Derivate und Interne Modelle

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1 Hans-Peter Deutsch Mark Beinker Derivate und Interne Modelle Modernes Risikomanagement 5., überarbeitete und erweiterte Auflage 2014 Schäffer-Poeschel Verlag Stuttgart

2 IX Inhaltsverzeichnis Teil I Grundlagen 1 1 Einleitung 3 2 Die grundlegenden Risikofaktoren der Finanzmärkte Zinsen Day Count Conventions Business Day Conventions Diskontfaktoren Zinsmethoden Spot-Rates Forward Rates Kurse Ein anschauliches Modell für die Risikofaktoren Der Random-Walk als Grundlage vieler Preis- und Risikomodelle Risikofaktoren als Random-Walks Ito-Prozesse und stochas tische Analysis Der allgemeine Diffusionsprozess Ito's Lemma Übergangswahrscheinlichkeiten, Forward- und Backward-Equation Forward-und Backward-Equation in der Black-Scholes-Welt Finanzinstrumente: Eine Systematik von Derivaten und Underlyings Emittenten und Kontrahenten Kassageschäfte Termingeschäfte Swaps Optionen Klassifizierung von Zinspapieren Geldmarktpapiere Kapitalmarktpapiere 54 Teil II Methoden 57 4 Überblick über die Voraussetzungen 59 5 Barwerte, Renditen und traditionelle Risikokennzahlen Barwert und Yield To Maturity Effektivzins und Net Present Value Stückzinsen, Restschuld und Par Rates Traditionelle Kennzahlen von Zinsinstrumenten Mittlere Laufzeit und Macaulay Duration 69

3 X Inhaltsverzeichnis Modified Duration und Convexity Addition traditioneller Sensitivitäten 73 6 Arbitrage Forward-und Futures-Geschäfte Terminkurs und Cash And Carry Arbitrage Der stochastische Prozess für den Terminkurs Forward-Positionen Future-Positionen und Basisrisiko Optionen Ober-und Untergrenzen für Optionspreise Vorzeitige Ausübung amerikanischer Optionen Beziehungen zwischen Put und Call 83 7 Black-Scholes-Differentialgleichungen Herleitung der Black-Scholes-PDGL aus Arbitrageüberlegungen Die Differentialgleichung für europäische Optionen Die Differentialwngleichung für amerikanische Optionen Ein erster Kontakt mit der risikoneutralen Welt Die Black-Scholes-DGL und die Backward-Equation Ein zweiter Kontakt mit der risikoneutralen Welt Der Zusammenhang zur Diffusionsgleichung 94 8 Integralformen und analytische Lösungen in der Black-Scholes-Welt Optionspreise als Lösungen der Diffusionsgleichung Optionspreise und Übergangswahrscheinlichkeit Black-Scholes-Optionspreise für verschiedene Underlyings Optionen auf den Spotkurs Optionen auf den Terminkurs Optionen auf Zinsen Binomial- und Trinomialbäume Allgemeine Bäume Das Underlying und das replizierende Portfolio Das Derivat Termingeschäfte Rekombinierende Bäume Das Underlying Die Binomialverteilung für Europäische Derivate Ein dritter Kontakt mit der risikoneutralen Welt Random-Walk und Binomial-Parameter Das Binomialmodell für unendlich kleine Schritte Die Bestandteile der Black-Scholes-Optionspreisformeln Trinomialbäume Der Trinomialbaum als verbesserter Binomialbaum 126

4 Inhaltsverzeichnis XI 10 Numerische Lösung von Differentialgleichungen mittels Finiter Differenzen Diskretisierung der Black-Scholes-Gleichung Die explizite Methode Die implizite Methode Die verallgemeinerte Crank-Nicolson-Methode Symmetrische finite Differenzen für das Underlying Differenzen-Schemata Anfangswertbedingungen Dirichletsche Randbedingungen Neumannsche Randbedingungen Verallgemeinerte Neumannsche Randbedingungen Freie Randbedingungen für amerikanische Optionen Konvergenzkriterien Verbesserung der Konvergenzeigenschaften Diskrete Dividenden Beispiel Zusammenhang zwischen finiten Differenzen und Bäumen Monte-Carlo-Simulationen Ein einfaches Beispiel: der Flächeninhalt eines Kreises Die allgemeine Vorgehensweise der Monte-Carlo-Simulation Monte-Carlo-Simulationen von Risikofaktoren Simulation der zeitlichen Entwicklung eines Risikofaktors Simulation mehrerer miteinander korrelierter Risikofaktoren Preisberechnung American Monte-Carlo Hedging Hedging von Derivaten mit Kassageschäften Hedging von Forwards und Futures Hedging von Derivaten mit Termingeschäften Hedging mit Forwards Hedging mit Futures Hedge-Ratios für beliebige Kombinationen von Finanzinstrumenten Griechisches" Risikomanagement mit Sensitivitäten Sensitivitäten und die Wertänderung eines Portfolios Omega und Beta Addition von Sensitivitäten bzgl. verschiedener Underlyings Berechnung der griechischen Risikokennzahlen Sensitivitäten im Binomialmodell Sensitivitäten im Black-Scholes-Modell Sensitivitäten mittels der Finite-Differenzen-Methode Sensitivitäten mittels Monte-Carlo-Simulationen 195

5 XII Inhaltsverzeichnis 13 Martingale und Numeraire Die Martingaleigenschaft Die Normierung (Numeraire) Selbstfinanzierende PortfoKostrategien Die Verallgemeinerung auf stetige Zeit Die Drift Der Marktpreis des Risikos Handelbare Underlyings Anwendung auf die Black-Scholes-Welt Zinsen und Zinsstrukturmodelle Instantane Spot-Rate und Instantane Forward Rate Die wichtigsten Normierungen Das risikoneutrale Maß Das terminpreisneutrale Maß Der Spezialfall deterministischer Zinsen Handelbare und nicht handelbare Größen Convexity Adjustments In-Arrears-Swaps Geldmarktfutures Arbitragefreie Gittermodelle (Bäume) Backward Induction Forward Induction und Greens-Funktionen Marktzinsen versus Instantane Zinsen Arrow-Debreu-Preise Bewertung von Caplets mittels Arrow-Debreu-Preisen Explizite Spezifikation von Short-Rate-Modellen Der Einfluss der Volatilität Normal-Models Lognormal-Models Das Beispielprogramm TERMSTRUCTUREMODELS.XLS Aufbau des Zinsbaumes und Optionsbewertung Absolute und relative Volatilitäten Kalibrierung der Volatilitäten Monte-Carlo-on-the-Tree Die Drift bei Zinsstrukturmodellen Heath-Jarrow-Morton-Modelle Short-Rate-Modelle Short-Rate-Modelle in Diskreter Verzinsung Normal-Models Lognormal-Models Weitere Zinsmodelle 271

6 Inhaltsverzeichnis XIII Teil III Instrumente Einfache Zinsinstrumente Zerobonds Cashflows und Barwert Yield To Maturity und Par Rate Sensitivitäten Forward Rate Agreements Kuponbonds Cashflows und Barwert Yield To Maturity Par Rates Sensitivitäten Forward Bonds Barwert Forward Yield To Maturity und Forward Par Rate Zinsfutures Futures auf Zerobonds Futures auf Kuponbonds Floater Cashflows und Barwert Yield To Maturity, Par Rate und Sensitivitäten Swaps Cashflows und Barwert Par-Swap-Rate und Yield To Maturity Sensitivitäten Forward-Swaps Barwert Forward-Par-Swap-Rates Annuity als Numeraire Zins-Währungsgeschäfte Der Devisenterminkurs und die Cross-Currency-Basis FX-Swaps FX-Forwards und FX-Futures Zinswährungs-Swaps Standard-CCY-Swap Mark-to-Market-CCY-Swap Cashflows und Barwert CCY-Basis Varianten von Zinsprodukten Basis-Swaps Barwert und Cashflows eines Basis-Swaps Par-Basis-Swap-Spread 308

7 XIV Inhaltsverzeichnis 17.2 Annuitätendarlehen Cashflows und Restschuld Barweit Yield To Maturity und Par Rates Sensitivitäten Fixing-In-Arrears Variabler Zins mit Cap/Floor Kündigungsrechte und Break Clause Reverse Floater Constant Maturity Swaps Piain-Vaniüa-Optionen Klassische und allgemeine Definition einer Option Konventionen Optionen auf Spot-und Terminkurse Europäische Optionen Amerikanische Optionen Index-Optionen und-futures Devisenoptionen Put-Call-Äquivalenz bei Devisenoptionen Zinsoptionen Optionen auf Bonds Optionen auf Bond-Futures Caps und Floors Swaptions Exotische Optionen Auszahlungsprofile für ausgewählte Exoten Power-Optionen Cliquet-und Coupe-Optionen Look-Back-Optionen Asiatische Optionen Rainbow-und Austausch-Optionen Basket-Optionen Compound-und Bermuda-Optionen Black-Scholes für Exoten Pay-Later-Optionen Digitale Optionen Barrier-Optionen Ladder-Optionen Bewertungsmöglichkeiten für Exoten Monte Carlo für europäische Exoten Das Binomial-Modell für amerikanische Exoten 358

8 Inhaltsverzeichnis XV 20 Berücksichtung von Ausfallrisiken Expected Positive Exposure, Probability of Default und Loss Given Default Maßnahmen zur Verringerung des Ausfallrisikos Collateral-Management Central Counterparties Netting Agreements Hedging von Ausfallrisiken Kuponbond mit Ausfallrisiko Credit Spreads Credit-Spread-Risiko Credit-Default-Swaps Cashflows und Barwert Näherungen Par-CDS-Rate 378 Teil IV Risiko Grundlagen Regulatorische Anforderungen Konfidenzniveau, Quantil und Risiko Andere Risikomaße Der Value at Risk eines einzelnen Risikofaktors Näherungen in der Verteilung der Risikofaktoren Die Kovarianzmatrix Renditen und logarithmische Änderungen Kovarianzmatrizen von Datenanbietern Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix Die Varianz-Kovarianz-Methode Portfolios vs. Finanzinstrumente Die Delta-Normal-Methode Der Value at Risk bzgl. eines einzelnen Risikofaktors Der Value at Risk bzgl. mehrerer Risikofaktoren Die Delta-Gamma-Methode Entkopplung der Risikofaktoren Diagonalisierung der Gamma-Matrix Die Verteilung der Portfolio-Wertveränderungen Momente der Portfoliowertverteilung Fourier-Transformation der Portfoliowertverteilung Monte-Carlo-Simulationen der Portfoliowertverteilung Simulationsmethoden Monte-Carlo-Simulation Die Risikofaktoren als korrelierte Random-Walks Structured Monte-Carlo 434

9 XVI Inhaltsverzeichnis 23.2 Historische Simulation Crash- und Stress-Testing: Worst-Case-Szenarien Vergleich verschiedener Value-at-Risk-Methoden Beispiel für eine VaR-Berechnung Das Portfolio Marktdaten Risikoberechnung Backtesting: Überprüfen der verwendeten Methode Profit-Loss-Berechnungen Das Ampelkonzept der Aufsichtsbehörden Anpassung des Value at Risk (gelbe Zone) Kriterien zur Ablehnung eines Modells (rote Zone) Die grüne Zone Multiplikator und Add-on 450 Teil V Portfolien Klassisches Portfoliomanagement Vom Risikomanagement zum Portfoliomanagement Finanzinstrumente und Risikofaktoren Portfoliorisiko und Volatilität Risikobeitrag und Attribution Portfolio-Optimierung Das Portfolio mit minimalem Risiko Die Effizienzlinie Die Sharpe Ratio und das optimale Portfolio Die Kapitalmarktlinie Alternative Ansätze zur Portfoliosteuerung Value-Investing Behavioral Finance Charttechnik Attribute und ihre charakteristischen Portfolien Allgemeine Eigenschaften charakteristischer Portfolien Relationen mit mehreren charakteristischen Portfolien Der Investitionsgrad oder Leverage Die Überschussrendite Das optimale Portfolio Die Effizienzlinie als Kombination charakteristischer Portfolien Aktives Management und Benchmarking Das Capital-Asset-Pricing-Model (CAPM) Theorie effizienter Märkte 496

10 Inhaltsverzeichnis XVII 28.3 Benchmarking gegenüber einem Index Aktive Portfolioeigenschaften Residuale Portfolioeigenschaften Benchmark und charakteristische Portfolien Das voll investierte Minimalrisiko-Portfolio Das charakteristische Portfolio zu Beta Das charakteristische Portfolio zu Alpha Relationen zwischen Sharpe Ratio und Information Ratio Das Marktportfolio Das charakteristische Portfolio der Überschussrendite 511 Teil VI Marktdaten Konstruktion des Zinskurvenuniversums Anforderungen an die Diskontkurve Modellierung der Zinskurve Interpolationsmethoden Extrapolationsmethoden Parametrische Zinskurven Aufbau der Kurvenhierarchie Auswahl der Benchmarkinstrumente ,5.1 Risikofreie Zinssätze Berechnung der Diskontfaktorkurve Bootstrapping Optimierung Forward-Kurven Cross-Currency-Kurven Überlebenswahrscheinlichkeiten CDS-Spread-Kurven Synthetische CDS-Spreads Alte Zinskurvenwelt Volatilitäten Implizite Volatilitäten Smiles und Volatilitätsindizes Lokale Volatilitätsflächen Implizite Übergangswahrscheinlichkeiten Implizite lokale Volatilitätsflächen Volatilitätstransformationen Transformation zwischen relativer und absoluter Volatilität Addition von Volatilitäten Transformation zwischen Yield-und Preis-Volatilität Währungstransformationen von Volatilität und Korrelation 556

11 XVIII Inhaltsverzeichnis 31 Marktparameter aus historischen Zeitreihen Historische Mittelwerte als Schätzer für Erwartungswerte Abschätzung statistischer Fehler Fehler unkorrelierter Messungen Fehler autokorrelierter Messungen Rendite und Kovarianzschätzungen Renditeschätzungen Kovarianzschätzungen Modellierung historischer Zeitreihen Stationäre Zeitreihen und autoregressive Modelle Der AR(/?)-Prozess Der univariate GARCH(/?, <7)-Prozess Generierung eines GARCH-Prozesses Kalibrierung von Zeitreihenmodellen Parameterschätzung für den AR(p)-Prozess Parameterschätzung für den GARCH(/?, g)-prozess Der Simulated-Annealing-Algorithmus Prognosen mit Zeitreihenmodellen Prognosen mit dem Autoregressiven Modell GARCH(/7, q)-volatilitätsprognosen Prognosen über mehrere Schritte Prognose der Gesamtvarianz Volatility Term Structure G ARCH( 1, 1)-Volatilitätsprognosen Volatilitätsprognosen mittels gleitender Durchschnitte Hauptkomponentenanalyse (PCA) Prinzipielles Vorgehen Hauptkomponentenanalyse der deutschen Zinsstruktur Vorverarbeitung und Gütemaße Vorverarbeitung von Zeitreihen Differenzenbildung Filter Skalentransformation Gütemaße für Zeitreihenprozesse Hypothesentests Anpassungsgüte versus Prognosegüte Beispiele: Gütemaße für GARCH-Modelle 632 A Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 637 A. 1 Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Varianz 637 A.2 Multivariate Verteilungen, Kovarianz, Korrelation und Beta 639

12 Inhaltsverzeichnis XIX A.3 Momente und Charakteristische Funktionen 642 A.3.1 Moment Generating Functions 642 A.3.2 Charakteristische Funktionen 645 A.4 Einige wichtige Verteilungen 646 A.4.1 Die Gleichverteilung 646 A.4.2 Die Binomialverteilung und Bernoulli-Versuche 648 A.4.3 Die Normal Verteilung und der zentrale Grenzwertsatz 650 A.4.4 Die Lognormalverteilung 656 A.4.5 Die Gamma-Verteilung 657 A.4.6 Die / 2 -Verteilung 659 A.5 Transformationen zwischen Verteilungen 667 A.5.1 Summationen 667 A.5.2 Box-Muller-Transformation 669 A.5.3 Inversion der Kumulierten 669 Literaturverzeichnis 673 Index 681