Vorlesung 1: Stabiles Heiraten
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- Heike Maier
- vor 6 Jahren
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Transkript
1 Vorlesung 1: Stabiles Heiraten Algorithmen und Datenstrukturen, Herbstsemester 17
2 Einleitung
3 Anwendungsbeispiel aus USA «National Residency Matching Program (NRMP)» jedes Jahr müssen ca 30,000 Stellen an US Spitälern mit abschliessenden Medizinstudenten besetzt werden
4 Was sind gute Zuordnungen?
5 Was sind gute Zuordnungen? Überlegungen: jeder Student möchte eine möglichst «gute Stelle» und hat eine Rangliste aller Stellen gemäss seiner Präferenzen
6 Was sind gute Zuordnungen? Überlegungen: jeder Student möchte eine möglichst «gute Stelle» und hat eine Rangliste aller Stellen gemäss seiner Präferenzen jedes Spital möchte möglichst «gute Studenten» und hat für jede Stelle eine Rangliste der Studenten gemäss ihrer Eignung
7 Was sind gute Zuordnungen? Überlegungen: jeder Student möchte eine möglichst «gute Stelle» und hat eine Rangliste aller Stellen gemäss seiner Präferenzen jedes Spital möchte möglichst «gute Studenten» und hat für jede Stelle eine Rangliste der Studenten gemäss ihrer Eignung wahrscheinlich: nicht jeder Student kann seine erste Wahl bekommen und nicht jede Stelle kann mit dem geeignetsten Studenten besetzt werden
8 Was sind gute Zuordnungen? Überlegungen: jeder Student möchte eine möglichst «gute Stelle» und hat eine Rangliste aller Stellen gemäss seiner Präferenzen jedes Spital möchte möglichst «gute Studenten» und hat für jede Stelle eine Rangliste der Studenten gemäss ihrer Eignung wahrscheinlich: nicht jeder Student kann seine erste Wahl bekommen und nicht jede Stelle kann mit dem geeignetsten Studenten besetzt werden Wie können Kon ikte möglichst gut aufgelöst werden?
9 Was sind Anzeichen schlechter Zuordnungen?
10 Was sind Anzeichen schlechter Zuordnungen? wenn sowohl Spitäler als auch Studenten Anreize haben von der aktuellen Zuordnung abzuweichen
11 Was sind Anzeichen schlechter Zuordnungen? wenn sowohl Spitäler als auch Studenten Anreize haben von der aktuellen Zuordnung abzuweichen konkret: es gibt Student A und Stelle B so dass gilt: Student A zieht Stelle B seiner aktuellen Stelle vor Student A ist besser für Stelle B geeignet als der aktuelle Student auf Stelle B
12 Was sind Anzeichen schlechter Zuordnungen? wenn sowohl Spitäler als auch Studenten Anreize haben von der aktuellen Zuordnung abzuweichen konkret: es gibt Student A und Stelle B so dass gilt: Student A zieht Stelle B seiner aktuellen Stelle vor Student A ist besser für Stelle B geeignet als der aktuelle Student auf Stelle B in diesem Fall hat Student A einen Anreiz seine aktuelle Stelle zu kündigen und das Spital hat einen Anreiz den aktuellen Student auf Stelle B zu entlassen
13 Was sind Anzeichen schlechter Zuordnungen? wenn sowohl Spitäler als auch Studenten Anreize haben von der aktuellen Zuordnung abzuweichen konkret: es gibt Student A und Stelle B so dass gilt: Student A zieht Stelle B seiner aktuellen Stelle vor Student A ist besser für Stelle B geeignet als der aktuelle Student auf Stelle B in diesem Fall hat Student A einen Anreiz seine aktuelle Stelle zu kündigen und das Spital hat einen Anreiz den aktuellen Student auf Stelle B zu entlassen Begri : solche Zuordnungen werden «instabil» genannt
14 Was sind Anzeichen schlechter Zuordnungen? wenn sowohl Spitäler als auch Studenten Anreize haben von der aktuellen Zuordnung abzuweichen konkret: es gibt Student A und Stelle B so dass gilt: Student A zieht Stelle B seiner aktuellen Stelle vor Student A ist besser für Stelle B geeignet als der aktuelle Student auf Stelle B in diesem Fall hat Student A einen Anreiz seine aktuelle Stelle zu kündigen und das Spital hat einen Anreiz den aktuellen Student auf Stelle B zu entlassen Begri : solche Zuordnungen werden «instabil» genannt Können wir eine Zuordnung nden die «stabil» ist?
15 Hauptteil
16 Andere Terminologie (anwendungsentfernter)
17 Andere Terminologie (anwendungsentfernter) n Männer {m,, m } und n Frauen {f,, f } 1 n 1 n
18 Andere Terminologie (anwendungsentfernter) n Männer {m,, m } und n Frauen {f,, f } jede Frau f hat eine Rangliste der Männer i 1 n 1 n jeder Mann m hat eine Rangliste der Frauen i m1 m2 m1 m3 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
19 Andere Terminologie (anwendungsentfernter) n Männer {m,, m } und n Frauen {f,, f } 1 n 1 n jede Frau f hat eine Rangliste der Männer i jeder Mann m hat eine Rangliste der Frauen i De nition: Zuordnung ist Menge von Paaren (m i, f j) so dass keine Frau und kein Mann mehr als einmal vorkommt m1 m2 m1 m3 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
20 Andere Terminologie (anwendungsentfernter) n Männer {m,, m } und n Frauen {f,, f } 1 n 1 n jede Frau f hat eine Rangliste der Männer i jeder Mann m hat eine Rangliste der Frauen i De nition: Zuordnung ist Menge von Paaren (m i, f j) so dass keine Frau und kein Mann mehr als einmal vorkommt m1 m2 m1 m3 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
21 Andere Terminologie (anwendungsentfernter) n Männer {m,, m } und n Frauen {f,, f } 1 n 1 n jede Frau f hat eine Rangliste der Männer i jeder Mann m hat eine Rangliste der Frauen i De nition: Zuordnung ist Menge von Paaren (m i, f j) so dass keine Frau und kein Mann mehr als einmal vorkommt m1 m2 m1 m3 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
22 Andere Terminologie (anwendungsentfernter) n Männer {m,, m } und n Frauen {f,, f } 1 n 1 n jede Frau f hat eine Rangliste der Männer i jeder Mann m hat eine Rangliste der Frauen i De nition: Zuordnung ist Menge von Paaren (m i, f j) so dass keine Frau und kein Mann mehr als einmal vorkommt m1 m2 m1 m3 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
23 De nition: Zuordnung ist Menge von Paaren (m i, f j) so dass keine Frau und kein Mann mehr als einmal vorkommt De nition: ein Paar (m i, f j) ist stabil für eine Zuordnung wenn entweder m i seine aktuelle Partnerin gegenüber f j vorzieht oder f ihren aktuellen Partner gegenüber m vorzieht j i m1 m2 m1 m3 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
24 De nition: Zuordnung ist Menge von Paaren (m i, f j) so dass keine Frau und kein Mann mehr als einmal vorkommt De nition: ein Paar (m i, f j) ist stabil für eine Zuordnung wenn entweder m i seine aktuelle Partnerin gegenüber f j vorzieht oder f ihren aktuellen Partner gegenüber m vorzieht j i m1 m2 m1 m3 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
25 De nition: Zuordnung ist Menge von Paaren (m i, f j) so dass keine Frau und kein Mann mehr als einmal vorkommt De nition: ein Paar (m i, f j) ist stabil für eine Zuordnung wenn entweder m i seine aktuelle Partnerin gegenüber f j vorzieht oder f ihren aktuellen Partner gegenüber m vorzieht j De nition: eine Zuordnung ist stabil wenn all möglichen Paar (m, f ) stabil sind i j i m1 m2 m1 m3 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
26 De nition: Zuordnung ist Menge von Paaren (m i, f j) so dass keine Frau und kein Mann mehr als einmal vorkommt De nition: ein Paar (m i, f j) ist stabil für eine Zuordnung wenn entweder m i seine aktuelle Partnerin gegenüber f j vorzieht oder f ihren aktuellen Partner gegenüber m vorzieht j De nition: eine Zuordnung ist stabil wenn all möglichen Paar (m, f ) stabil sind i j i m1 m2 m1 m3 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
27 De nition: Zuordnung ist Menge von Paaren (m i, f j) so dass keine Frau und kein Mann mehr als einmal vorkommt De nition: ein Paar (m i, f j) ist stabil für eine Zuordnung wenn entweder m i seine aktuelle Partnerin gegenüber f j vorzieht oder f ihren aktuellen Partner gegenüber m vorzieht j De nition: eine Zuordnung ist stabil wenn all möglichen Paar (m, f ) stabil sind i j i m1 m2 m1 m3 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
28 De nition: Zuordnung ist Menge von Paaren (m i, f j) so dass keine Frau und kein Mann mehr als einmal vorkommt De nition: ein Paar (m i, f j) ist stabil für eine Zuordnung wenn entweder m i seine aktuelle Partnerin gegenüber f j vorzieht oder f ihren aktuellen Partner gegenüber m vorzieht j De nition: eine Zuordnung ist stabil wenn all möglichen Paar (m, f ) stabil sind i j i m1 m2 m1 m3 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
29 Testen Sie Ihre Intuition Erreicht man immer eine stabile Zuordnung indem man Instabilitäten lokal abändert?
30 Testen Sie Ihre Intuition Erreicht man immer eine stabile Zuordnung indem man Instabilitäten lokal abändert? Nein, dieser Prozess hört unter Umständen niemals auf!
31 Testen Sie Ihre Intuition Erreicht man immer eine stabile Zuordnung indem man Instabilitäten lokal abändert? Nein, dieser Prozess hört unter Umständen niemals auf! Gibt es überhaupt immer eine stabile Zuordnung?
32 Testen Sie Ihre Intuition Erreicht man immer eine stabile Zuordnung indem man Instabilitäten lokal abändert? Nein, dieser Prozess hört unter Umständen niemals auf! Gibt es überhaupt immer eine stabile Zuordnung? Ja!
33 Testen Sie Ihre Intuition Erreicht man immer eine stabile Zuordnung indem man Instabilitäten lokal abändert? Nein, dieser Prozess hört unter Umständen niemals auf! Gibt es überhaupt immer eine stabile Zuordnung? Ja! Könnte alle Zuordnungen ausprobieren um eine stabile zu nden
34 Testen Sie Ihre Intuition Erreicht man immer eine stabile Zuordnung indem man Instabilitäten lokal abändert? Nein, dieser Prozess hört unter Umständen niemals auf! Gibt es überhaupt immer eine stabile Zuordnung? Ja! Könnte alle Zuordnungen ausprobieren um eine stabile zu nden Wie lange dauert es alle möglichen Zuordnungen auf einem modernen Computer auszuprobieren? 1. ein paar Minuten 2. ein paar Stunden
35 Testen Sie Ihre Intuition Erreicht man immer eine stabile Zuordnung indem man Instabilitäten lokal abändert? Nein, dieser Prozess hört unter Umständen niemals auf! Gibt es überhaupt immer eine stabile Zuordnung? Ja! Könnte alle Zuordnungen ausprobieren um eine stabile zu nden Wie lange dauert es alle möglichen Zuordnungen auf einem modernen Computer auszuprobieren? 1. ein paar Minuten 2. ein paar Stunden 3. länger als das geschätzte Alter des Universums!
36 10000 mehr als 10 mögliche Zuordnungen für US residencies
37 10000 mehr als 10 mögliche Zuordnungen für US residencies
38 10000 mehr als 10 mögliche Zuordnungen für US residencies Planck-Zeiteinheiten (10 s) seit Urknall
39 10000 mehr als 10 mögliche Zuordnungen für US residencies Planck-Zeiteinheiten (10 s) seit Urknall Atome im Universum
40 10000 mehr als 10 mögliche Zuordnungen für US residencies Planck-Zeiteinheiten (10 s) seit Urknall Atome im Universum 9 10 «Rechenschritte» für Gale Shapley Algorithmus (wenige Sekunden auf modernem Computer)
41 10000 mehr als 10 mögliche Zuordnungen für US residencies Planck-Zeiteinheiten (10 s) seit Urknall Atome im Universum 9 10 «Rechenschritte» für Gale Shapley Algorithmus (wenige Sekunden auf modernem Computer) Hintergrund: polynomielles versus exponentielles Wachstum
42 Problem des stabilen Heiratens Gegeben: n Frauen und n Männer mit Ranglisten Gesucht: stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen
43 Problem des stabilen Heiratens Gegeben: n Frauen und n Männer mit Ranglisten Gesucht: stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen Gale Shapley Theorem (1962) Es existiert einen Algorithmus, der das Problem des stabilen 2 Heiratens in höchstens n «Rechenschritten» löst
44 Problem des stabilen Heiratens Gegeben: n Frauen und n Männer mit Ranglisten Gesucht: stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen 1962: Gale ( ) und Shapley ( ) entwickeln den Algorithmus Gale Shapley Theorem (1962) Es existiert einen Algorithmus, der das Problem des stabilen 2 Heiratens in höchstens n «Rechenschritten» löst
45 Problem des stabilen Heiratens Gegeben: n Frauen und n Männer mit Ranglisten Gesucht: stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen 1962: Gale ( ) und Shapley ( ) entwickeln den Algorithmus 2004: Roth erweitert ihn für Nierentransplantationen Gale Shapley Theorem (1962) Es existiert einen Algorithmus, der das Problem des stabilen 2 Heiratens in höchstens n «Rechenschritten» löst
46 Problem des stabilen Heiratens Gegeben: n Frauen und n Männer mit Ranglisten Gesucht: stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen 1962: Gale ( ) und Shapley ( ) entwickeln den Algorithmus 2004: Roth erweitert ihn für Nierentransplantationen 2012: Roth und Shapley erhalten den Wirtschaftsnobelpreis für diese Arbeiten Gale Shapley Theorem (1962) Es existiert einen Algorithmus, der das Problem des stabilen Heiratens in höchstens n2 «Rechenschritten» löst
47 Prinzipien des Gale Shapley Algorithmus
48 Prinzipien des Gale Shapley Algorithmus Männer sind aktiv: sie stellen Anträge an Frauen
49 Prinzipien des Gale Shapley Algorithmus Männer sind aktiv: sie stellen Anträge an Frauen Frauen sind passiv: sie akzeptieren Anträge von Männern oder lehnen diese ab
50 Prinzipien des Gale Shapley Algorithmus Männer sind aktiv: sie stellen Anträge an Frauen Frauen sind passiv: sie akzeptieren Anträge von Männern oder lehnen diese ab beide sind eigennützig: sie stellen Anträge und reagieren auf Anträge gemäss ihrer Präferenzen
51 Prinzipien des Gale Shapley Algorithmus Männer sind aktiv: sie stellen Anträge an Frauen Frauen sind passiv: sie akzeptieren Anträge von Männern oder lehnen diese ab beide sind eigennützig: sie stellen Anträge und reagieren auf Anträge gemäss ihrer Präferenzen beide sind exibel: zuvor akzeptierte Anträge können wieder aufgelöst werden
52 Prinzipien des Gale Shapley Algorithmus Männer sind aktiv: sie stellen Anträge an Frauen Frauen sind passiv: sie akzeptieren Anträge von Männern oder lehnen diese ab beide sind eigennützig: sie stellen Anträge und reagieren auf Anträge gemäss ihrer Präferenzen beide sind exibel: zuvor akzeptierte Anträge können wieder aufgelöst werden Rollen von Männern und Frauen können getauscht werden aber: die Asymmetrie zwischen beiden Seiten ist wichtig
53 Beispiel für Ablauf des Gale Shapley Algorithmus link
54 Gale Shapley Algorithmus:
55 Gale Shapley Algorithmus: beginne mit einer leeren Zuordnung
56 Gale Shapley Algorithmus: beginne mit einer leeren Zuordnung solange es einen Mann m i gibt, der keinen Partner hat und noch nicht jeder Frau einen Antrag gestellt hat:
57 Gale Shapley Algorithmus: beginne mit einer leeren Zuordnung solange es einen Mann m i gibt, der keinen Partner hat und noch nicht jeder Frau einen Antrag gestellt hat: m i stellt einen Antrag an die Frau f j, die er bevorzug unter allen, die er noch nicht gefragt hat
58 Gale Shapley Algorithmus: beginne mit einer leeren Zuordnung solange es einen Mann m i gibt, der keinen Partner hat und noch nicht jeder Frau einen Antrag gestellt hat: m i stellt einen Antrag an die Frau f j, die er bevorzug unter allen, die er noch nicht gefragt hat f j akzeptiert den Antrag, falls sie noch keinen Partner hat oder sie m i vorzieht gegenüber ihrem aktuellen Partner (in diesem Fall löst sie die bestehende Partnerschaft auf)
59 Gale Shapley Algorithmus: beginne mit einer leeren Zuordnung solange es einen Mann m i gibt, der keinen Partner hat und noch nicht jeder Frau einen Antrag gestellt hat: m i stellt einen Antrag an die Frau f j, die er bevorzug unter allen, die er noch nicht gefragt hat f j akzeptiert den Antrag, falls sie noch keinen Partner hat oder sie m i vorzieht gegenüber ihrem aktuellen Partner (in diesem Fall löst sie die bestehende Partnerschaft auf) Wieviele «Antragsrunden» gibt es?
60 Gale Shapley Algorithmus: beginne mit einer leeren Zuordnung solange es einen Mann m i gibt, der keinen Partner hat und noch nicht jeder Frau einen Antrag gestellt hat: m i stellt einen Antrag an die Frau f j, die er bevorzug unter allen, die er noch nicht gefragt hat f j akzeptiert den Antrag, falls sie noch keinen Partner hat oder sie m i vorzieht gegenüber ihrem aktuellen Partner (in diesem Fall löst sie die bestehende Partnerschaft auf) Wieviele «Antragsrunden» gibt es? Ist die so berechnete Zuordnung stabil?
61 Laufzeit 2 Behauptung: Der Algorithmus terminiert nach höchstens n Runden in denen ein Mann einer Frau einen Antrag stellt
62 Laufzeit Behauptung: Der Algorithmus terminiert nach höchstens n Runden in denen ein Mann einer Frau einen Antrag stellt Beobachtung: Jeder Mann fragt jede Frau höchstens einmal 2
63 Laufzeit Behauptung: Der Algorithmus terminiert nach höchstens n Runden in denen ein Mann einer Frau einen Antrag stellt Beobachtung: Jeder Mann fragt jede Frau höchstens einmal jeder Mann stellt höchstens n Anträge 2
64 Laufzeit Behauptung: Der Algorithmus terminiert nach höchstens n Runden in denen ein Mann einer Frau einen Antrag stellt Beobachtung: Jeder Mann fragt jede Frau höchstens einmal jeder Mann stellt höchstens n Anträge insgesamt gibt es höchstens n Anträge 2 2
65 Korrektheit Behauptung: Der Algorithmus berechnet eine stabile Zuordnung
66 Korrektheit Behauptung: Der Algorithmus berechnet eine stabile Zuordnung Beobachtung: Im Laufe des Algorithmus verbessern sich die Partner einer Frau stetig
67 Korrektheit Behauptung: Der Algorithmus berechnet eine stabile Zuordnung Beobachtung: Im Laufe des Algorithmus verbessern sich die Partner einer Frau stetig Betrachte m i und f j, die nicht einander zugeordnet sind
68 Korrektheit Behauptung: Der Algorithmus berechnet eine stabile Zuordnung Beobachtung: Im Laufe des Algorithmus verbessern sich die Partner einer Frau stetig Betrachte m und f, die nicht einander zugeordnet sind i j Zu zeigen: entweder m oder f hat besseren Partner i j
69 Korrektheit Behauptung: Der Algorithmus berechnet eine stabile Zuordnung Beobachtung: Im Laufe des Algorithmus verbessern sich die Partner einer Frau stetig Betrachte m und f, die nicht einander zugeordnet sind Zu zeigen: entweder m oder f hat besseren Partner 1. Fall: m hat f einen Antrag gestellt i i j j i j 2. Fall: m hat f nie gefragt i j
70 Korrektheit Behauptung: Der Algorithmus berechnet eine stabile Zuordnung Beobachtung: Im Laufe des Algorithmus verbessern sich die Partner einer Frau stetig Betrachte m und f, die nicht einander zugeordnet sind i Zu zeigen: entweder m oder f hat besseren Partner 1. Fall: m hat f einen Antrag gestellt i j j i j f j hat den Antrag von m i entweder abgelehnt oder später die Partnerschaft mit m aufgelöst i 2. Fall: m hat f nie gefragt i j
71 Korrektheit Behauptung: Der Algorithmus berechnet eine stabile Zuordnung Beobachtung: Im Laufe des Algorithmus verbessern sich die Partner einer Frau stetig Betrachte m und f, die nicht einander zugeordnet sind Zu zeigen: entweder m oder f hat besseren Partner 1. Fall: m hat f einen Antrag gestellt i i f j hat den Antrag von m i entweder abgelehnt oder später die Partnerschaft mit m aufgelöst In beiden Fällen hat f hat einen besseren Partner als m 2. Fall: m hat f nie gefragt i j j j i j i j i
72 Korrektheit Behauptung: Der Algorithmus berechnet eine stabile Zuordnung Beobachtung: Im Laufe des Algorithmus verbessern sich die Partner einer Frau stetig Betrachte m und f, die nicht einander zugeordnet sind i Zu zeigen: entweder m oder f hat besseren Partner 1. Fall: m hat f einen Antrag gestellt i 2. Fall: m hat f nie gefragt i j j j i j eine bessere Partnerin als f j hat den Antrag von m i angenommen und nie wieder aufgelöst
73 Abschluss
74 Erweiterung Einteilung in Zweiergruppen (z.b. für Übungen) jeder Student hat eine Rangliste aller anderen Studenten
75 Erweiterung Einteilung in Zweiergruppen (z.b. für Übungen) jeder Student hat eine Rangliste aller anderen Studenten Ziel: nde «stabile» Einteilung in Zweiergruppen
76 Erweiterung Einteilung in Zweiergruppen (z.b. für Übungen) jeder Student hat eine Rangliste aller anderen Studenten Ziel: nde «stabile» Einteilung in Zweiergruppen Hier gibt es nicht notwendigerweise eine stabile Einteilung!
77 Erweiterung Einteilung in Zweiergruppen (z.b. für Übungen) jeder Student hat eine Rangliste aller anderen Studenten Ziel: nde «stabile» Einteilung in Zweiergruppen Hier gibt es nicht notwendigerweise eine stabile Einteilung! Aber falls es eine gibt kann man sie e zient nden
78 Eindeutigkeit?
79 Eindeutigkeit? eine stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen ist nicht notwendigerweise eindeutig
80 Eindeutigkeit? eine stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen ist nicht notwendigerweise eindeutig aber: Gale Shapley ndet eindeutige Zuordnung (unabhängig von Reihenfolge der Männer)
81 Eindeutigkeit? eine stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen ist nicht notwendigerweise eindeutig aber: Gale Shapley ndet eindeutige Zuordnung (unabhängig von Reihenfolge der Männer) welche stabile Zuordnung ndet Gale Shapley?
82 Eindeutigkeit? eine stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen ist nicht notwendigerweise eindeutig aber: Gale Shapley ndet eindeutige Zuordnung (unabhängig von Reihenfolge der Männer) welche stabile Zuordnung ndet Gale Shapley? Theorem: Gale Shapley Zuordnung ist Mann-optimal und Frau-pessimal
83 Eindeutigkeit? eine stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen ist nicht notwendigerweise eindeutig aber: Gale Shapley ndet eindeutige Zuordnung (unabhängig von Reihenfolge der Männer) welche stabile Zuordnung ndet Gale Shapley? Theorem: Gale Shapley Zuordnung ist Mann-optimal und Frau-pessimal heisst: jeder Mann hat den bestmöglichen Partner unter allen stabilen Zuordngen; jede Frau hat den schlechtestmöglichen Partner unter allen stabilen Zuordngen
84 Eindeutigkeit? eine stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen ist nicht notwendigerweise eindeutig aber: Gale Shapley ndet eindeutige Zuordnung (unabhängig von Reihenfolge der Männer) welche stabile Zuordnung ndet Gale Shapley? Theorem: Gale Shapley Zuordnung ist Mann-optimal und Frau-pessimal heisst: jeder Mann hat den bestmöglichen Partner unter allen stabilen Zuordngen; jede Frau hat den schlechtestmöglichen Partner unter allen stabilen Zuordngen Moral: aktiv sein zahlt sich aus
85 Eindeutigkeit? eine stabile Zuordnung zwischen Männern und Frauen ist nicht notwendigerweise eindeutig aber: Gale Shapley ndet eindeutige Zuordnung (unabhängig von Reihenfolge der Männer) welche stabile Zuordnung ndet Gale Shapley? Theorem: Gale Shapley Zuordnung ist Mann-optimal und Frau-pessimal heisst: jeder Mann hat den bestmöglichen Partner unter allen stabilen Zuordngen; jede Frau hat den schlechtestmöglichen Partner unter allen stabilen Zuordngen Moral: aktiv sein zahlt sich aus auch für die Vorlesung
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