Aufgabensammlung. zum Selbststudium der Vorlesung. Strömungstechnik

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1 Aufgabensammlung zum Selbststudium der Vorlesung Strömungstechnik Prof. Dr.-Ing. J. A. Szymczyk FH Stralsund/FB Maschinenbau Strömungslehre, Strömungsmaschinen Stand:

2 Inhalt AGD 1 Auslegung einer Lavaldüse 3 AGD 2 Gasaustausch zwischen zwei Behältern 4 AGD 3 Druckluftbehälter 5 AGD 4 Flugzeugtriebwerk 6 AGD 5 Rotationssymmetrische Lavaldüse 7 AGD 6 Strömungstechnische Auslegung eines Überschallkanals 8 AGD 7 Druckluftkessel 9 AGD 8 Ultraschallmessstrecke mit Lavaldüse 10 AGD 9 Erdgasleitung 11 AGD 10 Prüfen einer Ferngasleitung mittels Pressluft 12 AGD 11 Temperaturen im Staupunkt eines Flugkörpers 13 AGD 12 Vergaser 14 AGD 13 Trägerrakete 15 AGD 14 Triebwerk 16 AGD 15 Ballistischer Versuch 17 AGD 16 Flugzeug überfliegt Beobachter 18 AGD 17 Flugzeug überholt ein zweites 19 AGD 18 Konvergente Düse 20 AGD 19 Überdruckkessel 21 AGD 20 Ausströmen aus einem Kessel I 22 AGD 21 Aus einem Kessel strömt Luft durch eine Lavaldüse 23 AGD 22 Leckgase 24 AGD 23 Ausströmen aus einem Kessel II 25 AGD 24 keglige Lavaldüse 26 AGD 25 *leeres Blatt* 27 AGD 26 Ausströmen aus einem Kessel III 28 AGD 27 Verdrängungskörper im Kreisrohr 29 VS 1 Staustrahltriebwerk (Ram - Jet) 30 VS 2 Windkanal 31 VS 3 Stoß läuft durch ein Rohr 32 VS 4 Stoßwellenrohr 33 VS 5 Temperaturdifferenz über den Stoß 34 VS 6 Druckverhältnisse bei Lavaldüse über den Stoß 35 VS 7 Triebwerk auf dem Prüfstand 36 VS 8 Triebwerk 2 37 VS 9 Verdichtungsstoß in einer Lavaldüse 38 VS 10 Überschallwindkanal 39 VS 11 Überschallmesstrecke mit Verdichtungsstoß 40 VS 12 Wiedereintrittsflugzeug 41 VS 13 Positionsbestimmung eines Verdichtungsstoßes 42

3 AGD 1 Auslegung einer Lavaldüse Die Lavaldüse einer Rakete ist zu entwerfen, mit dem Hauptaugenmerk auf ein Leistungsoptimum in der Startphase (Expansion auf den Umgebungsdruck am Ausgang). Innerhalb der Brennkammer herrscht der Ruhezustand p 0, T 0. Aus der Düse tritt der Gasmassenstrom m A in die Umgebung (p u ) aus. p 0 p u T 0 (0) (*) (A) p 0 = 8,333 bar T 0 = 1633 K R = 287 J/(kg K) κ = 1,4 V A = 12,54 m 3 /s p u = 1 bar Bestimmen Sie a) die kritischen Werte p *, ρ *, T *, u *, a *, Ma * und A * im engsten Querschnitt der Düse, b) im Austrittsquerschnitt der Düse: ρ A, T A, u A, a A, Ma A, A A und den austretende Massenstrom m A! a) p * = 4,4 bar ρ * = 1,127 kg/m 3 T * = 1360,3 K u * = 739,3 m/s a * = 739,3 m/s Ma * = 1 A * = 5, m 2 b) ρ A = 0,391 kg/m 3 T A = 891 K u A = 1220,7 m/s a A = 598,33 m/s Ma A = 2,04 A A = 10, m 2 m = 4,91 kg/s

4 AGD 2 Gasaustausch zwischen zwei Behältern In einem großen Behälter befindet sich ein ideales Gas (κ = 1,66; c p = 523,4 J/(kg K)) mit T 0 = 15 C unter einem Druck p 0 = 1 bar. Das Gas wird durch eine Düse reibungsfrei und isentrop auf u 1 = 100 m/s entspannt und strömt in einen zweiten großen Behälter. Berechnen Sie: a) Die Temperatur T 1, den Druck p 1 und die Dichte ρ 1 in der Düse. Hinweis: im Querschnitt [1] herrscht die Geschwindigkeit u 1 = 100 m/s und nicht u max. Es wird nun der hypothetische Fall angenommen, dass die gesamte Energie des Gases in kinetische Energie umgewandelt wird. In diesem Fall erreicht das Gas im Querschnitt [1] seine maximale Geschwindigkeit. b) Wie groß ist der Druck p 2 und die Temperatur T 2? c) Berechnen Sie für den hypothetischen Fall die maximale Geschwindigkeit u 1max im Querschnitt 1! a) T 1 = 278,6 K p 1 = 0, Pa ρ = 1,58 kg/m 3 b) T 1 = T 2 = 0 K p 2 = 0 Pa c) u 1max = 549,2 m/s

5 AGD 3 Druckluftbehälter In einem Druckluftbehälter (p 0, T 0 ) befindet sich eine Austrittsöffnung der Fläche A. Wie groß ist der Massenstrom m der in die Umgebung (p u ) entweichenden Luft unter der Annahme isentroper Strömung? R = 287 J/(kg K) κ = 1,4 A = m 2 p 0 = 6 bar T 0 = 293 K p u = 1 bar p 0 T 0 R κ m p u A m = 2, kg/s

6 AGD 4 Flugzeugtriebwerk Ein kompressibles Fluid strömt reibungsfrei durch die Schubdüse eines Flugzeugtriebwerkes. Vor der Düse herrscht der Druck p 1, die Geschwindigkeit w 1 und die Dichte ρ 1. Am Ende der Düse tritt ein Strahl vom Durchmesser d 2 aus. Dort herrscht der Umgebungsdruck p 2. p 2 = 1 bar p 1 = 1,8 bar ρ 1 = 2,5 kg/m 3 w 1 = 100 m/s d 2 = 0,2 m R = 287 J/(kg K) κ = 1,4 Gesucht: a) Mit welcher Geschwindigkeit w 2 strömt das Fluid aus der Düse? b) Wie groß ist der Durchmesser d 1 des Strahles vor der Düse? 2 a) w 2 = 296,56 m/s b) d 1 = 0,279 m

7 AGD 5 Rotationssymmetrische Lavaldüse d 1 = 0,01 m d 2 = 0,0115 m T 0 = 288 K p u = 1 bar R = 287 J/(kg K) κ = 1,4 Eine rotationssymmetrische Lavaldüse hat im engsten Querschnitt den Durchmesser d 1, am Austritt den Durchmesser d 2. Die Ruhetemperatur sei T 0, der Druck im Düsenaustritt p 2 = p u. Im Düsenaustritt herrscht Überschallströmung. Für ein ideales Gas (R, κ) sind folgende Größen zu berechnen: a) Machzahl Ma 2 am Düsenaustritt b) Geschwindigkeit w 2 am Düsenaustritt c) Ruhedruck p 0 d) Austrittstemperatur T 2 e) Massenstrom m p u a) Ma 2 = 1,69 b) w 2 = 458,62 m/s c) p 0 = 4,85 bar d) T 2 = 183,28 K e) m = 0,091 kg/s

8 AGD 6 Strömungstechnische Auslegung eines Überschallkanals Der rechteckige Messteil eines kontinuierlich arbeitenden Überschallkanals besteht aus - dem Zuströmkanal (Querschnitt h 1 b) - der Lavaldüse (engster Querschnitt h L b) - der Messstrecke (Querschnitt h 2 b) In der Messstrecke wird bei der Temperatur T 2 die örtliche Machzahl Ma 2 erreicht. Der Druck in der Messstrecke beträgt p 2. κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) Ma 2 = 2 T 2 = 273 K p 2 = 0,2 bar h 1 = 0,6 m h L = 0,3 m b = 0,4 m a) Wie groß ist die erforderliche Kanalhöhe h 2? b) Welche Werte ergeben sich für die Temperatur T 1, die Mach-Zahl Ma 1 und die Geschwindigkeit w 1? c) Wie groß ist der Luftmassenstrom m? a) h 2 = 0,506 m b) T 1 = 482,7 K w 1 = 132,12 m/s Ma 1 = 0,3 c) m = 34,24 kg/s

9 AGD 7 Druckluftkessel Ein großer Druckluftkessel (Kesseldruck p k, Kesseltemperatur T k ) besitzt eine Ablassöffnung mit dem Austrittsquerschnitt A 1. Es soll der pro Sekunde in die Atmosphäre (der Atmosphärendruck ist p 0 ) ausfließende Massenstrom m berechnet werden. Dazu soll angenommen werden, dass a) die Strömung reibungslos und inkompressibel, b) die Strömung isentrop und kompressibel sei. Vor die Ablassöffnung A 1 wird nun ein Erweiterungsstück mit dem Austrittsquerschnitt A 2 gesetzt. Wie groß ist mit dem Erweiterungsstück der sekündlich ausfließende Massenstrom, wenn wieder angenommen werden soll, dass c) die Strömung reibungslos und inkompressibel sei, d) die Strömung isentrop und kompressibel sei? p k = 3,7 bar p 0 = 1 bar A 1 = 17 cm 2 A 2 = 20 cm 2 T K = 300 K R = 287 J/(kg K) κ = 1,4 a) m c) m = 2,59 kg/s b) m = 3,05 kg/s d) m = 1,46 kg/s = 1,46 kg/s

10 AGD 8 Ultraschallmessstrecke mit Lavaldüse Für den Betrieb einer Ultraschallmessstrecke wird Luft unter dem Druck p 1 mit der Temperatur T 1 und der Machzahl Ma 1 durch ein Rohr mit der Querschnittfläche A 1 geleitet und einer Lavaldüse zugeführt. Sie entspannt die Strömung auf den Druck p 2 der Messstrecke. p 1 = 6,5 bar T 1 = 440 K Ma 1 = 0,5 A 1 = m 2 p 2 = 1,0 bar R = 287 J/(kg K) κ = 1,4 Für die Versuchsanlage sollen die nachfolgend aufgelisteten Größen ermittelt werden: a) Welche Geschwindigkeit w 1 herrscht im Zuströmkanal? b) Welche Geschwindigkeit w 2 und welche Machzahl Ma 2 werden in der Messstrecke erreicht? c) Wie groß müssen die Flächen A * und A 2 gewählt werden? d) Wie groß ist der Massenstrom durch die Versuchsanlage? A 1, T 1 p 1, Ma 1 A *,T * p * A 2, p 2, Ma 2 (1) (*) (2) a) w 1 = 210,2 m/s b) w 2 = 640,2 m/s Ma 2 = 2 c) A * = 119,42 cm 2 A 2 = 199,85 cm 2 d) m = 17,31 kg/s

11 AGD 9 Erdgasleitung κ Luft = 1,4 κ Erdgas = 1,317 R Luft = 287 J/(kg K) R Erdgas = 518 J/(kg K) T 0 = 300 K m = 100 kg/s = 0,1 m d R Eine Erdgasleitung mit einer Nennweite DN 100 soll vor Inbetriebnahme mit Pressluft bei einem Massenstrom m geprüft werden. Die Ferngasleitung ist unter der Erde verlegt und gut isoliert, so dass konstante Zustandsgrößen angenommen werden können. a) Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit w R im Rohr und den Prüfdruck p 0 des Speicherkessels für den Fall, dass ein kritischer Strömungszustand in der Rohrleitung herrscht. b) Im Betriebszustand strömt bei gleicher Ruhetemperatur Erdgas mit derselben Geschwindigkeit w R wie unter a) bestimmt durch die Rohrleitung. Wie hoch ist die Temperatur T R im Rohr? a) w R = 316,9 m/s p 0 = 54,62 bar b) T R = 276,7 K

12 AGD 10 Prüfen einer Ferngasleitung mittels Pressluft κ Luft = 1,4 R Luft = 287 J/(kg K) T 0 = 300 K m = 100 kg/s d R = 0,1 m Eine Erdgasleitung mit einer Nennweite DN 100 und einem Massenstrom m soll vor Inbetriebnahme mit Pressluft geprüft werden. Die Ferngasleitung ist unter der Erde verlegt und gut isoliert, so dass konstante Zustandsgrößen angenommen werden können. In der Rohrleitung herrscht ein kritischer Strömungszustand. Bestimmen Sie a) die kritischen Größen T *, w *, ρ * und p * b) die Ruhegrößen p 0 und ρ 0 a) T * = 249,9 K w * = 316,9 K ρ * = 40,18 kg/m 3 p * = 28,82 bar b) p 0 = 54,58 bar ρ 0 = 63,4 kg/m 3

13 AGD 11 Temperaturen im Staupunkt eines Flugkörpers Es ist die Temperatur im Staupunkt T 2 eines Flugkörpers zu ermitteln, der in Luft der Temperatur T 1 mit der Machzahl Ma 1 = 5,45 fliegt, wobei die Luft als ideales Gas (κ = 1,4; R = 287 J/(kg K)) angesehen werden soll. Es sind hierbei zwei Fälle zu betrachten: Flug in a) Bodennähe (T 1a = 288 K) und b) in 88 km Höhe (T 1b = 166 K) Bis zu welcher Machzahl Ma max kann für die beiden Flughöhen die Annahme der Luft als ideales Gas aufrechterhalten werden, wenn angenommen wird, dass Luft wegen Dissoziation des Sauerstoffes oberhalb T D = 2100 K nicht mehr als ideales Gas angesehen werden kann? Staupunkt, T 2 T 1 Ma 1 a) T 2a = 1998,9 K (Bodennähe) Ma max.a = 5,61 b) T 2b = 1152,1 K (88 km Höhe) Ma max.b = 7,63

14 AGD 12 Vergaser An der engsten Stelle eines Kanals im Vergaser (keine Lavaldüse!) mit dem Querschnitt A 1 = 0,0005 m 2 herrscht ein Unterdruck von Δp = 14 kpa. Das Gas ist ideal (κ = 1,4 / R = 287 J/(kg K) ) a) Wie groß ist der zuzuführende Massenstrom m der Luft zum Vergaser bei einer Umgebungstemperatur T 0 von 290 K und einem Umgebungsdruck p 0 = 98 kpa? b) Wie groß ist die Temperatur im Querschnitt A 1? w (1) A 1 (0) Luft K, R, T 0, p0 a) m = 0,083 kg/s b) T 1 = 277,6 K

15 AGD 13 Trägerrakete Eine Trägerrakete für kleinere Satelliten mit einem Gesamtgewicht (m R = 2000 kg) wird mit Hilfe einer Schubdüse (Lavaldüse) angetrieben. Beim senkrechten Abheben von der Startrampe wird eine Beschleunigung von a = 3g erreicht (g = 9,81 m/s 2 ). Das Verbrennungsgas (c p = 2770 J/(kg K), R = 462 J/(kg K)) hat beim Eintritt in die Düsen eine Temperatur T 1 = 2500 K bei p 1 = 18 bar. Die Düse ist derart erweitert, dass das Gas am Düsenaustritt genau bis auf den Umgebungsdruck p 2 = 1 bar entspannt wird. a) Berechnen Sie die Austrittsgeschwindigkeit c 2 des Verbrennungsgases aus der Lavaldüse. b) Wie viel Kilogramm Brennstoff muss in der Brennkammer je Sekunde verbrannt werden? Annahmen: 1. Die Änderung der Gesamtmasse der Rakete durch das ausströmende Brenngas ist zu vernachlässigen. 2. Die Höhenunterschiede zwischen Stelle 0, 1 und 2 sind zu vernachlässigen. 3. Die kinetische Energie der Massenströme am Eintritt in die Brennkammer (Zustand 0) und in die Düse (Zustand 1) kann vernachlässigt werden. a) c 2 = 2304 m/s b) m = F schub / c 2 = (m R a)/c 2 = 25,5 kg/s

16 AGD 14 Triebwerk Bei einem Triebwerk sind die Austrittsgeschwindigkeit w 2, die Temperatur T 2, der Druck p 2 und die Machzahl Ma 2 der ausströmenden Verbrennungsgase (R = 180 J/(kg K)) gemessen worden. Direkt im kreisförmigen Düseneintritt (nach der Brennkammer (BK), Durchmesser d 1 ) haben die Verbrennungsgase die Dichte ρ 1. w 2 = 450 m/s T 2 = 550 K p 2 = 1,6 bar Ma 2 = 1,3 ρ 1 = 2,5 kg/m 3 d 1 = 80 mm ρ 1, d 1 w 2 T 2 p 2 Ma 2 a) Bestimmen Sie die Düseneintrittsgeschwindigkeit w 1! b) Wie hoch ist der austretende Massenstrom m? a) w 1 = 305 m/s b) m = 3,83 kg/s

17 AGD 15 Ballistischer Versuch Bei einem ballistischen Versuch wird ein Geschoss von Luft der Temperatur T = 300 K angeströmt. Hinter dem Geschoss wird ein Machscher Winkel von 30 gemessen. T = 300 K p = 1,3 bar u 60 a) Berechnen Sie die Machzahl Ma der Anströmung! b) Berechnen Sie die Anströmgeschwindigkeit u! c) Berechnen Sie den Druck und die Temperatur im Staupunkt des Geschosses! Stoffwerte der Luft: κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) Anmerkung: Sämtliche Zustandsänderungen verlaufen isentrop. a) Ma = 2 b) u = 694 m/s c) T 0 = 540 K p 0 = 10,17 bar

18 AGD 16 Flugzeug überfliegt Beobachter Ein mit der Geschwindigkeit v fliegendes Flugzeug überfliegt im Horizontalflug bei einer Flughöhe H einen Beobachter. Die Temperatur in dieser Höhe ist T, die Luft kann als ideales Gas angesehen werden. H = 577 m v = 680 m/s T = 287 K R = 287 J/(kg K) κ = 1,4 v H L a) Wie groß ist die Machzahl Ma des Flugzeugs? b) Welche Strecke L legt das Flugzeug zurück, nachdem es den Beobachter überflogen hat, ehe es von ihm gehört wird? a) Ma = 2 b) L = 1001 m

19 AGD 17 Flugzeug überholt ein zweites Ein Düsenflugzeug (B) überholt ein zweites (A) im Abstand b. Die Temperatur der Luft in Flughöhe ist T. Nach welcher Zeit Δt, nachdem es überholt wurde, kann der Pilot dieses Flugzeuges das vom schneller fliegenden verursachte Geräusch wahrnehmen? v A = 510 m/s v B = 680 m/s b = 170 m T = 287 K R = 287 J/(kg K) κ = 1,4 v B b v A Δt = 1,73 s

20 AGD 18 Konvergente Düse Durch eine konvergente Düse strömt Luft aus der Umgebung in einen großen Kessel. Bestimmen Sie den Massenstrom für a) p K = Pa b) p K = Pa p 0 = 10 5 Pa T 0 = 300 K κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) A E = 0,02 m 2 a) m b) m = 4,35 kg/s = 4,67 kg/s

21 AGD 19 Überdruckkessel In einem großen Überdruckkessel befindet sich Luft, die durch die dargestellte Düse ins Freie strömt. Ermitteln Sie für die zwei verschiedenen Betriebsdrücke p 01 = Pa und p 02 = Pa a) die Ruhedichte ρ 0 und die Größen Ma, p, ρ, T, u und m b) im Halsquerschnitt A H sowie c) im Endquerschnitt A E bei isentroper Durchströmung der Düse! p u = 1 bar T 0 = 288 K κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) A H = 1 cm 2 T 0 p 0 Umgebung ρ 0 p u Überdruckkessel A H p 01 = 7,824 bar p 02 = 1,064 bar a) ρ 02 = 9,47 kg/m 3 ρ 01 = 1,29 kg/m 3 b) Ma H = 1 p H = 4,131 bar Ma H = 0,59 p H = 0,79 bar u H = 310,5 m/s ρ H = 6 kg/m 3 u H = 194 m/s ρ H = 1,09 kg/m 3 T H = 240 K m = 0,186 kg/s T H = 269 K m = 0,021 kg/s c) Ma E = 2 u E = 507,1 m/s ρ E = 2,18 kg/m 3 T E = 160 K p E = p u A E Ma E = 0,3 u E = 101,2 m/s ρ E = 1,23 kg/m 3 T E = 283 K p E = p u

22 AGD 20 Ausströmen aus einem Kessel I Aus einem großen Behälter strömt Luft mit Ma 1 = 0,5 durch ein Rohr mit dem Querschnitt A 1 = 2 m 2 und tritt durch eine Düse mit dem Austrittsquerschnitt A 2 in die Atmosphäre (p u ) aus. Die Luft wird in der Düse auf Umgebungsdruck entspannt, die Temperatur T 2 sinkt dabei auf Umgebungstemperatur. Die Entspannung in der Düse erfolgt gerade so, dass das ausströmende Gas Ma 2 = 1 erreicht. Die Strömung verläuft isentrop. p 0 T 0 κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) (0) (1) p u = 1 bar T u = 293 K A 1 A 2 (2) a) Bestimmen Sie die Kesselparameter p 0, T 0 und ρ 0. b) Mit welcher Geschwindigkeit w 2 und Dichte ρ 2 tritt die Luft aus der Düse aus? c) Berechnen Sie p, ρ und T im Querschnitt (1). d) Wie groß ist der austretende Massenstrom m? e) Wie groß muss der Querschnitt A 2 bemessen sein? a) p 0 = 1,9 bar ρ 0 = 1,876 kg/m 3 T 0 = 351,7 K b) w 2 = 343,1 m/s ρ 2 = 1,19 kg/m 3 c) p 1 = 1,6 bar ρ 1 = 1,661 kg/m 3 T 1 = 335 K d) m = 609 kg/s e) A 2 = 1,493 m 2

23 AGD 21 Aus einem Kessel strömt Luft durch eine Lavaldüse Aus einem großen Kessel strömt Luft durch eine Lavaldüse in eine nachfolgende Messstrecke. Die in dem Kessel komprimierte Luft hat den Ruhedruck p 0. Weiterhin ist die Dichte ρ * im engsten Querschnitt A * der Lavaldüse bekannt. In der Messstrecke herrscht der Druck p, die Mach-Zahl ist Ma = 2. Die auftretenden Zustandsänderungen sind isentrop. Reibungsverluste sind zu vernachlässigen. p 0 = 9 bar ρ * = 3,424 kg/m 3 A * = 0,1 m 2 Ma = 2 κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) p 0 ρ * Ma = 2 A * Berechnen Sie: a) das nötige Druckverhältnis p 0 /p (damit in der Messstrecke Ma = 2 erreicht wird) b) die Größen ρ, a, u, T in der Messstrecke c) den durch die Anlage strömenden Massenstrom m! a) p 0 /p = 7,824 b) ρ = 1,242 kg/m 3 a = 360 m/s u = 720 m/s T = 322,6 K c) m = 150,97 kg/s

24 AGD 22 Leckgase Ein Luft-Verdichter ist mit einer berührungsfreien Wellendichtung ausgerüstet. Nach der letzen Verdichterstufe stellen sich der Druck p 0 und die Temperatur T 0 ein. Zwei Betriebszustände sollen bei konstantem T 0 aber veränderlichem Betriebsdruck untersucht werden. Bestimmen Sie für die zwei verschiedenen Betriebsdrücke p 01 und p 02 a) die Art der Strömung im Bereich der Wellendichtung (engster Querschnitt) sowie b) die den Drücken p 01 und p 02 entsprechenden Leckgas-Massenströme ṁ 1 und ṁ 2 bei isentroper Zustandsänderung. ṁ T 0 = 320 K p 01 = 1,5 bar p 02 = 3 bar H = 0,2 mm D = 0,1 m p u = 1 bar R = 287 J/(kg K) c p = 1004 J/(kg K) a) p 01 : unterkritisch p 01 : kritisch (Schallgeschwindigkeit) b) ṁ 1 = 0,0204 kg/s ṁ 2 = 0,0427 kg/s

25 AGD 23 Ausströmen aus einem Kessel II Aus einem großen Behälter strömt Luft durch ein Rohr mit rechteckigem Querschnitt (A 1 = b H = 2 m 2, b - Breite), in welches auf gesamter Breite eine angespitzte, ebene Platte (der Höhe 1/2 H) hineinragt, in die Atmosphäre aus (p u ). Die Plattenhalterung ist weit von (2) entfernt befestigt. Die Strömung sei isentrop. p 0 = 4 bar T 0 = 300 K κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) H p u = 1 bar (2) H/2 (0) (1) Bestimmen Sie: a) u 2, p 2 und T 2 b) p 1, u 1 und Ma 1 c) den ausströmenden Massenstrom! a) u 2 = 317 m/s p 2 = 2,11 bar T 2 = 250 K b) p 1 = 3,72 bar u 1 = 110 m/s Ma 1 = 0,324 c) ṁ = 933,25 kg/s

26 AGD 24 keglige Lavaldüse In einer Lavaldüse mit kegligem Überschallteil (α = 5, Durchmesser d *, d 2 ) wird Luft isentrop entspannt. Bestimmen Sie a) den Ruhedruck p 0 b) die kritischen Größen p *, T *, ρ * und a * c) die Größen T 2, ρ 2 und Ma 2 im Austritt d) die Hauptabmessungen der Düse (d *, L, d 2 ) (0) T 0 5 m L (1) p 1, Ma 1 (*) (2) p 2 T 0 = 500 K p 1 = 9 bar Ma 1 = 0,391 p 2 = 1 bar m = 4 kg/s κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) a) p 0 = 10 bar b) p * = 5,28 bar T * = 416,5 K ρ * = 4,42 kg/m 3 a * = 409 m/s c) T 2 = 259 K ρ 2 = 1,345 kg/m 3 Ma 2 = 2,16 d) d * = 53 mm d 2 = 74 mm L = 120 mm

27 AGD 25 *leeres Blatt*

28 AGD 26 Ausströmen aus einem Kessel III Aus einem großen Behälter mit bekannter Innentemperatur T 0 strömt Luft durch die dargestellte Anordnung und wird am Ende auf Umgebungsdruck und temperatur entspannt. Der Massenstrom m ist bekannt, ebenso der Druck p 1. Die Strömung verläuft isentrop. In die Düse ragt ein langer Kegel, dessen Staupunkttemperatur T 2S ist. Die Querschnitte (1) - (3) sind kreisrund. T 0 = 500 K p 1 = 5,4 bar p 1 = 1 bar T u = 293 K m = 2 kg/s a) Bestimmen Sie die Kesselparameter p 0 und ρ 0. b) Bestimmen Sie die weiteren Parameter der Anlage: w 1, T 1, Ma 1, A 1 / w 2, T 2, Ma 2, A 2, p 2 / w 3, Ma 3, A 3. c) Wie groß ist die Temperatur im Staupunkt T 2S? a) p 0 = 6,492 bar ρ 0 = 4,524 kg/m 3 b) w 1 = 226,8 m/s T 1 = 474,4 K Ma 1 = 0,52 A 1 = 2, m 2 w 2 = 409,1 m/s T 2 = 416,5 K Ma 2 = 1 A 2 = 1, m 2 p 2 = 3,428 bar w 3 = 644,7 m/s Ma 2 = 1,88 A 3 = 2, m 2 c) T 2S = T 0

29 AGD 27 Verdrängungskörper im Kreisrohr Ein Kreisrohr mit dem Innendurchmesser D wird von einem idealen Gas (R = 287 J/(kg K), κ = 1,4) stationär durchströmt. In dem Rohr (D = 0,5 m) befindet sich koaxial ein rotationssymmetrischer Verdrängungskörper mit dem maximalen Durchmesser d max und dem Durchmesser d B = 0,3 m bei B. Dadurch entsteht eine Laval-Düse mit kreisringformigem Querschnitt. An den Stellen A (Staupunkt) und B werden über Wandanbohrungen die Drücke p A = 0,8 bar und p B = 0,1 bar gemessen, außerdem wird bei B die Temperatur T B = 500 K des Gases bestimmt. Gesucht: a) Die Mach-Zahl M B bei B b) der Massenstrom m durch das Rohr, c) die Ruhetemperatur T 0 des Gases d) der maximale Durchmesser d max des Verdrängungskörpers a) Ma B = 2,01 b) m = 7,89 kg/s c) T 0 = 905,7 K d) d max = 0,395 m

30 VS 1 Staustrahltriebwerk (Ram - Jet) Das dargestellte Triebwerk bewegt sich mit Überschallgeschwindigkeit (Ma = 2) durch Luft (p, T ). Vor dem Triebwerk hat sich ein Stoß ausgebildet, der auf der mittleren Stromlinie als senkrechter Verdichtungsstoß behandelt werden kann. Zwischen den Stellen [1] und [2] wird der Strömung eine noch unbekannte Wärmemenge Q pro Zeiteinheit zugeführt, so dass im Querschnitt [2] gerade die Machzahl Ma 2 = 1 erreicht wird. Im divergenten Teil der Düse herrscht Überschall und die Strömung ist isentrop. Die Düse expandiert im Austrittsquerschnitt auf Umgebungsdruck p 3 = p. a) Ermitteln Sie die Größen p 1, T 1 und u 1 nach dem Stoß. b) Berechnen Sie den Massenstrom m in der Düse. c) Berechnen Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus b) Ma 3, T 3 und u 3 am Düsenaustritt. d) Wie groß ist die Temperatur T 2 und die Geschwindigkeit u 2 an der Stelle [2]? Ma = 2 T = 250 K A 3 = 0,56 m 2 p = 0,3 bar A 1 = A 2 = 0,4 m 2 c p = 1004,5 J/(kg K) κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) a) p 1 = 1,35 bar T 1 = 421,8 K u 1 = 237,5 m/s b) m = 106 kg/s c) Ma 3 = 1,76 T 3 = 379,9 K u 3 = 687,6 m/s d) T 2 = 512,9 K u 2 = 454,0 m/s

31 VS 2 Windkanal Ein Windkanal saugt Umgebungsluft (p a, T a ) in einen adiabaten Kessel (Volumen V K ) an. Der Kanal wird durch Öffnen des Schiebers gestartet. Zur Zeit t = t 0 hat sich eine stationäre Strömung in der Messkammer eingestellt und die Lavaldüse arbeitet im Auslegungszustand, d.h. der Druck im Austritt p E ist gleich dem Kesseldruck p K0. a) Wie groß ist der engste Querschnitt der Lavaldüse A L, wenn die Machzahl Ma M in der Messkammer Ma M = 0,8 beträgt? Bestimmen Sie dazu die Machzahl Ma E und den Druck p E = p K0 im Austrittsquerschnitt A E. b) Mit fortschreitender Zeit nimmt der Druck im Kessel zu, wobei es zu Verdichtungsstößen innerhalb der Düse kommt, die stromaufwärts wandern. Über einen Zeitraum Δt max bleibt die Machzahl in der Messkammer mit Ma M = 0,8 konstant. Bestimmen Sie Δt max, den Kesseldruck p K1 bei t = t 0 +Δt max sowie den Massenstrom m! c) Bestimmen Sie die Position des Verdichtungsstoßes A s /A L, den Kesseldruck p K2 sowie die Machzahl Ma E im Austritt zum Zeitpunkt t = t 0 +Δt. p a = 10 5 Pa T a = 300 K κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) V K = 400 m 3 Δt = 5 s A M = 0,2 m 2 A E = 0,508 m 2 A M A L A E p a p K T K V K T a Schieber a) A L = 0,193 m 2 Ma E = 2,5 p E = 5850 Pa b) Δt max = 9,35 s c) A s /A L = 2,1 Ma E = 0,4 p K2 = 0,543 bar

32 VS 3 Stoß läuft durch ein Rohr Ein senkrechter Stoß läuft in einem wärmeisolierten Rohr mit der Geschwindigkeit u in ruhende Luft mit dem Druck p 1 und der Temperatur T 1. Relativ zum ruhenden System x r ist die Strömung instationär; für einen mit dem Stoß bewegten Beobachter (x s ) ist die Strömung stationär. Bestimmen Sie den Druck p, den Ruhedruck p 0, die Temperatur T, die Ruhetemperatur T 0, die Machzahl Ma sowie die Geschwindigkeit u vor (1) und hinter (2) dem Stoß für: a) das mit dem Stoß bewegte Koordinatensystem x s b) das ruhende Koordinatensystem x r. p 1 = 1 bar T 1 = 293 K κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) u = 515 m/s Stoßwelle x s (2) u p 1 (1) T 1 x r a) Ma 1s = 1,5 Ma 2s = 0,7 u 1s = 515 m/s u 2s = 276,3 m/s T 2s = 387 K p 2s = 2,462 bar p 01s = 3,676 bar p 02s = 3,417 bar T 01s = T 02s = 425K b) Ma 1r = 0 Ma 2r = 0,605 u 1r = 0 m/s u 2r = 238,7 m/s T 2r = T 2s p 2r = p 2s p 01r = p 1 p 02r = 3,153 bar T 01r = T 1 T 02r = 415,4 K

33 VS 4 Stoßwellenrohr In einem wärmeisolierten Stoßwellenrohr läuft eine senkrechte Stoßwelle mit der Geschwindigkeit u in ruhende Luft mit der Temperatur T 1 und dem Druck p 1. Der statische Druck hinter der Stoßwelle ist p 2. a) Bestimmen Sie die Stoßwellengeschwindigkeit u ( für t= t A ) b) Bestimmen Sie für t = t B die Machzahl Ma, die Ruhetemperatur T 0 und den Ruhedruck p 0 (hinter dem Stoß). p 1 = 1 bar T 1 = 300 K κ = 1,4 p 2 = 10,2 bar R = 287 J/(kg K) Zeit t = t A p 2 u Modell p 1 T 1 Zeit t = t B Ma p 2 u p 1 T 1 a) u = 1042 m/s b) Ma = 1,37 T 0 = 1104 K p 0 =30,9 bar

34 VS 5 Temperaturdifferenz über den Stoß Ein Flugzeug fliegt mit Überschallgeschwindigkeit. Es bildet sich ein Verdichtungsstoß, der vor der Nase des Flugzeugs als senkrecht anzusehen ist. Wie groß ist die Temperaturänderung ΔT = T 2 -T 1 der Luft über den Stoß? κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) T 1 = 287 K u 1 = 680 m/s Verdichtungsstoß u 1, T 1 T 2 Flugzeug ΔT = 197,3 K

35 VS 6 Druckverhältnisse bei Lavaldüse über den Stoß Im divergenten Teil einer Lavaldüse befindet sich zwischen den querschnitten A A und A B, in denen die Machzahlen Ma A und Ma B bekannt sind, ein senkrechter Verdichtungsstoß. Bestimmen Sie: a) das Verhältnis der Ruhedrücke p 01 /p 02 b) das Verhältnis der Drücke p 2 /p 1 unmittelbar vor und hinter dem Stoß c) das Druckverhältnis p B /p A! Ma A = 2,2 Ma B = 0,6 A B /A A = 1,8 κ = 1,4 1 2 A A A B a) p 01 /p 02 = 3,04 b) p 2 /p 1 = 10 c) p B /p A = 2,76

36 VS 7 Triebwerk auf dem Prüfstand Ein Triebwerk mit Lavaldüse wird auf dem skizzierten Prüfstand erprobt. Das Triebwerk ist für die Machzahl Ma EAusl. ausgelegt. Der Kesseldruck p K kann verändert werden. Bestimmen Sie für isentrope Strömung in der Düse: a) p EAusl. und A H /A E, b) den kleinsten Druck p K1, bei dem in der Düse an keiner Stelle Überschallströmung auftritt sowie Ma E1, c) den Kesseldruck p K2, bei dem im Austrittsquerschnitt A E ein senkrechter Verdichtungsstoß auftritt. Ma EAusl. = 2,3 p 0 = 1 bar κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) T 0 = 280 K A H = 1 cm 2 Großer Kessel p K T 0, p 0 A E, p E F S A H a) p EAusl. = 0,08 bar A H /A E = 0,456 b) p K1 = 0,95 bar Ma E1 = 0,28 c) p K2 = 0,48 bar

37 VS 8 Triebwerk 2 Zur Erprobung eines Triebwerkes mit Lavaldüse (ausgelegt auf Ma E,Ausl ) wird mit dem Kesseldruck p K der Druck p E am Düsenende variiert (siehe Skizze). Der Ruhedruck am Düsenende p 0E wird mit einem Pilot-Rohr gemessen. Bestimmen Sie die Lage des senkrechten Verdichtungsstoßes A * /A s, den Massenstrom m und die Machzahl am Düsenende Ma E für: a) p Ka = 0,645 bar p 0Ea = 0,721 bar b) p Kb = 0,816 bar p 0Eb = 0,876 bar c) Bei dem Druck p K beobachtet man einen senkrechten Verdichtungsstoß bei A * /A s = 0,5. Bestimmen Sie Ma 1 vor dem Stoß, Ma 2 nach dem Stoß, Ma E und den Druck p K. p 0 = 1 bar T 0 = 280 K A H = 1 cm 2 Ma EAusl. = 2,3 R = 287 J/(kg K) κ = 1,4 a) A * /A s = 0,593 m = 0,0242 kg/s Ma E = 0,4 b) A * /A s = 0,774 m = 0,0242 kg/s Ma E = 0,32 c) p K = 0,496 bar Ma E = 0,48 Ma 1 = 2,2 Ma 2 = 0,55

38 VS 9 Verdichtungsstoß in einer Lavaldüse Aus einem großen Behälter, in dem der Druck p 0 und die Temperatur T 0 herrschen, strömt Luft durch eine Lavaldüse in eine Atmosphäre mit dem Druck p u. Im engsten Querschnitt mit der Fläche A * herrscht Schallgeschwindigkeit, und weiter stromabwärts befindet sich an der Stelle mit der Querschnittsfläche A V ein senkrechter stationärer Verdichtungsstoß. p 0 = 5 bar T 0 = 273,15 K A * = 2 cm 2 A V = 3,1 cm 2 A 2 = 4,0 cm 2 κ = 1,4 R = 287 J/(kg K) Folgende Größen sollen ermittelt werden: a) die Ruhedichte ρ 0 b) die Zustandsgrößen p v, T v, ρ v der Luft, die Strömungsgeschwindigkeit w v und Machzahl Ma v unmittelbar vor dem Verdichtungsstoß, c) die Zustandsgrößen p v ', T v ', ρ v ' der Luft, die Strömungsgeschwindigkeit w v ' und Machzahl Ma v ' sowie der Ruhedruck p 0 ' und die Ruhetemperatur T 0 ' unmittelbar nach dem Verdichtungsstoß d) der Druck p u der Atmosphäre. a) p 0 = 5 bar ρ 0 = 6,378 T 0 = 273,15 K b) p v = 0,75 bar T v = 158,9 K ρ v = 1,646 kg/m 3 w v = 479,1 m/s Ma v = 1,9 c) p v ' = 3 bar T v ' = 255 K ρ v ' = 4,13 kg/m 3 w v ' = 190,8 m/s Ma v ' = 0,596 p 0 ' = 3,85 bar T 0 ' = T 0 d) p u = 3,41 bar

39 VS 10 Überschallwindkanal Durch einen Überschallwindkanal (Lavaldüse und variabler Diffusor) strömt Luft aus der Umgebung in einen großen Kessel (Volumen V K ) mit konstanter Temperatur T K. Im Auslegungszustand beträgt die Machzahl in der Messstrecke Ma M = 2,3. a) Ermitteln Sie den Kesseldruck p K1, bei dem im Austrittsquerschnitt des Diffusors ein senkrechter Verdichtungsstoß steht! b) Bei der Position A s = 0,57 A E steht eine senkrechter Verdichtungsstoß. Bestimmen Sie die Machzahl Ma s vor und hinter sowie den Druck p s2 hinter dem Stoß. Wie groß ist in diesem Fall der Kesseldruck p K2? c) Wie muss der engste Querschnitt A v des Diffusors eingestellt werden, um die Blaszeit (Ma M = 2,3 in der Messstrecke) zu maximieren? Berechnen Sie für diesen Fall den Messzeitgewinn Δt gegenüber dem Betrieb des Kanals ohne Diffusor! (sehr schwer!!!) p 0 = 1 bar T 0 = T K = 280K R = 287 J/kg K V K = 1000 m 3 A E = A M A H = 0,1 m 2 κ = 1,4 Ma EAusl. = 2,3 a) p K1 = 0,48 bar b) Ma s1 = 1,6 Ma s2 = 0,67 p s2 = 0,663 bar p K2 = 0,837 bar c) A v = A H = A * d) Δt = 24,22 s

40 VS 11 Überschallmesstrecke mit Verdichtungsstoß Für den Betrieb einer Überschallmessstrecke wird eine Luftströmung (R = 287 J/(kg K), κ = 1,4) unter dem Druck p 1 mit der Temperatur T 1 und der Mach-Zahl M 1 durch ein Rohr mit der Querschnittsfläche A 1 geleitet und einer Laval-Düse zugeführt. Sie entspannt die Strömung auf den Druck p 2 der Messstrecke, so dass dort ein Überschall-Parallelstrahl vorliegt. In diesen wird ein stumpfer Verdrängungskörper gehalten, wodurch sich ein Verdichtungsstoß einstellt, der vor dem Staupunkt des Verdrängungskörpers als senkrecht betrachtet werden kann. p 1 = 6,5 bar T 1 = 440 K Ma 1 = 0,5 A 1 = 160 cm 2 p 2 = 1,0 bar a) Welche Mach-Zahl M 2 wird in der Messstrecke erreicht? b) Wie groß müssen die Flächen A * und A 2 gewählt werden? c) Wie groß ist der Massenstrom durch die Versuchsanlage? d) Welche Werte haben die Mach-Zahl M 3, der Druck p 3 und die Temperatur T 3 unmittelbar stromab des Verdichtungsstoßes und wie groß ist die Temperatur T s im Staupunkt des Verdrängungskörpers? a) Ma 2 = 2,0 b) A * = 119,4 cm 2 A 2 = 201,5 cm 2 c) m = 17,33 kg/s d) M 3 = 0,577 p 3 = 4,5 bar T 3 = 433,16 K T s = 462 K

41 VS 12 Wiedereintrittsflugzeug Vor einem Wiedereintrittsflugzeug bildet sich beim Eintritt in die Atmosphäre eine Kopfwelle aus. Diese kann näherungsweise als senkrechter Stoß behandelt werden. Mit Ausnahme der Kopfwelle ist die Strömung isentrop. Die Atmosphäre ist als ideales Gas zu betrachten mit κ = 1,4 und R = 287 J/(kg K). a) Berechnen Sie die Dichte ρ. Welche Geschwindigkeit w,max sowie welche dazugehörige Mach-Zahl Ma,max ist maximal erlaubt, damit die zulässige Temperatur T 0,max im Staupunkt des Orbiters nicht überschritten wird? b) Berechnen Sie für den Flugzustand aus der vorherigen Teilaufgabe die Mach-Zahl Ma 2, die Geschwindigkeit w 2, den Druck p 2 und die Dichte ρ 2 unmittelbar hinter dem Verdichtungsstoß. Ermitteln Sie dort den Staudruck p 02. T = 200 K p = 1000 Pa T 0,max = 840 K a) ρ = 0,0174 kg/m 3 w,max = 1133,9 m/s Ma,max = 4 b) Ma 2 = 0,435 w 2 = 248 m/s p 2 = Pa ρ 2 = 0,08 kg/m 3 p 02 = Pa

42 VS 13 Positionsbestimmung eines Verdichtungsstoßes Bei der dargestellten Düse kommt es bei den gegebenen Werten zu einem Verdichtungsstoß an der Position (2) zwischen dem kritischen Querschnitt A * und dem Düsenaustritt A 3. Messungen innerhalb der Düse sind nicht möglich, d.h. alle diesbezüglich gesuchten Werte sind aus extern zugänglichen Größen zu berechnen. p 0 = 1 bar A * = 0,1 m 2 A u = 0,35 m 2 p u = 0,62 bar κ = 1,4 Bestimmen Sie ^ 1. den Ruhedruck nach dem Stoß p 0 2. die Machzahl Ma 2 vor und nach dem Stoß Ma ^ 2 ^ 3. den Druck p 2 vor und nach dem Stoß p 2 4. die Position des senkrechten Verdichtungsstoßes in der Form des Flächenverhältnisses A * /A 2 Lösung ^ 1. p 0 = 0,651 bar 2. Ma 2 = 2,15 Ma 2 = 0, p 2 = 0,1 bar ^ p 2 = 0,53 bar 4. A * /A 2 = 0,521