Socio-Economic Modelling
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- Lisa Fried
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1 Socio-Economic Modelling Seminar Partielle Differentialgleichung Andreas Günnel 20. Mai /29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Einleitung 2 3 2/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
3 Einleitung Empirische und statistische Vergleiche bezüglich des kollektiven Verhalten zeigen sehr viele Gemeinsamkeiten zwischen verschiedenen Ländern und Märkten. 3/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
4 Grundidee der : Verhalten eines Individuums nicht vorhersehbar ähnlich wie bei der Brownschen Bewegung Energieverteilung von sehr vielen Gasteilchen kann ermittelt werden Eine Gesellschaft aus (hinreichend) vielen Individuen kann näherungsweise beschrieben werden (mithilfe von statistischen Methoden). 4/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
5 Einleitung Betrachtet wird ein einfacher offener Markt aus vielen Händlern mit einem Vermögen w. Kinetische Betrachtungsweise: Eine große Anzahl von Teilchen können untereinander kollidieren und tauschen dabei Energie aus (Boltzmann) 5/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
6 Einleitung Betrachtet wird ein einfacher offener Markt aus vielen Händlern mit einem Vermögen w. Kinetische Betrachtungsweise: Eine große Anzahl von Teilchen können untereinander kollidieren und tauschen dabei Energie aus (Boltzmann) auf unseren Markt übertragen: Gasteilchen mit Energie = Händler mit Vermögen Dabei wird der entsprechende Markt durch die Kollosionsregeln charakterisiert. 5/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
7 Einleitung Betrachtet wird ein einfacher offener Markt aus vielen Händlern mit einem Vermögen w. Kinetische Betrachtungsweise: Eine große Anzahl von Teilchen können untereinander kollidieren und tauschen dabei Energie aus (Boltzmann) auf unseren Markt übertragen: Gasteilchen mit Energie = Händler mit Vermögen Dabei wird der entsprechende Markt durch die Kollosionsregeln charakterisiert. 5/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
8 Einleitung Italienischer Ökonom Vilfredo Pareto hat als Erster die im oberen Bereich beschrieben: F (w) = w f (w )dw w µ, wobei f (w) die Verteilungsdichte und µ der sogenannte Pareto-Index ist (z.b. USA 1.6, Japan ). Weniger als 20 % besitzen 80 % des Vermögens. 6/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
9 Einleitung Italienischer Ökonom Vilfredo Pareto hat als Erster die im oberen Bereich beschrieben: F (w) = w f (w )dw w µ, wobei f (w) die Verteilungsdichte und µ der sogenannte Pareto-Index ist (z.b. USA 1.6, Japan ). Weniger als 20 % besitzen 80 % des Vermögens. 6/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
10 Boltzmann-Gleichung Einleitung Sei f = f (w, t) die Wahrscheinlichkeitsdichte von Händlern mit Vermögen w zur Zeit t, dann lautet die Pareto- Boltzmann-Gleichung f = Q(f, f ). t Q ist dabei ein Integraloperator wird durch die eines Geschäfts zwischen 2 Händlern bestimmt. 7/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
11 Erhaltende Modelle für den Handel Für 2 willkürliche Händler mit dem Vermögen v und w kann gelten v = p 1 v + q 1 w; w = p 2 v + q 2 w, wobei p i, qi 0 Konstanten oder Zufallsgrößen sein können. 8/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
12 Eine weitere Möglichkeit ist v = v + (v, w); w = w (v, w) (v, w) = (1 s)[(ε 1)v + εw], dabei ist 0 ε 1 zufällig und s ein vorgegebener Sparfaktor. 9/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
13 Von S. Cordier, L. Pareschi und G. Toscani stammt das Modell v = sv + (1 s)w + ηv; w = (1 s)v + sw + ηw, wobei 1 2 < s < 1, η und η sind unabhängig, identisch verteilte Zufallsgrößen und beschreiben die spontane Entwicklung des Vermögens auftretender Effekt: Reiche werden noch reicher, Arme noch ärmer. 10/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
14 Von S. Cordier, L. Pareschi und G. Toscani stammt das Modell v = sv + (1 s)w + ηv; w = (1 s)v + sw + ηw, wobei 1 2 < s < 1, η und η sind unabhängig, identisch verteilte Zufallsgrößen und beschreiben die spontane Entwicklung des Vermögens auftretender Effekt: Reiche werden noch reicher, Arme noch ärmer. 10/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
15 Simulation Einleitung Simulierte ( n = 1 mio.) Anzahl Vermögen (Durchschnittsvermögen = 80) 11/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
16 Auswertung der Modelle Eine Analyse der Kollision = Handel liefert tiefgehende Analogien zur Granularen Strömungsmechanik. die explizite Fom der Verteilung ist selten auffindbar und numerische Simulation ist sehr aufwendig 12/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
17 Auswertung der Modelle Eine Analyse der Kollision = Handel liefert tiefgehende Analogien zur Granularen Strömungsmechanik. die explizite Fom der Verteilung ist selten auffindbar und numerische Simulation ist sehr aufwendig Mithilfe von PDEs kann jedoch die Grenzverteilung ermittelt werden. 12/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
18 Auswertung der Modelle Eine Analyse der Kollision = Handel liefert tiefgehende Analogien zur Granularen Strömungsmechanik. die explizite Fom der Verteilung ist selten auffindbar und numerische Simulation ist sehr aufwendig Mithilfe von PDEs kann jedoch die Grenzverteilung ermittelt werden. 12/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
19 Fokker-Plank-Gleichung Verteilung konvergiert gegen die Lösung einer Fokker-Plank-Gleichung f t = λ ( v 2 2 v 2 f ) + ((v m)f ). v Zur Vereinfachung wird m = 1 gesetzt und man erhält als Lösung ( ) (µ 1)µ exp µ 1 v f (v) = Γ(µ) v 1+µ, 2 mit µ = λ > 1 und λ = σ2 /s 13/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
20 Fokker-Plank-Gleichung Verteilung konvergiert gegen die Lösung einer Fokker-Plank-Gleichung f t = λ ( v 2 2 v 2 f ) + ((v m)f ). v Zur Vereinfachung wird m = 1 gesetzt und man erhält als Lösung ( ) (µ 1)µ exp µ 1 v f (v) = Γ(µ) v 1+µ, 2 mit µ = λ > 1 und λ = σ2 /s 13/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
21 1.4 Boltzmann Pareto Distribution Density Wealth 14/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
22 Abbildung: Salvador de Bahia, Brasilien: im O(1)-Teil der 15/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
23 Abbildung: Hongkong: im dünneren O(1)-Teil der 16/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
24 Abbildung: Hongkong: am Ende des Ausläufers 17/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
25 Abbildung: Manhattan: am Ende des Ausläufers 18/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
26 Abbildung: Shanghai, nicht alle erleben den wirtsachaftlichen Aufschwung 19/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
27 Einleitung Die Modelle für die basieren ebenfalls auf stochastischen Effekten. Im Mittel können sie durch DGLs oder PDEs beschrieben werden. Kompriss nach dem Meinungsaustausch Diffusion durch spontane Meinungsänderung 20/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
28 Einleitung Die Modelle für die basieren ebenfalls auf stochastischen Effekten. Im Mittel können sie durch DGLs oder PDEs beschrieben werden. Kompriss nach dem Meinungsaustausch Diffusion durch spontane Meinungsänderung 20/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
29 Einleitung Gegeben ist eine große Menge von Personen, die eine Meinung v [ 1, 1] haben. Ein Meinungsaustauch kann dann sein v = v sp( v )(v w) + ηd( v ); w = w sp( w )(w v) + ηd( w ). P( ) und D( ) beschreiben die Relevanz von Kompromiss bzw. Diffusion. 21/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
30 Fokker-Plank-Gleichung Analog zur lässt sich auch hier eine Fokker-Plank-Gleichung finden: f t = λ 2 ( D( v ) 2 2 v 2 f ) + (P( v )(v m(t))f ). v 22/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
31 Lösung für einen Spezialfall Für den Fall P( v ) = 1 und D( v ) = 1 v 2 erhält man [ f = c m,λ (1 v 2 ) 2+m/(2λ) exp 1 mv ] λ(1 v 2 ) 23/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
32 0.7 Distribution of Opinion Formation Density Opinion 24/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
33 Abbildung: in Isfahan, Iran 25/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
34 Abbildung: Papst Benedikt XVI. auf dem Weltjugendtag 2005 in Köln 26/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
35 Abbildung: George W. Bush auf der Republican National Convention /29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
36 Abbildung: Gegendemo zur Repulican National Convention 2004, New York 28/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
37 Abbildung: -ohne Worte- 29/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling
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