Aufgaben / Anwendungen

Transkript

1 1 Auf einer isoliert liegenden Insel mit 1600 Einwohnern beschließen 8 Personen ein Gerücht zu verbreiten. Nach 10 Tagen wissen es 60 Personen, nach 20 Tagen 330 Personen, nach 30 Tagen 1040 Personen, nach 40 Tagen 1500 Personen und nach 50 Tagen wissen 1580 Personen von dem Gerücht. a) Stelle die Ausbreitung des Gerüchts durch das logistische Wachstum dar: f 0 e k t f t = 1 f 0 Zeige, das sich für k ungefähr k = 0,2 ergibt und G ek t 1 verwende diesen Wert für die weiteren Rechnungen. b) Stelle das Gerücht durch ein begrenzte Wachstum: b t =G G f 0 e a t dar. c) Vergleiche beide Ansätze. d) Betrachte die Wachstumsgeschwindigkeit f'(t) und berechne, wann die Wachtumsgeschwindigkeit maximal ist. Wie kann man allgemein aus der Ausbreitungsgeschwindigkeit die Grenze G ermitteln? e) Interpoliere den Graphen zur Ausbreitungsgeschwindigkeit f'(t) durch ein geeignetes Polynom p(t). f) Betrachte jetzt das Polynom p(t) für die Ausbreitungsgeschwindigkeit und berechne die Anzahl der Personen, die nach 10, 20, 30, 40, 50 Tagen von dem Gerücht wissen. Vergleiche: Tage Personen f(t) b(t) p(t) g) Diskutiere die Ergebnisse. 2 Ein Patient bekommt durch Tropfinfusion N g Nährmittellösung zugeführt. Im Körper werden p% der vorhandenen Nährmittelmenge stündlich abgebaut. a) Stelle die Nährmittelmenge im Körper durch eine Funktion dar. b) Wie ist N zu wählen, damit der Bestand nie über eine Grenze K g steigt? c) Wie groß ist die Nährmittelmenge nach 4 Stunden bei K = 5g und p=20%? Wie hoch ist in diesem Fall N zu dosieren? Aus Focus BW, Seite 90 D. Müller CCS 2007 Aufgaben

2 3 Untersuchungen zeigen, dass Fichten unter bestimmten Wachstumsbedingungen in t Jahren die Höhe h(t) in Metern erreichen. Das Wachstum wird durch die t 30 Funktion h t =20 1 arctan beschrieben. Arctan ist die 20 Umkehrfunktion zu tan(t). Stelle eine Wertetabelle für das Fichtenwachstum auf und stelle es graphisch dar. Wann ist der jährliche Zuwachs maximal? Vergleiche mit einem logistischen Wachstumsmodell. Aus Focus BW, Seite 91 4 Auf einer Insel werden 20 Kaninchen ausgesetzt. Nach einem Jahr sind es bereits 78. Man kann davon ausgehen, dass es Nahrung für 400 Kaninchen gibt. a) Beschreibe den Kaninchenbestand durch ein logistisches Wachstum. b) Nach wie vielen Jahren ist der Bestand größer als 200? c) Beschreibe den Bestand durch ein beschränktes Wachstum. d) Skizziere beide Verläufe und diskutiere die Ergebnisse und Unterschiede. Aus Focus BW, Seite 91 5 In einer Stadt wird eine neue Sauna eröffnet. Die Tabelle gibt die mittlere Besucherzahl in den ersten 6 Wochen an. (Fokus BW Seite 92) Stelle eine Bestandsfunktion auf, begründe deine Modellwahl und wage eine Prognose. Aus Focus BW, Seite 92 6 Eine Tasse Kaffee kühlt sich bei einer Umgebungstemperatur von 20 C in 10 Minuten von 90 C auf 60 C ab. Beschreibe den Temperaturverlauf durch eine Bestandsfunktion. Nach wie viel Minuten hat der Kaffee die Körpertemperatur 37 C erreicht? Aus Focus BW, Seite 90 D. Müller CCS 2007 Aufgaben

3 7 Nach dem Newtonschen Abkühlungs- bzw. Erwärmungsgesetz erwärmt sich sich eine Flüssigkeit, deren Temperatur geringer als die Zimmertemperatur ist, zu jedem Zeitpunkt proportional zur Differenz von Eigen- zu Zimmertemperatur. a Durch welches Wachstummodell wird dieser Prozeß beschrieben. Gebe die allgemeine Funktion an und erläutere die Bedeutung der Parameter für einen Erwärmungsprozeß. b c Ein gut gekühtes Polar- Ice wird bei einer Temperatur von 5 C aus der Kühlbox genommen. Bei einer Umgebungstemperatur von 33 C hat es sich nach 10 Minuten auf 20 C erwärmt. Beschreibe den Temperaturverlauf durch eine Funktion und bestimme die Temperatur nach 5 und 15 Minuten. Skizziere den Verlauf. Nach welcher Zeit werden 90% der Zimmertemperatur erreicht? Die Erwärmungsrate pro Minute beträgt p% des Unterschieds zwischen der Zimmer- und der Eigentemperatur. Bestimme die Erwärmungsrate p%. 8 a b c In einem Kessel muss eine Flüssigkeit 4 Stunden kochen. Dabei verdampfen stündlich p% der vorhandenen Flüssigkeit. Um dies auszugleichen, wird stündlich die Menge E zugegeben. Beschreibe die Flüssigkeitsmenge im Kessel durch eine Funktion. Wenn die Anfangsmenge 100 Liter und p=20% sind, bestimme E so, dass die Flüssigkeitsmenge nicht unter 50 Liter absinkt (t gegen unendlich). Wie viel Flüssigkeit ist dann nach 4 Stunden noch vorhanden? Aus Focus BW, Seite 90 9 Eine Firma bringt eine neue Waschmaschine auf den Markt. Eine Marktanalyse hat ergeben, das in Deutschland etwa jede tausendste Familie für den Kauf einer neuen Waschmaschine innerhalb eines Jahres in Betracht kommen. Es gibt in Deutschland 22,4 Millionen Haushalte (Stand: April 1999). Der Absatz an Maschinen wird im Laufe der Zeit abnehmen. Um Gewinn zu machen muss die Firma Waschmaschinen innerhalb eines Jahres verkaufen. In den ersten 3 Monaten wurden Maschinen verkauft. Wird die Firma Gewinn machen? Aus Focus BW, Seite 92 D. Müller CCS 2007 Aufgaben

4 10 Auf der Zinstreppe wird dein Sparschwein schneller wachsen, mein Sohn, so verspricht es die Anzeige (siehe Abbildung). Weiter heißt es: Dynamisch wachsende Zinsen sind nur ein Vorteil von Bundesschatzbriefen.... a) Ist ein Angebot mit 6% über 7 Jahre günstiger? b) Kann man in beiden Fällen von exponentiellem Wachstum der Spareinlage sprechen? Aus Focus BW, Seite Maxie und Moritz sparen beide auf ein Motorrad im Wert von Maxie hat einen Kontostand von und ihr Geld zu einem festen Zinssatz von 4,5% angelegt. Moritz bekommt nur 4,2% Zinsen, hat aber bereits auf dem Konto. Maxie meint sie könnte ihr Motorrad eher kaufen. Aus Focus BW, Seite Bei Krediten werden häufig Zinsperioden vereinbart, die kürzer als ein Jahr sind, meist sind die Zinsen monatlich zu zahlen. Man spricht von einer unterjährigen Verzinsung. Aus einem Nominalzinssatz p für ein Jahr wird dann der monatliche Zinssatz i= p 12 errechnet. a) Untersuche für einen Kreditbetrag von , wie viel Zinsen bei dem Nominalzinssatz p=12% in einem Jahr zu zahlen sind. Welchen Jahreszinssatz entspricht das? Diesen Jahreszinssatz nennt man den Effektivzinssatz. b) Berechne den Nominalzinssatz für einen Effektivzinssatz von 6%. Aus Focus BW, Seite 60 D. Müller CCS 2007 Aufgaben

5 13 Um im Alter besser versorgt zu sein, kann man ein Kapital ansparen und nach Eintritt in das Rentenalter regelmäßig die Zinsen und einen Teil des angesparten Kapitals als Zusatzrente entnehmen. Man spricht in einem solchen Fall von Zinseszins mit Entnahme. Ein Rentner besitzt ein Kapital von , das jährlich mit 6% verzinst wird. Am Jahresende entnimmt er regelmäßig als Zusaztrente. a) Wie hoch ist das Kapital in 10 Jahren? Stelle gegebenenfalls die Kapitalentwicklung graphisch dar. b) Wie lange reicht das Kapital? c) Wie hoch müßte das Kapital mindestens sein, damit es sich durch die Entnahme der Zusatzrente nicht verringert? Aus Focus BW, Seite Frau Kunze hat bei der Geburt ihres Enkels Julian ein Konto eröffnet und eingezahlt. Zu jeden Geburtstag von Julian hat sie weitere eingezahlt. Nun ist Julian volljährig und kann über das Geld verfügen. Wie hoch ist der Kontostand, wenn das Geld mit 5% verzinst wurde. Aus Focus BW, Seite Durch die Explosion des Reaktors von Tschernobyl waren nach Schätzungen von Experten der Vereinten Nationen etwa 5% des Reaktorbrennstoffes und seiner Spaltprodukte über die Luft in die Umgebung gelangt, was zu folgenden Aktivitäten führte Becquerel Caesium-37 (Halbwertszeit 30 Jahre) Becquerel Strontium-90 (Halbwertszeit 28 Jahre) Becquerel Jod-131 (Halbwertszeit 8 Tage) Beschreibe die zeitliche Entwicklung dieser Aktivitäten durch geeignete Funktionen. Becquerel ist die Einheit der Aktivität und gibt die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde an. D. Müller CCS 2007 Aufgaben

6 16 Wechsel der Abschreibungsmethoden bei Wirtschaftsgütern. Da der Wert am Ende der Nutzungsdauer bei der degressiven Abschreibungsmethode nicht den Wert Null hat, erlaubt der Gesetzgeber einen Wechsel von der degressiven zur linearen Abschreibung. Dieser Wechsel ist zu dem Zeitpunkt günstig, wenn die Beträge, die sich aus der Division des jeweiligen Restwertes (bei linearer Abschreibung) durch die verbleibende Restnutzungsdauer ergeben, größer als die bei der degressiven Abschreibung sind. Führe die Berechnungen mit folgenden Daten durch: Anschaffungskosten: Abschreibungssatz: 30%. Nutzungsdauer: 10 Jahre. a) Berechne die Entwicklung der Restwerte erst bei linearer und dann bei degressiver Abschreibung. b) Ermittele jeweils den nächsten Abschreibungsbetrag bei degressiver Abschreibung und bei Division des Restwertes durch die Restnutzungsdauer (entspricht dem Beginn einer neuen linearen Abschreibung mit dem Restwert als Ausgangswert). c) In welchem Jahr wird der neue Wert der linearen Abschreibung höher als der bei degressiver Abschreibung? d) Berechne die Folgen eines Wechsels und vergleiche die Restwerte am Ende der Nutzungsdauer. e) Welchen Vorteil bringt ein Wechsel der Methoden? f) Bei welcher Nutzungsdauer ist ein solcher Wechsel besonders günstig? Hinweise: Bei linearer Abschreibung wird jedes Jahr der Betrag: Anschaffungskosten geteilt durch die Nutzungsdauer abgeschrieben. Nach der Nutzungsdauer bleibt dann als Restwert immer Null übrig. Bei degressiver Abschreibung wird jedes Jahr p% vom Restbetrag abgeschrieben, es bleibt ein geringer Restbetrag übrig. Vergl. Focus BW, Seite 61 D. Müller CCS 2007 Aufgaben

7 17 Durch die Explosion des Reaktors von Tschernobyl waren nach Schätzungen von Experten der Vereinten Nationen etwa 5% des Reaktorbrennstoffes und seiner Spaltprodukte über die Luft in die Umgebung gelangt, was zu folgenden Aktivitäten führte Becquerel Caesium-37 (Halbwertszeit 30 Jahre) Becquerel Strontium-90 (Halbwertszeit 28 Jahre) Becquerel Jod-131 (Halbwertszeit 8 Tage) Beschreibe die zeitliche Entwicklung dieser Aktivitäten durch geeignete Funktionen. Becquerel ist die Einheit der Aktivität und gibt die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde an. 18 Milchsäurebakterien streptococcus lactis) sind die Ursache dafür, dass offen stehende Milch sauer wird. Bei 37 C verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien etwa jede halbe Stunde. Berechne die Anzahl der Bakterien nach 4 Stunden, nach 10 Stunden und nach 2 Tagen, wenn sich anfangs 100 Bakterien in der Milch befanden. 19 Das Turiner Grabtuch ist ein altes Tuch das schemenhaft das Negativbild eines gekreuzigten Mannes zeigt (siehe Bild). Am 21. April 1988 erfolgte unter Aufsicht der Öffentlichkeit die Entnahme eines schmalen Teststreifens, der zerteilt in drei verschiedene Laboren untersucht wurde. Alle Messungen ergaben, dass von den ursprünglich im Tuch vorhandenen C-14 Isotopen im Laufe der Zeit etwa 8% zerfallen sind. Kann es sich bei dem Tuch um das Grabtuch von Jesus handeln? Die Halbwertzeit von C-14 beträgt 5760 Jahre (vergl. Aufgabe 20). D. Müller CCS 2007 Aufgaben

8 20 Als Fossilien werden Reste von Pflanzen und Tieren aus früheren Erdzeitaltern bezeichnet, wie sie z. Bsp. als Versteinerungen zu finden sind. Relativ genaue Methoden zur Datierung ihres Alters beruhen auf dem radioaktiven Zerfall von Isotopen. Berechne bei den folgenden Methoden jeweils die Zerfallskonstante und die Zeit, bis nur noch 10% der vorhandenen Anfangskonzentration der Isotope vorhanden sind. a) Die Radiokarbonmethode benutzt den Zerfall des radioaktiven Kohlenstoffisotops C-14 zu N-14. Menschen, Tiere und Pflanzen nehmen den radioaktiven Kohlenstoff in ihren Körper auf. Nach dem Tod beginnt der C-14 Kohlenstoff mit einer Halbwertszeit von 5760 Jahren zu zerfallen. Diese Methode ist nur verlässlich für Funde mit einem Alter von bis zu Jahren. b) Fossilien mit einem Alter von Jahren kann man mit der Kalium- Argon-Methode untersuchen. K-40 zerfällt mit einer Halbwertszeit von 1,3 Milliarden Jahren zu Ar-40. c) Mit der Uran-Blei-Methode kann man Funde bis auf ein Alter von 4,5 Millionen Jahren datieren. Die Halbwertszeit von U-238 beträgt 4, Jahre. Es zerfällt dabei zu Pb-238. D. Müller CCS 2007 Aufgaben