Versuch 243 Auto- und Kreuzkorrelation

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1 Versuch 243 Auto- und Kreuzkorrelation Praktikum für Fortgeschrittene am Dritten Physikalischen Institut der Universität Göttingen 15. April 2008 Praktikant Johannes Dörr physik.johannesdoerr.de Durchführung am zusammen mit Oliver Schönborn Betreuer Karsten Köhler

2 Unterschrift des Praktikanten: Johannes Dörr - Göttingen, den

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Theorie Korrelation von Messreihen Korrelation von Funktionen Korrelation von gegeneinander verschobenen Funktionen Autokorrelation Wienerscher Satz Lösungen verschiedener Autokorrelationsfunktionen Sinus-Signal Überlagerung mehrerer Sinus-Signale Tiefpass-gefiltertes Rauschen RC-gefiltertes Rauschen LC-gefiltertes Rauschen Durchführung 9 4 Auswertung Frequenz der Sinusspannungen Amplitudenverhältnis der Sinusspannungen Filter und Rauschen Grenzfrequenz des Tiefpassfilters Zeitkonstante des RC-Filters Dämpfungen und Resonanzfrequenzen des LC-Filters Breitbandrauschen ohne Filter Überlagerung von Rauschen und Sinusspannung Position des Radiosterns Diskussion 17

4 4 2 THEORIE 1 Einleitung Bei diesem Versuch wird eine Autokorrelationsanalyse verschiedener Signale durchgeführt. Er führt dabei in die Eigenschaften der Autokorrelationsfunktion sowie ihre praktische Anwendung, wie zum Beispiel der Herausfilterung eines von Rauschen überlagerten Signals, ein und zeigt außerdem, wie sich mit Hilfe einer Kreuzkorrelationsanalyse die Position eines Radiosterns bestimmen lässt. 2 Theorie 2.1 Korrelation von Messreihen Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen. Betrachten wir zunächst zwei Messreihen x 1, x 2,... x n und y 1, y 2,... y n, dann kann man mit den Mittelwerten x und ȳ die jeweiligte Abweichung als Vektor schreiben: x i = x i x bzw. y i = y i ȳ, X = (x 1, x 2,... x n) bzw. Y = (y 1, y 2,... y n). Mit dem Standardskalarprodukt X, Y ist dann der Korrelationskoeffiziernt c n definiert als: c n = X, Y X, X Y, Y = X, Y X Y. 2.2 Korrelation von Funktionen Der Korrelationskoeffizient kann auch für kontinuierliche Messreihen berechnet werden, wenn man das Skalarprodukt für Funktionen definiert: und analog auch den Betrag: f, g = 1 b f(t) g(t) dt (2.1) b a a f = f, f.

5 2.3 Korrelation von gegeneinander verschobenen Funktionen Korrelation von gegeneinander verschobenen Funktionen Gelegentlich ist die Korrelation zweier Funktion f(t) und g(t) interessant, wobei g(t) um ein Intervall τ verschoben wird, also von f(t) und g τ (t) = g(t + τ). Man überprüft also die Korrelation zwischen den Funktion an unterschiedlichen Stellen. Als typisches Beispiel gilt ein Schallsignal, das von zwei Empfängern auf Grund der Laufzeitdifferenz zu unterschiedlichen Zeitpunkten empfangen wird. Beide Signale sind offenbar korreliert, jedoch erst, wenn eines um die Zeitdifferenz τ verschoben wird. Der Korrelationskoeffiziert hängt nun von τ ab: c fg (τ) = f, g τ f g τ. (2.2) Integrieren wir in (2.1) von bis, dann ist g τ = g. Wir nennen (2.2) die normierte Kreuzkorrelationsfunktion von f und g. Sie entspricht einem Winkel im Funktionenraum (Hilbertraum) der quadratintegrablen Funktionen. Ohne die Normierungsfaktoren f und g τ im Nenner ist dies die Kreuzkorrelationsfunktion: 2.4 Autokorrelation 1 b c fg (τ) = f, g τ = lim f(t) g(t + τ) dt. a b a b a In dem oben genannten Beispiel handelt es sich eigentlich nicht um eine Kreuz- sondern um eine Autokorrelation, denn das Signal, dass die beiden Empfänger empfangen, ist genau dasselbe. Überprüft man also ein Signal auf Selbstähnlichkeit bezüglich einer Zeitdifferenz τ, so setzt man oben f und g gleich und erhält die Autokorrelationsfunktion: 2.5 Wienerscher Satz Φ f (τ) = c ff (τ) = lim T 1 2T T T f(t) f(t + τ) dt. Der Wienersche Satz besagt, dass die Autokorrelationsfunktion Φ(τ) die umgekehrte Fouriertransformierte (Rücktransformation) des Leistungsspektrums W (ω) ist: Φ f (τ) = F 1 [W (ω)] = 1 2π W (ω) e iωτ dω. Oft interessiert nur der Realteil. Mit der Tatsache, dass der Integrad gerade ist, ergibt sich: Φ f (τ) = 1 π 0 W (ω) cos(ωτ) dω. (2.3)

6 6 2 THEORIE Der Wienersche Satz erweist sich oft als sehr hilfreich bei der Berechnung der Autokorrelationsfunktion, wie sich im folgenden Abschnitt zeigt. 2.6 Lösungen verschiedener Autokorrelationsfunktionen Die im Folgenden dargestellten Ableitungen veranschaulichen die Vorgehensweise bei der (analytischen) Berechnung der Autokorrelationsfunktion und werden zudem in der Auswertung benötigt Sinus-Signal Wir berechnen die Autokorrelationsfunktion eines Sinus-Signals: f(t) = A sin(ωt + ϕ) A 2 Φ f (τ) = lim T 2T A 2 = lim T 2T = A2 2 T T T T sin(ωt + ϕ) sin(ωt + ωτ + ϕ) dt ( 1 2 cos(ωτ) 1 ) cos(2ωt + 2ϕ ωτ) dt 2 A 2 cos(ωτ) lim T 2T = A2 2 cos(ωτ), T T 1 cos(2ωt + 2ϕ ωτ) dt 2 wobei in der ersten Umformung der Autokorrelationsfunktion Φ f (τ) das Additionstheorem sin(α) sin(α + β) = 1 cos(β) 1 cos(2α β) zum Einsatz kommt. 2 2 Wir sehen an dem Ergebnis, dass die Autokorrelationsfunktion einer periodischen Funktion ebenfalls periodisch ist und dieselbe Frequenz hat. Allerdings geht die Phaseninformation ϕ verloren. Die Autokorrelationsfunktion enthält also weniger Informationen als das Ausgangssignal und es ist auch nicht möglich, dieses durch eine etwaige Rückrechnung wieder zu ermitteln Überlagerung mehrerer Sinus-Signale Die Autokorrelationsfunktion von N Sinus-Signalen N f N (t) = A n sin(ω n t + ϕ n ) n=1

7 2.6 Lösungen verschiedener Autokorrelationsfunktionen 7 ist genau die Summe ihrer Autokorrelationsfunktionen: Φ fn (τ) = N Φ fn = n=1 N n=1 da sich die auftretenden Integrale separieren lassen Tiefpass-gefiltertes Rauschen A 2 n 2 cos(ω nt), Ein optimaler Tiefpass mit der Grenzfrequenz ω g (Kreisfrequenz) hat das Leistungsspektrum: { W0, 0 ω ω W (ω) = g. 0, ω > ω g Dies eingesetzt in (2.3) führt zu: Φ(τ) = 1 π ω g W 0 cos(ωτ) dω 0 [ sin(ωτ) ] ωg = 1 π W 0 = 1 πτ W 0 sin(ω g τ) = ω g π W 0 sinc(ω g τ). τ RC-gefiltertes Rauschen Auch für den RC-Filter berechnen wir die Autokorrelationsfunktion mit Hilfe des Wienerschen Satzes, jedoch müssen wir das Leistungsspektrum erst mit Hilfe der Übertragungsfunktion H(ω) ermitteln. H(ω) = U out(ω) U in (ω) = = 1 iωc R + 1 iωc = X I (R + X) I iωrc, dabei ist X der kapazitive Widerstand und R und C Widerstand bzw. Kapazität. Die Übertragungsfunktion ist der Quotient der Fouriertransformierten des Ausgangssignal und dem des Eingangssignals. Bei linearen Filtern und harmonischem Signal ist dies jedoch dasselbe wieder Quotient der Signale selbst (siehe auch Protokoll: Digitale Filter). Es gilt also: U out (ω) = U in (ω) H(ω).

8 8 2 THEORIE Damit können wir das gesuchte Leistungsspektrum W (ω) = U out (ω) 2 des Ausgangssignals bestimmen - denn von dem Eingangssignal kennen wir es, es ist genau U in (ω) 2 =: W 0. Wir nehmen dabei nämlich ein weißes Rauschen mit konstantem Leistungsspektrum an. Es folgt: U out (ω) 2 = U in (ω) 2 H(ω) 2 H(ω) 2 1 = 1 + ω 2 R 2 C 2 W 0 W (ω) =. 1 + ω 2 R 2 C 2 Dann ergibt sich mit dem Wienerschen Satz (2.3): Φ(τ) = 1 π W 0 0 = W 0 2RC e τ RC 1 cos(ωτ) dω 1 + ω 2 R 2 X2 die Autokorrelationsfunktion des Rauschens hinter dem RC-Filter LC-gefiltertes Rauschen Ähnlich berechnet sich die Autokorrelationsfunktion des LC-gefilterten Signals. Da die längere Rechnung im Versuchsskript dargestellt ist, lassen wir sie an dieser Stelle aus. Sie ergibt: Φ(τ) = Φ(0) e α τ ( cos(β τ ) + α β sin(β τ ) ) mit den Abkürzungen: α = 1 2 ( R1 L + 1 β = 1 LC 1 4 ) R 2 C ( R1 L + 1 R 2 C ) 2, wobei L die Induktivität der Spule und R 1 bzw. R 2 die verwendeten Widerstände sind.

9 9 3 Durchführung Nach dem sachgerechten Aufbau der Apparatur wird gestartet mit der Aufnahme verschiedener Autokorrelationsfunktionen, nämlich die 1. der Sinusschwingungen der Frequenzen ν 1 und ν 2, 2. der Summe beider Schwingungen über den Addierverstärker, 3. des Rauschens über einen Tiefpassfilter, über einen RC-Filter, über einen LC-Filter, ohne Filter (Breitbandrauschen). 4. eines Tiefpassrauschens mit überlagerter Sinusspannung ν eines Tiefpassrauschens über Lautsprecher und Mikrofon. Als Zweites und Letztes wird die Laufzeitdifferenz der Mikrophonsignale bei Tiefpassrauschen aus dem Lautsprecher gemessen. Dies erfolgt über die Kreuzkorrelation als Funktion der Erddrehung.

10 10 4 AUSWERTUNG 4 Auswertung 4.1 Frequenz der Sinusspannungen Die Autokorrelationsfunktion einer periodischen Funktion weist dieselbe Periodizität auf wie die Funktion selbst (siehe Kapitel 2.6.1). Aus diesem Grund können wir die jeweilige genaue Frequenz der Sinusspannungen auch an ihrer Autokorrelationsfunktion ablesen, was den Vorteil hat, dass hierfür die beiden Marker der Messsoftware verwendet werden können. Mit diesen können die Nullstellen und damit die Periodendauer T bestimmt werden. Wir erhalten: T 1 = 0.492(9) ms ν 1 = 2.03(4) khz T 2 = 0.759(15) ms ν 2 = 1.32(3) khz Wir gehen hier und auch im Folgenden von einem Ablesefehler von 2% aus. Diese Abschätzung der Genauigkeit entnehmen wir der Marker-Differenz in Y-Richtung, die bei der Vermessung der Nullstellen ja null sein müsste, was jedoch nur bedingt realisierbar war. 4.2 Amplitudenverhältnis der Sinusspannungen Die Autokorrelationsfunktion zweier überlagerter Sinusspannungen ist nach Kapitel gegeben durch: Φ ν1,ν 2 (τ) = A 1 2 cos(2πν 1 τ) + A 2 2 cos(2πν 2 τ). Wir betrachten nun die Nullstelen τ 0 dieser Funktion und erhalten das Amplitudenverhältnis: 0 = A2 1 2 cos(2πν 1 τ 0 ) + A2 2 2 cos(2πν 2 τ 0 ) A 1 = cos(2πν 2 τ 0 ) A 2 cos(2πν 1 τ 0 ). Für zwei gemessene Nullstellen τ 0 = 0.149(3) ms und τ 0 = 1.64(3) ms erhalten wir ein Amplitudenverhältnis von: 4.3 Filter und Rauschen A 1 A 2 = 1 ± Grenzfrequenz des Tiefpassfilters Die Autokorrelationsfunktion des Tiefpass-gefilterten Rauschens ist: Φ(τ) = ω g π W 0 sinc(ω g τ) = 2ν g W 0 sinc(2πν g τ),

11 4.3 Filter und Rauschen 11 wie in Kapitel gezeigt wurde. Betrachten wir ihre Nullstelle, so ergibt sich: Φ(τ 0 ) = 0 sinc(2πν g τ) = 0 2πν g τ = π 1 = ν g. 2τ 0 Wir erhalten also die Grenzfrequenz ν g durch bestimmung der Nullstellen. Diese haben den Wert von τ 0 = 0.215(4) ms und τ 0 = 0.210(4) ms und führen zu einer Grenzfrequenz von: ν g = 2.13(4) khz. Uns stand keine Filterangabe zur Verfügung, die an dieser Stelle als Vergleich dienen könnte Zeitkonstante des RC-Filters Die Autokorrelationsfunktion des Signals hinter dem RC-Filter ist, wie in Kapitel gezeigt, gegeben durch: Φ(τ) = W 0 2RC e τ RC. Um die Zeitkonstante RC zu bestimmen, wurde Φ(τ) vermessen und ein logarithmischer Fit angelegt (siehe Abb ). Es ergibt sich: RC = 3.00(2) 10 5 s. Der Fit ergibt ein recht kleines Fehlerintervall, der Wert weißt aber im Vergleich zur Filterangabe von s eine große Abweichung auf. Die ist auf Grund der großen Anzahl von Messpunkten recht verwunderlich. Leider liegt uns kein Toleranzwert der Angabe vor Dämpfungen und Resonanzfrequenzen des LC-Filters Die Autokorrelationsfunktion des Signals hinter dem LC-Filter ist nach Kapitel gegeben durch: ( Φ(τ) = Φ(0) e α τ cos(β τ ) + α ) β sin(β τ ). Wir erhalten damit die folgenden Dämpfungen: α klein = s 1 α mittel = s 1 α gross = s 1.

12 12 4 AUSWERTUNG 1,0 0,8 0,6 φ τ φ(τ) 0,4 0,2 0,0 0,0 0 0,0 2 0,0 4 0,0 6 0,0 8 0,1 0 τ Abbildung : Autokorrelationsfunktion des RC-gefilterten Signals Offenbar lagen die kleinste und mittlere Dämpfungseinstellungen zu dicht beieinander, sodass durch die dafür zu große Ableseungenauigkeit bei der Messung eine größere Dämpfungskonstante α klein im Vergleich zu α mittel herausgekommen ist. Die Resonanzfrequenzen bei den verschiedenen Dämpfungen können wir wie im ersten Auswertungsteil direkt der Autokorrelationsfunktion übernehmen, da diese genau dieselbe Frequenz hat. Wir erhalten: ν res klein = 800(16) khz ν res mittel = 785(15) khz ν res gross = 755(15) khz. Die Resonanzfrequenz ist bei der größten Dämpfung am kleinsten. Dass die Messwerte der Frequenz hier kleiner werden, deutet darauf hin, dass es sich oben bei der Dämpfungskonstanten wirklich um einen Ablesefehler und nicht um eine falsche Einstellung der Dämpfung handelt Breitbandrauschen ohne Filter Wir bestimmen die Bandbreite des Breitbandrauschens über die Autokorrelation des Signals, denn mit dieser können dieselben Erkenntnisse wie mit einer Spektralanalyse gewonnen werden. Hat die Autokorrelationsfunktion die Form einer Delta-Funktion, so sind theoretisch alle Frequenzen in dem Signal vorhanden. In der Natur kommt dies jedoch nicht vor, da dies einen unendlich großen Energietransport implizieren würde (schließlich wären

13 4.3 Filter und Rauschen 13 0,6 0,5 E q u a tio n : y = A * e x p (-ατ) + y 0 y A α ,4 φ(τ) 0,3 0,2 0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 τ in m s (a) Kleine Dämpfung E q u a tio n : y = A * e x p (-ατ) + y 0 0,5 y A α ,4 0,3 φ(τ) 0,2 0,1 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 τ in m s (b) Mittlere Dämpfung 0,5 0,4 E q u a tio n : y = A * e x p (-ατ) + y 0 y A α ,3 φ(τ) 0,2 0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 τ in m s (c) Große Dämpfung Abbildung : Autokorrelationsfunktion des LC-gefilterten Signals für verschiedene Dämpfungen

14 14 4 AUSWERTUNG unendlich große Frequenzen enthalten). Deshalb fällt die Funktion um das Maximum bei τ = 0 ab, und zwar um so schneller, je größer die Bandbreite ist. Wir messen den ersten Nulldurchgang τ 0 der Autokorrelationskurve, und errechnen mit die Bandbreite ν. Wir erhalten: ν = 1 τ 0 ν = 20.5(4) khz Überlagerung von Rauschen und Sinusspannung Die Autokorrelationsfunktion der Überlagerung von Rauschen und der Sinusspannung ν 2 ist die Addition der einzelnen Autokorrelationsfunktionen. Da die des Rauschens wie im vorigen Kapitel beschrieben eine mehr oder weniger schnell abfallende Kurve ist, ist bei der Überlagerung für große τ nur noch der (periodische) Anteil der Sinusspannung maßgeblich. Die Autokorrelationsfunktion Φ + (τ) der Überlagerung hat demnach bei τ = 0 ein großes Maximum Φ + (0) = Φ sin (0) + Φ Rauschen (0) = 1, und weiter außen kleinere, periodische Maxima der Größe Φ + (τ) = Φ sin (τ) < 1. Das Leistungsverhältnis von Rauschen P R und Signal P sin ergibt sich aus: P R = Φ Rauschen(0) P sin Φ sin (0) = 1 Φ sin(0) Φ sin (0). Statt Φ sin (0) können wir auch den Wert eines anderen Maximums als an der Stelle τ = 0 verwenden, und müssen dies sogar, da wir dort ja nur die Summe Φ + (0) ablesen können. Wir bezeichnen also Φ max sin als eines der äußeren kleinen Maxima und berechnen das Leistungsverhältnis: Wir erhalten: P R = 1 Φmax sin P sin Φ max sin P R P sin = 7.3(2) Position des Radiosterns Bei der Durchführung wurde die Kreuzkorrelationsfunktion der beiden Mikrofonsignale für verschiedene Winkel des Globus aufgezeichnet, wobei man sich dies als Messung der Kreuzkorrelation der Signale zweier Radioteleskope in festen Zeitintervallen, zwischen denen sich die Erde weiterdreht, vorzustellen hat. Beide Radiostationen empfangen praktisch dasselbe Signal, jedoch je nach Drehwinkel mit einer entsprechenden Zeitdifferenz. Ist diese Null, so sind beide Stationen genau gleichweit vom Stern entfernt.

15 4.4 Position des Radiosterns 15 Die Kreuzkorrelationsfunktion hat an der Stelle τ max ein Maximum, sie ist genau die Laufzeitdifferenz t = τ max des Signals. Wir suchen also zunächst den Drehwinkel φ, bei dem die Kreuzkorrelationsfunktion das Maximum an der Stelle 0 hat - er markiert die geographische Länge des Radiosterns. 0, , , , Y = A + B 1 * X + B 2 * X ^ 2 + B 3 * X ^ 3 A -0, /- 4, E -4 B 1 7, E -5 + /- 1, E -5 B 2-6, E -7 + /- 8, E -8 B 3 1, E -9 + /- 2, E , τ m a x in s 0, , , , , D re h w in k e l φ in G ra d Abbildung 4.4.1: Lautzeitdifferenz t = τ max des Signals für verschiedene Drehwinkel φ des Globus Wir bestimmen φ mit Hilfe eines polynomiellen Fits (Abb.: 4.4.1) dritter Ordnung zu: φ = (2). Die Längenkoordinaten der beiden Mikrofone sind 35 O und 78 W, während wir nach Versuchsskript die jeweiligen Breitengrade als identisch annehmen. Im Fall φ = (4) beträgt der Längengrad zum Stern genau: = 21.5, denn der Radiostern muss den Längengrad betreffend genau zwischen den Stationen liegen. Wir setzten nun φ norm = φ Die geographische Breite erhalten wir durch die im Skript dargestellten, geometrischen Überlegungen. Es gilt: t = a cos Θ sin φ norm c } Schall {{}. (4.1) B

16 16 4 AUSWERTUNG 0, , , Y = A + B * X A 1, E -6 + /- 3, E -6 B -6, E -4 + /- 8, E -6 0, , τ m a x in s 0, , , , , ,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 s in φ n o rm Abbildung 4.4.2: Lautzeitdifferenz t = τ max des Signals in Abhängigkeit von sin φ norm Um Θ zu erhalten, tragen wir wieder t, diesmal jedoch in Abhängigkeit von sin φ auf, und lesen die Steigung B ab (Abb.: 4.4.2). Wir benötigen als Nächstes die Raumentfernung a der beiden Mikrofone. Bezeichnet θ den Breiten- und α den Längengrad eines Punktes auf dem Globus, dann ist sein Vektor ausgehend vom Mittelpunkt: cos(α) sin(90 θ) r = r sin(α) sin(90 θ). cos(θ) Laut Skript gilt für die beiden Mikrofone α 1 = 78, θ 1 = 38, α 2 = 35, θ 2 = 45 sowie für den Globus r = 0.13 m. Daraus erhalten wir einen Abstand a = r 1 r 2 = m. Mit der Schallgeschwindigkeit c Schall = 335 ms 1 und dem aus der Regression in Abbildung gewonnenen Wert B = 6.81(8) 10 4 s erhalten wir: ( cschall ) Θ = arccos B = arccos( 1.426). a Der Arcuscosinus ist hiervon nicht lösbar, irgendwo scheint uns also ein Fehler unterlaufen zu sein. In der Diskussion wird hierraus noch einmal kurz eingegangen werden.

17 17 5 Diskussion Die Durchführung des Versuchs erwies sich als recht einfach, wenn auch mäßig abwechslungsreich. Leider haben wir uns einmal zu sehr auf die Speichern-Funktion der Messsoftware verlassen und wollten im Nachhinein mit den Markern die Autokorrelationsfunktion ausmessen, nachdem wir noch eine Rücksprache mit dem Assistenten gehalten hatten. Die Messung mussten wir dann jedoch wiederholen, da in der Datei offenbar keine Messwerte festgehalten wurden. Die Auswertung liefert weitgehend zufriedenstellende Ergebnisse. Der Vergleich der Zeitkonstante des RC-Filters mit der Filterantgabe jedoch weist jedoch leider eine Abweichung auf, die nicht im abgeschätzten Fehlerbereich liegt. Ein Toleranzwert der Filterangabe war leider nicht vorhanden, sodass sich nicht sagen lässt, wie sehr diesem vertraut werden darf. Bei der Bestimmung der Position des Radiosterns gelangten wir am Ende der Auswertung zu einem nicht lösbaren Ausdruck (Arcuscosinus eines negativen Werts), was auf eine Fehlerbehaftung der Messwerte schließen lässt. Worin dieser jedoch begründet liegt, wissen wir nicht. Es ist auch denkbar, dass die Angaben des Skripts über die Positionen der Mikrofone auf dem Globus nicht stimmen, da andere Praktikumsgruppen von ähnlichen Problemen bei der Auswertung berichtet haben. Generell ist jedoch auch zu sagen, dass die Versuchsanordnung recht wackelig ist und somit in keiner Weise ausgeschlossen werden kann, dass die Position des Globus auf der weichen Dämmschicht bei der regelmäßigen Umkonfiguration des Drehwinkels nicht verändert wurde.