Algebraische Strukturen

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1 Algebraische Strukturen 3 Inhaltsverzeichnis 3.1 Gruppen Ringe Körper Homomorphismen In diesem Kapitel findet der Leser eine Einführung in die Grundbegriffe der Algebra, die Studierende zum Teil schon in den Grundvorlesungen zur Linearen Algebra oder in einer Vorlesung zur Algebra kennen lernen. Wir definieren in den ersten drei Abschnitten die algebraischen Strukturen Gruppe, Ring und Körper und gehen dann auf strukturerhaltende Abbildungen (Homomorphismen) ein. Im Abschnitt über Gruppen führen wir insbesondere die symmetrische Gruppe, die Restklassengruppe und Matrizengruppen ein, definieren Untergruppen, Normalteiler sowie Faktorgruppen und entwickeln zum Schluss den Begriff der auflösbaren Gruppe. Im Abschnitt über Ringe definieren wir insbesondere Integritätsbereiche, euklidische Ringe, Hauptidealringe sowie faktorielle Ringe und geben hierbei sowohl Beispiele als auch Gegenbeispiele an. Im Abschnitt über Körper bestimmen wir Quotientenkörper, Zerfällungskörper und Körpererweiterungen und definieren Eigenschaften von Körpererweiterungen wie Normalität, Separabilität und Auflösbarkeit. Im letzten Abschnitt des Kapitels werden Homomorphismen und Isomorphismen zwischen Gruppen, Ringen und Körpern definiert, und es wird die Automorphismengruppe einer Körpererweiterung eingeführt. Der Leser findet auch hier zahlreiche Beispiel vor. Eine ausgezeichnete kurze Einführung in die Hauptresultate der Algebra bietet Stroth (2012), und eine ausführlichere Darstellung findet der Leser in Bosch (2003). Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 J. Neunhäuserer, Mathematische Begriffe in Beispielen und Bildern, DOI / _3 45

2 46 3 Algebraische Strukturen 3.1 Gruppen Definition 3.1 Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Verknüpfung ı : G G! G, die folgende Bedingungen für alle u; v; w 2 G erfüllt: 1. Existenz eines neutralen Elements 0 2 G mit v ı 0 D 0 ı v D v, 2. Existenz inverser Elemente Qv 2 V mit v ıqv DQv ı v D 0, 3. Assoziativgesetz: u ı.v ı w/ D.u ı v/ ı w. Gilt zusätzlich das Kommutativgesetz u ı v D v ı u für alle u; v 2 G, so heißt die Gruppe Abel sch.. Beispiel 3.1 Die ganzen Zahlen.Z; C/, die rationalen Zahlen.Q; C/, die reellen Zahlen.R; C/ und die komplexenzahlen.c; C/ bilden jeweils mit der Addition Abel sche Gruppen. Die rationalen Zahlen.Qnf0g; /, die reellen Zahlen.Rnf0g; / und die komplexen Zahlen.Cnf0g; / bilden ohne die Null mit der Multiplikation ebenfalls Abel sche Gruppen. Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist die Eins. Gegenbeispiel 3.2 Die natürlichen Zahlen mit der Addition.N; C/ bilden keine Gruppe; es gibt kein neutrales Element und keine inversen Elemente. Die ganzen Zahlen ohne die Null mit der Multiplikation.Znf0g; / bilden keine Gruppe; es fehlen inverse Elemente, das neutrale Element ist vorhanden. Beispiel 3.3 Es gibt jeweils eine Gruppe mit 2 bzw. mit 3 Elementen und zwei Gruppen mit 4 Elementen, wie aus den folgenden Verknüpfungstafeln zu ersehen ist. Z 2 0 a 0 0 a a a 0 Z 3 0 a b 0 0 a b a a b 0 b b 0 a Z 4 0 a b c 0 0 a b c a a b c 0 b b c 0 a c c 0 a b V 0 a b c 0 0 a b c a a 0 c b b b c 0 a c c b a 0 Die ersten drei Gruppen hier sind zyklisch, d. h. jedes Element ist von der Form a n. Diese Gruppen sind Abel sch. Die letzte Gruppe heißt Klein sche Vierergruppe und ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe. Beispiel 3.4 Die Menge aller Bijektionen BIJ.X/ auf einer Menge X mit der Hintereinanderausführung f ı g.x/ D f.g.x//

3 3.1 Gruppen 47 Abb. 3.1 Wirkung der Gruppe S 3 auf das gleichseitige Dreieck bildet eine Gruppe, bei der das neutrale Element die Identität id.x/ D x und das inverse Element zu f 2 BIJ.X/ die Umkehrabbildung f 1 2 BIJ.X/ ist. Speziell heißt die Menge der Permutationen S n D BIJ.f1;:::ng/, mit der Hintereinanderausführung die symmetrische Gruppe. Diese Gruppe ist für n 3 nicht Abel sch; siehe Abb. 3.1 und auch die Definitionen 1.19 und 2.1. Gegenbeispiel 3.5 Die Menge aller Abbildungen X X auf einer Menge X mit mehr als zwei Elementen bildet keine Gruppe in Bezug auf die Hintereinanderausführung; nicht alle Abbildungen haben Umkehrabbildungen. Die Menge aller injektiven Abbildungen oder aller surjektiven Abbildungen auf einer unendlichen Menge X bildet mit der Hintereinanderausführung aus dem gleichen Grunde keine Gruppe. Beispiel 3.6 Die Menge der invertierbaren.n n/-matrizen A 2 K nn über einem Körper K bildet mit der Matrizenmultiplikation 0 1 nx A B D.a ij / i;jd1;:::n.b ij / i;jd1;:::n a ij b jk A j D1 i;kd1;:::n

4 48 3 Algebraische Strukturen die allgemeine lineare Gruppe GL.n; K/. Die Operation ist für n 2 nicht Abel sch; zum Beispiel gilt! !! 1 1 D und! !! 1 2 D 2 2 : Definition 3.2 Eine TeilmengeU einergruppe G ist eine Untergruppe,wennU mitder Verknüpfung ı auf G selbst eine Gruppe bildet. Eine Untergruppe N ist ein Normalteiler, wenn für alle g 2 N gilt: g ı N Dfg ı njn 2 N gdfn ı gjn 2 N gdn ı g: Die Menge G=N Dfg ı N jg 2 Gg mit der Verknüpfung.u ı N/ı.v ı N/D u ı v ı N ist die Faktorgruppe. Das neutrale Element in dieser Gruppe ist N. Beispiel 3.7 Für n 2 N ist die Menge nz Dfnkjk 2 Zg ein Normalteiler von.z; C/. Die Faktorgruppe Z n WD Z=nZ Df N k WD k C nzjk 2f0; 1; : : : ; n 1gg ist die Restklassengruppe mit neutralem Element N0 D Z. Diese Gruppe ist Abel sch; man vergleiche hiermit auch Beispiel Z n nfzg D Z n nfn0g bildet eine Abel sche Gruppe mit der Multiplikation Nu Nv D.u C Z/.v C Z/ D u v C Z genau dann,wenn n eine Primzahl ist. Nur dann existieren alle inversen Restklassen in Bezug auf die Multiplikation. Beispiel 3.8 Die Menge der geraden Permutationen bildet mit der Hintereinanderausführung die alternierende Gruppe A n ; siehe Definition 2.2. Diese Gruppe ist ein Normalteiler der symmetrischen Gruppe S n. Die Gruppe S n =A n besteht aus zwei Elementen und ist isomorph zu Z 2 ; siehe Definition 3.2.

5 3.1 Gruppen 49 Abb. 3.2 Wirkung der Diedergruppe D 4 auf das Quadrat Beispiel 3.9 Die Diedergruppe D 4, gegeben als D 4 Dfid;.1234/;.13/.24/;.1432/;.14/.23/;.13/.2/.4/;.12/.34/;.24/.1/.3/g; ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S 4 mit 8 Elementen. Die ersten vier Permutationen kann man als die Wirkung der Drehungen eines Quadrats auf die Ecken f1; 2; 3; 4g interpretieren, und die anderen Permutationen lassen sich als die Wirkung der Spiegelungen dieses Quadrats auf die Ecken verstehen; siehe Abb Die allgemeine Diedergruppe D n beschreibt die Wirkung der n Drehungen und n Spiegelungen eines regelmäßigen n-eck auf die Ecken. Sie ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S n. Beispiel 3.10 Die Menge der Matrizen über R mit Determinante 1 bildet die spezielle lineare Gruppe SL.n; R/ DfA2 GL.n; R/jdet.A/ D 1g; diese ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe GL.n; R/ über R bezüglich der Matrizenmultiplikation. Der Quotient GL.n; R/=SL.n; R/ ist isomorph zur Gruppe.Rnf0g; /;siehe Definition 3.2. Gegenbeispiel 3.11 Die Untergruppe U Dfid;.12/.3/g der symmetrischen Gruppe S 3 ist kein Normalteiler, wegen.123/ ı U Df.123/;.13/.2/g 6D f.123/;.1/.23/g DU ı.123/i siehe hierzu Definition 2.1.

6 50 3 Algebraische Strukturen Definition 3.3 Eine Gruppe G mit neutralem Element 0 ist auflösbar, wenn es eine Folge von Untergruppen N i, i D 0;:::;n,vonG gibt, sodass gilt: f0g DN 0 N 1 N n 1 N n D G; wobei N i ein Normalteiler von N ic1 ist und der Quotient N ic1 =N i eine Abel sche Gruppe darstellt. Beispiel 3.12 Alle Abel schen Gruppen sind trivialerweise auflösbar. Beispiel 3.13 Die Gruppe S 3 ist auflösbar mittels der Folge von Untergruppen Die Gruppe S 4 ist auflösbar mittels fidg A 3 S 3 : fidg V DW fid;.1; 2/.3; 4/;.1; 3/.2; 4/;.1; 4/.2; 3/g A 4 S 4 ; da V Abel sch ist. Gegenbeispiel 3.14 Die symmetrischen Gruppen S n für n 5 sind nicht auflösbar. Der Beweis dieses Satzes ist nicht trivial; siehe Kap. 5 in Stroth (2012). 3.2 Ringe Definition 3.4 Eine Abel sche Gruppe.R; C/ mit neutralem Element 0 ist ein Ring, wenneine Verknüpfung : R! R existiert, die folgende Bedingungen für alle u; v; w 2 G erfüllt: 1. Existenz einer Eins 1 2 R mit v 1 D 1 v D v, 2. Assoziativgesetz: u.v w/ D.u v/ w, 3. Distributivgesetz: u.v C w/ D u v C u w und.v C w/ u D v u C w u. Gilt zusätzlich das Kommutativgesetz u v D v u für alle u; v 2 R, so heißt ein Ring kommutativ. Ein kommutativer Ringe ist ein Integritätsbereich, wenn er nullteilerfrei ist, d. h. wenn für alle u; v 2 R mit u 6D 0 und v 6D 0 gilt: u v 6D 0.

7 3.2 Ringe 51 Beispiel 3.15 Die ganzen Zahlen.Z; C; /, die rationalen Zahlen.Q; C; /, die reellen Zahlen.R; C; / und die komplexen Zahlen.C; C; / jeweils mit der Addition und Multiplikation, bilden Integritätsbereiche. Beispiel 3.16 Die Restklassen.Z n ; C; / in Beispiel 3.7 bilden einen kommutativen Ring, der Restklassenring genannt wird. Dieser hat keine Nullteiler genau dann, wenn n eine Primzahl ist. In Z 4 gilt etwa N2 N2 D N0. Beispiel 3.17 Ist R ein Ring, so bilden die.n n/-matrizen R nn mit der eintragsweisen Matrixaddition und der Matrixmultiplikation den vollen Matrizenring über R. Dieser ist für n 2 nicht kommutativ, auch wenn R kommutativ ist; siehe auch Beispiel 3.6. Gegenbeispiel 3.18 Die allgemeine lineare Gruppe GL.R;n/ in Beispiel 3.6 bildet für n 2 keinen Ring mit der Matrixaddition und der Matrixmultiplikation. Die Summe von zwei invertierbaren Matrizen ist im Allgemeinen nicht invertierbar. Beispiel 3.19 Die Gauß schen Zahlen ZŒi Dfa C bi j a; b 2 Zg bilden mit der Addition und der Multiplikation komplexer Zahlen C aus Definition 1.25 einen Integritätsbereich. Definition 3.5 Sei R ein Ring. Die Polynome über R ( ) X RŒx WD a k x k j a k 6D 0 für endlich viele k k2n bilden den Polynomring mit der Addition X a k x k C X b k x k D X.a k C b k /x k k2n k2n k2n und der Multiplikation X k2n a k x k X k2n b k x k D X k2n! kx a i b k i x k : id0

8 52 3 Algebraische Strukturen Der Grad eines Polynoms P k2n a kx k 2 RŒx ist Grad.p/ D maxfk j a k 6D 0g. Wir merken an, dass sich die Polynome über R formal beschreiben lassen als Menge aller Abbildungen R.N/ von N in den Ring R, die nur für endlich viele k 2 N Werte ungleich null in R annehmen. Beispiel 3.20 Die Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ZŒx bilden einen Integritätsbereich. Das Gleiche gilt für die Polynome mit Koeffizienten in Q, R oder C. Esistnicht schwer, zu zeigen, dass RŒx ein Integritätsbereich ist, falls R ein solcher ist. Definition 3.6 Sei R ein Integritätsbereich und a; b 2 R. Dann gilt: a teilt b (auch geschrieben als ajb), wenn es ein r 2 R gibt, sodass a r D b ist. a 2 R ist eine Einheit, wennes ein b 2 R gibt, sodass a b D 1 ist; die Einheiten sind also die Teiler von 1. Die multiplikative Gruppe der Einheiten wird mit R bezeichnet. Beispiel 3.21 Die Einheiten im Ring der ganzen Zahlen Z sind 1 und 1, alsoz Df1; 1g. Das Gleiche ist im Polynomring ZŒx der Fall. Beispiel 3.22 Im Ring der Gauß schen Zahlen ZŒi gilt ZŒi Df1; 1; i; ig. Beispiel 3.23 Im Polynomring RŒx sind die Einheiten die Polynome vom Grad 0 außer dem Nullpolynom. Damit gilt RŒx D Rnf0g. Die Einheiten aller Polynomringe über einem Körper sind durch die Elemente des Körpers außer der 0 gegeben. Definition 3.7 Sei R ein Integritätsbereich, p 2 R, p 6D 0, und sei p keine Einheit. Dann ist p ein irreduzibles Element in R, wenn die Teiler von p ausschließlich Einheiten sind. p ist ein Primelement in R, wenn gilt: pja b ) pja; oder pjb: Beispiel 3.24 In Z sind die irreduziblen Elemente und die Primelemente gegeben durch p,wobei p eine Primzahl ist. Beispiel 3.25 Es ist leicht zu sehen, dass Primelemente irreduzibel sind, aber die Umkehrung gilt nicht in allen Ringen. Man betrachte hierzu als Beispiel den Ring hp i n Z 5 D a C b p o 5 j a; b 2 Z :

9 3.2 Ringe 53 3 ist irreduzibel in diesem Ring, da 3 D a b p 5 c d p 5 a D 1 und b D 0 impliziert. Die Teiler von 3 sind also Einheiten. 3 ist aber kein Primelement, da 3 ein Teiler von 9 D 3 C p 5 3 p 5 ist, ohne einen der Faktoren zu teilen. Definition 3.8 Ein Integritätsbereich R wird euklidischer Ring genannt, wenn es eine Abbildung : Rnf0g!N 0 gibt, sodass gilt: 1. Ist ab 6D 0 so ist.ab/.a/; 2. für a; b 2 R mit a 6D 0 gibt es q; r 2 R, mitb D qa C r, wobei r D 0 oder.r/ <.a/ ist. b D qa C r können wir als Division von b durch a mit Rest r verstehen, wobei der Wert von der Funktion des Restes r kleiner ist als der Wert von a. Beispiel 3.26 Z mit.x/ Djxj ist ein euklidischer Ring. Auch ZŒi mit.z/ Djzj 2 Dja C bij 2 D a 2 C b 2 bildet einen euklidischen Ring. Beispiel 3.27 Der Polynomring RŒx bildet mit.p/ D Grad.p/ einen euklidischen Ring. Dies gilt für alle Polynomringe über Körper. Gegenbeispiel 3.28 Die Polynome ZŒx über Z bilden keinen euklidischen Ring. Dies ist nicht leicht zu zeigen; siehe Kap. 1 in Stroth (2012). Definition 3.9 Sei R ein kommutativer Ring und I R. DannistI ein Ideal, wenn.i; C/ eine Untergruppe von.r; C/ ist und ai Dfax j x 2 I gi für alle a 2 R gilt. Ein Ideal heißt Hauptideal, wennesdieformi D ar Dfar j r 2 Rg hat. Ein Ideal heißt Primideal, wennab 2 I genau dann der Fall ist, wenn a 2 I oder b 2 I ist. Ein Integritätsbereich R heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal in R ein Hauptideal ist.

10 54 3 Algebraische Strukturen Beispiel 3.29 Es ist nicht schwer zu zeigen, dass jeder euklidische Ring ein Hauptidealring ist. Die obigen Beispiele euklidischer Ringe sind also auch Beispiele für Hauptidealringe. Beispiel 3.30 In ZŒx bestimmt I Df2p C xq j p; q 2 ZŒx g ein Ideal, das kein Hauptideal ist. ZŒx ist damit kein Hauptidealring. Beispiel 3.31 Der Ring ZŒ.1 C p 19/=2 ist ein Hauptidealring, der nicht euklidisch ist; siehe Kap. 1 in Stroth (2012). Beispiel 3.32 In Z ist pz offenbar genau dann ein Primideal, wenn p ein Primelement ist und dies ist genau dann der Fall, wenn p irreduzibel ist. Dies lässt sich auf alle Hauptidealringe verallgemeinern. Definition 3.10 Sei R ein Integritätsbereich. R ist faktoriell,auchring mit eindeutiger Primfaktorzerlegung (EPZ-Ring) genannt, falls sich alle a 2 R mit a D 0, wobei a keine Einheit ist, als a D p 1 p 2 p k mit irreduziblen Elementen p 1 ;p 2 ;:::;p k 2 R schreiben lassen und diese Zerlegung bis auf die Multiplikation mit Einheiten und die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist. Beispiel 3.33 Es lässt sich zeigen, dass alle Hauptidealringe faktoriell sind; siehe Stroth (2012). Wir kennen also schon eine Reihe von faktoriellen Ringen. Beispiel 3.34 ZŒx ist ein faktorieller Ring, der kein Hauptidealring ist, wir verweisen für den Beweis wieder auf Stroth (2012). Ein Beispiel einer Primfaktorzerlegung in diesem Ring ist x 6 1 D.x 1/.x C 1/.x 2 C x C 1/.x 2 x C 1/: Es sei noch angemerkt, dass sich mit einigem Aufwand zeigen lässt, dass der Polynomring RŒx ein faktorieller Ring ist, wenn R faktoriell ist. Gegenbeispiel 3.35 Der Ring ZŒ p 5 in Beispiel 3.25 ist nicht faktoriell, da in einem faktoriellen Ring irreduzible Elemente Primelemente sind.

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