Franz Josef Gruber Rainer Joeckel. Formelsammlung für das Vermessungswesen

Transkript

1

2 Franz Josef Gruber Rainer Joeckel Formelsammlung für das Vermessungswesen

3

4 Franz Josef Gruber Rainer Joeckel Formelsammlung für das Vermessungswesen 15., überarbeitete und aktualisierte Auflage STUDIUM

5 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Dipl.-Ing. Franz Josef Gruber ist in Baden-Württemberg in der Vermessungsverwaltung beschäftigt. Prof. Dr.-Ing. Rainer Joeckel lehrt an der Hochschule für Technik Stuttgart im Studiengang Vermessung und Geoinformatik. 1. Auflage Auflage 001 (Das Werk erschien zuletzt in 10. Auflage beim Konrad Wittwer Verlag in Stuttgart.) 11. Auflage Auflage Auflage Auflage , überarbeitete und aktualisierte Auflage 011 Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011 Lektorat: Dipl.-Ing. Ralf Harms Sabine Koch Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuläs sig und straf bar. Das gilt ins be sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN

6 Vorwort Diese Formelsammlung wendet sich sowohl an Techniker und Ingenieure in der Ausbildung als auch an Vermessungstechniker, Vermessungsingenieure, Bauingenieure und Architekten in der Praxis. Die kompakten und übersichtlich gestalteten Themen sollen dem Benutzer in der Ausbildung und in der Berufspraxis eine Hilfe sein. In der vorliegenden 15. Auflage haben wir die zahlreichen Ergänzungs- und Verbesserungsvorschläge weitgehend mit eingearbeitet. Für diese Anregungen sind wir sehr dankbar und hoffen, dass wir auch weiterhin durch Vorschläge unserer Leser unterstützt werden. September 010 Franz Josef Gruber Rainer Joeckel

7

8 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Grundlagen 1.1 Griechisches Alphabet 1. Mathematische Zeichen - Zahlen 1.3 DIN Papierformate DIN Blattgrößen 1.3. DIN Faltungen auf Ablageformat (nach DIN 476 ) 1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse Definition der Maßeinheiten und ihre Ableitungen 1.4. Maßverhältnisse Mathematische Grundlagen.1 Mathematische Grundbegriffe.1.1 Grundgesetze.1. Gesetze der Anordnung.1.3 Absoluter Betrag - Signum.1.4 Bruchrechnen.1.5 Lineare Gleichungssysteme.1.6 Quadratische Gleichungen.1.7 Potenzen - Wurzeln.1.8 Logarithmen.1.9 Folgen - Reihen.1.10 Binomischer Satz.1.11 n - Fakultät.1.1 Verschiedene Mittelwerte. Differentialrechnung..1 Ableitung.. Potenzreihenentwicklung.3 Matrizenrechnung.3.1 Definitionen.3. Rechnen mit Matrizen

9 VIII.4 Ebene Geometrie.4.1 Arten von Winkel.4. Kongruenzsätze.4.3 Ähnlichkeitssätze.4.4 Strahlensätze.4.5 Teilung einer Strecke.4.6 Dreieck.4.7 Viereck.4.8 Vielecke.4.9 Kreis.4.10 Ellipse.5 Trigonometrie.5.1 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck.5. Winkelfunktionen im allgemeinen Dreieck.5.3 Additionstheoreme.5.4 Sphärische Trigonometrie 3 Geodätische Grundlagen 3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen Räumliches Bezugssystem 3.1. Lagebezugssystem Höhenbezugssystem Bezugsfläche 3. Geodätische Koordinatensysteme 3..1 Sphärisches geographisches Koordinatensystem 3.. Ellipsoidisches geographisches Koordinatensystem 3..3 Ellipsoidisches kartesisches Globalsystem 3..4 Rechtwinklig-sphärisches Koordinatensystem 3..5 Rechtwinklig-ebenes Koordinatensystem 3..6 Polarkoordinaten 3..7 Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem (GK-System) 3..8 Universales Transversales Mercator- Koordinatensystem (UTM-System) 3..9 Horizontale Bezugsrichtungen

10 IX 4 Vermessungstechnische Grundaufgaben 4.1 Einfache Koordinatenberechnungen Richtungswinkel und Strecke 4.1. Polarpunktberechnung Kleinpunktberechnung Höhe und Höhenfußpunkt Schnitt mit Gitterlinie Geradenschnitt Schnitt Gerade - Kreis 4. Flächenberechnung 4..1 Flächenberechnung aus Maßzahlen 4.. Flächenberechnung aus Koordinaten 4..3 Flächenreduktion im Gauß-Krüger-System 4..4 Zulässige Abweichungen für Flächenberechnungen 4.3 Flächenteilungen Dreieck 4.3. Viereck 5 Winkelmessung 5.1 Instrumentenfehler am Theodolit 5. Horizontalwinkelmessung 5..1 Begriffsbestimmung 5.. Satzweise Richtungsmessung 5..3 Winkelmessung mit Horizontschluss 5..4 Satzvereinigung von zwei unvollständigen Teilsätzen 5.3 Vertikalwinkelmessung 5.4 Winkelmessung mit der Bussole 5.5 Winkelmessung mit dem Vermessungskreisel 6 Strecken- und Distanzmessung 6.1 Streckenmessung mit Messbändern - Korrektionen und Reduktionen 6. Optische Streckenmessung 6..1 Basislattenmessung

11 X 6.. Parallaktische Streckenmessung 6..3 Strichentfernungsmessung (Reichenbach) 6.3 Elektronische Distanzmessung Elektromagnetische Wellen 6.3. Messprinzipien der elektronischen Distanzmessung Einflüsse der Atmosphäre 6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen Frequenzkorrektion 6.4. Zyklische Korrektion Nullpunktkorrektion Meteorologische Korrektion ( 1. Geschwindigkeitskorrektion) Geometrische Reduktionen Abbildungsreduktion 6.5 Vertikale Exzentrität 6.6 Zulässige Abweichungen für Strecken 7 Verfahren zur Punktbestimmung 7.1 Indirekte Messungen Abriss 7.1. Exzentrische Richtungsmessung Exzentrische Streckenmessung Gebrochener Strahl 7. Einzelpunktbestimmung 7..1 Polare Punktbestimmung 7.. Dreidimensionale polare Punktbestimmung 7..3 Polare Punktbestimmung mit Kanalstab 7..4 Gebäudeaufnahme mit reflektorloser Entfernungsmessung 7..5 Bogenschnitt 7..6 Vorwärtseinschnitt 7..7 Rückwärtseinschnitt nach Cassini 7.3 Freie Standpunktwahl mittels Helmert-Transformation

12 XI 7.4 Polygonierung Anlage und Form von Polygonzügen 7.4. Polygonzugberechnung - Normalfall Freier Polygonzug Ringpolygon Zulässige Abweichungen für Polygonzüge Fehlertheorie 7.5 Punktbestimmung mittels Netzausgleichung - Statistische Überprüfung 7.6 Zulässige Abweichungen für Lagepunkte 8 Transformationen 8.1 Ebene Transformation Drehung um den Koordinatenursprung 8.1. Koordinatentransformation mit zwei identischen Punkten Helmert-Transformation (4 Parameter) Affin-Transformation (6 Parameter) Ausgleichende Gerade 8. Räumliche Transformation 8..1 Räumliche Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter) 8.. Umrechnung ellipsoidischer geographischer Koordinaten in ellipsoidische kartesische Koordinaten und umgekehrt 8..3 Umrechnung geographischer Koordinaten in Gauß-Krüger-Koordinaten und umgekehrt 8..4 Umrechnung geographischer Koordinaten in UTM-Koordinaten und umgekehrt nach SCHÖDLBAUER 8..5 Überführung der WGS 84 - Koordinaten in Gauß-Krüger - bzw. UTM - Koordinaten 9 Höhenmessung 9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen 9. Höhen 9.3 Geometrisches Nivellement Definitionen 9.3. Allgemeine Beobachtungshinweise Grundformel eines Nivellements

13 XII Feinnivellement Ausgleichung einer Nivellementstrecke- /linie oder - /schleife Höhenknotenpunkt Ziellinienüberprüfung Genauigkeit des Nivellement Zulässige Abweichungen für geometrisches Nivellement 9.4 Trigonometrische Höhenbestimmung Höhenbestimmung über kurze Distanzen (< 50m) 9.4. Höhenbestimmung über große Distanzen Trigonometrisches Nivellement Turmhöhenbestimmung 10 Ingenieurvermessung 10.1 Absteckung von Geraden - Zwischenpunkt in einer Geraden 10. Kreisbogenabsteckung Allgemeine Formeln 10.. Bestimmung des Tangentenschnittwinkels γ Kreisbogen durch einen Zwangspunkt P Absteckung von Kreisbogenkleinpunkten Näherungsverfahren Kontrollen der Kreisbogenabsteckung Korbbogen 10.3 Klotoide Definition Verbundkurve Klotoide - Kreisbogen - Klotoide 10.4 Gradiente Längsneigung Schnittpunktberechnung zweier Gradienten Kuppen- und Wannenausrundung 10.5 Erdmengenberechnung Mengenberechnung aus Querprofilen Mengenberechnung aus Höhenlinien Mengenberechnung aus Prismen Mengenberechnung einer Rampe Mengenberechnung sonstiger Figuren

14 XIII 11 Ausgleichungsrechnung 11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein Aufstellen von Verbesserungsgleichungen Berechnung der Normalgleichungen, der Gewichtsreziproken und der Unbekannten Genauigkeit Statistische Überprüfung 11. Punktbestimmung mit Richtungen und Strecken nach vermittelnden Beobachtungen 11.3 Höhennetzausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen 1 Grundlagen der Statistik 1.1 Grundbegriffe der Statistik 1. Wahrscheinlichkeitsfunktionen 1.3 Vertrauensbereiche Konfidenzbereiche) 1.4 Testverfahren 1.5 Messunsicherheit u 1.6 Toleranzen 1.7 Varianz Varianz aus Funktionen unabhängiger Beobachtungen 1.7. Varianz aus Funktionen gegenseitig abhängiger (korrelierter) Beobachtungen - Kovarianzfortpflanzungsgesetz 1.8 Standardabweichung Standardabweichung aus direkten Beobachtungen 1.8. Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen (Doppelmessung) 1.9 Gewichte - Gewichtsreziproke 1.10 Tabelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Literaturhinweise Internetportale Stichwortverzeichnis

15 1 Allgemeine Grundlagen 1.1 Griechisches Alphabet Α, α Β, β Γ, γ Δ, δ Ε, ε Ζ, ζ Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Η, η Θ, ϑ Ι, ι Κ, κ Λ, λ Μ, μ Eta Theta Jota Kappa Lambda My Ν, ν Ξ, ξ Ο, ο Π, π Ρ, ρ Σ,σ Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma Τ,τ Υ, υ Φ, ϕ Χ, χ Ψ, ψ Ω, ω Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega 1. Mathematische Zeichen - Zahlen = < > gleich ungleich ähnlich angenähert entspricht kleiner als größer als kleiner oder gleich größer oder gleich... AB sgn x a n! und so weiter daraus folgt Aussagen sind gleichwertig Strecke AB Dreieck kongruent signum x ( 1, 0, -1) Betrag von a n Fakultät ; n! = 1 n,[ ] n lim e % ppm Summe von Wurzel aus n -te Wurzel aus unendlich Grenzwert, , Prozent parts per million 1.3 DIN Papierformate DIN Blattgrößen Grundsätze des Formataufbaus Fläche F 0 des Ausgangsformats A0 F 0 = x y = 1m x : y = 1: y = x DIN Blattgrößen Format mm A0 841 x 1189 A1 594 x 841 A A3 A4 40 x x x x 10 Die Flächen zweier aufeinanderfolgender Formate verhalten sich wie : 1 A6 105 x 148 F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI / _1, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011, A5

16 1 Allgemeine Grundlagen 1.3. DIN Faltungen auf Ablageformat (nach DIN 476 ) 1. mit ausgefaltetem, gelochten Heftrand für Ablage mit Heftung A0 841x1189 A1 594x841 A 40x594 A3 97x40

17 DIN Faltungen auf Ablageformat (nach DIN 476 ). zur Ablage ohne Heftung z. B. in Fächern oder Taschen 1.3 DIN Papierformate 3 A0 841x1189 A1 594x841 A 40x594 A3 97x40

18 4 1 Allgemeine Grundlagen 1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse Definition der Maßeinheiten und ihre Ableitungen Vielfache und Teile von Einheiten Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Vorsatzzeichen T G M k h da d c m μ n p Zehnerpotenz = 10 1 = 10 9 = 10 6 = 10³ = 10² = 10 1 = 10-1 = 10 - = 10-3 = 10-6 = 10-9 = 10-1 Für das Vermessungswesen wichtige Basiseinheiten Basisgröße Zeit Länge Masse Einheit Sekunde Meter Kilogramm Symbol s m kg Definition 1 Sekunde ist das fache der Periodendauer der Stahlung, die dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklids 133-Cäsium entspricht. 1 Meter ist auf der 17. Generalkonferenz für Maß und Gewicht 1983 definiert worden als die Länge einer Strecke, die Licht im Vakuum während des Intervalls von 1/ Sekunden durchläuft. 1 Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps

19 1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse 5 Wichtige abgeleitete Einheiten Größe Fläche Volumen Winkel Einheit Quadratmeter Kubikmeter Radiant Kurzzeichen der Einheit m² m³ rad (= m ) Geschwindigkeit Meter pro Sekunde m s ; 1 m s = 3, 6 km h Frequenz Hertz Hz (= 1 s ) ) Kraft Druck Newton Pascal N (= kg m s ) Pa (= N m ) Arbeit, Energie Leistung Längenmaße Joule Watt Aus der Längeneinheit Meter abgeleitete Längenmaße: m = 10³ m = 1 km = 1 Kilometer 100 m = 10² m = 1 hm = 1 Hektometer 10 m = 10 1 m = 1 dam = 1 Dekameter 0,1 m = 10-1 m = 1 dm = 1 Dezimeter 0,01 m = 10 - m = 1 cm = 1 Zentimeter 0,001 m = 10-3 m = 1 mm = 1 Millimeter 0, m = 10-6 m = 1 μm = 1 Mikrometer J (= kg m s ) W (= kg m s 3 ) Flächenmaße Aus der Flächeneinheit Quadratmeter abgeleitete Flächenmaße: m² = 10 6 m² = 1 km² = 1 Quadratkilometer m²= 10 4 m² = 1 ha = 1 Hektar 100 m²= 10² m² = 1 a = 1 Ar 0,01 m²= 10 - m² = 1 dm² = 1 Quadratdezimeter 0,000 1 m²= 10-4 m² = 1 cm² = 1 Quadratzentimeter 0, m²= 10-6 m² = 1 mm² = 1 Quadratmillimeter Raummaße Aus der Volumeneinheit Kubikmeter abgeleitete Raummaße: 0,001 m³ = 10-3 m³ = 1 dm³ = 1 Kubikdezimeter = 1 Liter 0, m³ = 10-6 m³ = 1 cm³ = 1 Kubikzentimeter

20 6 1 Allgemeine Grundlagen Zeitmaße Aus der Sekunde abgeleitete Zeitmaße: 60 s = 1 min = 1 Minute 3600 s = 1 h = 1 Stunde s = 1 d = 1 Tag Winkelmaße Einheit des Winkels ist der Radiant ( rad ) Definition = b r = Bogenlänge Radius 1 Vollwinkel = rad 1 rad = 180 (1 rad = Winkel α für b = r = 1 ) = 00 gon 3, Sexagesimalteilung: Zentesimalteilung: 1 Vollwinkel = 360 ( Grad ) 1 Vollwinkel = 400 gon ( Gon) 1 = 60 ' ( Minuten ) 1 gon = 100 cgon ( Zentigon ) 1 ' = 60 '' ( Sekunden ) 1 cgon = 10 mgon ( Milligon ) Bezeichnung bei Taschenrechnern: degree ( DEG ) = Grad grad ( GRAD ) = Gon RAD = rad Umwandlung Grad - Gon - Radiant : 1 10 gon rad 1gon 0, 9 00 rad 1rad gon Vermessungstechnisches Sonderzeichen ρ: = 180 = 57, (gon) = 00 gon = 63,

21 1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse Maßverhältnisse Maßstab M M = Kartenstrecke Strecke in der Natur = s K s N = 1 m m = Maßstabszahl Strecke in der Natur s N = s K m Maßstabsumrechnung bei Längen s N = s K1 m 1 = s K m s K1 s K = m m 1 Maßstab und Flächen Fläche in der Natur F N = a N b N Fläche in der Karte F K = a K b K F N = a N b N = a K m b K m F N = F K m m = Maßstabszahl Maßstabsumrechnung bei Flächen F N = F K1 m 1 = F K m F K1 F K = m m 1

22 F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI / _, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011, Mathematische Grundlagen.1 Mathematische Grundbegriffe.1.1 Grundgesetze Kommutativgesetze a + b = b + a a b = b a Assoziativgesetze (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c.1. Gesetze der Anordnung a < b b > a (b a) > 0 Aus a < b folgt: a + c < b + c a c < b c wenn c > 0 Aus a < b folgt: a > b 1 a > 1 b wenn a > Absoluter Betrag - Signum Definitionen Gesetze Betrag a Signum a a > 0 a = a sgn a = 1 a + b a + b a = 0 a = 0 sgn a = 0 a b a b a < 0 a = 1a sgna = 1 a 1 + a + + a n a 1 + a + + a n.1.4 Bruchrechnen Erweitern a b = a z b z Addition a b + c = a d + b c d b d Multiplikation a b c d = a c b d Nenner stets ungleich Null Kürzen Subtraktion Division a z b z = a z : z b z : z = a b a b c = a d c b d b d a b : c d = a d b c

23 a 1 x + b 1 y = c 1 eindeutige Lösung, wenn : D = a 1 b a b Mathematische Grundbegriffe Lineare Gleichungssysteme a x + b y = c x = c 1b c b 1 a 1 b a b 1 y = a 1c a c 1 a 1 b a b Quadratische Gleichungen Allgemeine Form: ax + bx + c = 0 x 1, = b b 4ac a D = b 4ac Normalform: x + px + q = 0 x 1, = p p q D = p q D > 0 : Lösungen D = 0 : 1 Lösung D < 0 : keine reelle Lösung.1.7 Potenzen - Wurzeln Definitionen a n = a a a a a 1 = a a 0 = 1 (a 0) n a = x x n = a Rechenregeln: a m a n = a m+n n a n b = n a b a n = 1 a n 1 a m : a n = a m n n a : n b = a n a n = n b a (a m ) n = a mn ( n a ) m = n a m a m n = n a m a n b n = (a b) n a n : b n = (a : b) n m n a = mn a a m n = 1 n a m

24 10 Mathematische Grundlagen.1.8 Logarithmen Definition x = log b a b x = a a, b > 0undb1 log b b = 1;log b 1 = 0 Rechengesetze log a u v = log a u + log a v Sonderfälle log 10 x = lg x log a u v = log a u log a v log e x = ln x log a u n = n log a u log x = lb x log a n u = 1 n log a u Umrechnung von Basis g auf Basis b log b x = log b g log g x log b g log g b = 1 lg x = lg e ln x = 0, ln x ln x = ln 10 lg x =, lg x.1.9 Folgen - Reihen Folge a 1, a,, a n Arithmetische Folge Reihe a 1 + a + + a n = a k = s n Arithmetische Reihe n k =1 a n = a 1 + (n 1)d s n = n (a 1 + a n ) d = a n a n 1 = konstant Geometrische Folge Geometrische Reihe a n = a q n 1 s n = a qn 1 q 1 = a 1 qn 1 q q 1 q = a n a n 1 = konstant Unendliche geometrische Reihe s = lim s n = a 1 q q < 1 n

25 .1 Mathematische Grundbegriffe Binomischer Satz Allgemeiner binomischer Satz (a + b) n = n 0 an + n 1 an 1 b + n an b + + n n 1 abn 1 + n n bn Binomialkoeffizienten n k = n(n 1) (n ) (n k + 1) 1 3 k = n! k!(n k)! = n n k n 0 = n n = 1 n 1 = n Binomische Formeln (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 a + b nicht zerlegbar a b = (a + b)(a b) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) a n b n = (a b)(a n 1 + a n b + a n 3 b + + b n 1 ) a n b n = (a n b n )(a n + b n ).1.11 n - Fakultät n! = 1 3 n Definitionen 0! = 1; 1! =1 Achtung! 70! > Verschiedene Mittelwerte M H M G M A Allgemeines Arithmetisches Mittel Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel M AA = a 1 p 1 + a p + + a n p n [p i ] M A = a 1 + a + + a n n M G = n a 1 a a n p = Gewicht Harmonisches Mittel M H = 1 n 1 a a a n

26 1 Mathematische Grundlagen. Differentialrechnung..1 Ableitung Funktion f(x) : Erste Ableitung: f (x) oder Ableitungsregeln df(x) dx Potenzregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel y = a x n y = u v y = u v y = f (g(x)) y = n a x n 1 y = u v +u v y = v u v u v y = f (g(x)) g (x) Tabelle von Ableitungen f(x) f (x) f(x) f (x) c 0 sin x cos x x n n x n 1 cos x sinx x 1 x tan x 1 cos x n x 1 n n x n 1 cot x 1 sin x e x e x arcsin x 1 1 x a x a x ln a arccos x 1 1 x ln x 1 x arctan x x log a x 1 x ln a arccot x x

27 . Differentialrechnung 13.. Potenzreihenentwicklung TAYLORsche Formel MACLAURINsche Form f (x) = f (0) + f (0) 1! x + f (0)! xn +1 x + + f (n) (0) x n! n + R n (x) Restglied: R n (x) = wobei 0 < ϑ < 1 (n + 1)! f n +1 (x) Allgemeine Form f (x 0 + h) = f (x 0 ) + f (x o ) 1! h + f (x 0 )! h + + f (n) (x 0 ) h n! n + R n (h) Restglied: R n (h) = n! 1 x 0 +h (x 0 + h x) n f (n +1) (x)dx x 0 (1 + x) m = 1 + m 1 x + m x + m 3 x x = 1 x + x x x = 1 1 x x 5 16 x3 + e x = 1 + x 1! + x! + x3 3! + x < 1 x < 1 x < 1 für alle x ln(1 + x) = x x + x3 3 + lnx = x x x x x 1 x < x +1 x > 0 sin x = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! + cos x = 1 x! + x4 4! x6 6! + tan x = x x x x7 + arcsin x = x + 1 x x x arctan x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + für alle x für alle x für alle x < x 1 x 1

28 14 Mathematische Grundlagen.3 Matrizenrechnung.3.1 Definitionen Matrix : System von Elementen a ik mit i = 1mund k= 1n in m Zeilen und n Spalten angeordnet A (m,n) = a 11 a 1 a 13 a 1n a 1 a a 3 a n a m1 a m a m3 a mn Rechteckige Matrix: m n Quadratische Matrix: m = n Skalar: m = n =1 Vektor: einzeilige Matrix = Zeilenvektor a 1 a a n einspaltige Matrix = Spaltenvektor a 1 a a m Nullmatrix: alle Elemente a ik = 0 Diagonalmatrix: Einheitsmatrix: quadratische Matrix bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen = 0 a ik = 0für alle i k Diagonalmatrix mit a ii = 1fürallei Symmetrische Matrix: quadratische Matrix mit a ik = a ki für alle i,k Gleichheit von Matrizen: A = B wenn a ik = b ik für allei, k.3. Rechnen mit Matrizen Addition und Subtraktion A B = C a ik b ik = c ik i = 1m; k= 1n Die Addition von Matrizen ist - kommutativ: A + B = B + A = C - assoziativ: A + (B + C) = (A+ B) + C Zwischen Addition und Subtraktion besteht in der Gesetzmäßigkeit kein Unterschied

29 .3 Matrizenrechnung 15 Transponieren einer Matrix Eine Matrix wird transponiert, indem man ihre Zeilen und Spalten vertauscht A A T : a ik a ki i = 1m; k= 1n Für Symmetrische Matrizen gilt: Regeln: (A T ) T = A ( A B) T = B T A T Matrizenmultiplikation A (m,n) A T = A ( A B C) T = C T B T A T B (n,p) = C (m,p) B = (n,p) n c ik = a ij b jk i = 1m ; k = 1p j =1 b 11 b 1k b 1p b n1 b nk b np A (m,n) = a 11 a 1n a i1 a in a m1 a mn c 11 c 1k c 1p c i1 c ik c ip c m 1 c mk c mp = C (m,p) Für die Multiplikation müssen die Matrizen A und B verkettbar sein. Dies ist nur möglich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt. Die Matrizenmultiplikation ist in der Regel nicht kommutativ: A B B A aber distributiv: und assoziativ: Matrizeninversion A (B + C) = A B + A C A B C = A (B C) = (A B) C Existiert eine Matrix B mit A B = B A = E (Einheitsmatrix), dann ist B die zu A inverse Matrix und wird mit A 1 bezeichnet, also A A 1 = A 1 A = E (A quadratisch) KRAMERsche Regel für symmetrische Matrizen A = a 11 a 1 a 1 a A 1 = 1 D a a 1 mit D = a 11 a a a 1 a 1 11 A = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 A 1 = 1 D b 11 b 1 b 31 b 1 b b 3 b 31 b 3 b 33 mit D = a 11 b 11 a 1 b 1 + a 13 b 31 b 11 = a a 33 a 3 b 1 = a 1 a 33 a 13 a 3 b = a 11 a 33 a 13 b 31 = a 1 a 3 a 13 a b 33 = a 11 a a 1 b 3 = a 11 a 3 a 13 a 1

30 16 Mathematische Grundlagen.4 Ebene Geometrie.4.1 Arten von Winkel Nebenwinkel betragen zusammen 00 gon + = 00 gon Scheitelwinkel sind gleich groß = Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß = Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß Winkel Außenwinkel Winkelsummen = deren Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen, sind entweder gleich groß oder ergänzen einander zu 00 gon Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel = + Im Dreieck ist die Summe der Innenwinkel 00 gon Im Viereck ist die Summe der Innenwinkel 400 gon Im n Eck ist die Summe der Innenwinkel (n - ) 00 gon.4. Kongruenzsätze Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie übereinstimmen in: a) drei Seiten SSS b) zwei Seiten und dem von diesen eingeschlossenen Winkel SWS c) zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite SSW d) einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln WSW einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln WWS.4.3 Ähnlichkeitssätze Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn: a) drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben b) zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen c) zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen d) zwei Winkel übereinstimmen

31 .4 Ebene Geometrie Strahlensätze 1. Strahlensatz SA : SA = SB : SB. Strahlensatz AB : A B = SA : SA.4.5 Teilung einer Strecke Teilungsverhältnis Innere Teilung Äußere Teilung AT i : T i B = a : b AT a : T a B = a : b T i = innerer Teilpunkt T a = äußerer Teilpunkt Harmonische Teilung Eine harmonische Teilung liegt vor, wenn eine Strecke außen und innen im gleichen Verhältnis geteilt wird AT i : T i B = AT a : T a B = a : b Stetige Teilung (Goldener Schnitt) a : x = x : (a x) a = AB x = a ( 5 1)

32 18 Mathematische Grundlagen.4.6 Dreieck Allgemeines Dreieck Bezeichnungen im Dreieck a: Gegenseite der Ecke A b: Gegenseite der Ecke B c: Gegenseite der Ecke C h a : Höhe zur Seite a h b : Höhe zur Seite b : Höhe zur Seite c h c Winkelsumme im Dreieck (Innenwinkel) + + = 00 gon Winkelsumme am Dreieck (Außenwinkel) + + = 400 gon Beziehungen im Dreieck Seitenhalbierende s, Schwerpunkt S Schwerpunkt S = Schnittpunkt der Seitenhalbierenden Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis : 1 Winkelhalbierende w, Inkreis Inkreismittelpunkt O = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Inkreisradius = F s = (s a)(s b)(s c) s s = a + b + c F = Fläche des Dreiecks Mittelsenkrechte, Umkreis Umkreismittelpunkt U = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Umkreisradius r = a b c 4F F = Fläche des Dreiecks

33 .4 Ebene Geometrie 19 Rechtwinkliges Dreieck Satz des PYTHAGORAS Kathetensatz Höhensatz c = a + b a = c p h = p q b = c q Fläche F = a b Gleichschenkliges Dreieck a = b ; = Höhe h c = a c Fläche F = a sin Gleichseitiges Dreieck = = = 60 Höhe h = a 3 Fläche Umkreisradius F = a 4 3 r = a 3 3 Inkreisradius = a 6 3

34 0 Mathematische Grundlagen.4.7 Viereck Quadrat Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und sind gleich lang Diagonale d = a Umfang U = 4 a Rechteck Die Diagonalen sind gleich lang Fläche F = a Diagonale d = a + b Umfang U = (a + b) Raute Fläche Die Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander F = a b e + f = 4a Umfang Fläche Parallelogramm Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig U = 4 a F = 1 e f Umfang U = (a + b) Fläche F = a h a = b h b Trapez a parallel c m = 1 (a + c) Umfang Fläche U = a + b + c + d F = 1 (a + c) h

35 .4 Ebene Geometrie Vielecke Allgemeines Vieleck Summe der Innenwinkel Summe der Außenwinkel (n ) 00 gon (n + ) 00 gon Anzahl der Diagonalen n(n 3) 1 Anzahl der Diagonalen in einer Ecke n 3 n = Anzahl der Ecken Regelmäßiges Vieleck 1. Jedes regelmäßige Vieleck kann in n gleichschenklige, kongruente Dreiecke zerlegt werden. Der Zentriwinkel eines Dreiecks beträgt: = 1 n 400 gon 3. Jeder Außenwinkel beträgt: = 00 gon + 1 n 400 gon n = Anzahl der Ecken 4. Jedes regelmäßige Vieleck hat gleichgroße Seiten und Winkel 5. Jedes regelmäßige Vieleck hat einen In- und einen Umkreis 6. Der Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks hat von den Ecken die gleiche Entfernung

36 Mathematische Grundlagen.4.9 Kreis Bezeichnungen am Kreis Umfang Bogen Radius Sekante Sehne Tangente = in sich geschlossene Kreislinie = Teil des Umfanges = Verbindungsstrecke Kreispunkt - Mittelpunkt = Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet = Strecke, deren Endpunkte auf dem Kreis liegen = Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt Kreisbogen b = r [rad] Kreisumfang U = r = d Kreisfläche F = r = 4 d Kreisabschnitt Sehne s = r sin Pfeilhöhe h = r 1 cos = r sin 4 Radius r = s 8h + h Fläche F = r ( [rad] sin)

37 .4 Ebene Geometrie 3 Kreis und Sehne Die Mittelsenkrechte einer Sehne geht immer durch den Mittelpunkt des Kreises und halbiert den Mittelpunktswinkel Ähnlichkeit am Kreis Sehnensatz AE EB = CE ED Sekantensatz SE SF = SC SD Tangentensatz ST = SE SC

38 4 Mathematische Grundlagen Winkel am Kreis = Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) = Umfangswinkel (Peripheriewinkel) = ; = Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß = Sehnentangentenwinkel Satz des THALES: Jeder Umfangswinkel über dem Halbkreis = 100 gon.4.10 Ellipse a = große Halbachse b = kleine Halbachse F 1, = Brennpunkte Ortslinie für die Punkte P mit F 1 P + F P = konstant = a Umfang - Näherungsformel U 3 (a + b) ab für b a > 1 5 U > (a + b) Fläche Lineare Exzentrizität F = a b e = a b

39 .5 Trigonometrie 5.5 Trigonometrie.5.1 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Definition der Winkelfunktionen Sinusfunktion sin = Gegenkathete Hypotenuse Kosinusfunktion cos = = a c Ankathete Hypotenuse = b c Tangensfunktion tan = Gegenkathete Ankathete Kotangensfunktion cot = = a b Ankathete Gegenkathete = b a Beziehungen zwischen den Funktionen des gleichen Winkels sin + cos = 1 tan = sin cos cot = cos sin sin sin α cos α 1 sin tan α sin 1 sin cot α 1 sin sin cos tan cot 1 cos tan 1 + tan cot tan cot 1 + cot 1 cos cos 1 cot cos 1 cos 1 tan Das Vorzeichen der Wurzel hängt vom Quadranten ab Quadrant I II III IV sin cos tan/cot

40 6 Mathematische Grundlagen Besondere Werte, Grenzwerte 0 (0 gon) (50 gon) (100 gon) sin cos tan cot Funktionswerte kleiner Winkel sin tan Umwandlungen 100 gon 00 gon 300 gon 400 gon sin + cos α -/+ sin α - cos α - sin α cos -/+ sin α - cos α +/- sin α + cos α tan -/+ cot α +/- tan α -/+ cot α - tan α cot -/+ tan α +/- cot α -/+ tan α - cot α Arcusfunktionen Hauptwert Nebenwerte arcsin 100 gon +100 gon = n 400 gon n = 1,.. = 00 gon n 400 gon n = 0,1.. arccos 0gon +00 gon = + n 400 gon n = 1,.. = n 400 gon n = 1,.. arctan 100 gon< <+100 gon = + n 00 gon n = 1,.. arccot 0gon< <+00 gon = + n 00 gon n = 1,..

41 .5. Winkelfunktionen im allgemeinen Dreieck.5 Trigonometrie 7 Sinussatz a sin = b sin = r = Umkreisradius c sin = r Gegenwinkel der größeren Seite: 1 Lösung Gegenwinkel der kleineren Seite: Lösungen sin γ < 1 1 Lösung sin γ = 1 keine Lösung sin γ > 1 Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke a s a = a c s c + c cos sin s [rad] + a tan s [rad] s c = Standardabweichung der Strecke c s, s = Standardabweichung der Winkel, [rad] Kosinussatz a = b + c bc cos b = a + c ac cos c = a + b ab cos cos = b + c a bc cos = a + c b ac cos = a + b c ab Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke c s c = a b cos c s a + b a cos c s b + ab sin c s [rad] s a, s b = Standardabweichung der Strecken a, b s = Standardabweichung des Winkels [rad]

42 8 Mathematische Grundlagen Projektionssatz a = b cos + c cos b = a cos + c cos c = b cos + a cos Tangenssatz a + b a b = tan + tan b + c b c = tan + tan + tan + c a = tan Halbwinkelsätze sin = (s b)(s c) bc sin = (s a)(s c) ac sin = (s b)(s a) ab cos = s(s a) bc cos = s(s b) ac cos = s(s c) ab tan = (s b)(s c) s(s a) tan = s b tan = s c = s a s = 1 (a + b + c) = (s a)(s b)(s c) s = Inkreisradius

43 .5 Trigonometrie Additionstheoreme Trigonometrische Funktionen von Winkelsummen sin( + ) = sin cos + cos sin cos( + ) = cos cos sin sin sin( ) = sin cos cos sin cos( ) = cos cos + sin sin tan + tan tan( + ) = 1 tan tan cot( + ) = tan tan tan( ) = 1 + tan tan cot( ) = cot cot 1 cot + cot cot cot + 1 cot cot Trigonometrische Funktionen des doppelten und des halben Winkels sin = sin cos cos = cos sin cos = 1 sin cos = cos cos = cos 1 cos = sin sin = cos = tan = cot = 1 cos 1 + cos 1 cos 1 + cos 1 + cos 1 cos sin = sin cos cos cos = sin cos = 1 sin cos cos = 1 cos 1 + cos = 1 cos = sin + sin + sin = sin cos + sin sin = cos sin + cos + cos = cos cos cos cos = sin + sin

44 30 Mathematische Grundlagen.5.4 Sphärische Trigonometrie Rechtwinkliges Kugeldreieck sin a sin = sin c cos = tanb tanc = cos a sin sin = sin b sin c cos = tan a tan c = cos b sin tan a tan = sin b tan b tan = sin a cosc = cos a cos b = cot cot NEPERsche Regel: cos eines Stückes = Produkt der cot der benachbarten Stücke Produkt der sin der nicht benachbarten Stücke wobei a durch (90 - a) und b durch (90 - b) ersetzt und Winkel γ = 90 nicht beachtet wird. Schiefwinkliges Kugeldreieck Sinussatz sin a sin = sin b sin = sin c sin cosa = cos b cos c + sinb sinc cos Seitenkosinussatz cos b = cos c cos a + sin c sin a cos cos c = cos a cos b + sin a sin b cos cos = cos cos + sin sin cos a Winkelkosinus cos = cos cos + sin sin cos b cos = cos cos + sin sin cos c Fläche F = r [rad] r = Radius = (sphärischer Exzess)

45 3 Geodätische Grundlagen 3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen Räumliches Bezugssystem Dreidimensionales rechtwinkliges Koordinatensystem mit gegebener Orientierung zur Bestimmung der Raumkoordinaten von Punkten Lagebezugssystem Z YP X Meridian von Greenwich P ZP XP WGS 84 = World Geodetic System 1984 Bezugsfläche: WGS 84 - Ellipsoid Koordinatenursprung im Massenmittelpunkt der Erde X-Achse durch den Meridian von Y Greenwich Y-Achse rechtwinklig nach Osten auf der X-Achse Z-Achse mittlere Umdrehungsachse der Erde Seit 1989 realisiert durch das Europäische Referenznetz ETRS 89 (European Terrestrial Reference System 1989) Auf einer Bezugsfläche, meist einem Rotationsellipsoid, festgelegtes System von Lagekoordinaten. Im amtlichen Vermessungswesen der Bundesrepublik Deutschland benutztes Lagebezugssystem: DHDN = Deutsches Hauptdreiecksnetz Bezugsfläche: Bessel-Ellipsoid Zentralpunkt: TP Rauenberg L 0, B 0 Orientierung: Dreieckseite Rauenberg - Berlin, Marienkirche Abbildung: Gauß-Krüger-Projektion für Folgenetze Höhenbezugssystem In der Regel ein System, dass durch eine Höhenbezugsfläche und ihren Abstand zu einem Zentralpunkt definiert ist. F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI / _3, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011,

46 3.1.4 Bezugsfläche Mathematisch, physikalisch oder mittels vorhandener Festpunktfelder definierte Fläche, auf die sich Lagekoordinaten, Höhen oder Schwerepotenziale von Vermessungspunkten beziehen. Bezugsflächen für Lagevermessungen oder räumliche Vermessungen Rotationsellipsoid Mittleres Erdellipsoid: Lokal bestanschließendes Erdellipsoid: 3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen 3 Ersatzfläche für das gesamte Geoid Ellipsoidisches geodätisches Referenzsystem (GRS 80) Ersatzfläche für einen Teil des Geoids Referenzellipsoid: Rotationsellipsoid, das als Bezugsfläche für eine Landesvermessung dient (z. B. Bessel-Ellipsoid) Parameter des Erdellipsoids: Ellipsoid Bessel GRS80 Krassowski große Halbachse a ,155 m ,00 m m kleine Halbachse b ,963 m ,314 m ,019 m Abplattung f 1: 99, : 98, :98,3 Abplattung Erste numerische Exzentrizität Zweite numerische Exzentrizität f = (a b) a e = a b a e = a b b Meridiankrümmungshalbmesser M = a b = a(1 e ) (a cos B + b sin B) 3 (1 e sin B) 3 Querkrümmungshalbmesser N = a a cos B + b sin B = a (1 e sin B) Kugel als Lagebezugsfläche Bezugsfläche der Lagevermessung als Ersatz für ein Referenzellipsoid, für Vermessungen in kleineren Ländern Erdkugel Radius R Bildkugel Radius der Soldnerschen Bildkugel R S = N Radius der Gaußschen Schmiegungskugel R G = M N Ebene als Lagebezugsfläche Bezugsfläche der Lagevermessung als Ersatz für ein Referenzellipsoid oder für eine Bildkugel, für Vermessungen in einem Gebiet bis zu 10 x10 km² Höhenbezugsfläche siehe 9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen

47 3. Geodätische Koordinatensysteme Geodätische Koordinatensysteme 3..1 Sphärisches geographisches Koordinatensystem ϕ = Geographische Breite λ = Geographische Länge 3.. Ellipsoidisches geographisches Koordinatensystem B = Ellipsoidische Breite Winkel, den der in der Meridianebene liegende Normalkrümmungshalbmesser N mit der Äquatorebene bildet L = Ellipsoidische Länge Winkel, den die elliposidische Merdianebene eines Punktes mit der geodätischen Nullmeridianebene bildet H E = Ellipsoidische Höhe Punkthöhe über dem Ellipsoid 3..3 Ellipsoidisches kartesisches Globalsystem X = (N + H E ) cos B cos L Y = (N + H E ) cos B sin L Z = N sin B b a + H E sin B a = b = N = große Halbachse kleine Halbachse Normalkrümmungshalbmesser

48 34 3 Geodätische Grundlagen 3..4 Rechtwinklig-sphärisches Koordinatensystem Die Abszissenachse ist ein Meridian durch den Koordinatenanfangspunkt P 0. Die Ordinate Y eines Punktes P i ist das sphärische Lot von P i auf die Abszissenachse, die Abszisse X von P i ist der Meridianbogen vom Koordinatenanfangspunkt P 0 bis zum Ordinatenlotfußpunkt. T = Sphärischer Richtungswinkel 3..5 Rechtwinklig-ebenes Koordinatensystem I,II,... Quadranten t = ebener Richtungswinkel s = Strecke 3..6 Polarkoordinaten Φ = Polarwinkel Anmerkung: Ist die Nullrichtung = Abszissenachse, so ist der Polarwinkel = Richtungswinkel s = Strecke

49 3. Geodätische Koordinatensysteme Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem (GK-System) Das GK-System ist eine winkeltreue Abbildung von Punkten auf dem Ellipsoid in ein ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem für den Bereich von 3 breiten Meridianstreifen. Meridianstreifen Jeder Meridianstreifen hat eine tatsächliche Ost-West-Ausdehnung von +/- 1 40' beiderseits des Bezugsmeridians. Bezugsmeridiane für das Gebiet der Bundesrepublik Deutschland sind die Meridiane L 0 = 6, 9, 1 und 15 östlich von Greenwich. Die Meridianstreifen werden in östlicher Richtung durchnummeriert und mit einer Kennzahl bezeichnet. Kennzahl K z = L 0 /3 L 0 = Bezugsmeridian (Hauptmeridian) R = Rechtswert = Ordinate = R 0 + y R 0 = y = Ordinatenwert des Hauptmeridians =K z m Länge des elliptischen Lotes auf den Hauptmeridian Die Ordinate wird mit vorgegebenem Maßstab abgebildet: y = Y + Y 3 6R + Y 5 4R 4 + R = Erdradius 6380 km H = Hochwert = Abszisse Abstand des Ordinatenfußpunktes vom Äquator aus auf dem Hauptmeridian. Die Abszissenachse ist jeweils der Bezugsmeridian (Hauptmeridian) eines 3 breiten Meridianstreifens. Abszissenanfangspunkt P 0 ist der Schnitt der Abszissenachse mit dem Äquator. Die Abszisse wird längentreu abgebildet: x = X

50 36 3 Geodätische Grundlagen 3..8 Universales Transversales Mercator- Koordinatensystem (UTM-System) Das UTM-System ist eine winkeltreue Abbildung von Punkten in ein ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem für den Bereich von 60 Zonen von je 6 breiter Ost-West-Ausdehnung. Zonen Jede Zone hat eine tatsächliche Ost-West-Ausdehnung von +/- 3 30' beiderseits des Bezugsmeridians. Bezugsmeridiane für das Gebiet der Bundesrepublik Deutschland sind die Meridiane L 0 = 3, 9 und 15 östlich von Greenwich. Die Zonen werden in östlicher Richtung von 1 bis 60 durchnummeriert. Zonennummer Z = L L 0 = Bezugsmeridian (Hauptmeridian) E = Ostwert = Ordinate = E 0 + y E 0 = (Z + 0, 5) 10 6 m y = Länge des elliptischen Lotes auf den Hauptmeridian Die Ordinate wird mit vorgegebenem Maßstab abgebildet: y = Y + Y 3 6R + Y 5 4R 4 + R = Erdradius 6380 km N = Nordwert = Abszisse Abstand des Ordinatenfußpunktes vom Äquator aus auf dem Hauptmeridian. Die Abszissenachse ist jeweils der Bezugsmeridian (Hauptmeridian) Abszissenanfangspunkt ist der Schnitt der Abszissenachse mit dem Äquator. P 0 Abbildungsmaßstab des Bezugsmeridians m 0 = 0, 9996

51 3..9 Horizontale Bezugsrichtungen 3. Geodätische Koordinatensysteme 37 Zur Zeit gelten in Deutschland für die als horizontale Bezugsrichtungen verwendeten Nordrichtungen folgende Anordnungen Standpunkt Standpunkt Standpunkt westl. des Bezugsmeridians im Bezugsmeridian östl. des Bezugsmeridians L < L 0 L = L 0 L > L 0 Nordrichtungen GgN = Geographisch-Nord (Nördliche Richtung des durch den Standpunkt verlaufenden Meridians) GiN = Gitter-Nord (Nördliche Richtung der durch den Standpunkt verlaufenden Parallelen zum Bild des Bezugsmeridians) MN = Magnetisch-Nord (Nördliche Richtung der durch den Standpunkt verlaufenden horizontalen Projektion der magnetischen Feldlinien) Magnetisch-Nord ändert sich zeitlich auf Grund der Wanderung des magnetischen Nordpols. Damit sind auch die Deklination D und die Nadelabweichung d zeitlich veränderlich.

52 38 3 Geodätische Grundlagen Deklination D = Winkel zwischen GgN und MN, von GgN nach Osten +, nach Westen - Nadelabweichung d = Winkel zwischen GiN und MN, von GiN nach Osten +, nach Westen - Meridiankonvergenz c = Winkel zwischen GiN und GgN von GgN nach Osten +, nach Westen - (im Bezugsmeridian GiN = GgN ; c = 0) Näherungsformel für c: c (L L 0 ) sin y tan N L L 0 = = N = y = = geogr. Längenunterschied zwischen Standpunkt und Bezugsmeridian Geographische Breite Querkrümmungshalbmesser ( siehe 3.1.4) Abstand vom Bezugsmeridian 00gon bzw. 180

53 F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI / _4, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011, 4 Vermessungstechnische Grundaufgaben 4.1 Einfache Koordinatenberechnungen Richtungswinkel und Strecke Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1, x 1 ) und P (y, x ) y = y y 1 x = x x 1 Richtungswinkel t 1, = arctan y x Quadrant I II III IV t t t + 00 gon t + 00 gon t gon y x Funktion auf Taschenrechner: arctan = tan -1 + arctan - arctan + arctan - arctan Formel für quadrantengerechten Richtungswinkel nach JOECKEL y = y y a x = x x a a entspricht der Stellenzahl, mit der gerechnet wird. (z.b. a = 8 bei achtstelliger Genauigkeit) t [rad] = arctan y x + (1 + sgnx) sgny t [gon] = 00 y arctan + 00 (1 + sgnx) sgny 100 x Für Taschenrechner mit voreingestellter Einheit Gon t [gon] = arctan y + 00 (1 + sgnx) sgny 100 x

54 40 4 Vermessungstechnische Grundlagen Richtungswinkel und Strecke Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1,x 1 ) und P (y, x ) y = y y 1 x = x x 1 Strecke s 1, = y + x Probe: y + x = (y + x ) (y 1 + x 1 ) = s sin(t 1, + 50 gon) Genauigkeit: Standardabweichung eines Richtungswinkels s t [rad] = s P s s P = Standardabweichung eines Punktes s = Strecke Standardabweichung einer Strecke nach PYTHAGORAS s s = y s s y1 + s y + x s sx1 + s x s s = s 1 + s für s 1 = s y1 = s x1 und s = s y = s x s xi, s yi = Standardabweichung der Koordinaten eines Punktes Die Berechnung von Richtungswinkel und Strecke ist auch mit der Tastenfunktion R - P eines Taschenrechners möglich. Die Rechenfolge ist aus der Gebrauchsanweisung des Taschenrechners zu entnehmen. Näherungsformel für Spannmaßberechnung c = a + d d b a a c ; b klein

55 4.1. Polarpunktberechnung 4.1 Einfache Koordinatenberechnungen 41 Gegeben: Koordinaten des Punktes P 1 (y 1,x 1 ) Richtungswinkel t Strecke s Koordinatenunterschiede y = s sin t x = s cos t Probe: s = y + x Koordinaten des Punktes P i y i = y 1 + y x i = x 1 + x Die Polarpunktberechnung kann auch mit der Tastenfunktion P - R eines Taschenrechners erfolgen. Die Rechenfolge ist der Gebrauchsanweisung des Taschenrechners zu entnehmen. Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten s y = y s s s + (x s [rad]) s x = x s s s + (y s [rad]) Standardabweichung eines Punktes s P = s x + s y s P = s s + (s s [rad]) Standardabweichung der Querabweichung s q = s s [rad] s t = s = Standardabweichung des Richtungswinkels s s = Standardabweichung einer Strecke s y, s x = Standardabweichung der Koordinaten eines Punktes

56 4 4 Vermessungstechnische Grundlagen Kleinpunktberechnung Kleinpunkt in der Geraden Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (Y A,X A ) und P E (Y E,X E ) Abszissen im örtlichen Koordinatensystem x A, x i, x E s = x E x A = gemessene Strecke S = (Y E Y A ) + (X E X A ) = gerechnete Strecke Parameter o = Y E Y A s Probe: a + o 1 Y E = Y A + o s a = X E X A s X E = X A + a s Maßstabsfaktor m = S s Koordinaten der Punkte P i Y i = Y A + o (x i x A ) X i = X A + a (x i x A ) Probe: [Y i ] = n Y A + o ( [x i ] n x A ) [X i ] = n X A + a ([x i ] n x A ) n = Anzahl der Punkte P i oder Berechnung von Y E, X E von P A über P i

57 4.1 Einfache Koordinatenberechnungen 43 Seitwärts gelegener Punkt Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (Y A,X A ) und P E (Y E,X E ) Örtliche Koordinaten der Punkte P i (y i,x i ) s = x E x A = gemessene Strecke S = (Y E Y A ) + (X E X A ) = gerechnete Strecke Parameter o = Y E Y A s Probe: a + o 1 Y E = Y A + o s a = X E X A s X E = X A + a s Maßstabsfaktor m = S s Koordinaten der Punkte P i Y i = Y A + o (x i x A ) + a y i X i = X A + a (x i x A ) o y i Probe: [Y i ] = n Y A + o ( [x i ] n x A ) + a [y i ] [X i ] = n X A + a ( [x i ] n x A ) o [y i ] n = Anzahl der Punkte P i oder Berechnung von Y E, X E von P A über P i

58 44 4 Vermessungstechnische Grundlagen Höhe und Höhenfußpunkt Gegeben: Seiten a, b, c p = b + c a c q = a + c b c h = a q h = b p p + q = c Genauigkeit: Standardabweichung der Seite p s p = b c s b + 1 s c + a c s a Standardabweichung der Höhe h s h = b s b + p s p h s a, s b, s c = Standardabweichung der Seiten a,b,c Schnitt mit Gitterlinie Y i = Y A + Y E Y A (X i X A ) (X E X A ) X i = X A + (X E X A )(Y i Y A ) (Y E Y A )

59 4.1 Einfache Koordinatenberechnungen Geradenschnitt Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1, x 1 ), P (y, x ), P 3 (y 3, x 3 ) und P 4 (y 4, x 4 ) 1. Möglichkeit tan t 1, = y y 1 x x 1 tan t 3,4 = y 4 y 3 x 4 x 3 Koordinaten des Schnittpunktes P S y S = y 1 + (x S x 1 ) tant 1, oder x S = x 3 + (y 3 y 1 ) (x 3 x 1 ) tant 1, tant 1, tan t 3,4 y S = y 3 + (x S x 3 ) tant 3,4 Probe: tan t 1, = y y S x x S oder tan t 3,4 = y 4 y S x 4 x S. Möglichkeit: Berechnung der Richtungswinkel t 1,, t 3,1, t 3,4 und der Strecke aus Koordinaten siehe Abschnitt s 1,3 s 1,S = s 1,3 sin(t 3,1 t 3,4 ) sin(t 3,4 t 1, ) Koordinaten des Schnittpunktes P S y S = y 1 + s 1,S sin t 1, x S = x 1 + s 1,S cos t 1, Probe: t 1, = t 1,S

60 46 4 Vermessungstechnische Grundlagen Schnitt Gerade - Kreis Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (y A, x A ), P B (y B, x B ) und des Kreismittelpunktes P M (y M, x M ) Radius r Berechnung der Richtungswinkel t A,B, t A,M und der Strecken aus Koordinaten (siehe Abschnitt 4.1.1) AB, AM = t A,M t A,B h = AM sin h > r : keine Lösung h = r : eine Lösung h < r : Lösungen HS = r h AH = AM h AS 1 = AH HS AS = AH + HS Koordinaten der Schnittpunkte y S1 = y A + AS 1 sin t A,B x S1 = x A + AS 1 cos t A,B y S = y A + AS sin t A,B x S = x A + AS cos t A,B Probe: SM = r und t A,B = t A,S

61 4. Flächenberechnung Flächenberechnung 4..1 Flächenberechnung aus Maßzahlen Dreieck Allgemein F = Grundseite Höhe F = a b sin = a c sin = b c sin F = 4 r (sin sin sin ) F = r = Umkreisradius c cot + cot = b cot + cot = a cot + cot F = s(s a)(s b)(s c) ; s = a + b + c Rechtwinkliges Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Gleichseitiges Dreieck F = a b F = a sin F = 1 a 3 Trapez Allgemein Verschränktes Trapez F = a c cot + cot F =(a + c) h F = (x E x A )(y E + y A ) Kreis Kreisfläche F = r Kreisausschnitt (Sektor) F = [rad ] r Kreisabschnitt (Segment) F = r ([rad] sin)

62 48 4 Vermessungstechnische Grundlagen 4.. Flächenberechnung aus Koordinaten Gaußsche Flächenformel Trapezformel Dreiecksformel n F = i (yi + y i +1 )(x i x i +1 ) =1 n F = i (xi + x i +1 )(y i +1 y i ) =1 n F = y i (x i 1 x i +1 ) i =1 n F = x i (y i +1 y i 1 ) i =1 Flächenberechnung im Uhrzeigersinn Fläche positiv Flächenberechnung gegen den Uhrzeigersinn Fläche negativ Fläche aus Polarkoordinaten s 1 Nullrichtung 1 3 r i = gemessene Richtung s i = gemessene Strecke r Standpunkt Grundformel: F = 1 a b sin F n = s i s i +1 sin(r i +1 r i ) i = Flächenreduktion im Gauß-Krüger-System r F [m ] = Y [km ] F [m ] R [km ] R = Erdradius 6380 km Y = Abstand vom Mittelmeridian 4..4 Zulässige Abweichungen für Flächenberechnungen Baden-Württemberg: Z F bedeutet die größte zulässige Abweichung in Quadratmetern zwischen einer aus Landeskoordinaten berechneten Fläche F und der im Liegenschaftskataster nachgewiesen Flurstücksfläche Genauigkeitsstufe 1, Z F = 0, F

63 4.3 Flächenteilungen Flächenteilungen Dreieck Nach der Ermittlung der Strecken s i werden die Koordinaten der Neupunkte P i mit diesen Strecken s i über die Kleinpunktberechnung ermittelt. Probe: F 1 aus Koordinaten berechnen Von einem Eckpunkt s = F 1 AB F = F 1 h F = ΔABC ; F 1 = Teilungsfläche Durch gegebenen Punkt P Parallel zur Grundlinie s = F 1 AC AB F AP = F 1 AC h AP F = ΔABC ; F 1 = Teilungsfläche s 1 = AC F 1 F s = BC F 1 F F = ΔABC ; F 1 = Teilungsfläche Parallel zur Höhe Berechnung von h, AE mit Höhe und Höhenfußpunkt s 1 = AC F 1 F s = AE F 1 F F 1 = Teilungsfläche F = AE h

64 50 4 Vermessungstechnische Grundlagen 4.3. Viereck Nach der Ermittlung der Strecken s i werden die Koordinaten der Neupunkte P i mit diesen Strecken s i über die Kleinpunktberechnung ermittelt. Probe: F 1 aus Koordinaten berechnen Von einem Eckpunkt s = F 1 h 1 = F 1 AB F ABD F 1 = Teilungsfläche Durch gegebenen Punkt P F 1 = F 1 F APD F 1 = Teilungsfläche s = F 1 AB F ABP Parallelteilung x = a F 1 (cot + cot ) h 1 = F 1 a + x s 1 = h 1 sin s = h 1 sin Senkrechtteilung F 1 = Teilungsfläche Berechnung von h, AE mit Höhe und Höhenfußpunkt F 1 = F 1 F AED F 1 = Teilungsfläche x = h F 1 cot s 1 = F 1 h + x Sonderfall s 1 = AE + s 1 s = F 1 cot s = s 1 sin y = F 1 s F 1 = Teilungsfläche

65 F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI / _5, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 011, 5 Winkelmessung 5.1 Instrumentenfehler am Theodolit Zielachsenfehler c c ist der Winkel, um den die Zielachse des Theodolits vom rechten Winkel zur Kippachse abweicht. k c ist die Korrektion einer Richtung in einer Fernrohrlage wegen eines Zielachsenfehlers. Bestimmung: Anzielen eines etwa in Kippachsenhöhe liegenden Punktes in zwei Fernrohrlagen c = (A II A I ) 00 gon A I = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II Auswirkungen auf die Horizontalrichtung k c = c sin z z = Zenitwinkel Minimum z = 100 gon ; k c = c Maximum z = 0 gon Auswirkungen auf den Horizontalwinkel k c = c 1 1 sinz sinz 1 Der Zielachsenfehler kann durch Beobachten der Horizontalrichtung in zwei Fernrohrlagen und Mittelung der Messwerte eliminiert werden. Kippachsenfehler k k ist der Winkel, um den die Kippachse vom rechten Winkel zur Stehachse abweicht. k k ist die Korrektion einer Richtung in einer Fernrohrlage wegen eines Kippachsenfehlers.

66 5 5 Winkelmessung Kippachsenfehler Bestimmung: a) Anzielen eines hochgelegenen Punktes in zwei Fernrohrlagen k = (A II A I ) 00 gon c sin z tan z A I = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II z = Zenitwinkel b) Abloten eines hohen Punktes in zwei Fernrohrlagen, nachdem Steh- und Zielachsenfehler beseitigt sind. k = arctan s l tan z l = Abstand A 1 A am Maßstab s = Abstand Theodolit-Maßstab z = Zenitwinkel Auswirkung auf die Horizontalrichtung k k = k cot z z = Zenitwinkel Minimum z =100 gon ; k = 0 Maximum z = 0 gon Auswirkung auf den Horizontalwinkel k k = k (cot z cot z 1 ) Der Kippachsenfehler kann durch Beobachten der Horizontalrichtung in zwei Fernrohrlagen und Mittelung der Messwerte eliminiert werden. Gemeinsame Bestimmung von Zielachsen- und Kippachsenfehler Messung einer Horizontalrichtung zu zwei Punkten in zwei Fernrohrlagen R i = (A II A I 00 gon) = k c + k k A I = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II z = Zenitwinkel Kippachsenfehler k = R 1 sin z 1 R sin z (cos z 1 cos z ) Zielachsenfehler c = R 1 sin z 1 k cos z 1