Spezielle Relativitätstheorie. v. A. Reichert

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1 Spezielle Relaiiäsheorie A Reiher

2 Inhalserzeihnis Einleiung 3 Grundaussagen 5 3 Lorenzransforaionen 8 4 Zeidilaaion 5 Längenkonrakion 4 6 Addiionsheore 7 7 Masse und Energie 8 8 Massenzunahe 9 Energie und Ipuls 5 Kraf und Ipuls 6 Zei und Graiaion 7 Aufgaben 3 3 Kriishe Anerkungen 4 4 Lieraur 44 A Reiher: Relaiiäsheorie

3 Einleiung Einsein eröffenlihe i Jahre 95 in den Annalen der Physik seine berühen Abhandlungen über den Phooeffek, die Brownshe Molekularbewegung und zur Elekrodynaik beweger Körper Lezere wurde späer uner de Tiel Relaiiäsheorie welberüh, für die erse erhiel er 9 den Nobelpreis Die Relaiiäsheorie war lange Zei sehr usrien, ers Mie des lezen Jahrhunders fand sie allgeein Anerkennung Zu absrus klangen einige ihrer Vorhersagen Alleine die Bezeihnung Relaiiäsheorie is irreführend Nah ihr is keineswegs alles relai Relai sind Größen wie die Masse, die Länge oder die Zei, da ihr Wer on der Geshwindigkei abhäng Nihrelai sind alle Inarianen, also Größen, deren Wer in allen Bezugssyseen gleih is wie der Druk, die Vakuulihgeshwindigkei oder die Wirkung Wie zuers Mawell beerk ha, uss sih die Zei ändern, die ein Lihsrahl brauh, u zwishen zwei Punken A und B hin und her zu laufen, sobald diese Punke, ohne den Äher i sih forzuführen, geeinshaflih ershoben werden Die Änderung der Zei is zwar sehr klein, aber dennoh groß genug, u sie iels einer epfindlihen Inerferenzehode nahweisen zu können Mihelson führe den Versuh als erser i Jahre 88 durh Er fand keine Spur einer Änderung der Forpflanzungszeien Sein berühes Insruen, das Mihelson Inerferoeer, zähl auh heue noh zu den Sandardersuhen in der Shulphysik Lorenz erkläre das negaie Ergebnis des Versuhes durh die Annahe, dass sih die Weglänge zwishen den beiden Punken A und B aufgrund der Bewegung erkürz bzw erlänger habe, je nahde, ob sih die Sreke zwishen A und B i oder engegen der Drehung der Erde beweg Diese Änderungen sollen durh eine Vershiebung der Moleküle durh den Äher erursah werden Einsein löse das Proble auf eine andere Ar und Weise Er selle zwei Posulae auf, die seiner Meinung nah auf Erfahrung beruhen, i deren Hilfe er die Beobahungen erklären konne Das erse Posula, auh Relaiiäsprinzip genann, besag, dass alle Inerialsysee zur Beshreibung on Naurorgängen gleihberehig sind Die Naurgeseze haben in allen Inerialsyseen die gleihe For Nah de zweien breie sih Lih i Vakuu in allen Inerialsyseen gleihförig in alle Rihungen aus, unabhängig on der oenanen Bewegung der Lihquelle Wegen dieser Inarianz der Vakuulihgeshwindigkei usse Mihelson essen, was er geessen ha, nihs Es bleib als Ergebnis seines Versuhes die Tasahe, dass es keinen Äher gib Ansonsen is er für die Relaiiäsheorie nih besonders relean Mi den beiden Posulaen konne Einsein eine Reihe auf den ersen Blik selsa anuender Phänoene orhersagen In eine bewegen Syse gehen Uhren langsaer und Längen werden erkürz Heue sprih an on Zeidilaaion und Längenkon- A Reiher: Relaiiäsheorie 3

4 rakion Außerde ni die Masse eines Körpers i seiner Geshwindigkei zu Daher können aerielle Körper nieals auf Überlihgeshwindigkei beshleunig werden Ferner sind Masse und Energie äquialen Sie lassen sih in einander uwandeln Und die Gesageshwindigkei aus zwei gleih geriheen Geshwindigkeien darf nur dann durh einfahe Addiion eriel werden, solange beide sehr iel kleiner als die Lihgeshwindigkei sind Ansonsen uss an Einseins Addiionsheore für Geshwindigkeien anwenden Alle orhergesagen Ersheinungen wurden i Laufe der lezen hunder Jahre in ehreren unershiedlihen Versuhen besäig In lezer Zei ehren sih jedoh Anzeihen und Versuhsergebnisse, die auf Überlihgeshwindigkei einzelner Phoonen hindeuen Ihre Geshwindigkei unerläge dai saisishen Shwankungen wie bei Elekronen De zweien Einseinshen Posula wäre die Erfahrungsgrundlage enzogen Dai sell sih die Frage: Gib es eine shlüssige alernaie Erklärung außerhalb der Relaiiäsheorie zu negaien Ausgang des Mihelson- Versuhs und der anderen Ersheinungen wie Längenkonrakion, Zeidilaaion usw Meiner Meinung nah ja, wie ih a Ende der Ausführungen zeigen werde Sie weis in die gleihe Rihung wie die Deuungen der Quanenehanik i Skrip Den Quanen auf der Spur auf dieser Webseie In gewisser Weise orienier sie sih an den Überlegungen Lorenz, ko jedoh ohne Äher, also ein Trägerediu für elekroagneishe Wellen aus Den gib es aufgrund der Ergebnisse des Mihelson- Versuhs definii nih Auh das Relaiiäsprinzip wird nih erlez Doh zuor sollen die wihigsen Aussagen der Relaiiäsheorie ausführlih dargesell werden, in einer For, die ih sei dreißig Jahren in zahlreihen Leiungskursen erprob habe Dabei uss an nih jede aheaishe Herleiung bis in alle Einzelheien i Unerrih usezen Viel wihiger is es, dass die Shülerinnen und Shüler die wesenlihen Aussagen der aheaishen Gesezäßigkeien anshaulih ersanden haben Es bring nihs, sih hiner den aheaishen Foralisen zu erseken, aber der wesenlihe Gehal raush an den Shülerinnen und Shülern orbei, wobei es ohne die Foralisen siherlih auh nih geh Ih wünshe Ihnen iel Spaß bei Lesen des Skripes Solberg, Juli 4 A Reiher: Relaiiäsheorie 4

5 Grundaussagen Aus de Relaiiäsprinzip und der Konsanz der Vakuulihgeshwindigkei konne Einsein eine Reihe on Ersheinungen orhersagen, die sih i Laufe der folgenden Jahrzehne durh zahlreihe Eperiene als rihig erwiesen haben Die wihigsen sind: Längenkonrakion Zeidilaaion Addiionsheore Massenzunahe Äquialenz Masse-Energie Beziehung Energie-Ipuls relaiisisher Ipuls relaiisishe Kraf Sie werden in den folgenden Kapieln i Einzelnen hergeleie Die wesenlihen Aussagen werden in diese Kapiel kurz zusaengesell Besiz ein Sab in seine eigenen Ruhesyse die Länge l, so gil für seine Länge l in eine Bezugssyse, das sih i der Geshwindigkei relai zu Sab beweg: l l Der Sab ershein de bewegen Beobaher erkürz, da der Fakor uner der Wurzel ses kleiner als is Für Geshwindigkeien, die sehr iel kleiner als die Lihgeshwindigkei sind, geh der Fakor uner der Wurzel gegen und in beiden Bezugssyseen ershein der Sab i der gleihen Länge l Vergeh i Ruhesyse einer Uhr die Zei, so zeig eine Uhr in eine Syse, zu de sih die Uhr i der Geshwindigkei beweg, eine Zei an, für die gil: Die Zei ha sih erlänger, da der Fakor uner der Wurzel ses kleiner als is und außerde i Nenner seh Für Geshwindigkeien, die sehr iel kleiner als die Lihgeshwin- A Reiher: Relaiiäsheorie 5

6 digkei sind, sreb der Fakor uner der Wurzel gegen und die Uhren essen in beiden Bezugssyseen die gleihe Zei Da nah de zweien Posula Geshwindigkeien größer als die Vakuulihgeshwindigkeien nih real sind, kann an Geshwindigkeien, die in der Größenordnung der Lihgeshwindigkei liegen, nih einfah addieren, da sih sons Überlihgeshwindigkeien ergeben würden Es gil ielehr folgende Gesezäßigkei: Darin bedeuen: : Geshwindigkei des bewegen Beobahers bezüglih des ruhenden Beobahers 3 : Geshwindigkei eines Körpers bezüglih des bewegen Beobahers 3 : Geshwindigkei des Körpers bezüglih des ruhenden Beobahers : Lihgeshwindigkei Sind die Geshwindigkeien und 3 klein gegen die Lihgeshwindigkei, so wird der Nenner des Haupbruhes und an erhäl die klassishe Forel für die Addiion der Geshwindigkeien: 3 3 Da ein Körper nih auf Überlihgeshwindigkei beshleunig werden kann, uss die zugeführe Energie in der Nähe der Lihgeshwindigkei zu einer Massenzunahe führen, denn die kineishe Energie häng nur on der Masse des Körpers und seiner Geshwindigkei ab Besiz der Körper die Ruheasse, so gil für seine Masse, wenn er sih i der Geshwindigkei beweg: Is die Geshwindigkei sehr iel kleiner als die Lihgeshwindigkei, so is die Masse des bewegen Körpers gleih seiner Ruheasse, da der Fakor uner der Wurzel gegen sreb Da bei einer Beshleunigung in der Nähe der Lihgeshwindigkei Energie in Masse ugewandel wird, üssen beide wesenserwand sein Das uss sih auh in einer aheai- A Reiher: Relaiiäsheorie 6

7 shen Gleihung ausdrüken Sie is Einseins berühese Forel und laue: E Für die kineishe Energie erhäl an: E kin Sez an die Forel für die relaiisishe Masse ein, so ergib sih: E kin Aus der Massenzunahe i der Geshwindigkei ergib sih eine wihige Beziehung zwishen Energie und Ipuls, die in der Eleenareilhenphysik ielfah angewende wird Sie laue: E p 4 Die Newonshen Definiionen für den Ipuls und die Kraf bleiben erhalen Allerdings uss an die Änderung der Masse i der Geshwindigkei beahen Es gil: p und F dp d d d A Reiher: Relaiiäsheorie 7

8 3 Lorenzransforaionen Die zwei Einseinshen Posulae, das Relaiiäsprinzip und die Inarianz der Lihgeshwindigkei fass an auh uner de Begriff Lorenzinarianz zusaen Mi ihr kann an die Lorenzransforaionen herleien, i denen an die Ors- und Zeikoordinaen on eine ruhenden Syse in ein dazu i gleihäßiger Geshwindigkei beweges Syse urehnen, ransforieren kann Sende eine punkförige Lihquelle i ruhenden bzw bewegen Syse ein Lihsignal aus, so breie es sih kugelförig u die Quelle aus Nah der Inarianz der Lihgeshwindigkei gil für die Radien r und r der Kugeln in Abhängigkei on den Zeien und : r und r Ersez an den Radius jeweils durh karesishe Koordinaen und sez beide gleih, so folg: y z y z Diese Gleihung kann nur für beliebige Relaigeshwindigkeien der beiden Sysee gelen, wenn an die ensprehenden Orskoordinaen und die beiden Zeikoordinaen zu jede Zeipunk ineinander urehnen kann Dabei sollen sih die beiden Bezugssysee der Einfahhei halber nur in -Rihung gegeneinander bewegen Man wähl folgende Ansäze: k y y z z a b Sez an sie in die obige Gleihung ein, so folg: y z k b a k ba y z a k Dai diese Gleihung zu jede Zeipunk erfüll is, üssen folgende drei Bedingungen gelen: A Reiher: Relaiiäsheorie 8

9 A Reiher: Relaiiäsheorie 9 k a ba k a b k Aus diesen drei Gleihungen i drei Unbekannen erhäl an nah einiger Rehnung: b a k Dai lauen die Lorenzransforaionen, i denen an die Koordinaen i Ruhesyse ins bewege Syse ransforieren kann: z z y y Für die Ukehrransforaionen erhäl an analog: z z y y

10 4 Zeidilaaion I Ruhesyse einer Uhr ergeh die Zei Beweg sih die Uhr relai zu eine zweien Syse i der Geshwindigkei, so ersreih in diese Syse die Zei Mi Hilfe der Lorenzransforaionen kann an die Zei o bewegen Syse ins Ruhesyse der Uhr ransforieren Es gil: Daraus folg für Relai zu eine Bezugssyse bewege Uhren gehen langsaer als Uhren, die in diese Bezugssyse ruhen Berahe ein Beobaher die Uhr in seine eigenen Ruhesyse, so erläuf die Zei langsaer, on eine dazu relai bewegen Syse aus gesehen dagegen shneller I Ruhesyse der Uhr is die Zei gedehn Man sprih on Zeidilaaion Flieg ein Asronau längere Zei i großer Geshwindigkei durhs Welall und ni dabei eine Uhr i, so läuf diese Uhr langsaer als Uhren, die auf der Erde zurükbleiben, da sih die Erde relai zu Raushiff beweg Der Asronau aler weniger als seine Mienshen auf der Erde Man sprih o Zwillingsparadoon, weil zwei or der Reise gleihalrige Zwillinge nah der Reise nih ehr gleih al sind Die grundsäzlihen Überlegungen kann an auh i einer Lihuhr erdeulihen 4 In ihr dien ein Lihsignal als Takgeber, das sändig zwishen zwei Spiegeln hin- und her re- A Reiher: Relaiiäsheorie

11 flekier wird Ruh die Uhr, so läuf das Lihsignal sändig die Länge der Uhr auf und ab s Abb Abb: Zeidilaaion Jedes Mal, wenn das Lihsignal an eine der beiden Spiegel S anko, spring die Anzeige eines Zählers u eine Einhei weier Beweg sie sih, so uss das Lih on eine zweien Bezugssyse aus berahe on eine Spiegel zu nähsen einen längeren Weg zurüklegen, da der Lihsrahl shräg erlaufen uss Dafür benöig er wegen der Konsanz der Lihgeshwindigkei ehr Zei Es ergehen ehr Zeieinheien Allgeein gil, wie an aus Abb ablesen kann: und dai: Die Zeidilaaion haben C Hafele und R Keaing 97 in eine aufwändigen Versuh überprüf Sie ukreisen i Linienashinen ehrfah die Erde i Aouhren i Handgepäk, die auf ps genau gingen Sie flogen an ielen synhronisieren Aouhren auf der Erde orbei Da ihre Fluggeshwindigkei i Vergleih zur Lihgeshwindigkei sehr klein war, ussen sie lange fliegen, u einen essbaren Unershied der Aouhren auf der Erde und i Flugzeug zu erhalen Sie errehneen i der speziellen Relaiiäsheorie eine Zeidilaaion on Δ A Reiher: Relaiiäsheorie

12 = 5 ns Da sie in rund k Höhe kreisen, gingen die Aouhren aufgrund der geringeren Graiaion nah der allgeeinen Relaiiäsheorie u Δ = ns shneller als auf der Erde Es blieb eine Neozeidilaaion on Δ = 5 ns übrig Genau diese Zeidifferenz haben sie geessen Folgendes Rehenbeispiel ah deulih, wie klein der Effek der Zeidilaaion für den Flug is Man erhäl für die Zeidilaaion i den oben abgeleieen Foreln: Da sehr iel kleiner als is, reih die Genauigkei eines Tashenrehners nih aus, u i dieser Forel einen ernünfigen Wer für Δ zu erhalen Man uss die Gleihung in eine Taylorreihe enwikeln Die ersen beiden Glieder lauen für eine beliebige Funkion f: f f f! Wende an sie auf die Wurzelfunkion in obiger Forel an und sez darin so erhäl an f f f 3 A Reiher: Relaiiäsheorie

13 A Reiher: Relaiiäsheorie 3 Dai ergib sih für die Zeidilaaion für einen Flug i = kh und einer Flugzei = 6h folgender Näherungswer: 47 3,78 5, ns s s s

14 5 Längenkonrakion Eine der wesenlihen Folgerungen aus den Lorenzransforaionen is die Längenkonrakion Ein Sab ha in seine eigenen Ruhesyse die Länge s Beweg sih ein zweies Syse relai zu Ruhesyse i der Geshwindigkei in Längsrihung des Sabes, so besiz er in diese zweien Bezugssyse die Länge s Mi Hilfe der Lorenzransforaionen kann an die Länge o ruhenden ins bewege Syse ransforieren Es gil: s s Daraus folg für s s s Miss ein Beobaher die Länge s des Sabes in dessen Ruhesyse, so erhäl er einen größeren Wer als ein Beobaher, der die Messung o bewegen Bezugssyse aus durhführ Die Länge s des Sabes ershein o bewegen Syse aus berahe erkürz Man sprih on Längenkonrakion Die Längenkonrakion läss sih auh i Hilfe der Forel für die Zeidilaaion ableien 4 Berahen Sie dazu Abb I ruhenden Syse werden zwei synhronisiere Uhren U und U aufgesell i Absand s An den Uhren flieg eine Rakee i der Geshwindigkei orbei Sie ha eine eigene Uhr U an Bord Die Asronauen saren ihre Uhr, wenn sie U überfliegen, ein Erdbewohner die Uhr U, wenn die Rakee über ihn hinwegsaus Beide soppen ihre Uhren, wenn die Rakee die zweie Uhr U passier Die Asronauen erhalen als Flugzei die Zei A Reiher: Relaiiäsheorie 4

15 , die Erdbewohner die Zei Die Asronauen errehnen dai die Enfernung der beiden Uhren zu s s Dabei uss an beahen, dass bei Zeiessungen die Zei auf der bewegen Uhr als Eigenzei definier is, bei Längenessungen dagegen die Länge des ruhenden Sab als Eigenlänge s Es gil folglih für die Länge s des Sabes i bewegen Syse bzw s i ruhenden Syse: s s Abb: Längenkonrakion Die Längenkonrakion wurde i Hilfe on Myonen besäig Sie ensehen in einer Höhe s = 5k über der Erde und erreihen nahezu Lihgeshwindigkei Ihre Halbwerszei in ihre eigenen Ruhesyse beräg T =,5µs Ewa 4% der gebildeen Myonen fliegen bis zur Erdoberflähe, beor sie zerfallen Nah de Zerfallsgesez üssen sie eine Lebensdauer haben, für die gil: A Reiher: Relaiiäsheorie 5

16 ln,4 T ln 6,97s Dai können sie i Lihgeshwindigkei aial die Sreke s 3 8,9k s 6,97 6 s zurüklegen, beor sie zerfallen sind Die Sreke s ershein für sie aber aufgrund der hohen Geshwindigkei erkürz Aus der oben hergeleieen Forel für die Längenkonrakion folg für : s s,98,9k5k A Reiher: Relaiiäsheorie 6

17 A Reiher: Relaiiäsheorie 7 6 Addiionsheore I bewegen Syse habe ein Körper die Geshwindigkei 3, das Syse selbs bewege sih i der Geshwindigkei bezüglih des Ruhesyses Nah klassisher Rehnung ha der Körper dann bezogen auf das Ruhesyse die Geshwindigkei 3, für die gil: 3 3 Diese Forel kann an in der Relaiiäsheorie nur anwenden, wenn die Geshwindigkeien sehr iel kleiner als die Lihgeshwindigkei sind In der Nähe der Lihgeshwindigkei ergeben sih sons Überlihgeshwindigkeien, die nah den Einseinshen Posulaen nih orkoen Daher usse Einsein eine neue Forel herleien, i der an beliebige Geshwindigkeien addieren kann, ohne dass sih Geshwindigkeien größer als ergeben Die Ableiung sieh wie folg aus: Sind und 3 klein gegen, so geh der Nenner gegen und an erhäl die oben angegebene klassishe Forel

18 7 Masse und Energie Zu Thea Äquialenz Masse und Energie finde an zahlreihe Ableiungen in den Lehrbühern Die folgende orienier sih an der Originalabhandlung Einseins Einsein ni an, dass ein Elekron in seine Ruhesyse durh eine elekrishe Kraf F in Rihung der -Ahse beshleunig wird Unereil an die Bewegung in kleine Wegabshnie s und Zeiabshnie, so kann an die Beshleunigung a innerhalb eines solhen Teileleenes als konsan ansehen Man digialisier gewisseraßen die Bewegung des Elekrons Nah de zweien Newonshen Aio gil für das Elekron i der Ruheasse : F a s Transforier an s und i den Foreln für die Längenkonrakion und Zeidilaion s s ins bewege Syse, so erhäl an dor für die Kraf F F 3 3 s a In der Originalabhandlung Einseins wird das Elekron zusäzlih zu elekrishen Feld noh durh ein senkreh dazu sehendes agneishes Feld beshleunig Die Ableiung wird dadurh koplizierer, da auh Kräfe in y-und z-rihung aufreen und ransforier werden üssen wegen der Zeidilaaion Er erhäl so zwei ershiedene Massen, eine longiudinale und eine ransersale, je nahde, ob die Kraf eine Geshwindigkeis- oder eine Rihungsänderung bewirk Beide Massen sind anders als in der Newonshen Mehanik nih gleih Für die kineishe Energie E kin i bewegen Syse gil i der klassishen Forel für die Beshleunigungsarbei als Weginegral über die Kraf: A Reiher: Relaiiäsheorie 8

19 E kin Fds a ds d d ds d Nah diese Ergebnis besizen auh Körper, die in Ruhe sind, eine Energie, die Ruheenergie Sie is uso größer, je größer ihre Masse is Die berühe Einseinshe Forel für den Zusaenhang zwishen Energie und Masse is allgeeingülig Sie laue: E Ganz so erwunderlih, wie es häufig dargesell wird, is diese Erkennnis nih Auh nah der klassishen Forel wird die kineishe Energie größer, wenn die Masse zuni Nah Einsein gil diese Aussage jedoh nih nur für die kineishe Energie, sondern für jede For der Energie I Folgenden wird gezeig, dass für Geshwindigkeien, die sehr iel kleiner als die Lihgeshwindigkei sind, die allgeein gülige Einseinshe Forel in die klassishe Forel für die kineishe Energie übergeh Dazu enwikel an sie in eine Taylorreihe Die ersen beiden Glieder lauen für eine beliebige Funkion f: f f f! Wende an sie auf die Wurzelfunkion in der Einsein-Forel für die kineishe Energie an und sez darin A Reiher: Relaiiäsheorie 9

20 so erhäl an f f f 3 Überräg an diese aheaishen Überlegungen auf die Einseinshe Energieforel, so folg für die kineishe Energie: E kin Sie ensprih der kineishen Energie eines Körpers der Masse und der Geshwindigkei nah klassisher Rehnung A Reiher: Relaiiäsheorie

21 8 Massenzunahe Aus der Ableiung in Kapiel 7 geh heror, dass die Masse i der Geshwindigkei zuni nah folgende Gesez: Diese wihige Erkennnis soll auf eine andere Ar und Weise noh al erdeulih werden Das radioakie Präpara Na- liefer shnelle Posironen In Maerie werden sie prakish ganz abgebres Zur Ruhe gekoen, reagier jedes Posiron i eine Elekron Dabei ershwinden beide und zersrahlen innerhalb einer kurzen Zeispanne in zwei Phoonen, die i Lihgeshwindigkei auseinanderfliegen Von eine bewegen Bezugssyse aus berahe, beobahe an das Gleihe Die Wirkung W des Zusaenreffens eines Elekrons i eine Posiron is in beiden Bezugssyseen gleih I bewegen Syse dauer der Vorgang des Zersrahlens wegen der Zeidilaaion eine kürzere Zeispanne Es gil i W als Wirkung, als Masse und E als Energie des Posirons bzw Elekrons i bereffenden Bezugssyse: Mi E W W E folg und daraus Die Masse ni i der Geshwindigkei zu Die Wirkung is Lorenz inarian Sie is in allen Bezugssyseen gleih, wie shon in der Einleiung erläuer A Reiher: Relaiiäsheorie

22 Alernai kann an die Massenzunahe auh anhand eines Soßeperienes erklären Eine Kugel bewege sih in ihre Eigensyse S enlang der y-ahse i der Geshwindigkei y Sie söß unelasish auf ein Hindernis und hinerläss in ih eine Wirkung i der Eindringiefe h s Abb Abb: Unelasisher Soß einer Kugel Von eine in -Rihung i der Geshwindigkei bewegen Syse S aus berahe, uss sie i Hindernis die gleihe Wirkung erursahen, da die Wirkung Lorenz inarian is Es gil: p y W W h py h Da Längen in y-rihung nih konrahier sind, uss on beiden Syseen aus berahe die Delle gleih ief sein Soi is h gleih h Dai folg: p y p y y y Für die Geshwindigkei gil i Eigensyse der Masse: A Reiher: Relaiiäsheorie

23 y s y und i dazu bewegen Syse: y s y Da Längen in y-rihung nih konrahier sind, is s y gleih s y Allerdings uss an die Zeidilaaion beahen Dai folg: y s y Sez an diese Ergebnisse in Gleihung ein, so erhäl an: s y s y und dai Die Zunahe der Masse i der Geshwindigkei wurde on zahlreihen Forshern an shnellen Elekronen aus der β Srahlung und in Teilhenbeshleunigern überprüf, ua on Guye und Laanhy, Kaufann, Neuann und Shäfer und zulez Berozzi In Abb werden die Ergebnisse einiger dieser Versuhe i der heoreishen Kure ro ergleihen 3 Man sieh, dass die heoreishen und geessenen Were in allen Geshwindigkeisbereihen sehr gu übereinsien Die relaiisishe Massenzunahe war die erse Gesezäßigkei der speziellen Relaiiäsheorie, die eperienell durh Buherer bereis 99 besäig wurde, ier Jahre nah Einseins Veröffenlihungen in den Annalen der Physik Sie begründee Einseins legendären Ruf als Physiker A Reiher: Relaiiäsheorie 3

24 Abb: relaiisishe Massenzunahe i der Geshwindigkei A Reiher: Relaiiäsheorie 4

25 A Reiher: Relaiiäsheorie 5 9 Energie und Ipuls Quadrier an die Gleihung für die Massenzunahe aus de origen Kapiel und sell sie anshließend ewas u, so erhäl an: Muliplizier an diese Gleihung i, so ergib sih: 4 4 Mi p E folg: 4 p E Diese Gleihung wird sehr of in der Eleenareilhenphysik eingesez, u den Ipuls zu berehnen

26 A Reiher: Relaiiäsheorie 6 Kraf und Ipuls Für den relaiisishen Ipuls gil: p Für die Kraf gil: a d d d d d d d d d d d d d d d d d dp F Diese Forel si i der Forel aus de Kapiel Masse und Energie überein, die Einsein bei der Transforaion der Kraf aus de Ruhesyse ins bewege Syse erhalen ha

27 A Reiher: Relaiiäsheorie 7 Zei und Graiaion Eine Uhr U der Masse ukreis die Erde in einer Höhe h i der Geshwindigkei s Abb Abb: Zei und Graiaion Sie fäll auf eine Höhe h Ihre poenielle Energie ni ab, ihre kineishe zu Da die Geshwindigkei auf seig, geh die Uhr aufgrund der Zeidilaaion ier langsaer, je näher sie der Erde ko Mi de Energieerhalungssaz gil: gh gh gh gh gh gh gh gh E E E E E E po kin po kin Darin wurden die Foreln für die Massenzunahe und die relaiisishe kineishe Energie benuz, die in den Kapieln Masse und Energie und Massenzunahe hergeleie wurden

28 A Reiher: Relaiiäsheorie 8 Wende an auf die Uhr in beiden Zusänden die Forel für die Zeidilaaion an, so erhäl an: Darin is die Zei i Ruhesyse der Uhr Sez an diese beiden Foreln in die obige Gleihung ein, so folg: h h g gh gh Is sehr iel kleiner als, so gil: Sez an außerde, h h h so folg: h g und dai h g Die Zei ni proporional i der Höhe über de Erdboden zu 973 besäigen Forsher der Uniersiä Maryland USA die Überlegungen Ein Flugzeug i Aouhren an Bord kreise in drei ershiedenen Höhen u rund Höhe 5 Sunden lang über einer Uhrengruppe a Boden Die Uhren a Boden zeigen danah eine u 47, ns geringere Zei an Der aus den genauen Flugdaen i obiger Forel berehnee Wer und der geessene

29 Wer wihen nur u % oneinander ab Einen Näherungswer erhäl an, wenn an die ileren Flugdaen benuz Es ergib sih: 9,8 s 536s 8 3 s 58,9ns A Reiher: Relaiiäsheorie 9

30 Aufgaben Sellen Sie die besonderen Effeke der speziellen und allgeeinen Relaiiäsheorie zusaen Benuzen Sie dazu das Buh, das in der Shule gezeige Video und die Videos: Das Geheinis der Zei Einseins Relaiiäsheorie -3 auf der Inerneseie wwwyouubeo Beshreiben Sie die Unershiede zwishen der speziellen und der allgeeinen Relaiiäsheorie Diskuieren Sie, welher Versuh die Grundlage der speziellen Relaiiäsheorie bilde Sehen Sie sih dazu das Video Erweieres Mihelson-Morley-Eperien 9 Deushe Version uner wwwyouubeo und die Beshreibung i Buh an Erläuern und erklären Sie den Aufbau, die Durhführung und das Ergebnis des Versuhes 3 Erläuern Sie die Aussagen der Lorenzransforaionen Leien Sie aus ihnen die Inarianz der Lihgeshwindigkei her 4 Sellen Sie die Geseze für folgende Effeke der speziellen Relaiiäsheorie auf: a Addiionsheore der Geshwindigkeien b Massenzunahe Längenkonrakion d Zeidilaaion e Äquialenz MasseEnergie f relaiisishe kineishe Energie Leien Sie die Forel für die relaiisishe Addiion der Geshwindigkeien her Ziehen Sie das Kapiel Addiionsheore zu Rae 5 Berehnen Sie die Sue der beiden Geshwindigkeien relaiisish für folgende Fälle: a = 3, =, b =, = und = 34, = 34 6 Ein Elekron beweg sih so shnell, dass sih seine Masse erdoppel a Berehnen Sie seine Geshwindigkei b Berehnen Sie die benöige Beshleunigungsspannung Berehnen Sie seine Geshwindigkei nihrelaiisish 7 Ein Objek der Länge l = beweg sih = s i einer Geshwindigkei = 3 Berehnen Sie für diesen Fall die Längenkonrakion und die Zeidilaaion A Reiher: Relaiiäsheorie 3

31 8 Bei der Saelliennaigaion i GPS uss die Zeiabweihung zwishen den Uhren an Bord der Saellien und den Uhren a Boden unbeding beahe werden, weil es sons zu Orsabweihungen on ehreren Kiloeern koen kann Erklären Sie 9 Ein Langsrekenflug on Frankfur nah Buenos Aires dauer ewa = Sunden bei einer ileren Reisegeshwindigkei = 9kh und einer ileren Flughöhe h = Berehnen Sie, u wieiel eine Person an Bord langsaer o- der shneller aler als ein Mensh, der auf de Boden geblieben is In eine Bliz werden Elekronen i einer Spannung U = MV beshleunig Berehnen Sie die kineishe Energie, die Gesaenergie, die Masse, die Geshwindigkei und den Ipuls der Elekronen A Reiher: Relaiiäsheorie 3

32 Lösungen: Die Relaiiäsheorien beruhen auf der Annahe, dass die Lihgeshwindigkei in allen Bezugssyseen gleih groß is, unabhängig daon, ob sie sih bewegen oder ob sie ruhen In der speziellen Relaiiäsheorie, die sih auf Körper bezieh, die sih i konsaner Geshwindigkei bewegen, reen folgende Effeke auf: a I bewegen Syse gehen die Uhren langsaer Die Zei wird gedehn Man sprih on Zeidilaaion b Körper ersheinen on eine bewegen Bezugssyse aus berahe in Bewegungsrihung erkürz Man nenn diese Ersheinung Längenkonrakion Masse und Energie sind proporional zueinander i de Proporionaliäsfakor nah Einseins berüher Forel E Daher kann an Masse in Energie Zersrahlung und Energie in Masse Paarbildung uwandeln d Die Masse ni i der Geshwindigkei zu e Geshwindigkeien können nih rein ariheish addier werden Die Sue zweier Geshwindigkeien kann aial die Lihgeshwindigkei ergeben In der allgeeinen Relaiiäsheorie werden auh beshleunige Bewegungen und Bewegungen i Graiaionsfeld berüksihig Es reen zusäzlihe Effeke auf: a Die Rau-Zei wird durh die Graiaion eines Körpers gekrü b Die Phoonen werden i Graiaionsfeld abgebres bzw abgelenk Das Newonshe Graiaionsgesez is nih ehr uneingeshränk gülig Es uss erweier werden Zwei Versuhe haben die Relaiiäsheorie begründe, zu einen das Miführungseperien on Fizeau und zu zweien das Mihelson-Morley-Eperien Fizeau erglih die Lihgeshwindigkei in ruhende Wasser i der in shnell fließende Wasser Dabei selle er fes, dass die Lihgeshwindigkei unabhängig daon war, ob das Wasser ruhe o- der sih bewege Das Lih wurde o Wasser nih igeführ, anders als ein Boo, das auf de Wasser shwi Mihelson und Morley besien i eine Inerferoeer s Abb die Lihgeshwindigkei in Rihung der Erdroaion und senkreh dazu Dazu zerlegen sie durh einen halbdurhlässigen Spiegel einen Lihsrahl, bei odernen Aufbauen einen Lasersrahl, in zwei Teilsrahlen, die sih senkreh zueinander auf je einen Spiegel zu bewegen Nah der Refleion wurden beide durh den halbdurhlässigen Spiegel zu Teil zu eine Shir abgelenk, wo sie ieinander inerferieren und ein Inerferenzuser ergaben je A Reiher: Relaiiäsheorie 3

33 nah Gangunershied zwishen den beiden Spiegeln Drehen Mihelson und Morley die Apparaur, so ändere sih das Muser nih Daraus folgeren sie, dass sih das Lih in Rihung der Erdroaion und senkreh dazu i gleiher Geshwindigkei ausbreie Das Lih wird also on der Erdbewegung nih igeführ, anders als ein Flugzeug, dass die Erdgeshwindigkei bei Sar ini bezogen auf das Welall Sie sellen keinen Unershied fes Abb: Mihelson Inerferoeer 3 Mi Hilfe der Lorenzransforaionen kann an Ors- und Zeiangaben on eine ruhenden Bezugssyse S in ein Bezugssyse S urehnen, das sih i der konsanen Geshwindigkei beweg Leg an die -Rihung in Rihung der Bewegung, so gelen folgende Urehnungen, auh Lorenzransforaionen genann: y z z y Die Inarianz der Lihgeshwindigkei besag, dass der A Reiher: Relaiiäsheorie 33

34 A Reiher: Relaiiäsheorie 34 Lihkegel, der on einer punkförigen Lihquelle ausgeh, unabhängig o Bewegungszusand des Bezugssyses ses einer Kugelshale ensprih Maheaish uss daher gelen: z y z y Ersez an in obiger Gleihung die Angaben i bewegen Syse S i Hilfe der Lorenzransforaionen, so erhäl an i k, z y z y k z y k k k k z y k k k k z y k z y was zu beweisen war 4 Es gelen folgende Geseze: a Addiionsheore der Geshwindigkeien: 3 3 3

35 Darin bedeuen: 3 : Geshwindigkei des Körpers i Syse S 3 : Geshwindigkei des Körpers i Syse S : Geshwindigkei des Syses S i Syse S b Massenzunahe: Darin bedeuen: : bewege Masse : Ruheasse : Geshwindigkei der Masse Längenkonrakion l l Darin bedeuen: l : Länge des Körpers i Ruhesyse l: Länge des Körpers i bewegen Syse : Geshwindigkei des Körpers d Zeidilaaion: Darin bedeuen: : Zei i Ruhesyse : Zei i bewegen Syse : Geshwindigkei des bewegen Syses e Äquialenz MasseEnergie E Darin bedeuen: E: Energie A Reiher: Relaiiäsheorie 35

36 : Masse f Relaiisishe kineishe Energie E kin Darin bedeuen: E kin : kineishe Energie : bewege Masse : Ruheasse In allen Foreln is die Lihgeshwindigkei 5 Benuz an die Bezeihnungen aus Aufgabe 4, so is: 3 Dai erhäl an in den einzelnen Teilaufgaben folgende Gesageshwindigkeien 3 a b ,96 A Reiher: Relaiiäsheorie 36

37 6 a Wenn sih die Masse erdoppel, so gil nah de Gesez für die Massenzunahe: und dai Daraus folg:,866,6 4 8 s b Das Elekron erhäl seine relaiisishe kineishe Energie durh die Beshleunigungsspannung U Daher gil: e U und dai U e 5,9 kev e e Nah klassisher Rehnung gil für die Geshwindigkei: e U und dai e U 4,4 8 s Nah der Relaiiäsheorie is das nih öglih A Reiher: Relaiiäsheorie 37

38 7 Für die Länge i anderen Syse gil: l l 3 7,45 3 und dai l l l 7,45,55 Für die Zei i anderen Syse gil: s 3 s 3,4s 3 und dai 3,4s s 3,4s 8 Da die Saellien jahrelang u die Erde kreisen, würden ihre Borduhren ier ehr on den Uhren a Boden abweihen, da die Zeidilaaion aufgrund der Geshwindigkei i der Flugzei zuni, ebenso die Zeikonrakion, erursah durh die Graiaion der Erde Daher üssen die Uhren i Funksignalen in regeläßigen Absänden neu synhronisier werden Denn Abweihungen der Uhren i Nanosekundenbereih erursahen durh die Lihgeshwindigkei der Funksignale A Reiher: Relaiiäsheorie 38

39 bereis Abweihungen i Meerbereih bei der Posiionsbesiung 9 Für die Zeidilaaion aufgrund der Fluggeshwindigkei gil: 5ns 4,3 4,5 s s 8 3 s Für die Zeikonrakion durh die erindere Graiaion erhäl an: g h 9,8 s 36s 8 3 s 47,ns Dai is der Mensh bei Flug u 47,ns 5ns 3,ns shneller gealer als ein Mensh auf der Erde Für die kineishe Energie der Elekronen gil: E kin e U,6,6 9 C J Dai erhäl an für ihre Gesaenergie: 8 V A Reiher: Relaiiäsheorie 39

40 E E kin,6 J 9, 3 kg 3 8 s,6 J Daraus errehne sih die Masse zu: E,6 8 3 J,789 8 kg Die Geshwindigkei kann an i Hilfe der Lösung zu Aufgabe 6 wie folg berehnen:, Den Ipuls kann an auf zweierlei Ar erieln, enweder in de an seine Definiionsgleihung anwende oder in de an die Forel aus Kapiel 9 benuz Mi der ersen Mehode erhäl an: p,789 5,367 8 kg, Hy 8 s Der zweie Rehenweg liefer das gleihe Ergebnis A Reiher: Relaiiäsheorie 4

41 3 Kriishe Anerkungen Bei näherer Berahung reen i Gedankengebäude der Relaiiäsheorie einige Widersprühe auf Zu einen hängen Rau und Zei o Syse ab Andererseis soll kein Inerialsyse gegenüber eine anderen beorzug sein Wie kann es dann sein, dass an bei der Ableiung der Längenkonrakion und Zeidilaaion i Hilfe der Lorenzransforaionen zu genau engegengesezen Aussagen koen kann, wenn an die Länge eines Sabes nih o ruhenden ins bewege Syse bzw die Zei nih o bewegen ins ruhende Syse ransforier, sondern ugekehr Dann ergib sih eine größere Länge des Sabes und eine kürzere Zei auf der Uhr i bewegen Syse Sa Längenkonrakion würde an Längendilaaion beobahen und sa Zeidilaaion Zeikonrakion U diese Widerspruh zu engehen, definieren die eisen Auoren in Abhandlungen zur Relaiiäsheorie bei Zeiessungen das bewege Syse als Eigensyse der Uhren, bei Längenessungen das ruhende Syse Also gib es doh ausgezeihnee Inerialsysee, wobei sih die Frage sell ruhend und beweg in Bezug auf wen oder was Die Widersprühe lassen sih durh die folgenden Überlegungen beheben Die Versuhsergebnisse, die ier wieder für die Güligkei der Relaiiäsheorie angeführ werden, können auh anders gedeue werden Abb: MihelsonMorley Eperien Aus den Überlegungen zu Thea Quanenphysik auf dieser Webseie ergab sih die kühne Forderung, dass in eine Phoonenshwar die einzelnen Phoonen saisish ereile Geshwin- A Reiher: Relaiiäsheorie 4

42 digkeien besizen üssen ähnlih wie in eine Elekronenhaufen Wende an diese Überlegung auf das Mihelson-Morley- Eperien an, so erhäl an in beiden Bezugssyseen die gleihe Zei, die der Lihsrahl für den Hinweg on der Lihquelle zu Spiegel bzw für den Rükweg o Spiegel zu Epfänger benöig, öllig unabhängig daon, ob die Apparaur sih beweg oder ruh Berahen wir dazu Abb Die Lihquelle L und die Spiegel S und S bewegen sih relai zu Fisernhiel i der Geshwindigkei nah rehs Der Lihsender L sende zu Zeipunk = ein Phoon P nah links aus Dieses wird a Spiegel S reflekier und gelang zu Epfänger E Unabhängig o Bezugssyse is die Laufzei für den Hin- und Rükweg gleih und zwar gleih der Laufzei bei ruhender Apparaur, aber nih, wie on Einsein posulier, weil das Lih sih unabhängig on der Geshwindigkei der Lihquelle i ausbreie, sondern gerade weil die Geshwindigkei des Lihes on der Geshwindigkei der Lihquelle abhäng Dadurh besiz das Lih auf de Weg zu Spiegel S i Miel die Geshwindigkei - und auf de Rükweg die Geshwindigkei + Auf de Hinweg beweg sih die Lihquelle engegen der Flugrihung des Lihes, auf de Rükweg in Rihung des Lihes Dafür is der Hinweg kürzer als der Rükweg, da sih bei Hinweg der Spiegel S auf das Lih zubeweg und nah der Refleion der Epfänger E o Lih weg Dai erhäl an für die Zei des Hinweges s s s und für die Zei des Rükweges s s s In beiden Gleihungen is die Zei, die der Lihsrahl bei ruhender Apparaur für den Hin- bzw Rükweg benöig A Reiher: Relaiiäsheorie 4

43 Lös an beide Foreln nah bzw auf, so erhäl an i ersen Fall und i zweien Fall analog Die Flugzei des Lihsrahles is ses gleih, öllig unabhängig daon, ob die Apparaur sih beweg oder ruh Mihelson und Morley konnen folglih keine Inerferenzersheinungen beobahen Dieses Ergebnis is kein Posula wie bei Einsein, sondern folg aus der Annahe, dass die Geshwindigkei des Lihes wie bei Shall on der Geshwindigkei der Quelle abhäng Allerdings gib es einen gewaligen Unershied zwishen beiden Wellenausbreiungen Shall benöig Luf als Mediu Sie is dai das Bezugssyse der Geshwindigkei Lih brauh kein Mediu, u sih auszubreien Einen Äher gib es nih Das Bezugssyse fürs Lih is der Fisernhiel, ein absolues, als ruhend anzusehendes Bezugssyse Wende an diese Überlegungen auf die Myonen in der Aosphäre an, so lassen sih die Beobahungen wie folg erklären Die Myonen brauhen keine Zeidilaaion und Längenkonrakion, u zur Erde zu gelangen Die ier Prozen on ihnen, die die Erdoberflähe erreihen, sind der saisishe Ausläufer der Gaußshen Geshwindigkeisereilung der Myonen, die i Überlihgeshwindigkei unerwegs sind und so in ihrer eigenen Halbwerszei bis zur Erdoberflähe fliegen können Solle sih diese Annahe besäigen, so häe sie, wie i Skrip zur Quanenehanik auf dieser Webseie bereis dargeleg, weireihende Konsequenzen für das Kausaliäsprinzip Nih ier ließen sih die wirklihen kausalen Zusaenhänge zweier Ereignisse erkennen, solange an sie nur i Lihgeshwindigkei beobahen kann Aber wie ier is das Eperien die leze Insanz in der Physik, die darüber ensheide, ob die heoreishen Überlegungen wahr oder falsh sind A Reiher: Relaiiäsheorie 43

44 4 Lieraur Prof Dr Dr Hors Melher: Sinn und Bedeuung der Speziellen Relaiiäsheorie, ershienen in Prais der Naurwissenshafen Physik in der Shule, Hef 445, Köln Juni 5 H A Lorenz: Der Inerferenzersuh Mihelsons, ershienen in Das Relaiiäsprinzip, Wissenshaflihe Buhgesellshaf, Darsad J Grehn, J Krause Hrsg, Mezler Physik, Shroedel- Verlag, Hannoer Dorn-Bader, Physik Gynasiu SEKII, Bildungshaus Shulbuherlage, Braunshweig A Reiher: Relaiiäsheorie 44