Übungsaufgaben zur Vorlesung p-adische Differentialgleichungen SS 04 P. Schneider Blatt 1

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1 P. Schneider Blatt 1 Aufgabe 1: Für ε 1 ist B ε (a) Nebenklasse eines Ideals in 0 zum Nebenklassenvertreter a. Aufgabe 2: Führe aus, weshalb in den Beispielen (A), (B), (C) der Vorlesung tatsächlich nichtarchimedische Absolutbeträge auf F = K (Fall (A)), auf F = K(X) (Fall (B)) und auf F = C((T )) (Fall (C)) definiert werden. Bestimme jeweils O F = {a F a 1}, m F = {a F a < 1} und O F/mF. Aufgabe 3: Sei K ein nichtarchimedischer Körper. Zeige, daß K eine topologische Gruppe ist, und daß es zu 1 K eine Basis offener Umgebungen gibt, welche zugleich Untergruppen von K sind. Aufgabe 4: Q p enthält alle (p 1)-ten Einheitswurzeln. Aufgabe 5: Für den nichtarchimedischen Körper (K,. ) sei K = { a i a K } eine diskrete Teilmenge in R. Fixiere für jedes v K ein b v K mit b v = v. Fixiere ein System A 0 von Repräsentanten für 0 /m mit 0 A. Zeige: (a) Für jedes x K existiert eine eindeutige konvergente Reihendarstellung = v K ]0, x ] a v b v mit a v A. (b) Ist x = a vv v eine andere solche konvergente Reihe, und λ R, so x x λ a v = a v für alle v > λ.

2 P. Schneider Blatt 2 Aufgabe 6: Bestimme alle Erweiterungskörper vom Grad 2 von Q p. (Zumindest falls p 3; der Fall p = 2 ist komplizierter.) Aufgabe 7: Sei x Q p. Die beiden folgenden Eigenschaften sind äquivalent: (i) x Z p. (ii) x p 1 besitzt n-te Wurzeln in Q p für unendlich viele n N. Aufgabe 8: (i) Die Identität ist der einzige Körperautomorphismus von R. (ii) Die Identität ist der einzige Körperautomorphismus von Q p. Aufgabe 9: Der algebraische Abschluß von Q p ist nicht vollständig. (Tip: Betrachte die Reihe p n p 1 n wobei n die Primzahlen durchläuft.) n

3 P. Schneider Blatt 3 Aufgabe 10: Sei K ein endlicher Erweiterungskörper von Q p, enthalten in C p, und sei a C p algebraisch über K. Sei r = min{ σ(a) a ; σ Gal(K(a)/K), σ(a) a}. Zeige: Für jedes b B r (a) C p gilt K(a) K(b). Aufgabe 11: Für natürliche Zahlen n N definiere die p-adische Quersumme S p (n) wie folgt: Schreibe n = a 0 + a 1 p + a 2 p mit a i {0,..., p 1} und setze S p (n) = i a i. Damit zeige n! p = p Sp(n) n p 1. Aufgabe 12: Für die Potenzreihen log(1 + X) = k 1 exp(x) = k 0 k 1 Xk ( 1) k X k k! bestimme die jeweils maximale Zahl φ R mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes x B φ (0) konvergiert die durch Einsetzung X x erhaltene Reihe in C p. Aufgabe 13: Sei K = C p. Zeige, daß die Potenzreihe log(t ) aus Aufgabe 12 einen surjektiven Gruppenhomomorphismus B1 (1) K definiert.

4 P. Schneider Blatt 4 Aufgabe 14: Sei K ein vollständiger nicht archimedischer Erweiterungskörper von Q p. Sei f A 1 und 1 r p = p (p 1). Dann gilt f(t + h) f(t) h f 1 für alle t, h K mit t 1 und h r p. Aufgabe 15: Die Restriktion log : Br p (1) C p der in Aufgabe 13 betrachteten Funktion log : B1 (1) C p ist eine Isometrie (insbesondere injektiv). Bestimme den Kern von B1 (1) C p. Aufgabe 16: Für eine Potenzreihe f = n 0 a n X n sei der Konvergenzradius definiert als r f = sup{r 0; a n r n 0}. Zeige: r f = Zeige außerdem r f = r g mit g = ( X ) f. 1 lim sup n a n 1 n. Aufgabe 17: Für f K[[X]] gelte r f =. Sei K dicht in R >0. Ist dann f auf K beschränkt, so ist f konstant. Allgemeiner: Falls f(x) c X N für ein c > 0, N N 0 und alle x K mit x c, so ist f ein Polynom vom Grade höchstens N.

5 P. Schneider Blatt 5 Aufgabe 18: Seien E und F normierte K-Vektorräume. Zeige, daß L(E, F ) bezüglich der Operatornorm ein vollständiger K-Vektorraum ist, der außerdem vollständig ist, wenn F es ist. Sei l (N, F ) der Vektorraum der beschränkten Folgen a = (a i ) i N in F, versehen mit der Norm a = sup a i. Konstruiere einen kanonischen isometrischen Isomorphismus i L(C 0 (N), F ) l (N, F ). Aufgabe 19: Sei K eine endliche Erweiterung von Q p, dazu f A 1 (mit Koeffizienten in K). Es gelte f 1 1, f 1 < 1 und Dann hat f einen Fixpunkt in B 1 (0). Tip: Aufgabe 14. Aufgabe 20: Betrachte f : g : inf f(x) x r p = p 1 p 1. x B 1 (0) B 1 (0) Qp Q p, x x p x B p (0) Qp Q p, x x n. Überlege f(b 1 (0) Qp ) B p (0) Qp, aber g f : B 1 (0) Qp Q p ist nicht in eine Potenzreihe entwickelbar. Tip: Überlege g(x) = (1 x) 1. Untersuche die Fortsetzbarkeit von nach B 1 (0) Cp. Aufgabe 21: Sei W = {x C p x 1}. Auf n=0 h(x) = (1 (x p x)) g f(x) 1 R b (W ) = {f = g h g, h C p[x], h ohne Nullstelle in W, f beschränkt auf W } definiere die Norm f = sup f(x). Sei H b (W ) die Komplettierung. Andererseits sei x W ( ) 1 A(W ) = {f f(x) A 1 }. X Zeige A(W ) = H b (W ).

6 P. Schneider Blatt 6 Aufgabe 22: Die Abbildung N N, n n!, läßt sich nicht zu einer stetigen Funktion Z p Q p fortsetzen. Aufgabe 23: Die Primzahl p sei ungerade. (a) Seien a Z und ν N. Zeige: a j<a+p ν p j j 1 (mod p ν ). (Für ν = 1 ist dies der Satz von Wilson!) (b) Die Abbildung N 2 Z, n ( 1) n 1 j<n p j j läßt sich zu einer stetigen Funktion Γ p : Z p Z p fortsetzen. Aufgabe 24: Zeige: Es gibt genau eine Fortsetzung. K(X) : K(X) R des auf K definierten Absolutbetrags. K, welche folgenden Eigenschaften (1), (2) und (3) genügt. Es bezeichne k = O K /m K den Restklassenkörper von K, und k = O K(X) /m K(X) den Restklassenkörper von K(X) (bezüglich. K(X) ). Dann (1) X K(X) = 1 (2). K(X) K =. K (3) Das Bild t k von X (beachte (1)) ist transzendent über k. Zeige zusätzlich K(X) = K und k = k(t). Aufgabe 25: Für V = A 1 = A(B 1 (0)), für V = A(B r (0)), für V = A(B1 (0)) und V = A(B r (0)) r>1 r>0 entscheide, ob V V, f(x) X f endlichen Index hat, und bestimme diesen gegebenenfalls.

7 P. Schneider Blatt 7 Aufgabe 26: a) Sei. ein nicht-archimedischer Absolutbetrag auf K. Zeige: Es gibt zu jedem β R >0 mit β j K für alle j Z\{0} genau einen nicht-archimedischen Absolutbetrag. K(X) auf K(X), der der Formel a j X j K(X) = sup j { a j β j } für a j X j K[X] genügt. b) Zeige, daß der in (a) definierte Absolutbetrag. K(X) der einzige ist, der. fortsetzt, und X K(X) = β erfüllt. Zeige, daß die zugehörige Erweiterung der Restklassenkörper trivial ist. Aufgabe 27: Zeige: In C p existieren absteigende Folgen B 1 B 2 B 2... abgeschlossener Bälle, deren Durchschnitt B n leer ist! n 1 Hinweis: Wähle eine streng monoton fallende Folge r 1 > r 2 >... in p Q = C q mit lim r n > 0. Betrachte absteigende Folgen (B i ) i 1 wie oben mit Radius (B i ) = r i. Benutze, daß es in C p nur abzählbar viele Bälle gibt n (weshalb?). Aufgabe 28: Der eindimensionale projektive Raum P 1 (K) über K ist P 1 (K) = {(x, y) K 2 \{(0, 0)}}/ mit [(x 1, y 1 ) (x 2, y 2 )] [x 2 = cx 1, y 2 = cy 1 für ein c K ]. Fasse K vermöge x (x, 1) als in P 1 (K) enthalten auf. Ein Ball in P 1 (K) ist ein Ball B K oder das Komplement in P 1 (K) eines Balles B K. - Rechtfertige diese Bezeichnung - Beschreibe die allgemeine Form eines Durchschnitts zweier Bälle in P 1 (K). - Die Gruppe GL(2, K) operiert in offensichtlicher Weise auf P 1 (K). Zeige, daß für jedes g GL(2, K) und jeden Ball B in P 1 (K) auch gb ein Ball in P 1 (K) ist. (Hinweis: Es ist bequem, g geeignet zu zerlegen und jeden Faktor getrennt zu behandeln.)

8 Aufgabe 29: Für jede Nullstelle π C p des Polynoms p + X p 1 existiert eine eindeutige p-te Einheitswurzel ζ π C p mit ζ π 1 π < π. Ist ζ eine p-te Einheitswurzel, so ζ 1 = π = p F p gilt ζ = ζπ α. 1 (p 1) und für die Zahl α = π 1 (ζ 1) Hinweis: π 1 (ζ 1) ist Nullstelle von P (X) = (1+πX)p 1 pπx. Dies ist ein Polynom....

9 P. Schneider Blatt 8 Aufgabe 30: Seien n N, λ K. Zu a 1,..., a n K betrachte den Differentialoperator Sei B K\{0} ein Ball, dazu L (a1,...,a n ) = n i=1 ( ) Xd dx a i + λx. K (a1,...,a n ) = Ker(A(B) L (a 1,...,an) A(B)). Zu b 1,..., b n K mit a i b i Z für alle 1 i n konstruiere einen Isomorphismus K (a1,...,a n) K (b1,...,b n). Aufgabe 31: Sei K C p vollständig. Zeige, daß die folgende Menge einen Ring bildet: { } A log := a i X i a i K, lim inf ord pa i i log p i =. i 0 Zeige A(B r (0)) A log A(B 1 (0)) für r > 1, und von d : A dx log A log. d A dx log A log. Bestimme den Index Aufgabe 32: Sei K algebraisch abgeschlossen. Sei B = B 1 (0). Für f A(B )\{0} sei (f) : B Z 0 der Nullstellendivisor (der jedem Punkt P B die Nullstellenvielfachheit von f in P zuordnet; die Abbildung (f) hat also endlichen Träger). Zeige: Für f, g A(B )\{0} gilt f teilt g (f) (g).

10 P. Schneider Blatt 9 Aufgabe 34: K sei p-adisch. In den Notationen aus der Vorlesung gelte P (0) 0. Sei (L, y) ein generischer Punkt von B 1 (0). Zeige ε(d, y) p 1 p 1 max(1, R 1 0 (1)). Aufgabe 35: K sei p-adisch. Es gelte P (0) 0 und R 1 0 (1) 1. Zeige n!r n 0 (1) 1 für alle n 1. Folglich erhalte durch Reduktion der Koeffizienten von n!r n eine rationale Funktion g n k(x) über dem Restklassenkörper k von K. Insbesondere erhalten wir den Operator ( ) d D : k(x) k(x), h dx h g 1 h. Zeige, daß die p-fache Iteration D p eine k(x)-lineare Abbildung ist. Zeige g np = (g p ) n für alle n 1. y Aufgabe 36: K sei p-adisch. Sei (L, y) ein generischer Punkt von B 1 (0). Es gelte P (0) 0 und R 1 0 (1) 1, also ε(d, y) p 1 p 1 gemäß Aufgabe 34. Zeige ε(d, y) > p 1 p 1 D p = 0. Hinweis für = : Durch Induktion nach m N zeige ord p ((pm)!r pm ) m ord p (p!r p ). Aufgabe 37: a) Seien a K, r > 0, dazu A = A(Br (a)). Sei u A invertierbar und R K(X) habe keinen Pol in Br (a). Setze D = d R und D = d ( R + u ( 1 d u)). Zeige dx dx dx ind(d A) = ind( D A). b) Sei H K(X) ohne Pol in B1 (0) und es gelte H 0 (1) = 1; insbesondere erhalten wir durch Koeffizientenreduktion ein Element H k(x). Sei π K Nullstelle von X p 1 + p und R = π d d H K(X), dazu D = R. Zeige, daß dx dx ind(d A(B 1 (0))) nur von H abhängt.

11 P. Schneider Blatt 10 Aufgabe 38: Sei (R (K) ) K 1 eine Folge rationaler Funktionen ohne Polstellen in B1 (0), die auf B1 (0) gleichmäßig gegen R A(B1 (0)) konvergiert. Für jedes K 1 existiere eine Funktion u (K) A(B1 d (0)) mit dx u(k) = R (K) u (K) und u (K) (0) = 1. Zeige: (u (K) ) K 1 konvergiert gegen eine Funktion u A(B1 d (0)) mit u = Ru. Die Konvergenz ist gleichmäßig auf dx D r (0) für jedes 0 < r < 1. Aufgabe 39: K sei p-adisch. Für α K und s Z 0 setze ( ) α α(α 1)... (α s + 1) := s s! (1 + X) α := s=0 ( ) α X s. s Mittels Aufgabe 38 zeige, daß (1 + X) α auf B 1 (0) konvergiert und durch 1 beschränkt ist, falls α Z p. Aufgabe 40: (a) u 1,..., u n A sind K-linear unabhängig genau dann, wenn ( ( ) ) i 1 d det( u j ) 0. dx 1 i,j n Hinweis: Beweise die schwierige Implikation durch Induktion nach n. (b) Sei D = n i=0 g i ( d dx ) i EndK (A) mit g i A und g n 0 (vgl. Aufgabe 33). Zeige dim K (Ker(D)) n. Aufgabe 41: Sei f(x) 1 + XQ p [[X]] eine formale Potenzreihe. Die beiden folgenden Aussagen sind äquivalent: i) Die Koeffizienten von f liegen in Z p. (ii) f(x) p /f(x p ) 1 + pxz p [[X]]. Hinweis zu (ii) = (i): Schreibe f(x) p = f(x p )g(x), dann Koeffizientenvergleich.

12 P. Schneider Blatt 11 Aufgabe 42: Sei K p-adisch. Das Polynom P besitze keine Nullstelle in B ( K), es gelte ρ a (D, r) = r. Zeige, daß D A(B ) ein Fredholmoperator mit Index 1 ist. Aufgabe 43: Sei K p-adisch. Betrachte folgende Teilmenge von K[[X 1 ]]: { } A (B 1 ( )) := a i X i es existiert ein δ > 1 mit a i δ i i 0 i 0. (a) Überlege, daß A (B 1 ( )) ein Ring ist. Wie lassen sich seine Elemente interpretieren? (b) Zu α K setze λ + (α) := lim α + n 1 n. Zeige: Der Differentialoperator D X,α hat n endlichen Index auf A (B 1 ( )) genau dann, wenn λ + (α) = 1. Aufgabe 44: Zeige, daß es zu jeder Zahl 0 r < 1 ein α Z p mit λ(α) = r gibt. (Oder zeige dies wenigstens für r = 0.) Aufgabe 45: (a) Seien α, β C p und gelte α β Z. Dann gilt λ(α) = λ(β). (b) Seien α, β C p und gelte pα β Z und pα < 1. Dann gilt λ(α) = λ(β) p.