp verwendet werden. Vektorgleichungen können mit dem solve-befehl gelöst werden. Im folgenden Beispiel wird ermittelt, welcher Punkt P einer gegebenen Gerade g die x 3 -Koordinate 500 hat. Wenn die Gerade nach dem Lösen der Gleichung in weiteren Rechnungen verwendet werden soll, dann kann sie unter einem Namen gespeichert werden. Auch in dieser Form kann sie im solve-befehl verwendet werden (in der rechten Abbildung zu sehen). 3.2 Matrizen Eingabe von Matrizen im Hauptbildschirm Matrizen werden wie Vektoren in eckigen Klammern eingegeben. Die Werte einer Zeile werden durch Komma getrennt. Die Zeilen werden entweder wie bei einem Spaltenvektor durch Semikolon getrennt eingegeben oder als Zeilenvektoren jeweils in eckige Klammern gesetzt. Die folgende Abbildung zeigt beide Eingabeformen. Intern verwendet der TI-200 die Darstellung der Zeilen als Zeilenvektoren. Matrizen können mit der Taste [STO] unter einem Namen gespeichert und dann über diesen Namen angesprochen werden. Für die n n- Einheitsmatrix gibt es den Befehl identity(n). 11 Version 1.3, 2012, D. Lühning

12 3.2.2 Eingabe von Matrizen im Data/Matrix-Editor Bei großen Matrizen ist es aus Gründen der Übersichtlichkeit ratsam, die Eingabe im Data/Matrix-Editor vorzunehmen. Nach dem Aufruf des Editors über die Tastenkombination [APPS][6][3] wird unter Type die Art der Eingabe eingestellt (Matrix). Die Auswahl eines anderen Ordners als main ist optional. Zwingend erforderlich sind die Eingabe eines Variablennamens, unter dem die eingegebene Matrix gespeichert werden soll, sowie die Anzahl der Zeilen (Row dimension) und Spalten (Col dimension). In der folgenden Abbildung ist die Definition einer Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten zu sehen. Im Editor sind die Einträge der Matrix mit Nullen vorbelegt. Nach Eingabe der gewünschten Werte kann man den Editor verlassen (z.b. mit [ ][Q]). Die eingegebene Matrix steht dann unter dem angegebenen Namen im Hauptbildschirm zur Verfügung Matrixoperationen Für Matrizen sind die Operationen Addition, Subtraktion, Vielfachenbildung (Multiplikation mit einer reellen Zahl) und Matrixmultiplikation definiert. Matrixpotenzen werden mit dem gleichen Operator (Taste [^]) berechnet wie Potenzen von Zahlen. Die inverse Matrix wird durch Eingabe des Exponenten 1 erzeugt. 12 Version 1.3, 2012, D. Lühning

13 Die transponierte Matrix wird mit Hilfe des Operators T bestimmt. Den Operator findet man im Untermenü Matrix des Math-Menüs (Tastenkombination [2nd][5][4][1]) oder über die Katalogfunktion des TI-200 (Tastenkombination [2nd][2][T][ENTER]) Lineare Gleichungssysteme in Matrixform Schreibt man ein lineares Gleichungssystem als Koeffizientenmatrix, dann kann man die Lösung des Gleichungssystems durch Anwendung des Befehls rref (Tastenkombination [2nd][5][4][4]) auf die Matrix bestimmen. Dieser Befehl erzeugt die zugehörige Diagonalmatrix, an der die Lösung direkt abgelesen werden kann. Die folgende Abbildung zeigt die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit rref und zum Vergleich mit solve. 4 Stochastik 4.1 Kombinatorik Die Fakultät einer natürlichen Zahl wird in der üblichen Schreibweise eingegeben. Das Ausrufezeichen! erhält man über die Tastenkombination [2nd][W]. Der Befehl ncr(n,k) dient zur Berechnung von Binomialkoeffizienten ( n über k ). 4.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Die Binomialverteilung B n;p mit den Parametern n und p erhält man mit dem Befehl binompdf(n,p), die entsprechende aufsummierte (kumulierte) Binomialverteilung F n;p mit binomcdf(n,p). In der Ausgabe werden die Wahrscheinlichkeiten P(X=0), P(X=1),..., P(X=n) bzw. P(X 0), P(X 1),..., P(X n) aufgelistet. 13 Version 1.3, 2012, D. Lühning

14 Durch zusätzliche Eingabe der Trefferanzahl k kann man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten P(X=k)=B n;p (k) bzw. P(X k)=f n;p (k) berechnen. Der binomcdf-befehl kann auch zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten P(a X b)=f n;p (b) F n;p (a 1) benutzt werden. Dazu gibt man nach den Parametern n und p die Grenzen a und b ein. Zu beachten ist die unterschiedliche Behandlung der unteren Grenze in den beiden nachfolgend gezeigten Berechnungsvarianten! Normalverteilung Die Dichtefunktion ϕ µ;σ (x) der Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σ steht mit dem Befehl normpdf(x,µ,σ) zur Verfügung. Für µ=0 und σ =1 reicht die Eingabe von normpdf(x). b Das zugehörige Integral ϕ µ ;σ (x)dx erhält man über den Befehl normcdf(a,b,µ,σ). Für µ=0 und σ =1 reicht a die Eingabe von normcdf(a,b). Als Grenzen des Intervalls können auch und angegeben werden. Umgekehrt kann man mit dem Befehl invnorm(p,µ,σ) die Stelle x bestimmen, für die die Integralfunktion Φ µ;σ (x) den Wert p annimmt: Φ x µ ; σ ( ) = ϕ µ ; σ x ( t) dt = p 14 Version 1.3, 2012, D. Lühning

15 5 Problembehebung 5.1 Fehlermeldungen und mögliche Ursachen Argument Error Dies ist eine der ärgerlichsten Fehlermeldungen, denn sie ist an Allgemeinheit kaum zu übertreffen. In der bemängelten Eingabe ist ein Fehler in einem der Argumente festgestellt worden. Als Argument bezeichnet man dabei jede der Angaben, die man bei Befehlen in Klammern angeben kann. Leider gibt es keine Auskunft darüber, welche der Angaben in einem Befehl fehlerhaft ist und um welche Art von Fehler es sich handelt. In der folgenden Abbildung ist der Fehler im linken Bild durch eine unvollständige Vektorgleichung entstanden, in der nur die linke Seite der Gleichung angegeben wurde, während das Gleichheitszeichen und die rechte Seite fehlten. Warum in dieser Situation nicht der in beschriebene Fehler angezeigt wird, weiß wohl nur TI. Im rechten Bild wurde dagegen das Argument der vorher definierten Funktion f vergessen. Der Fehler tritt häufig bei Vektorgleichungen auf, wenn eine der Gleichungen des zugehörigen linearen Gleichungssystems unter allen Umständen erfüllt ist. Im folgenden Beispiel, in dem der Schnittpunkt zweier Geraden berechnet werden soll, ist z.b. die zu den x 3 -Koordinaten gehörende Gleichung 1=1 stets erfüllt. Bei der Eingabe der Vektorgleichung erhält man die Fehlermeldung Argument Error, unabhängig davon, ob die Vektoren als Spalten- oder Zeilenvektoren eingegeben werden. Das entsprechende LGS löst der TI-200 jedoch wie im zweiten Bild gezeigt anstandslos! Eine andere Alternative besteht in diesem Beispiel darin, die x 3 -Koordinaten aus der Vektorgleichung zu entfernen, da sie zur Lösung nichts beitragen. Die auf zwei Dimensionen reduzierte Vektorgleichung kann der TI-200 ebenfalls lösen Dimensionsfehler (Dimension, Dimension Mismatch) Der klassische Fall des Dimensionsfehlers ist die Multiplikation von Matrizen, bei denen die Spaltenanzahl der ersten nicht mit der Zeilenanzahl der zweiten übereinstimmt. Ein Dimensionsfehler tritt aber auch dann auf, wenn Matrixelemente oder Vektorkoordinaten angesprochen werden, die nicht existieren. Im folgenden Beispiel wird auf das Element m 1,3 einer Matrix M zugegriffen, die gar keine dritte Spalte hat. Ein ähnlicher Fehler ist im rechten Bild gezeigt. Hier sollen zwei Matrizen addiert werden, deren Format nicht übereinstimmt (mismatch). 15 Version 1.3, 2012, D. Lühning

16 5.1.3 Domain Error Domain ist die englische Bezeichnung für den Definitionsbereich einer Funktion. Wenn also ein Domain Error angezeigt wird, dann liegt ein verwendeter Wert außerhalb des zulässigen Bereichs. Im folgenden Beispiel wurde als Erfolgswahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung der Wert 5 eingegeben. Da eine Wahrscheinlichkeit immer aus dem Intervall [0; 1] sein muss, ist der Wert 5 nicht erlaubt Unvollständige Gleichungen Mit der Fehlermeldung First argument of solve or csolve must be an equation or inequality weist der TI-200 darauf hin, dass der solve-befehl als erstes Argument eine Gleichung oder Ungleichung erfordert. Tritt die beschriebene Fehlermeldung auf, dann sollte man prüfen, ob man vielleicht nur eine Seite der Gleichung eingegeben oder das Gleichheitszeichen vergessen hat. Bei der Eingabe von langen Gleichungen oder Ungleichungen ist das schnell passiert. Vielleicht handelt es sich auch nur um einen Tippfehler (z.b. [M] statt [=] gedrückt) Fehlerhafte Verwendung von Namen Bei der Verwendung einer größeren Anzahl von Namen für Variablen, Funktionen, Vektoren, Matrizen usw. kann es vorkommen, dass man Namen miteinander verwechselt. Im folgenden Beispiel wurde der Name einer Matrix so verwendet, als ob es sich um den Namen einer Funktion handelt. Das ist natürlich nicht zulässig Verwendung bereits definierter Variablen Es gibt einige Variablen, die festgelegte Bedeutungen haben. So sind c1, c2, c3 usw. die Bezeichnungen für Spalten im Data/Matrix-Editor. Die Verwendung des Variablennamens in anderen Rollen ist daher nicht erlaubt. Daher kann im Zusammenhang mit der Spline-Interpolation oft ein Problem auftreten, weil die Koeffizienten der einzelnen Teilfunktionen oft mit a, b, c und d und der Nummer der jeweiligen Teilfunktion bezeichnet werden. Da z.b. c1 in diesem Fall die Rolle einer Zahl (statt einer Tabellenspalte) übernehmen müsste, handelt es sich um eine ungültige Bezugnahme auf diese Variable. Bei der Definition der Funktionen und ihrer Ableitungen meldet der TI-200 aber noch kein Problem. Erst nach der Eingabe eines des solve-befehls oder bei der Berechnung eines Funktionswertes erscheint eine entsprechende Fehlermeldung. Ähnliche Probleme können sich auch bei Verwendung solcher Variablen in einem LGS ergeben. Glücklicherweise ist leicht Abhilfe zu schaffen: Statt c1, c2 usw. verwendet man einfach andere Bezeichnungen wie z.b. cc1, cc2 usw. 16 Version 1.3, 2012, D. Lühning

17 Natürlich kann man unter dem Namen einer fest definierten Variablen auch keine Objekte wie Funktionen, Matrizen, Vektoren usw. speichern. Darauf deutet die Fehlermeldung im folgenden Bild hin. Die Fehlermeldung Non-algebraic variable in expression deutet auf eine Eingabe, in der eine Variable verwendet wird, mit der nicht gerechnet werden kann. Häufig ist die Ursache eine Variable, unter der z.b. die Tabelle mit Daten für eine Regression gespeichert worden sind. Wird die gleiche Variable dann in Termen verwendet, müsste die Tabelle in den Term eingesetzt werden, was natürlich nicht möglich ist. Mit der Tastenkombination [2nd][-] kann man die Var-Link-Liste aufrufen, in der die definierten Variablen mit ihrem Typ aufgelistet sind. Im Beispiel erkennt man, dass die Variable k tatsächlich Daten enthält und somit als Faktor in der Parameterdarstellung einer Geraden nicht verwendet werden kann. In solchen Situationen verwendet man dann eine andere Variable oder man löscht die Variable mit dem DelVar-Befehl Verwendung gelöschter Variablen Auch die Verwendung von Variablen, die bereits gelöscht wurden, kann zu Problemen führen. Im folgenden Beispiel war ursprünglich eine Funktion f definiert. Unter der Bezeichnung f1 wurde die Ableitung von f gespeichert. Nach dem Löschen von f kam es zu den folgenden Fehlermeldungen. Die Ableitung von f an der Stelle 3 kann nicht gebildet werden (linkes Bild), da der Zahlenwert nicht in die Definition der Ableitungsfunktion f1 eingesetzt werden kann. Die Ausgabe der Definition der Ableitung ist dagegen immer noch möglich (mittleres Bild). Der Fehler Undefined variable im Graphenfenster (rechtes Bild) tritt auf, weil im y-editor y1=f(x) definiert wurde. Da f jedoch nicht mehr vorhanden ist, kann auch y1 nicht mehr angezeigt werden Syntaxfehler Als Syntaxfehler werden alle Fehler bezeichnet, die dadurch entstehen, dass die Eingabe gegen die korrekte Schreibweise verstößt. Dazu gehört z.b. eine fehlende Klammer, die Verwendung des falschen Minuszeichens oder ein fehlender Eintrag in einer Matrix. Während im ersten Fall die Fehlermeldung das Problem genau beschreibt, wird man im zweiten und dritten Fall lapidar mit der Meldung Syntax abgespeist. Immerhin steht der Cursor in der Eingabezeile an der Stelle, an der der Fehler aufgefallen ist. Von dieser Stelle ausgehend sollte man die Eingabe in Richtung Zeilenanfang genau untersuchen. Bei langen Eingaben (z.b. Gleichungssysteme, Vektorgleichungen oder Matrizendefinitionen) kann das recht zeitaufwendig sein. In solchen Fällen ist zu überlegen, ob man den Befehl nicht lieber neu eingibt. 17 Version 1.3, 2012, D. Lühning

18 5.2 Eingabefehler Eine Vielzahl an Fehlermöglichkeiten bietet sich bereits bei der Eingabe von Befehlen. Man sollte sich z.b. immer der Unterschiede zwischen der mathematischen und der auf dem CAS verwendeten Schreibweise bewusst sein. Eine gewisse Kontrolle ermöglicht die vom TI-200 ausgegebene Wiederholung des Befehls links vom Ergebnis. Man sollte immer prüfen, ob diese Ausgabe mit dem übereinstimmt, was man gemeint hat Klammerfehler Nicht oder falsch gesetzte Klammern sind eine häufige Fehlerquelle. Im folgenden Beispiel sollte der Bruch 6 a + 3b eingegeben werden. Dabei wurde jedoch vergessen, dass der Bruchstrich in der Mathematik wie eine 7c Klammer um Zähler bzw. Nenner wirkt. Da bei der Eingabe nur das Zeichen / zur Verfügung steht, muss man bei der Eingabe oft auch an Stellen Klammern setzen, an denen der Bruch in mathematischer Schreibweise ohne Klammern auskommt. Wie das zweite Bild zeigt, reicht eine Klammer um den Zähler nicht aus, denn der TI-200 interpretiert die Eingabe korrekt nach der Regel von links nach rechts, d.h. es wird zunächst durch 7 dividiert und das Ergebnis dann mit dem Faktor c multipliziert. Um von dieser Reihenfolge abzuweichen, muss auch um den Nennerterm eine Klammer gesetzt werden. Erst dann stimmt die Ausgabe des TI-200 im Hauptfenster mit dem gewünschten Bruch überein. Im nächsten Beispiel soll das Quadrat von 4 berechnet werden. Auch hier wurde jedoch zunächst die übliche Vorrangregelung nicht beachtet, so dass das Quadrat von 4 mit einem negativen Vorzeichen versehen wurde. Nach dem Setzen von Klammern um 4 wird das korrekte Ergebnis ausgegeben Auswertungsfehler Es gibt eine Reihe von Operationen, die der TI-200 ausführt, obwohl sie nach unseren Maßstäben zumindest bezüglich der Schreibweise nicht ganz einwandfrei sind. Diese Fehler sind hier unter der Bezeichnung Auswertungsfehler zusammengefasst. Interessant ist z.b. der folgende Fehler bei der Berechnung der Differenz von 17 und 8. Leider wurde fälschlicherweise das Vorzeichen-Minus statt des Rechenzeichen-Minus eingegeben. Eine solche Schreibweise mit zwei Zeichen unmittelbar nacheinander sollte eigentlich nicht ausgewertet werden. Der TI-200 interpretiert die Eingabe jedoch als 17 ( 8) und liefert als Ergebnis 136. Ebenfalls fragwürdig ist die Eingabe im rechten Beispiel, denn eigentlich sollte man eine Zahl und eine Matrix nicht addieren können. Während die Addition für eine Zahl und einen Vektor tatsächlich zu einem Dimensionsfehler führt, wird die Addition einer Zahl und einer Matrix jedoch ausgeführt, indem die Zahl zu jedem Element der Matrix addiert wird. 5.3 Abbruch von Berechnungen Zuletzt noch ein hilfreicher Tipp: Ein Druck auf die [ON]-Taste beendet die aktuell laufende Berechnung oder das Zeichnen von Graphen. 18 Version 1.3, 2012, D. Lühning

19 Befehlsreferenz Häufig verwendete Funktionen Betrag von n abs(n) Fakultät von n n! Quadratwurzel Eingabe mit [2nd][ ] n-te Wurzel root (Radikand, n) Natürlicher Logarithmus Eingabe mit [LN] Zehnerlogarithmus von n log(n) Logarithmus von n zur Basis b log(n,b) Trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan): Einstellung DEGREE bei Betrachtung von Winkeln, RADIAN bei Betrachtung von sin, cos, tan als Funktionen Gleichungen Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen solve(x^2=5, x) Lösen eines Gleichungssystems solve(x^2+y=5 and x+y=3,{x,y}) Lösen eines Gl.systems in Form einer Matrix M rref(m) Analysis Definieren von Funktionen x^2+3x-4 f(x) t^2+3t-4 f(t) Definieren von Funktionenscharen x^2+a*x f(x,a) Nullstellen zeros(f(x),x) zeros(x^3,x) solve(f(x)=0,x) solve(x^3=0,x) Ableitung (Eingabe mit [2nd][8]) d(f(x),x) d(f(x,a),x) d(f(t),t) n-te Ableitung: zusätzlicher Parameter n d(f(x),x,n) Lineare Algebra Vektoren Eingabe als Zeilenvektor [1,2,3] v Eingabe als Spaltenvektor [1;2;3] v Betrag eines Vektors norm(v) norm([1,2,3]) Einheitsvektor zu einem Vektor unitv(v) Skalarprodukt dotp(v1,v2) Vektor- oder Kreuzprodukt crossp(v1,v2) Matrizen (Zeilen durch Semikolon getrennt oder als Zeilenvektoren) [1,2;3,4] m [[1,2][3,4]] m Einheitsmatrix der Form n n identity(n) Matrixpotenzen m^3 Inverse Matrix m^-1 Stochastik Binomialkoeffizient ( n über k ) ncr(n,k) Für die Verteilungsfunktionen muss die Flash-App Stats/List-Editor installiert sein (wird nach Drücken von [APPS][ENTER] angezeigt, falls vorhanden). Binomialverteilung B n;p (k): binompdf(n,p,k) F n;p (k): binomcdf(n,p,k) F n;p (b) F n;p (a): binomcdf(n,p,a+1,b) Normalverteilung Dichtefunktion ϕ µ;σ (x): normpdf(x,µ,σ) Integral von ϕ µ;σ in den Grenzen von a bis b: normcdf(a,b,µ,σ) Stelle x, für die die Integralfunktion Φ µ;σ (x) den Wert p annimmt: invnorm(p,µ,σ) Integral (Eingabe mit [2nd][7]) (f(x),x,2,5) (f(t),t,2,5) Stammfunktion (f(x),x) Grenzwert (Eingabe mit [F3][3]) limit(f(x),x,5) Einseitiger Grenzwert von rechts bzw. links limit(f(x),x,5,1) limit(f(x),x,5,-1) 19 Version 1.3, 2012, D. Lühning

20 Index Abbruch von Berechnungen 18 Ableitung 8 Angle 2, 4 Ausmultiplizieren 5 ausschneiden 3 Backspace 3 Betrag 5 eines Vektors 11 binomcdf 14 Binomialkoeffizient 14 Binomialverteilung 14 binompdf 14 Bogenmaß 2, 4 crossp 11 Cursor blockförmig 3 strichförmig 3 Data/Matrix-Editor Dateneingabe 8 Matrix 12 DEGREE 2, 4 DelVar 18 differenzieren 8 Discontinuity Detection 2 Display Digits 2 dotp 11 Einfügemodus 3 einfügen 3 Einheitsmatrix 12 Einheitsvektor 11 Einstellungen 2 Eulersche Zahl 3 Exact/Approx 2 Faktorisieren 5 Fakultät 14 Fehler Argument Error 16 Argument must be variable name 18 Dimension 16 Dimension Mismatch 16 Domain Error 17 First argument of solve Invalid variable reference 17 Name is not a function Non-algebraic variable in expression 18 Syntax 18 Undefined variable 18 Variable... is locked, Funktionen abschnittsweise definierte 7 definieren 6 im Y-Editor 6 Funktionenschar 7 Funktionsanpassung 8 Funktionswerte 6 Gradmaß 2, 4 Graph 2 Grenzwert 10 Griechische Buchstaben 3 identity 12 Integral 9 Integralfunktion 9 inverse Matrix 13 invnorm 15 kopieren 3 Kosinus 4 Kreuzprodukt 11 Limes 10 limit 10 Logarithmus 4 Löschen Variable 18 von Zeichen 3 markieren 3 Matrix 12 inverse 13 Operationen 12 Matrixpotenz 13 MODE 2 n über k 14 ncr 14 norm 11 Normalverteilung 15 Dichtefunktion 15 normcdf 15 normpdf 15 Nullstelle 8 P(a X b) 14 P(X=k) 14 P(X k) 14 Quadratwurzel 4 RADIAN 2, 4 Regression 8 rref 13 Signum 5 Sinus 4 Skalarprodukt 11 solve Bedingungen 5 Gleichungen 5 Gleichungssysteme 6 Vektorgleichungen 11 Sonderzeichen 3 20 Version 1.3, 2012, D. Lühning

21 Spracheinstellung 2 Stammfunktion 10 Tangens 4 transponieren Matrix 13 Vektor 11 Überschreibmodus 3 unitv 11 Vektor 10 Operationen 11 Spaltenvektor 10 Zeilenvektor 10 Vektorprodukt 11 when 7 Wurzel 4 zeros e 3 π 3 21 Version 1.3, 2012, D. Lühning