7 Kontakt zwischen rauen Oberflächen

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1 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen Die Oberfähenrauigkeit hat einen großen Einfuss auf viee physikaishe Phänomene wie Reibung, Versheiß, Abdihtungen, Adhäsion, sebstkebende Shihten, eektrishe und thermishe Kontakte Wenn zwei Körper mit rauen O- berfähen aneinander gedrükt werden, so ist die reae Kontaktfähe zunähst sehr vie keiner as die sheinbare Fähe Die Größe der reaen Kontaktfähe bestimmt zb den eektrishen und den thermishen Widerstand zwishen den Körpern Die Größe der Kontaktgebiete und der maximaen Spannungen bestimmt etztendih die Größe von Versheißteihen und somit die Versheißgeshwindigkeit Auh für die Reibungsprozesse ist die Größe des reaen Kontaktgebietes von ausshaggebender Bedeutung As mikroskopishe Ursahe für die Reibungskraft kann man sih den Bruh der mikroskopishen Bindungen zwishen den kontaktierenden Oberfähen vorsteen Die Bruhfestigkeit und somit die Reibungskraft soten nah diesen Vorsteungen etwa proportiona zu der reaen Kontaktfähe sein In diesem Kapite untersuhen wir Abhängigkeiten der reaen Kontaktfähe, der Kontaktänge und der gesamten Kontaktkonfiguration von der Anpresskraft V L Popov, Kontaktmehanik und Reibung, DOI 7/ _7, Springer-Verag Berin Heideberg

2 86 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen 7 Mode von Greenwood und Wiiamson Wir beginnen mit einer Diskussion von rauen Oberfähen im eastishen Kontakt As einfahstes Mode einer rauen Oberfähe könnte man sih eine Oberfähe bestehend aus einer reguären Reihe von geihförmigen Rauigkeiten vorsteen, die den geihen Krümmungsradius und die geihe Höhe haben (Abb 7) F Abb 7 Einfahes Mode einer rauen Oberfähe Die Behandung eines Kontaktprobems zwishen sohen Fähen ist einfah: Die Gesamtkraft ergibt sih bei niht zu großen ormakräften as Summe von für ae Kappen geihen Kräften, die sih mit der Hertzshen Kontakttheorie berehnen assen Die einzene Mikrokontaktfähe, und somit die gesamte Kontaktfähe A F Das widerspriht sowoh direkten Experimenten as ist in diesem Fa auh dem Amontongesetz, nah dem die Reibungskraft ungefähr proportiona zur ormakraft ist Wir erwarten deswegen einen ungefähr inearen Anstieg der Kontaktfähe mit der ormakraft Die Situation verändert sih wesentih, wenn wir berüksihtigen, dass die reaen Oberfähen in der Rege stohastish rau sind Die einfahste Methode, eine niht reguäre Fähe zu modeieren haben 966 JA Greenwood and JBP Wiiamson vorgeshagen Dieses Mode werden wir nah den Autoren as GW- Mode bezeihnen Greenwood und Wiiamson haben angenommen, dass ae Rauigkeitsspitzen ("Asperiten") den geihen Krümmungsradius haben, die Höhen der Spitzen aber stohastish um ein Mitteniveau verteit sind (Abb 7) Sind die kontaktierenden Spitzen ausreihend von einander entfernt, so können ihre Deformationen as unabhängig von einander betrahtet werden Daraus fogt, dass die Position dieser Spitzen, und somit die genaue Konfiguration der Oberfähe, für das Kontaktprobem (unter der genannten Annahme) von keiner Bedeutung sind Ledigih die Höhenverteiung der Spitzen ist von Bedeutung Bezeihnen wir die Wahrsheinihkeitsdihte, einen Asperiten mit der maximaen Höhe z zu treffen, durh ( z ) Das bedeutet, dass die Wahrsheinihkeit, einen Asperiten mit der maximaen Höhe im Interva [ zz, d] z zu treffen geih ( z)dz ist Ist die Gesamtzah von Asperiten, so ist die Zah der Asperiten im Interva [, zzd] z geih ( z)dz Sohe reguären Oberfähen bezeihnet man aerdings niht as rau, sondern as profiiert oder strukturiert

3 7 Mode von Greenwood und Wiiamson 87 z z h z h R Abb 7 Mode einer stohastishen Oberfähe nah Greenwood und Wiiamson Für viee tehnishe und natürihe Oberfähen kann angenommen werden, dass die Höhen norma verteit sind: / ( z) e z (7) Die Größe ist hier der quadratishe Mittewert der Höhenverteiung: z, (7) den wir Rauigkeit nennen Betrahten wir einen Kontakt zwishen einem eastishen Körper mit der beshriebenen Statistik von Rauigkeiten und einer starren Ebene im Abstand h vom Mitteniveau, wehes as u der z-ahse angenommen wird (Abb 7) Unter der Annahme, dass man die eastishe Wehsewirkung zwishen den Asperiten vernahässigen kann, sind ae Asperiten mit z h im Kontakt mit der starren Ebene Die Eindruktiefe eines Asperiten mit der Höhe z beträgt d zh Für einen einzenen Kontakt erhaten wir aufgrund der Hertzshen Theorie a dr (Geihung (5)) Somit git für die Kontaktfähe eines einzenen Asperiten A a d R z h R (7) und für die Einzekraft 4 / / 4 / F E* R d E* R zh / (74) Die Gesamtzah der Kontakte, die Gesamtkontaktfähe und die gesamte ormakraft F ergeben sih durh eine Integration über ae Asperiten im Kontakt Das bedeutet, dass die Integration über ae Höhen von z h bis unendih erfogen muss: ( z) dz (75) h

4 88 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen A ( z) R( zh ) dz, (76) h 4 / / F ( z) E* R ( zh) dz (77) h Während die Gesamtfähe, die Gesamtkraft und die Zah der Kontakte beim Zusammendrüken der Körper (Verkeinerung von h ) exponentie shne anwähst, ändern sih ihre Verhätnisse reativ shwah Für die mittere Kontaktfähe eines Asperiten erhaten wir zb A A h dz ( z) R ( z h ) h dz ( z) (78) Indem wir eine dimensionsose Variabe z/ und die Bezeihnung / h einführen, erhaten wir A R dexp / ( ) (79) dexp / ( ) / A R ( /) og ( A / ) R Abb 7 Abhängigkeit der Kontaktfähe und der mitteren Kontaktfähe von der Abstandsvariabe Der Abb 7 kann man entnehmen, dass sih die Kontaktfähe (76) bei der Änderung des reativen Abstandes zwishen zwei Fähen von bis 5 um 7 Dezimagrößenordnungen ändert, während sih die mittere Kontaktfähe A um weniger as das fahe ändert Der Wert entspriht einem sehr starken Zu-

5 7 Mode von Greenwood und Wiiamson 89 sammendrüken, bei dem die Kontaktfähe in etwa die Häfte der sheinbaren Fähe beträgt Die Werte 4 sind niht reaistish, da es sih dabei höhstens um einzene Kontakte handen kann Der typishe Bereih von mitteren ormakräften, weher den wahren Kontaktfähen zwishen 4 und der sheinbaren Fähe entspriht, wird erreiht für,5 bis,5 Das Verhätnis A / R ändert sih in diesem Bereih nur geringfügig um den Wert, Für die mittere Fähe eines Asperiten erhaten wir in guter äherung A R (7) Die mittere Größe eines mikroskopishen Kontaktgebietes beibt praktish konstant (oder ändert sih nur sehr angsam) bei Änderung der Kraft und der Kontaktfähe um einige Größenordnungen Ähnih angsam ändert sih auh das Verhätnis der gesamten Kontaktfähe zur Kraft: ( z) R( zh) dz / dexp / ( ) h R 4 / / 4 * / ( z) E* R ( zh) dz exp / ( ) d h A F E (7) Der Abb 74 kann man entnehmen, dass in dem für makroskopishe Reibungsprobeme reevanten Bereih von, 5 bis,5 das Verhätnis / A R sih nur geringfügig um den Wert,4 herum ändert F 4 E* 6 (4E*/) A F ( R/ ) / Abb 74 Abhängigkeit des Quotienten aus Kontaktfähe und Anpresskraft von der Abstandsvariabe

6 9 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen Für das Verhätnis der reaen Kontaktfähe zur Anpresskraft git in guter äherung / A R, F E * (7) Die Kontaktfähe ist bis auf einen shwahen ogarithmishen Faktor proportiona zur ormakraft Der mittere Druk ergibt sih aus derseben Geihung durh Umkehren: / F *,E A R (7) In der modernen Literatur zur Kontaktmehanik findet man oft eine andere Form für das Verhätnis F / A für raue Oberfähen Man kann diese Form quaitativ wie fogt hereiten Das Verhätnis F / A kann bis auf einen konstanten Koeffizienten as Mittewert F / A für einzene Mikrokontakte abgeshätzt werden und dieses wiederum bis auf ein Konstante der Größenordnung as / F A Da das Verhätnis F / A von der Anpresskraft (bzw Annäherung der Fähen) nur shwah abhängt, können wir es für h abshätzen: F 4 E* z F / A A R Der Krümmungsradius eines Asperiten wird berehnet aus / R z Somit bekommen wir für das Verhätnis F / A F 4 E* 4 E* zz A z (74) Bei der etzten Geihung haben wir berüksihtigt, dass der Mittewert zz as Integra L zx ( ) z( xdx ) über eine ausreihend große Streke L definiert L wird Eine partiee Integration überführt es in L z( x) z( x) dx und somit L z Dies ist natürih nur eine sehr grobe Abshätzung Das Ergebnis (74) wird aber durh genaue numerishe Berehnungen bestätigt Mit der Bezeihnung z z für den quadratishen Mittewert des Gradienten des Oberfähenprofis fasst man die Geihung (74) wie fogt zusammen

7 7 Mode von Greenwood und Wiiamson 9 F A E* z, (75) wobei ein Koeffizient ist, der nur shwah von statistishen Eigenshaften der Oberfähe abhängt und in der Rege die Größenordnung hat Diese Geihung wurde für vershiedene raue, auh fraktae Oberfähen durh exakte numerishe Lösung nahgewiesen Der mittere Druk in der wahren Kontaktfähe berehnet sih demnah in guter äherung as die Häfte des effektiven eastishen Modus E mutipiziert mit * dem mitteren Steigungsgradienten des Oberfähenprofis z : F E* z (76) A Zum ähnihen Ergebnis kann man durh fogende einfahe quaitative Abshätzung geangen: Wenn wir einen Körper mit dem Oberfähenprofi z h ˆ os kxos ky betrahten, so ist der Krümmungsradius der Maxima dieser Oberfähe geih / R hk ˆ, der quadratishe Mittewert von z ist geih h ˆ /, und der quadratishe Mittewert des Höhengradienten z hk ˆ Somit git: R / z (77) Einsetzen in (7) führt wieder zu einer Geihung der Form (76) Shätzen wir noh die Kraft F ab, bei der die wahre Kontaktfähe A die Häfte der sheinbaren Kontaktfähe A erreiht: A F E* z (78) 4 Der dafür erforderihe sheinbare mittere Druk ˆ ist dabei geih ˆ E* z (79) 4 Es ist interessant zu bemerken, dass die Geihung (75) mit auh für abrasive Fähen mit sharfen Spitzen git (siehe Aufgabe 7 zu diesem Kapite)

8 9 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen 7 Pastishe Deformation von Kontaktspitzen Ist der Druk (76) größer as die Härte des Materias und somit * E z, (7) so sind die Mikrorauigkeiten voständig im pastishen Zustand Die Größe wurde von Greenwood und Wiiamson eingeführt und wird Pastizitätsindex genannt Für / verhät sih die Oberfähe beim Kontakt eastish Die Tatsahe, ob sih das System eastish oder pastish verhät, hängt niht von der angeegten ormakraft ab! As Beispie shätzen wir die harakteristishe Größe des Steigungsgradienten für einen Kontakt zwishen zwei stähernen Proben ab: Mit E * Pa und Pa bekommen wir heraus, dass zwei kontaktierende stäherne Proben 9 sih rein eastish deformieren, wenn z git Bei geshiffenen Oberfähen ist der Steigungsgradient meistens größer und fast ae Bereihe des wahren Kontaktes werden sih im pastishen Zustand befinden Hoh poierte Oberfähen mit z deformieren sih dagegen rein eastish Die Steigung z hängt im Agemeinen davon ab, mit weher Aufösung die Oberfähe gemessen wird sie ist skaenabhängig! Ist die Steigung auf vershiedenen Betrahtungsskaen untershiedih, so wird sih die Fähe nur auf den * Skaen pastish deformieren, auf denen Bedingung z / E erfüt ist Sobad die Spannung in Kontaktgebieten größer wird, veriert die obige Theorie ihre Gütigkeit Im pastishen Zustand können wir die Größe der Kontaktfähe abshätzen, indem wir bemerken, dass sih das Materia in Kontaktgebieten soange deformiert, bis die Drukspannung die Härte des Materias erreiht Zum Zweke einer Abshätzung nehmen wir an, dass das Materia eastish-idea pastishes Verhaten mit der Indentationshärte hat und dass der Druk in aen Asperiten ungefähr geih der Härte ist Die Kontaktfähe ist demnah auh im pastishen Bereih proportiona zur ormakraft: A F / (7) As ein numerishes Beispie betrahten wir einen grob geshiffenen stähernen Würfe mit der Kantenänge m, der auf einer stähernen Patte iegt Für die 9 9 Parameter Pa, F, erhaten wir A / m, mm, 5 A/ A Beim typishen Durhmesser eines Kontaktes m beträgt die 7 5 Zah der Kontakte /

9 7 Eektrishe Kontakte 7 Eektrishe Kontakte 9 Bisher haben wir uns für die Fähe des wahren Kontaktes zwishen zwei rauen Oberfähen interessiert Es gibt aber eine Reihe von Kontaktprobemen, bei denen niht die Fähe, sondern die gesamte Länge des Kontaktes von Bedeutung ist Dazu gehören eektrishe und thermishe Kontakte In einem eektrishen Kontakt wird eektrisher Strom von einem eitenden Körper zum anderen nur über die Bereihe übertragen, in wehen ein sehr enger Kontakt existiert - in der Rege ein "atomar dihter" Kontakt Auf den ersten Bik wird das dazu führen, dass die Quaität eines eektrishen Kontaktes sehr stark von der Topographie der kontaktierenden Körper abhängt und darüber hinaus starke Fuktuationen aufweist Wir diskutieren in diesem Abshnitt die Ursahen, warum eektrishe Kontakte in den meisten Fäen doh sehr zuverässig funktionieren, und wie man die zur Erzeugung eines gewünshten Kontaktes erforderihe Anpresskraft berehnet Ein passives eitendes Eement kann durh seinen eektrishen Widerstand R harakterisiert werden Die Größe / R wird eektrishe Leitfähigkeit genannt Der eektrishe Widerstand eines Stabes mit der Quershnittsfähe S und Länge L berehnet sih aus R L/ S, wobei der spezifishe Widerstand des Stoffes ist Aus der Eektrotehnik ist bekannt, dass sih bei einer Reihenshatung die Widerstände und bei einer Paraeshatung die Leitfähigkeiten summieren a Abb 75 Kontakt zwishen zwei eitenden Habräumen Sind zwei ausgedehnte eitende Körper mit spezifishem Widerstand in einem engen Bereih mit Radius a in einem ideaen Kontakt (Abb 75), so wird der Widerstand überwiegend durh die Größe der Engstee bestimmt Er nennt sih daher Engewiderstand R und berehnet sih as E a (7) R E Gibt es mehrere Mikrokontakte, deren Abstände voneinander vie größer sind as ihre Durhmesser a i, so werden die Leitfähigkeiten aer Engsteen summiert Dieses Ergebnis wurde bereits von JC Maxwe hergeeitet: JC Maxwe A Treatise on E- ektriity and Magnetism Oxford Press, 89

10 94 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen Für die gesamte Leitfähigkeit des Kontaktes ist daher die Summe der Kontaktdurhmesser aer Mikrokontakte von Bedeutung: ai L ges (7) Die Summe aer Durhmesser haben wir mit L bezeihnet L: a i (74) Der Kürze haber nennen wir diese Größe im Weiteren Kontaktänge Bei der Berehnung der Kontaktänge benutzen wir die Eräuterungen am Anfang des Kapites und stützen uns auf die Abb 7 Der Kontaktradius eines Mikrokontaktes berehnet sih as A a Rzh (75) Ähnih wie die Kontaktfähe (76) können wir auh die Kontaktänge berehnen L a ( z) R( zh ) dz (76) i h Das Verhätnis der Kontaktänge zur ormakraft ist geih / / ( z)( zh) dz dexp / ( ) h / / ( z)( zh) dz dexp / ( ) h L F E* E* Die Größe L F E* (77) as Funktion der Variabe ist in der Abb 76 gezeigt In dem für typishe Kontaktbedingungen reevanten Bereih,5 bis,5 ändert sih dieses Verhätnis nur geringfügig um den Wert,5 herum

11 4 7 Eektrishe Kontakte 95 E* F L 4 5 Abb 76 Abhängigkeit des Quotienten aus Kontaktänge und ormakraft von der Abstandsvariabe Somit git für die Kontaktänge in guter äherung L, 7 F E* (78) Die Kontaktänge ist bis auf shwahe ogarithmishe Faktoren proportiona zur ormakraft 4 Für die eektrishe Leitfähigkeit ergibt sih aut (7) ges, 7 F (79) E* Wie die Reibungskraft ist auh die Leitfähigkeit proportiona zur ormakraft und hängt niht von der (sheinbaren) Kontaktfähe ab In dieser Geihung kommt der Krümmungsradius der Kappen bzw die Steigung der Oberfähe niht vor Die Leitfähigkeit hängt somit nur von der Höhenverteiung der rauen Oberfähe, niht aber von der detaiierten Oberfähentopographie ab Bisher haben wir angenommen, dass einzene Kontakte ausreihend kein und weit voneinander entfernt sind, so dass man sie as unabhängig voneinander betrahten kann Sobad die Kontaktänge L den Durhmesser D der kontaktierenden Körper erreiht, steigt die Leitfähigkeit niht weiter Sie erreiht ihren Sättigungswert, wenn die Kontaktänge die Größenordnung der inearen Abmessungen der Körper erreiht: 4 Eine ausführihere Untersuhung zeigt, dass die Kontaktänge besser durh die Beziehung /4 / * /4 /4 L z E F mit 6 beshrieben wird

12 96 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen, 7 L F D (7) E* Die dafür erforderihe Kraft ist geih DE * F, (7), 7 Das kann man mit der Kraft (78) vergeihen, bei der die Oberfähenrauigkeit D bis zur Häfte zerquetsht wird: F E* z Ihr Verhätnis ist geih 4 F 4 E*, F, 7 DE * z Dz (7) Bei den Leitern mit inearen Abmessungen D / z wird ein ideaer eektrisher Kontakt shneer erreiht, as ein ideaer "Materiakontakt" Das ist bei den meisten Kontakten mit Abmessungen größer as, mm der Fa 74 Thermishe Kontakte Auh die thermishe Leitfähigkeit eines runden Kontaktes und seine mehanishe Steifigkeit sind proportiona zum Radius des Kontaktes Auf diese beiden Größen ist die oben skizzierte Theorie von eektrishen Kontakten unmittebar übertragbar Der Wärmewiderstand ist bei der Dimensionierung von Kühkörpern für Habeiter oder anderen Shatungseementen in eektronishen Shatungen die maßgebihe Kenngröße Er wird definiert as R W T Q, wobei T die Temperaturdifferenz an den Enden des Eementes und Q die durh das Eement durhströmende Wärme pro Sekunde ist Die Wärmeeitfähigkeit wird as W / R W definiert Der Wärmewiderstand eines Stabes der Länge L und Quershnittsfähe S ist geih RW L/ S, wobei die spezifishe Wärmeeitfähigkeit ist Es besteht eine direkte Anaogie zu eektrishen Kontakten, nur der spezifishe Widerstand muss durh / ersetzt werden In Anaogie zu (79) können wir daher sofort shreiben, 7 W F (7) E* Die Wärmeeitfähigkeit eines rauen Kontaktes ist direkt proportiona zur Anpresskraft

13 75 Mehanishe Steifigkeit von Kontakten 76 Dihtungen 97 Besteht zwishen einem eastishen und einem starren Körper ein runder Kontakt mit dem Radius a, so ist seine Steifigkeit bei Bewegungen senkreht zur Oberfähe geih ae und bei Bewegungen parae zur Oberfähe 8Ga *, wobei G der Shubmodu ist (s nähstes Kapite) Beide Steifigkeiten sind proportiona zum Kontaktdurhmesser Bei mehreren unabhängigen Kontaktbereihen summieren sih die Steifigkeiten: * *, ges E ai E L, (74) 4G 4GL, ges a i (75) Mit (78) erhaten wir für die normae und die transversae Steifigkeit eines rauen Kontaktes F, ges, 7, (76), 7 F, ges F (77) 76 Dihtungen As Dihtung bezeihnet man in der Tehnik Eemente oder Konstruktionen, die die Aufgabe haben, ungewote Stoffübergänge von einem Raum in einen anderen zu verhindern bzw zu begrenzen Die größte Gruppe der Dihtungen steen die Berührungsdihtungen dar, bei denen die Dihtungseemente aneinander gedrükt werden (Abb 77) p p a p b Füssigkeit Gummi Füssigkeit Abb 77 Shematishe Darsteung der Wirkungsweise einer Dihtung

14 98 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen Wegen der immer vorhandenen Rauigkeit der kontaktierenden Fähen müssen sie mit einer bestimmten minimaen Kraft zusammengedrükt werden, damit der Kontakt diht wird Dies wird in der Abb 78 iustriert Bei keinen Anpresskräften sind die Oberfähen nur in keinen Gebieten im wahren Kontakt Füssigkeiten oder Gase können zwishen diesen Gebieten durhsikern Bei Vergrößerung der Anpresskraft werden die Kontaktgebiete größer, bis sie bei einer bestimmten kritishen Kraft einen kontinuierihen, durhgehenden Custer biden Ae Wege durh das gesamte Kontaktgebiet werden dadurh unterbrohen Abb 78 Kontaktfähe bei vershiedenen Anpresskräften Der Kontakt wird diht, wenn die reae Kontaktfähe einen kontinuierihen Custer bidet In der Rege wird diese Perkoationsgrenze erreiht, wenn die Oberfähenrauigkeiten etwa bis zur Häfte gequetsht sind Dafür ist die Spannung der Größenordnung (79) erforderih: Diht E* z (78) 4 Zu bemerken ist, dass diese Spannung zusammen mit z skaenabhängig ist Das bedeutet, dass ein Kontakt, dessen Rauigkeit mit einer geringen Aufösung gemessen wurde, as diht angesehen werden kann, während es bei einer genaueren Betrahtung (auf einer keineren Skaa) immer noh durhgehende Wege durh das Kontaktgebiet gibt Eine ausführihere Anayse dieses Sahverhats führt zu der Erkenntnis, dass die Geshwindigkeit des Durhsikerns eines Stoffes durh eine Dihtung auh nah dem Erreihen der makroskopishen kritishen Anpressspannung (78) niht vershwindet, sondern mit der Anpresskraft exponentie stark abnimmt (um einige Dezimagrößenordnungen bei der Vergrößerung der Anpresskraft um eine Größenordnung)

15 77 Rauheit und Adhäsion Aufgaben 99 Rauheit kann Adhäsion drastish vermindern Im vorigen Kapite haben wir die / R negative kritishe Eindruktiefe drit * eingeführt Es ist intuitiv 6E kar, dass das Adhäsionsverhaten von rauen Oberfähen durh das Verhätnis d bestimmt wird Ist d : rit R * 6E / rit, (79) so spiet die Rauigkeit keine Roe Unter Berüksihtigung der Abshätzung (77) kann man diese Geihung auh in der Form / z (74) * 4E darsteen Im entgegengesetzten Fa vershwindet die Adhäsionskraft praktish voständig umerishe Simuationen zeigen, dass es einen kritishen Wert des Produktes z gibt, bei dem die makroskopishe Adhäsionskraft zu u wird: z rit * E, (74) wobei eine Konstante der Größenordnung ist Aufgaben Aufgabe : Zu bestimmen ist die erforderihe Anpresskraft, um zwishen zwei ebenen Kupferpatten mit der Rauigkeit m einen eektrishen Kontakt mit dem Widerstand R, m zu erzeugen Lösung: Der Eastizitätsmodu von Kupfer ist etwa E Pa, die Poisson-Zah 8,, der spezifishe Widerstand 8 m Für den effektiven eastishen Modu E ergibt sih * * E E Pa,56 Pa Aus der Geihung (79), die wir in der Form,7 F R E* umshreiben, fogt

16 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen F 8 6 E*,56 Pa,8 m m R,7, 7, 7, Aufgabe : Zu bestimmen ist der Anpressdruk, der erforderih ist, um einen i- deaen Kontakt zwishen einem eastishen Körper mit einer geweten Oberfähe z h ˆ os kx und einer starren Ebene zu erzeugen Lösung: Wären die Fähen ohne äußere Spannung zusammengekebt, so wäre die ormaspannung an der Oberfähe geih ˆ os * zz Ehk kx (s Aufgabe im Kapite ) Anegen einer homogenen ormaspannung führt aufgrund der Linearität zu fogender ormaspannung auf der Grenzfähe: ˆ os * zz Ehk kx Sie kann auh ohne Zusammenkeben durh reines Anpressen reaisiert werden, wenn übera zz ist, dh ˆ * Ehk Wir bemerken noh, dass in diesem Fa z hk ˆ / ist, so dass man diese * Geihung auh in der Form E z umshreiben kann (man vergeihe diese Spannung mit der Spannung (78), die zur Erzeugung eines dihten Kontaktes erforderih ist) Aufgabe : Zu bestimmen ist der Anpressdruk, der erforderih ist, um einen i- deaen Kontakt zwishen einem eastishen Körper mit einer geweten Oberfähe z h ˆos kx os ky (Abb 79) und einer starren Ebene zu erzeugen Abb 79 Zweidimensionae gewete Oberfähe eines eastishen Körpers Lösung: In der Aufgabe zum Kapite haben wir gefunden, dass die Oberfähendeformation u ˆ z h os kx zur ormaspannungsverteiung * ˆ zz Ehk os kx führt Dieses Ergebnis kann man auh in einer rihtungsunab-

17 Aufgaben hängigen Form darsteen: Eine Cosinus-förmige Oberfähendeformation uz ( r ) (wobei r ein zweidimensionaer Vektor ist) führt zur Spannungsverteiung * zz E k u ( ) z r Die in der Aufgabensteung gegebene Weigkeit ässt sih as Summe von zwei Cosinus-Funktionen darsteen: ˆ z hˆos kx os ky h os k x y os k x y Diese Deformation führt zur ormaspannung * * Eku( r) Ekhˆ os kx os ky zz z Die zur Erzeugung eines voständigen Kontaktes erforderihe Spannung ist somit geih ˆ ˆ * Ehk Der quadratishe Mittewert des Gradienten ist geih z hk ˆ / Somit git * ˆ E z Aufgabe 4: Zu bestimmen ist der Anpressdruk, der erforderih ist, um einen i- deaen Kontakt zwishen einer starren Ebene und einem eastishen Körper mit einer geweten Oberfähe z hˆoskxhˆ os( kx ) mit k k und h ˆ ˆ h (Abb 7) zu erzeugen Abb 7 Eine Oberfähe mit Weigkeiten auf zwei Skaen Lösung: Die kurzweigen Unebenheiten werden voständig zerquetsht, wenn * der Druk in den tiefsten Bereihen der angweigen Unebenheiten, Ehk ˆ ist (s vorige Aufgabe) Indem wir den Ausdruk für den Druk aus der Aufgabe benutzen, erhaten wir mittes Superposition für den kritishen Druk ˆ * E hk hk Aufgabe 5: Das in der Abb 7 skizzierte System besteht aus Federn (Gesamtzah ) geiher Steifigkeit, die beim Kontakt adhieren können Ihre Adhäsionseigenshaften werden harakterisiert durh die Länge d rit, um die sih eine Feder dehnen kann, bevor sie von der Oberfähe abpatzt Die Höhenverteiung z der Federn sei ( z) e ˆ

18 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen z d Abb 7 Federmode einer stohastishen eastishen Oberfähe Eine starre Ebene wird an das System zunähst mit der Kraft F gedrükt und dann bis auf den Abstand d weggezogen Zu bestimmen ist die Adhäsionskraft as Funktion der Anpresskraft Lösung: Beim Anpressen mit der Kraft F werden diejenigen Federn in Kontakt mit der Ebene kommen, bei denen z d ist, wobei d sih aus der fogenden Geihung bestimmt: z d d F e z d dz e Wird nun die starre Ebene auf die Höhe d gebraht, so werden im Kontakt ae Federn beiben, deren Höhe im niht deformierten Zustand keiner d d aber niht keiner d ist: Die auf die Ebene wirkende Kraft ist geih F rit z d e z d dz e ( d d ), für d d rit d d z drit d rit, für rit ddrit e z d dz e d d d d Für d rit ist die auf die Ebene wirkende Kraft immer positiv, dh es gibt keine makroskopishe Adhäsion Für d rit erreiht die Kraft den betragsmäßig größten negativen Wert für d d d Dieser Wert ist die Adhäsionskraft: rit d F e d Das Verhätnis der Adhäsionskraft zur Anpresskraft A rit FA drit F hängt in diesem Mode niht von der Anpresskraft ab und wird Adhäsionskoeffizient genannt Für d rit wird die Adhäsionskraft zu u

19 Aufgaben Aufgabe 6: In Anehnung an die Fragesteung der Aufgabe 5 so wieder die Kraft auf die Ebene ermittet werden aerdings mit der Höhenverteiung ( z) Lösung: Die Kraft berehnet sih aus / / e z z F e zddz ddrit Ergebnisse der numerishen Integration sind in der Abb 7 as F ( d) -Pots dargestet Für drit, gibt es keinen Abstand, bei dem F negative Werte annimmt (keine makroskopishe Adhäsion) 5 F 4,5, d rit /, 5, d/ Abb 7 Abhängigkeit der ormakraft vom Abstand in normierter Darsteung parametrisiert durh drit Aufgabe 7 Abzushätzen ist der mittere Druk in der wahren Kontaktfähe zwishen einem eastishen Habraum und einer rauen Oberfähe bestehend aus kegeförmigen Spitzen mit geihem Steigungswinke (Abb 7) starrer Körper eastisher Körper Abb 7 Kontakt zwishen einer rauen Fähe bestehend aus kegeförmigen Spitzen und einem eastishen Körper

20 4 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen Lösung: Aus den Geihungen (57) und (59) fogt, dass beim Eindruk einer starren, kegeförmigen Spitze in einen eastishen Habraum zwishen der ormakraft F und dem Kontaktradius a der fogende Zusammenhang besteht: * F E a tan Für den mitteren Druk in einem Mikrokontakt fogt daher F * * tan a E E z, wobei z tan die (in diesem Fa konstante) Steigung des Oberfähenprofis ist Dieser Druk hängt von der Eindruktiefe niht ab und git somit auh für den mitteren Druk in der gesamten Kontaktfähe Wir kommen zum Shuss, dass auh für sohe abrasiven Fähen mit sharfen Spitzen dassebe Ergebnis (76) git wie für einen Kontakt zwishen zufäig rauen Oberfähen Aufgabe 8: Abzushätzen ist der Reibungskoeffizient zwishen zwei rauen Oberfähen unter der Annahme, dass Adhäsionskräfte zwishen den Oberfähen die einzige Ursahe für die Reibungskraft sind Vergeihen Sie die Adhäsionsbeiträge zur Reibungskraft für die Paarungen Stah-Stah und Gummi-Gummi Lösung: As Mode für die Oberfähen benutzen wir eine zufäige Verteiung von Spitzen mit geihen Krümmungsradien R, wehes sih von dem in Abb 7 gezeigten Mode nur dadurh untersheidet, dass beide Oberfähen rau sind Die Höhenverteiung jeder Oberfähe sei durh eine gaußshe Verteiung mit der Streuung gegeben Wir nehmen an, dass die Oberfähen mit ormakraft F zusammengedrükt und anshießend in horizontaer Rihtung reativ zu einander bewegt werden Die Reibungskraft ergibt sih aufgrund einer Asymmetrie des adhäsiven Kontaktes: Bei Annäherung von zwei Spitzen kommen sie erst in Kontakt, wenn ihre (niht deformierten) geometrishen Konturen auf einander treffen (Abb 74a); getrennt werden sie dagegen erst bei einem größeren Abstand (Abb 74b) A a b Abb 74 Die Reibungskraft ergibt sih aufgrund einer Asymmetrie des adhäsiven Kontaktes d

21 Aufgaben 5 Die Stärke der Adhäsion kann durh den kritishen Abstand d harakterisiert werden, bei dem die Trennung der Oberfähen geshieht (Abb 74b) (s Geihung (64): wobei * R R / und / * R d 64 E * / E ( ) / E ( ) / E * Das Probem enthät drei Parameter mit der Dimension Länge: den Krümmungsradius R, die Höhenstreuung und die kritishe Abreißänge d Wie wir in den Aufgaben 6 und 7 gesehen haben, existiert bei ausreihend großen d (im vergeih mit ) eine endihe Adhäsionskraft zwishen den Fähen Der Reibungskoeffizient ist dabei unendih groß, da es eine endihe Reibungskraft bereits bei abwesender ormakraft gibt Hier woen wir niht kebende Oberfähen untersuhen, das bedeutet, dass die Bedingung d erfüt ist 5 Außerdem werden die typisherweise gut erfüten Bedingungen d / R und / R vorausgesetzt, wehe die Benutzung der Habraumtheorie rehtfertigen Wir untersuhen zunähst einen Kontakt zwishen zwei Rauigkeitsspitzen und führen anshießend eine Mitteung über die statistishe Verteiung durh In Abb 75 sind exemparish je eine Spitze von jeder Fähe gezeigt und ihre Parametrisierung eräutert z R z z R x x a b Abb 75 (a) Zwei Rauigkeitsspitzen mit geihem Krümmungsradius; (b) Spitzen im Kontakt Die Form der Spitzen wird beshrieben durh die Geihungen z ( x) Z x R, z( x) Z x X R Soange die Oberfähen in Kontakt beiben, ist die Eindruktiefe durh 5 Wie wir später sehen werden, muss sogar die Bedingung d 8 erfüt sein

22 6 7 Kontakt zwishen rauen Oberfähen d ZZ X 4R gegeben und Tangens des Kontaktwinkes (s Abb 75b) durh tan X / R Der erste und der etzte Kontakt finden statt, wenn die Bedingung d bzw d d erfüt ist Daraus ergibt sih X RZ Z,, min X R Z Z Rd, max Wenn wir die Wehsewirkungskraft zwishen den Asperiten as F bezeihnen, so sind die z-komponente der Kraft F und die x-komponente der Kraft F R bis auf Gieder höherer Ordnung in durh F F, F FX / R R gegeben Der Reibungskoeffizient kann anshießend as F / F R berehnet werden, wobei die Bezeihnung x z eine Mitteung über die Asperitenverteiung sowoh in x- as auh in z-rihtung bedeutet Die Verteiung in x-rihtung wird as geihmäßig angenommen und in der z-rihtung gemäß ( Z) e Z, ( Z) e Z Z Z hat hier den Sinn des makroskopishen Abstandes zwishen den Oberfähen Für die Adhäsionskraft benutzen wir die Approximation (66): mit F R Mitteung der Kräfte Rihtung ergibt 5/ d F F, d / d, d F und F R über eine makroskopishe Länge L in der x-,max X X F d FR> x F d L X, R L X,min X,max Rd /6 F X F L X L,min F x d,

23 mit Aufgaben 7 Z Z / d Die Mitteung in der z-rihtung werden wir hier niht durhführen und beshränken uns auf eine grobe Abshätzung Die Größenordnung von Z Z iegt für zufäig raue Oberfähen bei Der Vergeih mit einer genaueren Berehnung zeigt, dass die Abshätzung die besten Ergebnisse iefert, wenn man as repräsentativen Wert für den Wert / d 4 annimmt Die ormakraft für einen typishen Asperiten kann daher durh Rd /6 F x F / d / / 4 d 4 d 4 L approximiert werden Für den Reibungskoeffizienten erhaten wir die fogende Abshätzung d z, /6 4/ d 4 / d 4/ d wobei wir den Zusammenhang / R / z benutzt haben Diese Geihung git nur im Bereih, wo der enner positiv ist, dh für / d 57 Wir sehen, dass der Reibungskoeffizient proportiona zum quadratishen Mittewert z des Oberfähengradienten ist und sonst nur vom Adhäsionsparameter d / abhängt In der ähe des kritishen Wertes von diesem Parameter kann er unendih große Werte annehmen Für keine d / strebt er gegen u nah dem Gesetz oder in expiziter Form Für Stah mit 5 J/m, 5 5 d / 8/ 78 z, * R * E 8/9 * E Pa, m z und * R m ergibt sih z : Der adhäsive Beitrag zur Reibung in einer Stah-Stah-Paarung ist vershwindend kein Für Gummi mit 5 J/m, * 6 E Pa, m und R * m ergibt sih z : Adhäsionskräfte können bei Eastomeren einen bemerkbaren Beitrag zur Reibungskraft eisten