Physik Tabellenkalkulation

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1 Physik Tabellenkalkulation 1. Grundlagen Eine Messreihe auswerten Fester Zellenbezug 4 2. Diagramm erstellen Darstellung von Fehlerbalken Diagramm mit Sekundärachse 9 3. Statistikfunktionen Lineare Regression Trendlinie RGP-Funktion 12 Autor: Radmacher; Stand: 10/2010

2 1. Grundlagen Anhand von Microsoft Excel sollen die Vorzüge einer Tabellenkalkulation für die Auswertung einer physikalischen Messung näher erläutert werden. Die hier vorgestellten Funktionen und Methoden werden auch von anderen Programmen wie z.b. Oracle OpenOffice unterstützt. Viele der hier verwendeten Funktionen sind auch über Taschenrechner verfügbar. Auch wenn es sich dabei um einen programmierbaren Rechner handelt, ist bei oft wiederkehrenden Abläufen eine Tabellenkalkulation meist effizienter zu nutzen. Eine einmal korrekt eingegebene Funktion lässt sich leicht auf neue Messreihen anwenden. Tabellenblätter können nach einer aufwendigen Formatierung kopiert und so auch für neue Messungen genutzt werden. Die Arbeitsfläche (das Tabellenblatt) ist eine 2D-Zellenmatrix. Die Spalten werden mit dem Alphabet fortgeführt, die Zeilen durchnummeriert. Damit ist jede Zelle eindeutig zu benennen. Im unteren Beispiel ist die Zelle A1 markiert: Abb.1: Ansicht Tabellenblatt Das Arbeitsblatt wurde in Messung#1 umbenannt. Mit dem Plus-Symbol, rechts neben diesem Reiter, können weitere Tabellenblätter hinzugefügt werden. Zudem erhält man mit einem Rechtsklick auf den Reiter weitere Optionen über ein Kontextmenü: Abb.2: Kontextmenü Tabellenblatt Physik: Tabellenkalkulation Seite 2/13

3 1.1. Eine Messreihe auswerten Die ermittelten Messwerte werden in die Tabelle eingetragen. Die Spalten oder Zeilen sind eindeutig zu benennen und mit SI-Einheiten zu versehen. Im folgenden Beispiel soll mit einem Messaufbau die Lichtgeschwindigkeit bestimmt werden. Über verschieden lange Messstrecken werden Impulslaufzeiten in Nanosekunden erfasst. Für die weiteren Berechnungen benötigt man die Impulslaufzeit in Sekunden. Diese Werte werden nun - beginnend mit Zelle C3 - in einer weiteren Spalte mit der eingegebenen Formel =B3/1e9 berechnet. Dies entspricht einer Division des Zahlenwertes in Zelle B3 durch Mit B3 wird die Bezugszelle festgelegt. Der darin enthaltene Wert wird damit für die weitere Berechnung genutzt. Danach wird die Anzeige auf eine wissenschaftliche Darstellung eingestellt (Format Zellen... Wissenschaft auswählen): Abb.3: Formel eingeben und Zelleninhalt formatieren Diese erste Berechnung soll nun auf die anderen Messwerte auch angewendet werden. Dazu wird die Auswahl rechts, unten (Cursor ändert sich zu einem schwarzen Plus-Symbol) auf die anderen Zeilen erweitert: Abb.4: Berechungen erweitern Abb.5: Ergebnis der fortlaufenden Berechnungen Hiermit ist nun der Inhalt der Zellen C3:C10 mit der passenden Berechnung aufgefüllt worden. Leider kann Excel in der Zelleneingabe keine exponentielle Darstellung anzeigen (1E9 wird zu ). Physik: Tabellenkalkulation Seite 3/13

4 1.2. Fester Zellenbezug Das Beispiel in Abschnitt 1.1 nutzt für die fortlaufende Berechnung keinen absoluten Zellenbezug. Dehnt man die Berechnungen auf weitere Zeilen bzw. Spalten aus, wandert der Zellenbezug entsprechend mit. In bestimmten Situationen, wenn z.b. die eingegebene Formel konstante Werte (Naturkonstanten) oder Offset-Werte nutzt, ist ein absoluter Zellenbezug unumgänglich. Im folgenden Beispiel wurde am verwendeten Bandmaß immer an einer falschen Referenzposition abgelesen. Die gemessene Strecke ist somit mit einem konstanten Offset behaftet. Für die Korrektur trägt man diesen Wert in einer Zelle ein und zieht ihn dann von den Streckendaten ab. Dazu sollte immer mit einer festen Zellenangabe gearbeitet werden. Hierfür wird bei der Zellenbezeichnung ein $ -Zeichen verwendet: Eine Zellenangabe in der Form von $B$2 fixiert sowohl die Spalte B, als auch die Zeile 2. Damit greift man auch bei fortlaufenden Berechnungen exakt auf diese Zelle zu. Abb.4: Berechungen mit absolutem Zellbezug Wird nun die Berechnung wieder auf die übrigen Zeilen ausgedehnt, so bleibt der Bezug in allen Formeln auf Zelle B2 fixiert. Die Fixierung kann auch nur auf eine Spalte oder nur auf eine Zeile angewendet werden. Demnach entspricht B$2 einer Fixierung auf Zeile 2 und $B2 einer absoluten Referenz auf Spalte B. Mit diesen Möglichkeiten lassen sich auch sehr komplexe Berechnungen nur einmal eingeben und dann auf die anderen Messwerte übertragen. Um die Fixierung zu erleichtern kann man nach der Eingabe der Zelle (z.b. B2) mit der Funktionstaste F4 die möglichen Varianten durchgehen (Office-Anwendungen unter Mac OS X nutzen die Tastenkombination +T). 2. Diagramm erstellen Meist sollte man für eine bessere Übersicht die Messwerte in einem Diagramm visualisieren. Dabei werden natürlich immer die Achsen mit den Messgrößen und mit den jeweili- Physik: Tabellenkalkulation Seite 4/13

5 gen Einheiten versehen und das Diagramm mit einem Titel beschriftet. Bei fast allen Problemstellungen im wird der Diagramm-Typ Punkt XY genutzt. Die Messwerte werden meist auch nicht mit Linien verbunden. Soll eine einhüllende Kurve entstehen, benutzen Sie bitte auch keine geglättete Linienführung. Der Algorithmus dahinter ist nicht bekannt und kann zu falschen Interpolationen führen. Im folgenden Diagramm stellen wir die Messwerte unserer ersten Messreihe nun dar: 1. Diagramm einfügen: 2. Diagrammtyp Punkt XY wählen: 3. Datenquelle des Diagramms setzen: 4. Eine Datenreihe hinzufügen, mit einem Namen versehen und X-, Y-Werte angeben: Bereich markieren Abb.5: Diagramm erstellen Physik: Tabellenkalkulation Seite 5/13

6 Das so erstellte Diagramm muss nun noch formatiert werden Diagrammoptionen : Bei nur einer Datenreihe ist die Legende auszublenden. Ein Doppelklick auf die Achsen und anderen Elemente öffnet weitere Dialoge für die Bearbeitung. 1. Titel und Achsen beschriften - wenn nötig die Legende ausblenden: 2. Achsen skalieren und weitere Elemente anpassen: Doppelklick auf Elemente (z.b. Achsen) öffnet einen Dialog Abb.6: Diagramm formatieren Physik: Tabellenkalkulation Seite 6/13

7 2.1. Darstellung von Fehlerbalken Oft ist es sinnvoll, den Fehler von Messwerten direkt im Diagramm darzustellen. Dazu kann das Fehlerintervall mittels Fehlerbalken um einen Messwert angezeigt werden. Im folgenden Beispiel wurde mit einer Messreihe die Erdbeschleunigung g = 9,750 ± 0,150 m/s 2 ermittelt und der Fehler rechnerisch bestimmt. Beide Werte sollen nun grafisch dargestellt werden: Abb.7: Messwert ohne und mit Fehlerbalken Nach dem Erstellen des Diagramms klickt man mit einem Doppelklick auf den Messwert (bei einer Datenreihe auf einen der Werte) und wählt im Formatierungsdialog den Punkt Fehlerindikatoren aus: Abb.8: Fehlerbalken formatieren Physik: Tabellenkalkulation Seite 7/13

8 In diesem Fall soll der Fehlerbalken in Y-Richtung aufgetragen werden. Mit der Schaltfläche Wert angeben kann man in positiver und negativer Richtung den Wert angeben oder eine Zelle mit Berechnungen zuweisen. Werden mehrere Messreihen in einem Diagramm dargestellt, so hat jede Messreihe einen eigenen Fehlerwert. Deshalb wird nicht nur eine Zelle bei den Fehlerindikatoren, sondern ein Wertebereich (Feld) eingetragen. Im unteren Diagramm ist eine Messung zu Fallversuchen dargestellt. Die Fehlerbalken werden parallel zu X-Achse aufgetragen: Abb.9: Fehlerbalken mit mehreren Fehlerwerten Physik: Tabellenkalkulation Seite 8/13

9 2.2. Diagramm mit Sekundärachse Werden in einem Diagramm zwei Messgrößen aufgetragen, muss eine weitere Achse mit neuer Skalierung hinzugefügt werden. Hierzu wird ein Doppelklick auf die betreffende Messreihe ausgeführt und im Formatierungsdialog die neue Achse als Sekundärachse festgelegt: Abb.10: Sekundärachse einrichten Physik: Tabellenkalkulation Seite 9/13

10 3. Statistikfunktionen Für die Auswertung der Praktikumsversuche werden meist folgende Statistikfunktionen benötig: Funktion Formelzeichen Funktionsaufruf Bemerkung Mittelwert x MITTELWERT(Zahl1; [Zahl2];...) Standardabweichung σ oder s STABW(Zahl1; [Zahl2];...) Varianz σ 2 VARIANZ(Zahl1; [Zahl2];...) Steigung b STEIGUNG(Y_Werte; X_Werte) Steigung einer Regressionsgeraden Achsenabschnitt a ACHSENABSCHNITT(Y_Werte; X_Werte) Schnittpunkt der Regressionsgeraden mit der Y-Achse Regressionsparameter - RGP{(Y_Werte; X_Werte; Konst.; Stats)} Matrixfunktion siehe Kapitel 4 Tab.1: Übersicht der Statistikfunktionen Physik: Tabellenkalkulation Seite 10/13

11 4. Lineare Regression Die lineare Regression bietet sich zur Auswertung von Messreihen an, bei denen ein linearer Zusammenhang der Messgrößen gegeben ist und die Steigung für weitere Berechnungen genutzt werden kann. Im Beispiel aus Kapitel 1.1 kann man mittels linearer Regression direkt die gemessene Lichtgeschwindigkeit bestimmen. Dazu wird eine Regressionsgerade durch die Messpunkte gelegt. Diese Gerade wird mit dem Verfahren der kleinsten Fehlerquadrate iterativ optimiert und stellt somit eine bestangepasste Ausgleichsgerade zu den Messwerten dar Trendlinie Rechtsklick auf einen Messpunkt der Datenreihe. Auswahl Trendlinie hinzufügen... : Abb.11: Regressionsgerade anzeigen Physik: Tabellenkalkulation Seite 11/13

12 Die Steigung b einer Gerade mit der Gleichung y = a + b x berechnet sich aus b = Δy Δx. Da im Beispiel die Strecke über der Impulslaufzeit aufgetragen wurde, kann aus der Steigung die Lichtgeschwindigkeit direkt abgelesen werden: c 0 = Δs Δt Den Zahlenwert der Steigung erhält man mit der Statistikfunktion Steigung(...) : Abb.12: Steigung einer Regressionsgeraden auswerten Mit der Auswertung der Steigung ist nun das Ergebnis der Lichtgeschwindigkeitsmessung verfügbar. Zudem kann nun auch die Abweichung zum Literaturwert dieser Naturkonstanten bestimmt werden. Die Angabe eines Fehlers der Messung zur Bestimmung der Messgenauigkeit ist aber über diese Methode nicht möglich. Dazu benötigt man die Standardabweichung der Steigung. Die Funktion RGP(...) kann diesen und weitere Werte berechnen RGP-Funktion Die Regressions-Parameter-Funktion (RGP) liefert zu den Parametern Steigung und Achsenabschnitt auch die entsprechenden Standardabweichungen. Darüber hinaus können auch noch weitere Parameter ermittelt werden, die meist aber nicht benötigt werden. Die Ausgabe der Daten erfolgt wie bei anderen Matrixfunktionen über einen vorher definierten Zellenbereich. Man muss also erst den Ausgabebereich der Funktion festlegen und dann die Funktion eingeben: Abb.13: Ausgabe für die Matrixfunktion vorher festlegen Physik: Tabellenkalkulation Seite 12/13

13 Die Funktion nutzt zwei zusätzliche Optionen, die beide mit WAHR oder 1 angenommen werden sollten: Konstante WAHR oder 1 Stats WAHR oder 1 RGP{(Y_Werte; X_Werte; Konstante; Stats)} Ein Wahrheitswert, mit dem angegeben wird, ob für den Achsenabschnitt der Wert 0 erzwungen werden soll. (a = 0 bei Konstante = FALSCH) Ein Wahrheitswert, mit dem angegeben wird, ob weitere Regressionskenngrößen zurückgegeben werden sollen. Tab.2: Parameter der RGP-Funktion Im folgenden Beispiel wird die RGP-Funktion zur Auswertung der Lichtgeschwindigkeitsmessung aus Kapitel 2 benutzt. Leider hat die Funktion bei mehreren Office-Versionen Probleme bei sehr großen Standardabweichungen. Wird für die berechneten Standardabweichungen der Wertebereich von 2^16 überschritten, wird eine 0 als Ergebnis zurückgeliefert. Um die Berechnung trotzdem durchzuführen, verwendet man die Impulslaufzeiten in Nanosekunden und normiert die resultierende Steigung nach der Berechnung! Die Eingabe wird nicht nur mit [ENTER] abgeschlossen, sondern erfordert folgende Tastenkombination: [SHIFT] - [CTRL] - [ENTER]! Abb.14: Standardabweichung von Steigung und Achsenabschnitt mittels RGP-Funkion Physik: Tabellenkalkulation Seite 13/13