Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations"

Reinhold Bruhn
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Prof. Dr. H. J. Pesch Lehrstuhl für Ingenieurmathematik Universität Bayreuth Optimale teuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential quations (Teil 1: W 2011/12) 13. Übung (spezielle neuartige Problemstellungen) Vorbemerkung: In diesem pezialübungsblatt sollen Probleme untersucht werden, die bisher noch kaum oder nicht untersucht worden sind: Mit der Verallgemeinerung von zeitoptimalen teuerungsproblemen und Problemen mit bang-bang und singulären teuerungen aus der Optimalen teuerung von gewöhnlichen Differentialgleichungen am Beispiel des van der Polschen Oszillators (Übung 12) auf semilineare elliptische Optimalsteuerungsprobleme betreten wir mit den Aufgaben 1 und 2 weitesgehend Neuland. In Aufgabe 1 wird ein einfaches hape-optimalsteuerungsproblem behandelt. Kombinationen aus Optimalen teuerungsaufgaben und hape-optimierungsproblemen wurden bisher noch nicht untersucht, obwohl solche Aufgabenstellungen für praktische Problemstellungen durchaus sinnvoll, ja sogar hoch relevant sind, z. B. simulatane Gestalt-Optimierung flexibler Flugzeugtragflächen mithilfe von Gedächtnismaterialien und teuerung von Düsen, mit denen Luft aus den Tragflächen ausgeblasen oder eingesaugt werden kann mit dem Ziel, möglichst laminare Umströmungen der Tragflächen zu erhalten. In Aufgabe 2 wird ein neues Optimalsteuerungsproblem vorgestellt, für das eine singuläre teuerung numerisch nachweisbar ist.

2 1) Der zeitminimale elliptische van der Pol-Oszillator : Notwendige Bedingungen s sei Ω := (0, T) 2 mit freiem Rand T > 0. Der Rand Γ von Ω sei wie folgt partitioniert: Γ = Γ W Γ N mit Γ W := {(x, 0), x [0, T]} {(0, y), y [0, T]} und Γ N := {(x, T), x ]0, T]} {(T, y), y ]0, T]}. Auf Ω sei nun das folgende semilineare elliptische Optimalsteuerungsproblem definiert, auch interpretierbar als hape-optimalsteuerungsproblem: min J(z, v) = min T + ε (z r) 2 ds, ε > 0, (1) v 1 2 Γ N unter der Nebenbedingung z + (1 z 2 ) (z x + z y ) z = v auf Ω, z = 0, ν z = 1 auf Γ W, ν z = 0 auf Γ N. Mithilfe der formalen Lagrangetechnik stelle man die notwendigen Bedingungen auf. Insbesondere leite man eine Bedingung zur Bestimmung des freien Randes T her. Man analysiere, ob Gebiete mit singulärer teuerung auftreten können. Hinweise: 1. Bei der Anwendung der formalen Lagrangetechnik gehe man im Allgemeinen so vor: Man stelle die Lagrangefunktion für die starke Form der partiellen Differentialgleichung auf und koppele alle wesentlichen Nebenbedingungen an. Dann integriere man partiell und substituiere, wenn möglich, vorgegebene Randbedingungen. Dies ist die sogenannte schwache Form der Lagrangefunktion; sie ist hinsichtlich der Regularität des Zustandes die mathematisch korrekte Form. Dann differenziere man nach den Optimierungsvariablen. Zum Ablesen der adjungierten Gleichung empfiehlt es sich, eine nochmalige partielle Integration durchzuführen, um deren starke Form auszulesen. Dabei werden die nicht in die herausintegrierten Bestandteile substituierten Randbedingungen in den Raum der Testfunktionen eingearbeitet. Alternativ kann man auch die letzte partielle Integration und die Differentiationen vertauschen. Man geht dann von der sogenannten sehr schwachen Form der Lagrangefunktion aus. Im Zweifelsfall koppele man alle Nebenbedingungen an; siehe dazu Übungsblatt 14. Dann erhält man zusätzliche Nebenbedingungen, die sich als puren des adjungierten Zustandes oder seiner Ableitungen auf dem Rand interpretieren lassen. 2

3 2. Für die Bestimmung des freien Randes leite man zunächst eine Differentiationsformel für her d dt T T 0 0 f(x, y) dx dy 2) Der optimal gedämpfte elliptische van der Pol-Oszillator als Beispiel für ein Optimalsteuerungsproblem mit einer singulären teuerung s sei Ω := (0, T) 2 mit festem Rand T = const > 0. Der Rand Γ von Ω sei wie folgt partitioniert: Γ = Γ N Γ Γ Γ W mit Γ N := {(x, T), x [0, T]}, Γ := {(T, y), y [0, T]}, Γ := {(x, 0), x [0, T]} und Γ W := {(0, y), y [0, T]}. Wir fassen auch Teilbögen zusammen, z.b. Γ N = Γ N Γ u.ä. Gegeben sei wieder das folgende quasilineare elliptische Optimalsteuerungsproblem 1 min J(z, v) = min z 2 + zx 2 v z2 y dx dy (2) Ω unter der Nebenbedingung z + (1 z 2 ) (z x + z y ) z = v auf Ω, z = 0, ν z = 1 auf Γ W, ν z = 0 auf Γ N. a) Mithilfe der formalen Lagrangetechnik stelle man die notwendigen Bedingungen auf. Hinweis: div v p dx dy = p v ν ds v p dx dy Ω Γ Ω b) Man bestimme die mögliche singuläre teuerung in Gebieten ω Ω, ω, in denen der adjungierte Zustand p identisch verschwindet. 3

4 Numerische Resultate: Beispiel 1 (Aufgabe 1: Pseudo-PD ) Abbildung 1: Zustand z. Daten wie in Aufgabe 1: z = 0 und ν z = 1 auf Γ W und ν z = 0 auf Γ N Abbildung 2: Zustand z x. Daten wie in Aufgabe 1: z = 0 und ν z = 1 auf Γ W und ν z = 0 auf Γ N 4

5 u sing u bang bang singulär Abbildung 3: teuerung u und singuläre teuerung u sing. Daten wie in Aufgabe 1: z = 0 und ν z = 1 auf Γ W und ν z = 0 auf Γ N Zoom: Nähe des singulären Teilgebietes Abbildung 4: Negativer adjungierter Zustand p. Daten wie in Aufgabe 1: z = 0 und ν z = 1 auf Γ W und ν z = 0 auf Γ N 5

6 Beispiel 2 (Aufgabe 2): Abbildung 5: Zustand z. Daten wie in Aufgabe 2: z = 0 und ν z = 1 auf {(0, y): 0.4 y 0.6} auf Γ W und ν z = 0 auf Γ N u sing u bang bang singulär Abbildung 6: teuerung u. Daten wie in Aufgabe 2: z = 0 und ν z = 1 auf {(0, y): 0.4 y 0.6} auf Γ W und ν z = 0 auf Γ N 6

7 W Abbildung 7: Differenz u u sing. Daten wie in Aufgabe 2: z = 0 und ν z = 1 auf {(0, y): 0.4 y 0.6} auf Γ W und ν z = 0 auf Γ N W Abbildung 8: Negativer adjungierter Zustand p (Zoom). Daten wie in Aufgabe 2: z = 0 und ν z = 1 auf {(0, y): 0.4 y 0.6} auf Γ W und ν z = 0 auf Γ N 7

Ähnliche Dokumente

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel