Versuch 3/4: E-Modul

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1 Versuch 3/4: E-Modul Werkstoffteil, Frühlingssemester 2009 Verfasser: Teammitglied: Schär Louis Datum: Assistent: Bachmann Simon, Knüsel Philippe, Zihlmann Claudio Nyilas Ralph

2 1. Abstract In diesem Praktikum wurden zwei Schichtverbunde mit Styropor- resp. Al- Wabenkern hergestellt. Von diesen, sowie von vier anderen Proben wurden danach die Biegelinien unter verschiedenen Belastungen gemessen. Aus diesen Werten konnten danach die E-Module und Biegesteifigkeiten berechnet werden. Man erhielt im Experiment ein E-Modul von GPa und eine Biegesteifigkeit von 79.8 für Kupfer bzw GPa und 79.7 für Aluminium. Die E-Modul-Literaturwerte betrugen GPa für Kupfer und 70.6 GPa für Aluminium. Insgesamt wurden gute Resultate erhalten, die unter Berücksichtigung der Standardabweichung gut mit den Literaturwerten übereinstimmten. 2. Einführung 2.1 Theorie Der E-Modul (E) ist ein Mass für den Widerstand, den ein Werkstoff seiner elastischen Verlängerung entgegensetzt. Er kann aus dem Verhältnis zwischen Zugspannung und Dehnung berechnet werden und hat die Dimension einer Spannung Metalle Im elastischen Bereich von Metallen gilt das Hook sche Gesetz für kleine Deformationen sehr gut. Hook sches Gesetz: = (1) Auch kleine Mengen an Fremdatomen haben einen geringfügigen Einfluss auf die elastischen Eigenschaften, welche durch die zwischenatomaren Kräfte bestimmt werden. Die drei E-Module (Aluminium: 70.6 GPa, Eisen: GPa, Kupfer GPa) sind Beispiele. Sie gelten jedoch nur für reine Elemente, die polykristallin und isotrop sind. Im Allgemeinen ist davon auszugehen, dass mit steigender Ordnung der Kristallstruktur der E-Modul grösser wird. Durch Zuführung von Wärme nimmt der E- Modul linear ab und fällt enorm in der Nähe der Schmelzpunkttemperatur Polymere Für Thermoplaste gilt das Hook sche Gesetz nur für sehr kleine Deformationen. Wie an den drei Beispielen (Polyvinylchlorid: 3.2 GPa; Polyethylen: 1.0 GPa, Gummi: 1 / 12

3 0.002 GPa) zu sehen ist, sind die E-Module von Polymeren einiges tiefer als jene von Metallen. Unbelastete Elastomere streben einen Zustand maximaler Entropie an. Wenn Elastomere gedehnt werden, verändern sich wegen den starken kovalenten Bindungen nicht die Bindungslängen, sondern die Kettenanordnungen (die Ketten werden mehr geordnet, wodurch die Entropie sinkt). Elastomere sind sehr elastisch, weil sie wieder zurück in den ungeordneten Zustand wechseln, sobald die Spannung nachlässt. Wenn Polymerfasern vollständig ausgerichtet werden, steigen die E-Module markant, wie die folgenden drei Beispiele zeigen (E-Glas: 73 GPa, Aramidfasern: GPa, Graphitfasern: bis 1'000 GPa). Der Grund dafür ist, dass nun die einzelnen Ketten schon ausgerichtet sind und direkt an den Bindungswinkeln und längen gezogen wird Messung des E-Moduls E-Module können mithilfe des Zugversuchs bestimmt werden und entsprechen der Steigung in der Spannungs-Dehnungskurve. Genauere Messungen werden mit Dehnmessstreifen, welche auf die Oberfläche geklebt werden, durchgeführt. Damit können Dehnungen in verschiedene Richtungen gleichzeitig aufgezeichnet werden. 2.2 Berechnungen Beanspruchung Der Versuch wurde mittels 3-Punkt Biegung durchgeführt. Aus Symmetriegründen betragen die Auflagerkräfte gerade die Hälfte der aufgebrachten Last (siehe Abbildung 1). Desweiteren wurde das Eigengewicht des Balkens vernachlässigt und von einem homogenen Spannungszustand im Balken ausgegangen. Die Momentbedingung bezüglich dem Mittelpunkt C im Schnitt ist in Abbildung 2 graphisch dargestellt. Sie wird mittels folgenden Formeln berechnet: Für 0 < x < L/2: = (2) Für L/2 < x < L: = ( ) (3) 2 / 12

4 Abbildung 1: 3-Punkt-Biege-Apparatur Abbildung 2: Momentbedingung gegen die Länge aufgetragen Spannungsverteilung (Theorie 1. Ordnung) Für die Theorie 1. Ordnung werden drei Annahmen getroffen. Zum einen geht man von Balken mit kleinem Höhen-Breiten-Verhältnis aus. Zum anderen nimmt man an, dass das Hook sche Gesetz gültig ist und letztlich werden die Gleichgewichtsbedingungen für den undeformierten Zustand gemacht. Die Spannungsverteilung wird mit folgender Formel berechnet: = (4) Das Flächenträgheitsmoment ist im Allgemeinen durch ein Integral bestimmt. Im Falle einer Platte kann es folgendermassen ermittelt werden: = Durchbiegung Eine Verschiebung v(x) entspricht dem Abstand zwischen dem undeformierten und dem deformierten Zustand. Sie kann aus der folgenden Formel berechnet werden (wobei E=E-Modul, G=Kraft, L= Länge, =Flächenträgheitsmoment, x=abstand in x- Rtg). Die Formel beruht auf der Annahme, dass keine Messfehler gemacht wurden und dass der Balken ein perfekter Quader ist. (5) ( )= (6) Aus dieser Formel folgt für den E-Modul E und die Biegesteifigkeit : 3 / 12

5 = ( ) ( ) (7) = ( ) (8) ( ) 3. Materialien und Methoden Für die Messung wurde eine 3-Punkt-Biegung durchgeführt und eine Apparatur gemäss Abbildung 1 aufgebaut. Dabei wurden als erstes die Dimensionen (Breite, Höhe und Länge) der eingesetzten prismatischen Balken, sowie der Abstand der Auflager gemessen. Dann wurde der jeweilige Balken aufgelegt und zuerst mit einer Messuhr im Ruhezustand vermessen. Anschliessend wurde das entsprechende Gewicht bei L/2 angelegt und die Biegelinie wurde wiederum mit der Messuhr vermessen. Die Messung erfolgte alle 2 cm bis L/2, da die Biegelinie symmetrisch ist. Die Messung wurde für folgende Werkstoffe und Belastungen durchgeführt: Proben Belastung [Kg ] Stahl , 2.5 Aluminium 1.0, 1.5 Kupfer 1.0, 2.0 PVC 0.5 Schichtverbunde 2.5, 3.0 Herstellung der Schichtverbunde Für den Versuch wurden zwei verschiedene Schichtverbunde hergestellt. Beide hatten Al-Deckschichten, allerdings bestand der Eine aus einem Styroporkern und der andere hatte einen Al-Wabenkern. Bei der Herstellung wurden als zunächst die Al-Deckschichten mit Schleifpapier behandelt, um die Oxidschicht zu entfernen und danach mit Aceton entfettet. Anschliessend wurden die beiden Kerne einige cm zu gross ausgeschnitten und mit einem Zweikomponentenkleber mit den Al-Deckschichten verbunden. Die Schichtverbunde wurden mit Backsteinen beschwert und drei Tage stehen gelassen. Vor dem Versuch wurden die Kerne auf die korrekte Grösse zurechtgeschnitten. 4 / 12

6 4. Resultate Tab. 1: Die Berechnung des E-Moduls der Werkstoffe ergab folgende Resultate: Werkstoff Höhe [mm] Breite [mm] E-Modul [GPa] Standardabweichung [GPa] Literaturwert [GPa] Stahl Kupfer Aluminium PVC Aus den Messwerten wurden ausserdem die Biegelinien für die einzelnen Materialien gezeichnet: Biegelinie von Stahl 0 Auslenkung [mm] gemessen 1984 g gemessen 2486 g berechnet 1984 g berechnet 2486 g -1.6 Abstand von Auflagepunkt [m] 5 / 12

7 Biegelinie von Kupfer 0 Auslenkung [mm] gemessen g gemessen 1984 g berechnet g -2.5 berechnet 1984 g -3 Abstand von Auflagepunkt [m] Biegelinie von Aluminium 0 Auslenkung [mm] gemessen g gemessen 1490 g berechnet g Abstand von Auflagepunkt [m] berechnet 1490 g 6 / 12

8 Biegelinie von PVC 5 Auslenkung [mm] gemessen g berechnet g -30 Abstand von Auflagepunkt [m] Biegelinie der Verbundwerkstoffe 0.5 Auslenkung [mm] Wabenstruktur 2482 g Wabenstruktur 2980 g Styroporkern 2482 g -2 Styroporkern 2980 g -2.5 Abstand von Auflagepunkt [m] 7 / 12

9 Tab. 2: Berechnete Biegesteifigkeiten Werkstoff Biegesteifigkeit [Pa/m 4 ] Standardabweichung Stahl Kupfer Aluminium PVC Schichtverbund (Styropor) Schichtverbund (Waben) Der Al-Wabenkern- und Styroporkernschichtverbund hatten eine Höhe von 11.3 mm resp. 11 mm und eine Breite von 50.8 mm resp mm. 5. Diskussion Wenn die Standardabweichung miteinbezogen wurde, stimmte das berechnete E- Modul relativ gut mit den Literaturwerten überein. Bei Kupfer wurde sogar ein Wert gemessen, der bis auf 2 GPa stimmte. Im Allgemeinen kann man sagen, dass die Werte bei zunehmender Grössenordnung genauer stimmten. Die einzige Ausnahme bildete Stahl 37, dessen Wert doch ziemlich deutlich unter dem Literaturwert lag. Der Fehler lag vermutlich im Material, da die Probe schon ziemlich rostig war. Dies hatte wohl einen Einfluss auf die Messung. Andere Fehler sind bei der Stahlprobe unwahrscheinlich, da die Apparatur während des ganzen Versuches nicht verändert wurde. Die Tendenz, bei höherem E-Modul genauere Messwerte zu erhalten, liegt an der Messapparatur selbst. Die Messuhr, die verwendet wurde, drückte mit der eigenen Gewichtskraft auf die Probe. Je kleiner der Widerstand des Materials ist, desto grösser ist der Einfluss der Gewichtskraft. Am deutlichsten zeigte sich dieser Effekt bei der Messung der Biegelinie der Polyvinylchlorid-Probe. Von blossem Auge konnte eine Veränderung der Biegelinie erkannt werden, sobald die Messuhr aufgesetzt wurde. Um diesen Effekt zumindest zu verkleinern, wurde das angehängte Gewicht unterlegt, um Schwingungen zu vermeiden. Ausserdem wurde, um eventuelle Verklemmungen in der Messuhr und so induzierte Fehler zu vermeiden, der Messstift jedes Mal ein wenig angehoben und anschliessend auf die Probe fallen gelassen. Diese Prozedur hatte keinen nennenswerten Einfluss auf die Messung bei Proben mit hohen E-Modul und Biegesteifigkeit. Bei der Polyvinylchloridprobe allerdings könnten kleine Schwingungen aufgetreten sein, die die Genauigkeit negativ beeinflusst hätten. 8 / 12

10 Die gemessenen Biegelinien stimmten ebenfalls gut mit den berechneten überein. Bei der Betrachtung der Biegesteifigkeit fallen zwei Sachen auf: Aluminium und Kupfer weisen etwa denselben Wert auf. Interessanter ist aber die Tatsache, dass der Wabenkernverbundwerkstoff eine grössere Biegesteifigkeit hat als reines Aluminium, obwohl der Wabenkern als auch die Deckschichten aus Aluminium bestanden. Dies liegt an der Geometrie der Wabenstruktur. Die Wabenstruktur hat ein wesentlich grösseres Flächenträgheitsmoment als ein einfacher Block aus demselben Material. Da sich die Schichten nicht gegeneinander bewegen können, weil sie angeklebt wurden, hätte eine Verbiegung des Kompositwerkstoffes eine Verbiegung der Wabenstruktur zur Folge. Dafür muss aber wegen des grösseren Flächenträgheitsmoment viel mehr Kraft aufgewendet werden als bei einer reinen Aluminiumprobe. Deswegen hat aber der Schichtverbund kein eigentliches E-Modul, allerdings lässt sich ein theoretischer Wert dafür berechnen. Industriell gefertigte Schichtverbunde hätten eine noch grössere Biegesteifigkeit aufgewiesen, da der Leim von Hand nur schwierig gleichmässig aufzutragen war. Ausserdem hatten sich die Deckschichten beim Auflegen der Backsteine etwas gegeneinander verschoben. 6. Referenzen [1] : Praktikumsanleitung zum Praktikum II, Teil Werkstoffe, FS 09: Versuch 3/4: E-Modul, Studiengang Materialwissenschaft BSc, ETH Zürich. Abb.1 und 2: Entnommen aus [1]. 9 / 12

11 7. Anhang Stahl 37 Abstand Messuhr-Auflagepunkt [m] unbelastet 1984 g 2486 g Biegung [mm] Biegung [mm] Biegung [mm] Kupfer Abstand Messuhr-Auflagepunkt [m] unbelastet g 1984 g Biegung [mm] Biegung [mm] Biegung [mm] / 12

12 Aluminium Abstand Messuhr-Auflagepunkt [m] unbelastet g 1490 g Biegung [mm] Biegung [mm] Biegung [mm] Verbundwerkstoff mit Wabenstruktur Abstand Messuhr-Auflagepunkt [m] Nullbelastung 2482 g 2980 g Biegung [mm] Biegung [mm] Biegung [mm] / 12

13 Verbundwerkstoff mit Styroporkern Abstand Messuhr-Auflagepunkt [m] Nullbelastung 2482 g 2980 g Biegung [mm] Biegung [mm] Biegung [mm] / 12