Papierhubschrauber. Von Hans Joachim Schlichting und Bernd Rodewald. 1. Rotierende Papierflieger als Unterrichtsgegenstand

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1 Papierhubschrauber Von ans Joachim Schlichting und Bernd Rodewald. Rotierende Papierflieger als Unterrichtsgegenstand Papierflieger sind zum eidwesen vieler ehrer bei den Schülern sehr beliebt. Man wird daher sicherlich auf deren Interesse stoßen, wenn man Papierflieger zum egenstand des Unterrichts macht. Besonders reizvoll erscheint uns insbesondere der Papierhubschrauber; den wir hier betrachten wollen. Es handelt sich um einen lieger, der einfach losgelassen wird und - sich um die eigene Achse drehend - langsam zu Boden geht. Er ähnelt damit den lugsamen mancher Pflanzen (z. B. den A- hornsamen; [], []). emeinsam ist diesen lugobjekten nicht nur der faszinierende Mechanismus, durch den die Rotation,,angeworfen" und gesteuert wird, sondern auch die bemerkenswerte Stabilität und Präzision, mit der der lug" abläuft. Das führt zu einer Reihe physikalisch interessanter ragen: Warum fällt das jeweilige Objekt nicht wie ein Stein? Wieso schaukelt sich die Rotation nicht ad infinitum auf? Welche Mechanismen regulieren den stationären lugzustand? Wie lassen sich die Zustandsparameter des stationären lugs beeinflussen? Wir werden diese ragen an dieser Stelle für den Papierhubschrauber (P..) beantworten, welcher trotz seiner vielseitigen physikalischen Aspekte unseres Wissens bisher noch nicht in der didaktischen iteratur diskutiert wurde. Die Antworten werden in ihrer qualitativen orm im renzfall sehr schmaler lügel auf den Ahornsamen übertragbar sein. Der P.. ist leicht und billig herstellbar und damit für Schülerversuche hervorragend geeignet. Er ist problemlos variierbar und auf definierte Weise manipulierbar. Dieses betrifft vor allem sein ewicht, die lügellänge, die lügelbreite, die lügelrichtung, die orm etc. Die Konstruktion des P.. ist einfach und z. B. in [3] beschrieben. Abb. liefert einen Konstruktionsplan: Aus den beiden älften des oberen Papierstreifens werden durch Knicken nach vorn und nach hinten die lügel; aus dem unteren Teil entsteht durch Umlegen der Seitenteile zur Mitte und (evtl. mehrmaliges) Umfalten des dabei entstehenden ußendes der Rumpf. Die Abmessungen der Teile sind relativ weit variierbar und für das lugverhalten unkritisch.. Die allbewegung des Papierhubschraubers Der P.. läßt sich durch drei Zustandsparameter kennzeichnen: durch die Sinkgeschwindigkeit v s, die Drehfrequenz ω und den Winkel α, welcher die Richtung der lügel relativ zur otrechten angibt. Wir werden zur Bestimmung der Phänomene im folgenden ein mit dem P.. bewegtes Bezugssystem benutzen und zunächst den Sinkvorgang genauer betrachten. ällt der P.. im abor mit einer Sinkgeschwindigkeit vom Betrage v s, so wird im mitbewegten Bezugssystem ein uftstrom nach oben registriert, dessen eschwindigkeit ebenfalls die röße v s hat. Dieser uftstrom behält i. w. seine Richtung bei, wird allerdings durch die Wechselwirkung mit dem lieger schließlich auf die eschwindigkeit v e abgebremst. Auf die uft wirkt also eine Kraft, welche als reactio eine nach oben gerichtete Kraft auf den P.. zur olge hat. Vom aborsystem aus betrachtet wirkt sie der ewichtskraft des liegers entgegen. Im Verlauf der allbewegung wird sie schließlich so groß, daß vollständig kompensiert wird: Dann fällt der P.. kräftefrei und demzufolge mit konstanter Sinkgeschwindigkeit.

2 Die Abbremsung der anströmenden uft erfolgt i. w. durch die lügel des P.., also innerhalb eines größeren Raumbereichs. Man kann jedoch den Wind und seine Wirkungen auf die lügel in jeweils einem Punkt, dem sog. Druckpunkt, angreifend denken. (Die Konstruktion dieses Punktes ist der Konstruktion des Schwerpunktes ähnlich; siehe z. B. [4].) aben die lügel die änge l, so habe der jeweilige Druckpunkt (D.P.) den Abstand l = pl (0 p ~ ) zur Rumpfoberkante des P.. (Abb. ). Sein Abstand zur senkrechten Mittelachse des P.. (zum Punkt D) sei d. d hängt über r = ~ l sinα vom Winkel α ab, welcher die Richtung des jeweiligen lügels angibt. r ist dabei der Radius eines Kreises in öhe der Druckpunkte, an dem die lügel tangential anliegen. enauer entnimmt man der Abb. für d die Beziehung r d = () cosγ wobei γ durch b / tgγ = () r mit b als lügelbreite festgelegt ist. Mit der Abkürzung r q = ~ = sinα (3) l läßt sich l.() auch in der orm Abb. : eometrie des Papierhubschraubers und die auftretenden Windgeschwindigkeiten (s. Text); a) perspektivische Darstellung, b) Darstellung der Verhältnisse am lügel aus der Vogelperspektive b tg γ = pl q (4) angeben. rundsätzlich ist dabei die röße von p bzw. ~ l (d. h. die age des Druckpunktes) vom jeweils herrschenden Strömungsfeld abhängig. ier sei jedoch idealerweise angenommen, daß die agevariationen des Druckpunktes hinreichend klein, zumindest jedoch vernachlässigbar sind gegenüber allen anderen auftretenden Parametervariationen, so daß p bzw. ~ l näherungsweise als konstant angesehen werden kann. v bezeichnet die eschwindigkeit der den P.. durchströmenden uft in der öhe der lügeldruckpunkte. Ein plausibler Ansatz für die röße von v ist dann das arithmetische Mittel aus v s und v e. (Dieses ist in der Windmühlentheorie üblich; siehe z. B. [5]): v = ( v s + v e ) ve v = ( + k ) mit k = (5) vs Es ist bei Ahornsamen empirisch bestätigt, daß das eschwindigkeitsverhältnis k (0 k ) näherungsweise als Konstante angesehen werden kann, so daß also v ~ v s [6]. Wir setzen diese Zusammenhänge auch für den P.. als gültig voraus. Die extremalen Werte 0 und für k sind allerdings relativ irreal: k = l bedeutet keine eschwindigkeitsänderung der uft und damit keinerlei abbremsende Kraft auf den P..: k = 0 bedeutet, daß sich die uft hinter den lügeln des P.. staut und damit nichts mehr nachströmen kann, so daß die Einströmgeschwindigkeit ebenfalls zu 0 wird. Der reale Wert wird - je nach Bauweise des lugobjekts - irgendwo zwischen den beiden renzfällen liegen. In Abb. ist der Vektor v eine zum lügel parallele v und eine zum lügel senkrechte Komponente v,zerlegt. ür die folgenden Überlegungen ist vor allem v bedeutsam. Nach l. (5) gilt: + k v = v sinα = vs q (6) 3. Die Rotation des Papierhubschraubers 3. Das Einsetzen der Rotation Man kann sich fragen, warum sich der P.. nicht wie ein Stein verhält, d. h. nach anfänglicher Beschleunigung schließlich mit konstanter eschwindigkeit v s zu Boden fällt, ohne dabei zu rotieren (ω = 0).

3 Zwar gelingt es mitunter, den P.. ohne Rotation fallen zu lassen, wenn dafür Sorge getragen wird, daß die lügel vertikal ausgerichtet sind (α = 0). In diesem all strömt die uft parallel an den lügeln vorbei ( v = 0), und es tritt folglich keine Wechselwirkung auf, die eine Rotation hervorrufen könnte. (Dabei vernachlässigen wir den durch den Parallelstrom am lügelende induzierten Widerstand.) Allerdings ist dieser Zustand (v s = konst., ω = 0, α = 0) nicht stabil. Bereits kleinste Abweichungen von α = 0, die durch stets vorhandene Störungen bedingt sein können, führen zu einer Wechselwirkung mit der uft ( v > 0). Als olge davon tritt eine Kraft am lügel auf, welche nicht wie man naiverweise vielleicht erwartet die lügel zusammendrückt, sondern ganz im egenteil eine Rotation anfacht und als eine olge davon die lügel noch weiter öffnet (vgl. Abschnitt 4). Um zu verstehen, wie ein Drehmoment am P.. entstehen kann, betrachten wir die Vorgänge anhand von Abb. 3 etwas genauer. Die mit der eschwindigkeit v die lügel anströmende uft bewirkt im Druckpunkt des einen lügels eine uftkraft und am anderen lügel die betragsmäßig gleiche Kraft. Die Richtung von, ist insofern durch die Richtung von v bestimmt, als diese Kraft in einer Ebene liegt, welche senkrecht zum lügel steht und durch den Druckpunkt geht. (Diese Ebene ist in Abb. 3a) mit E bezeichnet.) Im einfachsten all einer symmetrischen Umströmung der lügel stehen und darüber hinaus sogar zunächst senkrecht zum lügel, so daß sich in der Aufsicht das Bild der Abb. 3b ergibt. Dabei sind mit ; und, die orizontalkomponenten der uftkräfte und zu sehen. Der eingezeichnete Kreis mit Radius r wurde bereits weiter oben (vgl. Abb. ) eingeführt. Man entnimmt der Abb. 3b, daß an den lügeln des P.. ein Kräftepaar vorhanden ist, welches ein Drehmoment um den Drehpunkt D bewirkt. Dieses entsteht unabhängig von der röße von α und kommt offensichtlich dadurch zustande, daß die lügel nicht achsensymmetrisch, sondern punktsymmetrisch zueinander liegen. ür das Drehmoment M ergibt sich M d sin β (7) =, Dabei ist ; sinβ die für das Moment wirksame Kraftkomponente. Sie steht senkrecht auf dem Richtungsvektor d, welcher vom Drehpunkt zum Druckpunkt weist und die änge d hat. (In Abb. 3 ist der Winkel β zwischen d und ; genauso groß wie γ, da hier senkrecht auf dem lügel steht und ; damit in eine zum lügelquerschnitt senkrechte Richtung weist.) Solange die Vektoren d und nicht übereinander liegen, ; ist diese Kraftkomponente von Null verschieden und führt damit zur Anfachung einer Rotation (in Abb. 3b) entgegen dem Uhrzeigersinn). Da darüber hinaus als olge auch α wächst, entfernt sich der P.. immer mehr vom stationären Zustand (v s = konst., ω = 0, α = 0). Dieser ist also instabil. Abb. 3: uftkräfte an den lügeln kurz vor Einsetzen der Rotation a)seitenansicht, b) Aufsicht 3. Die Begrenzung der Drehfrequenz Da eine solche Aufschaukelung sich nicht endlos fortsetzen kann, sondern erfahrungsgemäß in einem stationären Endzustand mündet, stellt sich die rage nach den begrenzenden Effekten. Mit zunehmender Rotationsfrequenz weicht - vom P.. ausgesehen - die,,windrichtung" immer mehr von der durch v gegebenen Richtung ab (Abb. 4). Bezeichnet man die eschwindigkeit dieses Windes" mit v w, so setzt sie sich nämlich aus zwei Anteilen zusammen: aus der bereits 3

4 erklärten eschwindigkeit v und einer horizontalen, parallel zum lügelquerschnitt orientierten eschwindigkeit v h. Sie kommt durch die Rotation zustande. Somit gilt: v h = ω r (8) v h vergrößert sich also mit ω, und da v mit v s wächst folgt hieraus zunächst einmal, daß die uftkraft (analog ) zu Beginn des alls betragsmäßig wächst. Neben dem Betrag ändert sich jedoch auch die Richtung von. Wir erläutern dieses für die Phase des alls, wo die Sinkgeschwindigkeit des P.. bereits in der Nähe des stationären Wertes liegt. Dann vergrößert sich v kaum noch, während v h bei nichtverschwindendem Drehmoment M immer größer wird. Abb. 4 veranschaulicht die Auswirkungen auf die uftkraft in der oben definierten Ebene e (analog für am anderen lügel). Die Situation unterscheidet sich von dem in Abb. 3 dargestellten all, in dem sich nur als Widerstand bemerkbar macht, da dort in Richtung des wirk- samen Windes" zeigt, in die per Definition auch die sogenannte Widerstandskraft weist. W In Abb. 4 dagegen steht wegen v h 0 der wirksame Wind" nicht mehr senkrecht auf dem lügel, weshalb sich an ihm auch eine Kraft senkrecht zur Windrichtung, die sogenannte Auftriebskraft chend ist hier, bemerkbar macht. Dementspre- A ; viel mehr gilt: W = + A (9) W Abb. 4 verdeutlicht den Effekt einer zunehmend größer werdenden horizontalen eschwindigkeitskomponente infolge einer sich aufschauenden Drehfrequenz: eht man davon aus, daß das Verhältnis von Auftriebs und Widerstandskraft c = = δ A A (0) W cw näherungsweise als konstant angesehen werden kann) so wird bei zunehmender orizontalkomponente des Windes" mit W auch immer stärker nach links gekippt" (c A = Auftriebsbeiwert; c W = Widerstandsbeiwert; siehe z. B. [4]). ällt schließlich der Wind" hinreichend flach auf den lügel ein, so kommt über dem weiter oben definierten Vektor d zu liegen (Abb. 4b). Dann ist die orizontalkomponente von, antiparallel zu d gerichtet, was β = 0 und demzufolge M = 0 bedeutet. Daher wird ω nicht beliebig groß, sondern kann nur solange wachsen, bis dieses verschwindende Drehmoment ωsich eingestellt hat. 4. Die Stellung der lügel Wir haben bereits angedeutet, daß eine vertikale Ausrichtung der lügel nicht stabil ist. In der Tat beobachtet man, daß α merklich schnell anwächst und in der Regel Werte um 80 erreicht. Wieso öffnen sich also die lügel, so daß α = 0 eine instabile lugstruktur darstellt? Der rund Abb. 4: Abhängigkeit der Richtung von der horizontalen eschwindigkeit v h und damit von ω. eht man von Abb. a) zu Abb. b) über, so wird v h, größer und dementsprechend stärker nach links zum Vektor d gekippt. In Abb. b) liegt über d. 4

5 liegt im Auftreten einer Zentrifugalkraft mit Z Z = m l d ω () welche im Schwerpunkt des lügels angreift, sobald die Rotation eingesetzt hat (m l ist die Masse eines lügels; d bezeichnet nach Abb. 5 den Abstand des lügelschwerpunktes von der Drehachse). Die Kraft Z versucht, den lügel um die Knicklinie am Rumpf nach unten zu drehen, während die uftkraft den lügel aufzurichten versucht. enauer ergibt sich das folgende Bild: Entscheidend für das im Uhrzeigersinn drehende Moment ist die senkrecht auf dem lügel stehende ~ Komponente Z cosα der Zentrifugalkraft, und entscheidend für das entgegengesetzt drehende Abb. 5: Kräfte am lügel, welche den Winkel α beeinflussen (D.P. = Druckpunkt, S. P. lügelschwerpunkt): a)aufsicht, b) Seitenansicht. Moment ist die senkrecht auf dem lügel stehende Komponente der uftkraft,. (Bem.: In Abb. 3a) ist die spezielle Situation =, dargestellt.) α vergrößert sich dann, wenn ~ ~ cosα >, l. () Diese Ungleichung ist aber gerade für kleine Winkel α gut erfüllt. Denn im renzfall α strebt die rechte Seite von () wegen ~ v, und v ~ sinα mit sin α gegen Null, während die linke Seite wegen ~ = Z Z cosε, r cosε = ~ sinα und Z nach l.() nur mit d sinα gegen Null strebt, wenn das Vorhandensein einer Drehung einmal vorausgesetzt wird (ω 0). Der Zustand α = 0 ist also instabil, die lügel weiten sich auf. Ähnlich wie bei der Diskussion der Drehfrequenz hat auch das Wachstum von α seine renze Sie ist dann erreicht, wenn in () das leichheitszeichen steht. Dieses ist bei hinreichend großem a der all, da die rechte Seite von () mit wachsendem a durch die damit verbundene Vergrößerung von v wächst, während die linke Seite wegen des cos-aktors immer kleiner wird. ieraus folgt insbesondere, daß α niemals 90 werden kann. 5. Die Stabilität des stationären Zustands Die Ausführungen in den vorangegangenen Abschnitten liefern eine physikalische Begründung dafür warum der P.. schließlich einen stationären Zustand mit wohldefinierten Werten der Zustandsparameter v S, ω und α erreicht. Die Beobachtung zeigt, daß dieser Zustand auch stabil ist, daß kleine zufällige Störungen des Systems also wieder abgebaut werden. Auch diese Tatsache läßt sich jetzt verstehen: Stabilität der Sinkgeschwindigkeit: Der stationären Wert ergibt sich aus dem leichgewicht von ewichtskraft und gesamter, am P.. wirksamer uftkraft, = ges + welche nach oben gerichtet ist und mit v S monoton wächst. iegt v S zufällig unter dem stationärem Wert, so überwiegt die ewichtskraft der Kraft, der ges P.. wird beschleunigt und v S erreicht wieder den stationären Wert. Ist umgekehrt v S größer als der stationäre Wert, so überwiegt die uftkraft, ges der ewichtskraft, der P. R. wird abgebremst und v S erreicht ebenfalls wieder den Wert im stationären Zustand. Stabilität der Drehfrequenz: Das Anwachsen kleiner Drehfrequenzen wurde bereits diskutiert. Zu beschreiben bleiben Drehfrequenzen oberhalb des stationären Wertes. ür diese ist die uftkraft im Sinne von Abb. 4) über den Vektor d nach links hinausgekippt so daß ein Drehmoment entsteht, was der Rotation entgegenwirkt und demzufolge wieder ω reduziert. Stabilität des Richtungswinkels: Der stationäre Wert ergibt sich aus dem leichgewicht der Drehmomente aus Ungleichung (). Seine Stabilität wurde bereits im vorherigen Abschnitt begründet. 5

6 6. Abhängigkeit des stationären Zustands von Systemparametern Aussagen über die Abhängigkeit des stationären Zustands von typischen Parametern des P.. lassen sich erst nach einer quantitativen ormulierung der oben diskutierten drei Stationaritätsbedingungen machen, da diese simultan erfüllt sein müssen. ür die hiermit zusammenhängenden Überlegungen verweisen wir auf den Anhang und geben an dieser Stelle nur die Ergebnisse an: Die Stationarität der Sinkgeschwindigkeit v S bedeutet, daß die leichung (A. l0) erfüllt sein muß: = a ρl q v. (3) s Dabei ist die ewichtskraft des P.., a eine Konstante ρ die uftdichte, l die lügellänge und q = sinα. Die Stationarität der Drehfrequenz ω wird durch die leichung (A. 5) v = ω l a f( q ) (4) S Abb. 6: raph der unktion q ausgedrückt. ierbei ist a ~ eine Konstante und f(q) nach leichung (A.6) eine von q = sinα abhängige unktion mit der lügellänge l als Parameter und nach Ungleichung (A. 7) oberhalb eines kleinsten q-wertes q min definiert. Die Stationarität des Richtungswinkels α schließlich wird durch die leichung (A. 0) q q = p m l ω (5) l q f ( q) zum Ausdruck gebracht (p ist eine Konstante und m l die Masse eines lügels). Um im folgenden exemplarisch den Einfluß von ewichtskraft und lügellänge auf den stationären Zustand des P.. diskutieren zu können, setzen wir l. (4) in l. (3) ein und erhalten ~ 4 = aa ρl ω q f ( q). (6) Benutzt man diesen Ausdruck für die leichung (5), so folgt q paa f ( q) = ρl m 3 l (7) Abb. 6 zeigt den qualitativen Verlauf der unktion von der linken Seite von l.(7) im physikalisch bedeutsamen Parameterbereich q q min. Unter Einbeziehung dieses raphen können wir jetzt die folgenden Aussagen aus den gewonnenen leichungen ableiten. a)einfluß der ewichtskraft (bei = konst.): q und damit α hängt nicht von der ewichtskraft des P.. ab (l. (7)). Dieses hat als weitere Konsequenzen: Je größer wird, desto größer wird auch v S (l.(3)). Je größer wird, desto größer wird auch ω (l.(6)). b)einfluß der lügellänge (bei = konst.): Je größer l wird, desto größer wird q (l.(7)) und desto kleiner also q f ( q) und damit α (s. Abb. 6). Allerdings ist diese Verringerung nur sehr klein. Je größer l wird, desto kleiner wird ω (l.(5)). Je größer l wird, desto kleiner wird v S (. (3)). Diese Aussagen lassen sich sämtlich durch einfache direkte Beobachtungen bestätigen. Diese Beobachtung läßt sich noch verfeinern, wenn man ein Stroboskop zur Verfügung hat und vom stationären lug des jeweiligen P.. stroboskopische Aufnahmen macht. Abb. 7 zeigt exemplarisch eine solche Aufnahme, aus der sich bei Kenntnis der Blitzfrequenz v S und ω unmittelbar ergeben. ω läßt sich am Stroboskop ablesen, wenn man dieses so einstellt, daß der P. nach genau Umdrehung wieder beleuchtet wird; und v S ergibt sich aus der ablesbaren allstrecke auf dem oto, wenn man die Abmessungen des P.. zur Umrechnung des Maßstabs benutzt, und der Blitzfrequenz. Der Winkel α läßt sich direkt auf dem oto ausmessen. 6

7 Abb. 8 zeigt den registrierten Einfluß von auf v S und auf ω. Nach I. (3) sollte v S ~ Abb. 7: Stroboskopische Aufnahme des rotierend zu Boden fallenden Papierhubschraubers und nach l.(6) sollte ω ~ sein. Die Messungen kommen diesen Wurzelbeziehungen relativ nahe. Auf eine genauere Analyse sei hier jedoch verzichtet. Abb. 9 zeigt den gemessenen Einfluß von auf v S und ω.ür nahezu konstantes q und q nahe wie man es auch beobachtet, ergibt sich theoretisch aus (3) die Proportionalität v S ~ l und aus (5) folgt v S ~. l Damit liegt auch hier ein Ansatzpunkt vor, die üte des zugrunde gelegten theoretischen Modells für das Realobjekt zu überprüfen. 7. Der P.. als Nichtgleichgewichtsstruktur Der P.. kann thermodynamisch als ein energiedurchflossenes System angesehen werden, welches im stationären Zustand hochwertige potentielle Energie in minderwertige Wärme umwandelt (zum Wert von Energie s. [7]). Diese fortlaufende Energiedissipation ist quasi der,,motor" für die Aufrechterhaltung der räumlichen (durch α definierten) und zeitlich periodischen (durch ω definierten) Struktur im stationären Zustand. Sie ist auch entscheidend an der Stabilisation der raumzeitlichen Struktur des P.. beteiligt, welche durch einen Selbstregulationsmechanismus zustande kommt. Diese Selbstregulation wird durch Rückkopplungen realisiert. So wirkt sich z.b. die röße von α auf die röße der am lügel angreifenden Drehmomente aus, welche wiederum die röße von α bestimmen: Während das mit der uftkraft gekoppelte Moment mit zunehmendem Winkel α wächst, fällt mit wachsendem α das zentrifugale Moment (s. Abschnitt 4). Dieses unterschiedliche Wachstum der Momente ist Ausdruck der Nichtlinearität des Systems und notwendige Voraussetzung für die Existenz eines endlichen stationären Wertes für den Richtungswinkel. Abb. 8: emessener Einfluß der eschwindigkeit auf a) die Sinkgeschwindigkeit v S. b) die Rotationsfrequenz ω (lügellänge l=9,3 cm) 7

8 Der P.. besitzt damit Eigenschaften, wie sie auch an anderen einfachen mechanischen Systemen beobachtet werden können (s. [8], [9], [lt)]) chenen thermodynamischen Strukturen fernab vom leichgewicht erforderlich ist. Der Vorteil dieses Spielzeuges ist es, daß sein Verhalten ohne thermodynamische Kenntnisse beschrieben werden kann. Es war die Absicht der vorangegangenen Abschnitte eine solche Beschreibung sowohl auf Qualitativen als auch auf quantitativen Niveau Abb. 9: emessener Einfluß der lügellänge l auf a) die Sinkgeschwindigkeit v S. b) die Rotationsfrequenz ω. (ewichtskraft =,5 0 - N) Abb. 0: uftkraftkomponenten am lügel im stationären Zustand (D.P. = Druckpunkt; = rechter Winkel). vorzustellen. Anhang: Quantitative ormulierung der Stationaritätsbedingungen Um diese Bedingungen formulieren zu können, benötigt man die expliziten Ausdrücke für bestimmte Komponenten der uftkraft. Da wir uns an dieser Stelle auf den stationären Zustand beziehen, ist dieses jedoch relativ einfach. Ausgangspunkt der Überlegungen ist die Tatsache, daß im stationären Zustand die Identität,ges = gilt. was für die uftkraft am einzelnen lügel bedeutet, daß ihre vertikale Komponente, (s. Abb. 0) die halbe ewichtskraft kompensieren v muß: v, = (A.) ieraus lassen sich mit ilfe der angegebenen Winkel die übrigen relevanten Kraftkomponenten berechnen. Der Abb. 0 entnimmt man für die senkrecht auf den lügel stehende, in der Ebene E liegende Kraft die Beziehung (q = sinα):, und welche typisch sind für die sog. dissipativen Strukturen im Sinne Prigogines. Der P.. kann u. E. als ein anschauliches Beispiel zur Einführung der Systembeschreibung dienen, welche bei der Erfassung der hiermit angespro- l, v = sinα, = q (A.) 8

9 ür die horizontale, senkrecht zum lügel stehende Kraftkomponente folgt entsprechend:, q, =, v ctgα =. (A.3) q ieraus ergibt sich, zu: ~ tgγ, (A.4), =, was benötigt wird, um γ ~ bzw. tgγ ~ angeben zu können: tg~, γ = = q tgγ (A.5), Die Ausdrücke (A. ), (A. 3) und (A. 5) werden im folgenden bei den Stationaritätsbedingungen benutzt., ges. Bedingung: v S = konst. ierfür benötigt man einen Ausdruck für die esamtluftkraft der sich durch eine energetische Betrachtung leicht gewinnen läßt (siehe z. B. auch [5]) Durch die wirksame läche A = πr = πp l q (A.6) des P.. tritt ein uftstrom, welcher von der eschwindigkeit v auf v abgebremst wird. Damit verliert die uft pro Zeiteinheit die Energie Δ W = mv S m v e, (A.7) wobei pro Zeiteinheit die Masse m = ρva die durch die läche A hindurchtritt (ρ ist die Dichte der uft). Die abbremsende Kraft au den,,wind" ist damit durch Δ W /v gegeben. Wodurch wegen,actio gleich reactio auch der Betrag der uftkraft festgelegt ist. Mit l.(a. 8) folgt also:, ges, ges ( v v ) = ρ A S e (A.9) Die Stationaritätsforderung,ges = schreibt sich damit unter Benutzung von (A. 6) und dem eschwindigkeitsverhältnis k = v e /v S : = a ρ l q, v S wobei zur Abkürzung a = π p gesetzt wurde ( k ). Bedingung: ω = konst. In der oben beschriebenen Ebene E (s. Abb. 3) liegen im stationären Zustand geometrische Verhältnisse vor, wie sie durch Abb. wiedergegeben werden (vgl. auch Abb. 6). ür das Kräfteverhältnis 8 nach l. (0) gilt dann: ξ ~ γ δ ( ξ ~ tg tg tg γ ) = + tgξ tg~ γ =, (A.) wobei tgγ ~ durch (A.5) und tgξ wegen l. (6) durch ωr ωl tgξ = = a~ (A.3) v gegeben ist. T v S p a~ = (A. 4) + k wurde hierbei wieder zur Abkürzung eingeführt. (A ) läßt sich nach tgξ auflösen und führt mit den Ausdrücken (4), (A 5) und (A. 3) auf die Beziehung v S ~ = ω l a f ( q) (A.4) f(q) steht dabei für den Term Abb. : uftkräfte in der von v und v h aufgespannten Ebene für den all einer stationären Drehfrequenz. b q δ q ( ) pl f q = b δ q + q pl (A.6) ier ist wesentlich, daß wegen ω 0,v S 0 und 9

10 ω al = tgξ = f ( q) v ~ / S nur die Werte von f(q) physikalische Bedeutung haben, für welche b q q pl ist, so daß stets δ 0 q q min b δ pl = b + δ 4 p l (A.7) sein muß. ür sehr schmale lügel (b << ) geht q min gegen Null. ür die für einen P.. typischen Werte δ = 0, b/(pl) = /0 ist q min 0,89 also relativ nahe bei. [5] Molly J: Windenergie in Theorie und Praxis, Karlsruhe; Müller 978 [6] ertel,.: Struktur-orm-Bewegung. Mainz: Krausskopf-Verlag 963 [7] Schlichting.J.: Energie und Energieentwertung eidelberg: Quelle & Meyer 983 [8] Rodewald, B. und Schlichting.J.:. Der pickende Specht ein Spielzeug, das Reibung konstruktiv nutzt. In: Scharmann. A) ofstaetter, A. und Kuhn, W (g.): DP-achausschuß Didaktik der Physik: Vorträge der rühjahrstagung 983 ießen. ießen 983, S 50. [9] Rodewald, B und Schlichting,..J.: Ein Spielzeug zur Veranschaulichung von Katastrophen in Ökosystemen, NiU P/Ch 3 (984) [0] Schlichting.J. und Rodewald, B.: Physikalische Beobachtungen am Dampf-Jet-Boot. In: Kuhn, W.; DP-achausschuß Didaktik der Physik. Vorträge der rühjahrstagung 984 Münster. ießen Bedingung α = konst. ür den stationären Wert von α ist ~ Z cosα =, pl. (A.8) Der Abb. 5 entnimmt man, daß ~ r Z = Z. (A.9) d Mit dieser Beziehung, mit Z nach l. ()., nach l.(a.) und r = / q folgt aus (A. 8) die leichung ω q q = p. (A. 0) m l l iteratur [] Norberg A.: Autorotation, self-stability, and structure of single-winged fruits and seeds (samaras) with comparative remarks on animal fight Biol, Rev, of die Cambr. Phil. Soc. 48(973). S [] Walker; J.: Die Aerodynamik von lugfrüchten. Spektrum der Wissenschaft /98, S, 4 [3] Mander; I, Dipple,. und ossage..: Papierfieger. Modelle zum selberfalten; München. dtv 98 Taschenbuchausgabe) [4] Prandtl, Oswatitsch, K. und Wieghardt, K.. Strömungslehre Braunschweig, Vieweg 969 0