Einführung in die algebraische Zahlentheorie. Amir Džambić

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1 Einführung in die algebraische Zahlentheorie Amir Džambić 13. März 2009

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Vorwort Diophantische Gleichungen in der algebraischen Zahlentheorie 2 2 Arithmetik in Zahlkörpern Algebraische Vorbereitungen Ganzheit, ganzalgebraische Zahlen Hauptsatz der Dedekindschen Idealtheorie Folgerungen und Ergänzungen zum Hauptsatz Elemente der Verzweigungstheorie Geometrie der Zahlen Gitterpunktsatz von Minkowski Ganzalgebraische Zahlen als Gitterpunkte Klassenzahl Einheiten

3 Kapitel 1 Einleitung 1.1 Vorwort Das vorliegende Skript ist aus der zweistündigen Vorlesung Einführung in die algebraische Zahlentheorie, die ich an der Goethe-Universität in Frankfurt im Wintersemester 08/09 gehalten habe. Neben den grundlegenden algebraischen Strukturen der Zahlkörper und ihrer Hauptordnungen, und dabei insbesondere der Dedekindschen Idealtheorie, habe ich die klassischen Anwendungen der Minkowskischen Geometrie der Zahlen zur Bestimmung der Klassenzahlen und Einheiten diskutiert. Aus Mangel an Zeit konnten leider keine analytischen Methoden in der algebraischen Zahlentheorie (Zeta- und L- Funktionen) behandelt werden. Als Literautur habe ich hauptsächlich folgende Bücher herangezogen: J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, Grundlehren der mathematichen Wissenschaften (1992) H. Koch: Zahlentheorie. Vieweg (1997) D. Marcus: Number Fields. Springer, Universitext (1977) Ich möchte den Leser auf die Gefahr aufmerksam machen, dass der Text in diesem Zustand noch fehlerhaft sein könnte, und würde ihm daher sehr empfehlen, den Text kritisch zu lesen. Ich bedanke mich bei Thorsten Riedel für seine zahlreiche Hinweise auf Fehler in der früheren Version des Manuskripts. Für weitere Hinweise auf Fehler jeder Art bin ich dankbar. 1.2 Diophantische Gleichungen in der algebraischen Zahlentheorie Algebraische Zahlentheorie ist eine mathematische Disziplin, die sich systematisch mit den algebraischen Zahlen, also Nullstellen von Polynomen aus Q[x], und insbesondere mit den ganzalgebraischen Zahlen, d.h. Nullstellen von normierten Polynomen aus Z[x], als algebraischen Objekten beschäftigt. Diese Disziplin ist in einer natürlichen Weise aus einigen klassischen Problemen der elementaren Zahlentheorie entstanden, die nach ganzzahligen Lösungen 2

4 von gewissen diophantischen Gleichungen, also polynomialen Gleichungen in mehreren Variablen mit den Koeffizienten in Z, fragen. Die wohl berühmteste solche Gleichung ist die sogenannte Fermat-Gleichung x n + y n = z n. (1.2.1) Der große Satz von Fermat, auch Fermatsche Vermutung genannt 1, sagt aus, dass diese Gleichung für n > 2 nur die trivialen ganzzahligen Lösungen, d.h. (0, 0, 0), (±1, 0, ±1), (0, ±1, ±1) und ihre ganzzahlige Vielfache, besitzt. Ein wichtiger Punkt in der Entwicklung der modernen algebraischen Zahlentheorie, wenn nicht ihre Geburtstunde, sind die Arbeiten von Ernst Eduard Kummer zur Fermat-Gleichung. Die Methode, die er für gewisse prime Exponenten n der Gleichung (1.2.1) erfolgreich anwendete, bestand darin, die Gleichung (1.2.1) als eine Gleichung im Kreisteilungskörper der n-ten Einheitswurzeln zu betrachten. Aufgrund der Arithmetik in diesem Körper konnte er Konsequenzen für die Fermat-Gleichung ziehen. Aber mehr noch hat er erkannt, wo die Grenzen seiner Methode liegen und von welchen arithmetischen Eigenschaften diese abhängen. Diese Untersuchungen gaben den Anstoß für die Entwicklung der modernen Zahlentheorie, die von Mathematikern wie Richard Dedekind, Emmy Noether und anderen erfolgreich vorangetrieben wurde. Um die erste Einsicht in die Methode von Kummer und um auch den Vorgeschmack auf die algebraische Zahlentheorie zu geben betrachten wir die Gleichung (1.2.1) zum Exponenten 2, also die Gleichung des Pythagoras, und fragen nach den ganzzahligen Lösungen, von den es unendlich viele gibt, wie schon Diophant wußte. Sei i = 1 und Z[i] = {α = a + bi a, b Z}. Wir nennen die Elemente aus Z[i] die ganzen Gaußschen Zahlen. Z[i] ist ein kommutativer Ring mit 1 ohne Nullteiler, ist isomorph zu Z[x]/(x 2 + 1) und enthält Z. Auf Z[i] ist eine Normabbildung definiert durch N(a + ib) = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2. Diese Abbildung ist multiplikativ und hat Werte in den natürlichen Zahlen (inklusive Null). Die Normabbildung ist eine sehr hilfreiche Funktion. Man weiß zum Beispiel, dass eine Gaußsche Zahl α genau dann eine Einheit ist, wenn N(α) = 1 (eine leichte Übung). Damit folgt unmittelbar (Übung), dass die einzigen Einheiten in Z[i] die vierten Einheitswurzeln 1, 1, i, i sind. Der wesentliche Hilfssatz für die Anwendung der ganzen Gaußschen Zahlen auf diophantische Gleichungen ist die Tatsache, dass in Z[i] die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung garantiert ist. Lemma Z[i] ist ein Euklidischer Ring. Insbesondere ist Z[i] faktoriell. Beweis. Ein unmittelbarer Kandidat für die Gradabbildung eines Euklidischen Rings ist die schon betrachtete Normabbildung N : Z[i] N 0. Um zu zeigen, 1 bewiesen durch A. Wiles in

5 dass Z[i] Euklidisch ist, müssen wir nachweisen, dass zu zwei ganzen Gaußschen Zahlen α und β 0, Elemente κ, ρ Z[i] existieren mit der Eigenschaft, dass α = κβ + ρ und N(ρ) < N(β) gilt. Weil wir β 0 angenommen haben, ist α/β = R + is mit rationalen Zahlen R, S Q. Wir wählen x, y Z mit der Eigenschaft, dass R x 1/2 und S y 1/2. Dann gilt N(α/β (x+iy)) = N(R+iS (x+iy)) = N((R x)+i(s y)) 1/4+1/4 = 1/2. Wir setzen κ = x + iy. Dann liefert die Multiplikativität der Norm N(α κβ) 1/2N(β). Mit ρ = α κβ haben wir die gewünschte Bedingung erhalten. Betrachten wir nun die diophantische Gleichung x 2 + y 2 = z 2. (1.2.2) Es ist leicht zu sehen, dass es ausreichend ist, sich nur auf diejenigen Lösungen (x, y, z) von (1.2.2) zu konzentrieren, bei den x, y und z teilerfremd sind. Wir nennen solche Lösungen primitiv. Wir können die pythagoräische Gleichung als eine Normgleichung in den ganzen Gaußschen Zahlen interpretieren, nämlich als bzw. als eine multiplikative Gleichung N(x + iy) = N(z) = z 2, αα = z 2, (1.2.3) zwischen zwei Gaußschen Zahlen α = x + iy und α = x iy. Nun kann man allgemein folgendes zeigen (Übung): Seien γ und δ teilerfremde ganze Gaußsche Zahlen, mit der Eigenschaft, dass γδ = η 2 gilt. Dann gibt es Einheiten ɛ, ɛ Z[i] mit γ = ɛω 2 und δ = ɛ θ 2. Mit anderen Worten, wenn das Produkt ein Quadrat ist, dann sind die Faktoren auch Quadrate (bis auf eine Einheit). Das ist eine Tatsache, die in den ganzen Zahlen selbstverständlich auch gilt. Wendet man diese Tatsache auf die zu der pythagoräischen Gleichung (1.2.2) äquivalente Gleichung (1.2.3) folgert man (Übung) Theorem Die diophatische Gleichung (1.2.2) hat unedlich viele ganzzahlige Lösungen. Alle primitiven Lösungen sind von der Form x = u 2 v 2, y = 2uv, z = u 2 + v 2 mit der Eigenschaft, dass u > v > 0, teilerfremd und nicht beide ungerade. Eine Variation der pythagoräischen Gleichung x 2 + y 2 = z 2 ist die von Fermat betrachtete Frage, wann eine Primzahl Summe von zwei Quadraten ist. Wir fragen also nach der Existenz von ganzzahligen Lösungen der Gleichung 4

6 x 2 + y 2 = p, (1.2.4) wobei p eine Primzahl ist. Wieder können wir diese Gleichung als eine Normgleichung in den ganzen Gaußschen Zahlen interpretieren. Die Frage nach den ganzzahligen Lösungen der Gleichung (1.2.4) ist nämlich äquivalent zu der Frage nach der Existenz von ganzen Gaußschen Zahlen π = x + iy, mit der Eigenschaft, dass für die Norm gilt N(π) = p. Lemma Es gilt 1. 2 = N(1 + i) 2. Sei p eine Primzahl, p 1 mod 4, dann ist p kein Primelement in Z[i]. Beweis. Die Aussage 1. ist klar. Wenn p 1 mod 4, dann ist 1 ein quadratischer Rest modulo p. Das sagt das erste Ergänzungsgesetz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz aus. Wir können es kann aber auch direkt sehen: Angenommen p = 1 + 4n. Nach dem Satz von Wilson ist dann 1 (p 1)! = (4n)! = 1 2 (p 1) = ( 1 2 2n )( (p 1) (p 2n)) ) (2n)! ( ( 1) 2n (2n)! ) mod p ((2n)!) 2 mod p. Sei x ein Repräsentant der Klasse (2n)! mod p, welches kleiner als p ist. Dann gilt p x in Z. Damit gilt in Z[i] p (x + i)(x i). Andererseits teilt p keinen der Faktoren (x ± i), weil x p ± i p nicht in Z[i] liegt. Somit ist p nicht prim. Folgerung Eine Primzahl p läßt sich genau dann als Summe von zwei Quadraten schreiben, wenn entweder p = 2 oder p 1 mod 4 ist. Beweis. 2 = Ist p eine ungerade Primzahl, für die p = x 2 + y 2 gilt, dann ist p 1 mod 4, weil Quadrate immer kongruent zu 0 oder zu 1 modulo 4 sind. Wir haben schon festgestellt, dass die Bedingung, dass p sich als Summe von zwei Quadraten schreiben läßt äquivalent ist zu der Bedingung, dass p eine Norm eines Elementes aus Z[i] sein muss. Nach Lemma sind die Primzahlen p 1 mod 4 nicht prim in Z[i]. Also gibt es Nichteinheiten α, β Z[i] mit der Eigenschaft p = αβ. Dann ist p 2 = N(p) = N(α)N(β) und N(α), N(β) 1. Dann ist p = N(α) = N(β) und ist somit eine Norm. Die wesentliche Idee bei unseren beiden Beispielen und das ist die treibende Idee, die zur Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie geführt hat ist der Übergang von einer schwer zugänglicher Gleichung in den ganzen Zahlen zu einer hoffentlich einfacheren Gleichung in einem Erweiterungsring (wie etwa Z[i]). Genauer, eine diophantische Gleichung ist im Allgemeinen gemischt, vom additiven und multiplikativen Typ. Mit dem Übergang zu dem richtigen Erweiterungsring wird die Gleichung zu einer rein multiplikativen Gleichung, die in der Regel einfacher zu behandeln ist. Der Erfolg hängt davon ab, wie kompliziert die Arithmetik in diesem Erweiterungsring ist. In unseren beiden Beispielen etwa, war die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Z[i] zentral. In dieser Vorlesung werden die artihmetische Struktur 5

7 solcher Zahlringe studieren und werden gewisse Invarianten kennen lernen, die ein Maß dafür sind, wie kompliziert die Arithmetik algebraischer Zahlen ist. Die zentralen Objekte bei der Untersuchung der Arithmetik der Zahlringe, um die sich auch die Vorlesung aufbauen wird, sind die sogenannte Klassengruppe und die Einheitengruppe. Wir werden sehen, wie man mit Hilfe geometrischer und analytischer Methoden, die auf Peter Gustav Lejeune Dirichlet und Hermann Minkowski zurückgehen, Aussagen zu diesen Objekten treffen kann. Diese Methoden weisen auch sehr interessante Verbindungen zwischen der Zahlentheorie und mehr geometrischen Objekten auf. 6

8 Kapitel 2 Arithmetik in Zahlkörpern 2.1 Algebraische Vorbereitungen Seien K und L Körper und K L. Dann sagen wir, dass K ein Unterkörper von L ist und dass L eine Erweiterung oder ein Erweiterungskörper von K ist. Wir schreiben oft L/K, um diese Situation anzudeuten. Gegeben eine solche Erweiterung L/K, dann ist L offensichtlich ein K-Vektorraum. Die Dimension dim K L =: [L : K] heißt der Grad der Erweiterung. Dieser kann endlich sein, wir sprechen dann von einer endlichen Erweiterung, oder der Grad kann unendlich sein, wir sagen dann, dass die Erweiterung unendlich ist. Eine Basis der Erweiterung L/K ist einfach eine Basis des K-Vektorraums L. Wir nennen ein Element a L algebraisch über K, wenn ein Polynom f(x) K[x] existiert mit der Eigenschaft, dass f(a) = 0 gilt. Andernfalls sagen wir, dass a transzendent über K ist. Wir nennen L/K algebraisch, wenn alle a L algebraisch über K sind. Zu gegebenen Elementen a 1,..., a n L schreiben wir K(a 1,..., a n ) für den kleinsten Körper, der mit K auch alle a 1,..., a n enthält. Wir sagen K(a 1,..., a n ) entsteht durch Adjunktion der Menge {a 1,..., a n } an K. Im Fall n = 1, also bei einer Erweiterung K(a)/K sprechen wir von einer einfachen Erweiterung. Ist a algebraisch über K, dann gibt es ein irreduzibles und normiertes Polynom p a (x) K[x] mit der Eigenschaft, dass gilt K(a) = K[x]/ p a (x), wobei p a (x) das von p a (x) erzeugte Ideal bezeichnen soll. Insbesondere ist p a (a) = 0 und p a (x) ist minimal mit dieser Eigenschaft im Sinne, dass aus f(a) = 0 folgt p a f. Das Polynom p a (x) heißt das Minimalpolynom von a. Der Grad des Minimalpolynoms ist genau der Grad der Erweiterung K(a)/K. Einen Unterkörper K C nennen wir einen algebraischen Zahlkörper, oder kurz Zahlkörper, wenn K eine endliche Erweiterung von Q ist. Der Grad von K ist einfach der Grad [K : Q]. Die Bedingung, dass ein Zahlkörper in C enthalten sein muss, die wir in der obigen Definition fordern, dient lediglich dazu, uns auf einen algebraischen Abschluß von Q festzulegen. Wir nehmen nämlich den, der in C enthalten ist. Wir nennen zwei prominente Beispiele von Zahlkörpern, die uns auch stets 7

9 begleiten werden: A) Sei d Z, d 0, 1, quadratfrei. Dann heißt Q( d) ein quadratischer Zahlkörper. Weil x 2 d das Minimalpolynom von d ist, hat Q( d) Grad 2. Eine Basis von Q( d) ist {1, d} und damit Q( d) = {a + db a, b Q}. B) Sei ζ eine primitive n-te Einheitswurzel. Also ist ζ eine Nullstelle des Polynoms x n 1 mit der Eigenschaft, dass alle anderen Nullstellen Potenzen von ζ sind. Wir können ζ = exp(2πi/n) wählen. Wir nennen den Körper Q(ζ), den n-ten Kreisteilungskörper. Das Minimalpolynom von ζ ist das n-te Kreisteilungspolynom (k,n)=1 (x ζk ). Daher ist der Grad von Q(ζ) genau ϕ(n), wenn ϕ( ) die Eulersche phi-funktion bezeichnet. Ist n = p eine Primzahl, dann hat das p-te Kreisteilungspolynom die Gestalt x p 1 + x p x + 1. Eine Basis von Q(ζ) ist {1, ζ,..., ζ p 2 }. Als eine endliche Erweiterung ist jeder Zahlkörper eine algebraische Erweiterung von Q. Aber es gilt mehr: Jeder Zahlkörper ist eine separable Erweiterung von Q, d. h. das Minimalpolynom eines jeden Elements hat nur einfache Nullstellen in K. Aus Separabilität folgt die Existenz eines primitiven Elements für K/Q, d. h. es gibt ein θ K mit der Eigenschaft, dass K = Q(θ). Insbesondere ist jeder Zahlkörper eine einfache Erweiterung von Q. Die Begriffe der Norm und der Spur sind sehr wichtige Hilfsmittel in unseren Betrachtungen. Wir erinnern uns kurz an diese. Sei L/K eine endliche separable Körpererweiterung vom Grad n = [L : K] und sei Hom K (L, K) die Menge der Homomorphismen von L in den algebraischen Abschluß von K, die K elementweise festhalten. Wir nennen die Elemente σ Hom K (L, K) K- Einbettungen, oder kurz Einbettungen, von L 1. Lemma Sei L/K separabel und [L : K] = n. Dann gibt es genau n Homomorphismen σ Hom K (L, K). Beweis. Der Grund ist der Folgende: Sei θ ein primitives Element von L/K und sei p θ (x) = x n + a n 1 x n a 0 das Minimalpolynom von θ. Sei σ Hom K (L, K). Wir beachten, dass σ eindeutig bestimmt ist durch das Bild θ σ := σ(θ), weil {1, θ,..., θ n 1 } eine Basis von L/K ist. Wir wenden σ auf die definierende Gleichung θ n + a n 1 θ n a 1 θ + a 0 = 0 an und wir erhalten, wegen a σ j = a j, (θ σ ) n + a n 1 (θ σ ) n a 1 θ σ + a 0 = 0. Damit ist θ σ ebenfalls eine Nullstelle des Minimalpolynoms. Weil L/K separabel ist, hat das Minimalpolynom genau n verschiedene Nullstellen. Das ist die Anzahl der möglichen Einbettungen. Seien θ = θ, θ,..., θ (n) alle Nullstellen des Minimalpolynoms p θ. Dann definiert σ (i) : θ θ (i) eine K-Einbettung von L. Damit sind auch alle Einbettungen realisiert. 1 Der Begriff Einbettung weist auf die Injektivität der Abbildung hin. Aus der Algebra wissen wir aber, dass Körperhomomorphismen stets injektiv sind. 8

10 Für alle x L sind dann die relative Norm und die relative Spur definiert durch: N L/K (x) = x σ (2.1.1) T r L/K (x) = σ Hom K (L, K) σ Hom K (L, K) x σ (2.1.2) Gegeben seien n Elemente α 1,... α n von L/K. Man definiert die Diskriminante d(α 1,..., α n ) dieser Menge als das Quadrat der Determinante der Matrix (α σi j ) i,j, d(α 1,..., α n ) = det[(α σi j ) i,j] 2. Dabei sind die Einbettungen aus Hom K (L, K) durchnummeriert, Hom K (L, K) = {σ 1, σ 2,..., σ n }. Wir fassen einige Eigenschaften der Norm, Spur und der Diskriminante zusammen: Lemma Sei L/K separabel und endlich vom Grad n. Es gilt: 1. Die relative Norm definiert einen Homomorphismus N L/K : L K. Insbesondere ist N L/K ( ) multiplikativ. Ist x K, dann ist N L/K (x) = x n 2. d(α 1,..., α n ) = det(t r L/K (α i α j )) 3. {α 1,..., α n } ist eine Basis von L/K d(α 1,..., α n ) 0. Die relative Spur definiert eine nichtausgeartete Bilinearform auf L. Für x K ist T r L/K (x) = nx. (x, y) T r L/K (xy) 4. Bei einem Turm F/L/K von (endlichen separablen) Erweiterungen gilt N F/K = N L/K N F/L und T r F/K = T r L/K T r F/L Beweis. Die Aussage 1 ist eine unmittelbare Folgerung aus der Definition. Man beachte, dass das Bild N L/K (α) immer in K liegt, weil N L/K (α) invariant unter allen Homomorphismen σ Hom K (L, K) ist. 2. Sei A = (α σj i ), also d(α 1,..., α n ) = (det A) 2. Die Matrix B = A t A hat folglich α σ k j = k (α iα j ) σ k = T r L/K (α i α j ). Damit ist als Einträge B i,j = 1 k n ασ k i A t A = (T r L/K (α i α j )) und det A 2 = det(t r L/K (α i α j )). Die Aussage 3 hängt nicht von der Wahl der Basis ab. Dann wählen wir ein primitives Element θ und damit eine Basis 1, θ,..., θ n 1 von L/K. Seien θ 1 = θ σ1 = θ, θ 2 = θ σ2,..., θ n = θ σn die Konjugierten von θ. Die Diskriminante d(θ) = d(1, θ,..., θ n 1 ) ist einfach das Quadrat der Determinante der Vandermondeschen Matrix, d(θ) = i<j (θ i θ j ) 2, die nicht verschwindet, weil für i j gilt θ i = θ σi θ j = θ σj. Nach der Interpretation der Diskriminante wie in 2., impliziert das Nichtverschwinden von d(α 1,..., α n ) die Regularität der Bilinearform T r L/K (, ), deren Darstellungsmatrix gerade [T r L/K (α i α j )] ist. 9

11 Die vierte Aussage verifiziert man direkt. So ist etwa für die Norm nach Definition N F/K (x) = x σ. σ Hom K (F, K) Die Relation σ τ σ L = τ L στ 1 Hom L (F, K) definiert eine Äquivalenzrelation auf Hom K (F, K) und damit ist für jedes feste σ x τ = N F/L (x) σ. Dann ist N F/K (x) = σ τ σ N F/L (x σ ) = N L/K (N F/L (x)), wobei σ ein Repräsentantensystem bzgl. durchläuft. Bei der Spur argumentiert man genauso. 2.2 Ganzheit, ganzalgebraische Zahlen Sei A ein Integritätsbereich, d. h. ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Eins. Sei K = Quot(A) der Quotientenkörper von A, d.h. der kleinste Körper, der A enthält, und sei L eine Erweiterung von K. Ein Element α L heißt ganz über A, falls α einer normierten polynomialen Gleichung α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 = 0, (2.2.1) bei der alle a i A liegen, genügt. Wir geben zwei weitere, äquivalente Charakterisierungen der Ganzheit: Lemma Folgende Aussagen sind äquivalent: a) α L ist ganz über A. b) Es existiert ein endlich erzeugter und nichttrivialer A-Modul M L mit der Eigenschaft, dass αm M. c) A[α] ist ein endlich erzeugter A-Modul. Beweis. Erfüllt α die Gleichung (2.2.1), dann ist der A-Modul A[α] = 1, α,..., α n 1 = A + Aα + Aα Aα n 1 offensichtlich endlich erzeugt. Also a) c). c) b) gilt, weil man M = A[α] wählen kann. Angenommen es gilt αm M mit M =< y 1,..., y n >, dann ist bzw. (α a 11 )y 1 αy 1 = n i=2 n a 1i y i,..., αy n = i=1 n a ni y i, (2.2.2) i=1 n 1 a 1i y i = 0,..., (α a nn )y n a ni y i = 0, (2.2.3) 10 i=1

12 mit gewissen a ij A, die nicht alle 0 sind. Dann verschwindet die Determinante der Matrix [α1 n (a ij )] (2.2.4) ( 1 n sei die Einheitsmatrix) und liefert damit eine Gleichung der Form (2.2.1) für α. Damit gilt b) a) Allgemeiner heißt ein Ring B L ganz über A, wenn alle seine Elemente ganz über A sind. Ganzheit ist eine Eigenschaft, die sich auf Erweiterungen vererbt. Das zeigt das folgende Lemma Seien A B C Integritätsbereiche mit der Eigenschaft, dass B ganz über A und C ganz über B ist. Dann ist auch C ganz über A. Beweis. Weil C ganz über B ist, erfüllt jedes c C eine Gleichung der Form c n + b n 1 c n b 1 c + b 0 = 0 mit gewissen b 0,... b n 1 B. Sei R = A[b 0,..., b n 1 ]. Es folgt induktiv aus Lemma c), dass R ein endlich erzeugter A-Modul ist. Und weil R[c] ein endlich erzeugter R-Modul ist, ist es auch endlich erzeugt als A-Modul. Nach Lemma ist dann c ganz über A. Wir interessieren uns nun für die Struktur der Menge aller über A ganzen Elemente aus L, die wir mit A L bezeichnen, A L = {α L α ganz über A}. Dann ist A L ein Ring und heißt der ganze Abschluß von A in L. Es ist nicht schwer einzusehen, dass A L ein Ring ist: Sind nämlich α 1, α 2 zwei Elemente aus A L, dann gibt es endlich erzeugte A-Moduln M 1 und M 2, beide 0, so dass α 1 M 1 M 1 und α 2 M 2 M 2 ( α 1, α 2 sind ganz über A!). Für die endlich erzeugte Moduln M 1 + M 2, M 1 M 2 (das von allen Summen m 1 + m 2, m 1 M 1, m 2 M 2, bzw. allen Produkten m 1 m 2, m 1 M 1, m 2 M 2 erzeugte Moduln) gilt dann (α 1 +α 2 )(M 1 +M 2 ) M 1 +M 2 und α 1 α 2 M 1 M 2 M 1 M 2. Damit ist A L ein Ring. Einen Ring A L nennen wir ganzabgeschlossen in L, wenn A = A L. Wir sagen, dass A ganzabgeschlossen ist, wenn A ganzabgeschlossen in K (seinem Quotientenkörper) ist, also falls A = A K. Lemma Jeder faktorelle Ring A ist ganzabgeschlossen. Beweis. Wir betrachten ein a/b K = Quot(A), von dem wir annehmen dürfen, dass es gekürzt ist, und wir nehmen an, dass a/b ganz über A ist. Dann genügt a/b einer Gleichung (a/b) n + a n 1 (a/b) n a 1 (a/b) + a 0 = 0, also gilt a n + a n 1 a n 1 b a 1 ab n 1 + a 0 b n = 0 a n = (a n 1 a n 1 b a 0 b n ) Die zweite Gleichung impliziert nun, dass jeder Primteiler π von b auch a teilen wird. Das steht im Widerspruch zur Annahme, dass a/b gekürzt ist. Folglich ist b eine Einheit in A und a/b A. A ist also ganzabgeschlossen. Aus Lemma shließen wir auf die folgende Eigenschaft des ganzen Abschlußes. Proposition Gegeben sei ein Turm von Körpererweiterungen K = Quot(A) L E und sei B = A L der ganze Abschluß von A in L. Dann gilt 11

13 a) B ist ganzabgeschlossen (d. h. ganzabgeschlossen in L). b) B E = A E, d. h. der ganze Abschluß von A in E und der ganze Abschluß von B in E sind gleich. Unser Hauptinteresse gilt den Ringen, die ganz über Z sind, den sog. Ringen von ganzalgebraischen Zahlen. Eine über Q algebraische Zahl heißt ganzalgebraisch, wenn sie ganz über Z ist. Den ganzen Abschluß O K := Z K von Z in einem Zahlkörper K nennt man den Ring der ganzen Zahlen in K oder die Hauptordnung von K. Unsere obigen Ausführungen implizieren sofort Lemma Es gilt: a) O K ist ganzabgeschlossen. b) Ist L/K eine Erweiterung von Zahlkörpern, dann ist O L der ganze Abschluß von O K in L. c) O K Q = Z. Beweis. Die ersten zwei Behauptungen sind unmittelbare Folgerungen aus Lemma Um c) zu beweisen, benutzen wir, dass Z ganzabgeschlossen ist, weil faktoriell (Lemma 2.2.3). Damit ist ein α O K Q einerseits ganz über Z und liegt gleichzeitig in Q = Quot(Z). Also α Z. Es stellt sich heraus, dass die Norm und die Spur sehr nützlich sind für die Charakterisierung der Ganzheit sind. Proposition Sei K ein Zahlkörper. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. α ist ganzalgebraisch. 2. Das Minimalpolynom von α K hat Koeffizienten in Z. Zusätzlich gilt 3. Wenn α ganzalgebraisch ist, dann ist jede ihrer Konjugierten α σ, σ Hom Q (K, C), auch ganzalgebraisch. 4. Ist α O K, dann liegen N K/Q (α) und T r K/Q (α) in Z. Beweis ist klar. Sei umgekehrt α ganzalgebraisch. Dann erfüllt es eine Gleichung f(α) = 0 mit einem normierten Polynom f(x) Z[x]. Dann gilt für einen irreduziblen Faktor p(x) von f(x) auch p(α) = 0. Das ist nach Definition das Minimalpolynom von α. Um die Aussage 3. zu zeigen, nehmen wir an, dass α O K ist und betrachten eine Gleichung α n + a n 1 α n a 0 = 0, die α erfüllt, und bei der alle Koeffizienten in Z liegen. Wenden wir nun ein σ Hom Q (K, C) auf diese Gleichung an, erhalten wir ( α n + a n 1 α n a 0 ) σ = (α σ ) n + a n 1 (α σ ) n a 0 = 0. Das ist offensichtlich eine Gleichung, die α σ als ein Element aus O K charakterisiert. 12

14 Die letzte Aussage ist eine Folgerung aus 3: Ist α aus O K, dann auch alle α σ, σ Hom Q (K, C). Dann aber auch N K/Q (α) = σ Hom Q (K,C) ασ und T r K/Q (α) = σ Hom Q (K,C) ασ. Aber gleichzeitig liegen N K/Q (α) und T r K/Q (α) in Q nach Lemma Also N K/Q (α), T r K/Q (α) O K Q = Z nach Lemma Um die erste ganz wichtige Invariante einer Hauptordnung zu definieren, benötigen wir weitere vorbereitende Bemerkungen und wollen unsere Ausführungen noch um den Begriff der Ganzheitsbasis erweitern. Dazu beweisen wir Theorem Sei K ein Zahlkörper vom Grad n und O K der Ring der ganzen Zahlen in K. Dann ist O K ein freier Z-Modul vom Rang n, d. h. es existieren ω 1,..., ω n O K mit der Eigenschaft, dass jedes x O K als Linearkombination x = a 1 ω a n ω n mit eindeutig bestimmten a 1,..., a n Z geschrieben werden kann. Beweis. Zum Beweis genügt es zu zeigen, dass es freie Z-Moduln M 1 und M 2 vom Rang n gibt, mit der Eigenschaft, dass M 1 O K M 2 gilt. Sei α 1,..., α n eine Basis von K/Q. Wir finden dann eine ganze Zahl c Z mit der Eigenschaft, dass cα j O K für alle j = 1,..., n. Dazu beachten wir, dass jedes α K eine algebraische Gleichung α m + q m 1 α m q 0 mit q 0,..., q m 1 Q erfüllt. Multiplizieren wir diese Gleichung mit der (m 1)- ten Potenz des Hauptnenners h der q 0,..., q m 1, dann erhalten wir eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten für hα, die vom Typ (2.2.1) ist. Nehmen wir für c das kleinste gemeinsame Vielfache aller Hauptnenner der Koeffizienten der α j, dann gilt cα j O K für alle j = 1,..., n. Wir können also ohne Beschränkung der Allgemeinheit {α 1,..., α n } O K annehmen. Dann ist M 1 = Zα Zα n ein freier Z-Modul vom Rang n, der in O K liegt. Zur Konstruktion von M 2 betrachten wieder eine Basis α 1,..., α n von K/Q, von der wir o. B. d. A. annehmen, dass alle α i in O K liegen. Nach Lemma ist die von der Spur T r K/Q ( ) induzierte Bilinearform nicht ausgeartet, woraus folgt, dass der Q-Vektorraum K zu seinem Dualraum K = Hom(K, Q) isomorph ist via x < x, >= T r K/Q (x ). Sei α 1,..., α n die Komplementärbasis von K, d. h. so gewählt, dass < α i, α j >= δ ij, wobei δ ij das Kronecker-Delta bezeichnet. Wir beachten wieder, dass wir immer ein c Z wählen können, so dass für jedes i = 1,..., n die Zahl c α i in O K liegt. Sei nun x O K. Dann hat x eine Darstellung x = a 1 α a n α n, wobei alle a i aus Q sind. Die Zahl xc α i ist ganz über Z und nach Konstruktion ist T r K/Q (xc α i ) = T r K/Q (ca 1 α i α ca i α i α i +...) = ca i Nach Proposition ist T r K/Q (O K ) Z, womit ca i Z. Dann liegt x in dem Z-Modul vom Rang n Weil x beliebig war, folgt O K M 2. M 2 = Zc 1 α Zc 1 α n. 13

15 Die Aussage des Satzes kann man auch als eine Aussage über die Existenz von ganz speziellen Basen von K/Q verstehen. Allgemein definiert man bei gegebener endlichen und separablen Erweiterung L/K, mit A K = Quot(A) ganzabgeschlossen und B = ĀL, eine Ganzheitsbasis ω 1,..., ω n von B über A als eine Basis von L/K mit den Eigenschaften: i) ω 1,..., ω n B. ii) Jedes x B kann eindeutig geschrieben werden als x = a 1 ω a n ω n mit gewissen a 1,..., a n A. Die Existenz einer Ganzheitsbasis für B ist gleichwertig mit der Eigenschaft, dass B ein freier A-Modul ist, und im Allgemeinen gibt es keine Ganzheitsbasen. Der Satz garantiert aber die Existenz einer Ganzheitsbasis für die Hauptordnung O K eines Zahlkörpers über Z, die wir kurz eine Z-Basis nennen wollen. Die Diskriminante gibt ein nützliches Kriterium bei der Entscheidung, ob die gegebene Basis eine Z-Basis ist oder nicht. Dazu notieren wir eine unmittelbare Folgerung aus dem Elementarteilersatz. Lemma Sei K ein Zahlkörper vom Grad n und seien M = α 1,..., α n und N = β 1,..., β n zwei Z-Moduln vom Rang n und M N O K. Dann ist der Index (N : M) endlich und berechnet sich als (N : M) 2 = d(α 1,..., α n ) d(β 1,..., β n ) Beweis. Weil M N, ist jedes α i (i=1,...,n) dargestellt als α i = n j=1 a ijβ j mit gewissen ganzzahligen Koeffizienten a ij Z. Sei A = (a ij ) M n (Z). Nach dem Elementarteilersatz gibt es invertierbare Matrizen P, Q GL n (Z) mit der Eigenschaft, dass Insbesondere folgt daraus P AQ = diag(d 1,..., d n ) mit d 1 d 2... d n. N/M = Z/d 1 Z... Z/d n Z, und damit (N : M) = N/M = d 1 d n = det(p AQ) = det A. Andererseits ist aber d(α 1..., α n ) = (det A) 2 d(β 1,..., β n ), wie man leicht sieht. Folgerung Sei K ein Zahlkörper vom Grad n. Sei {ω 1,..., ω n } eine Z-Basis von K und sei M = α 1,..., α n O K ein Untermodul vom Rang n mit d(α 1,..., α n ) = d(ω 1,..., ω n ). Dann gilt M = O K. Insbesondere ist die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von O K von der Wahl der Basis unabhängig. Die Folgerung berechtigt uns die Diskriminante einer Ganzheitsbasis d(ω 1,..., ω n ) von O K als die Diskriminante von K zu nennen. Wir schreiben kurz d K für diese. Sie ist eine zentrale Invariante des Zahlkörpers. Wir schließen diesen Abschnitt mit Beispielen. Theorem Sei K = Q( d) ein quadratischer Zahlkörper mit o.b.d.a d Z quadratfrei. Dann gilt: { d, wenn d 2, 3 mod 4 O K = Z + Zω mit ω = 1+ d 2, wenn d 1 mod 4 14

16 Für die Diskriminante d K gilt: { 4d, wenn d 2, 3 mod 4 d K = d, wenn d 1 mod 4 Beweis. Jedes a K erfüllt die quadratische Gleichung a 2 + T r K/Q (a)a + N K/Q (a), woraus folgt, dass a O K genau dann, wenn die Spur und die Norm in Z liegen, also a = a 1 + a 2 d K mit a1, a 2 Q ist ganz genau dann, wenn T r K/Q (a) = 2a 1 Z und N K/Q (a) = a 2 1 a 2 2d Z. Dann ist auch 2a 2 Z, weil (2a 2 ) 2 d = (2a 1 ) 2 4(a 2 1 a 2 2d) Z und d als quadratfrei vorausgesetzt ist. Somit ist a 1 = A/2, a 2 = B/2 mit A, B Z und A 2 B 2 d 0 mod 4. Ist nun d 2, 3 mod 4, dann ist die letzte Kongruenz nur durch gerade A, B erfüllt, also a = A + B d, mit A, B Z. Im Fall d 1 mod 4 ist die letzte Kongruenz äquivalent zu A B mod 2, d. h. A = B + 2C und a = C + B(1 + d)/2 mit B, C Z. Die Berechnung der Diskriminante sei dem Leser überlassen. Neben den quadratischen Zahlkörpern, wollen wir auch Ganzheitsbasen von Kreisteilungskörpern diskutieren. Wir brauchen aber einige vorbereitende Betrachtungen. Wir erinnern zunächst an den Begriff eines Eisenstein-Polynoms. Sei f(x) = x n +q n 1 x n q 1 x+q 0 Z[x] und sei p eine Primzahl. Dann nennen wir f(x) ein Eisenstein-Polynom bezüglich p, falls p alle Koeffizienten q 0,..., q n 1 teilt und keine höheren Potenzen von p den Koeffizienten q 0 teilen, also p 2 q 0. Wir wissen, dass ein Eisenstein-Polynom irreduzibel über Q ist. Proposition Sei K = Q(ϑ) ein Zahlkörper vom Grad n. Angenommen, das Minimalpolynom p ϑ (x) = x n + a n 1 x n a 0 ist ein Eisenstein-Polynom bezüglich der Primzahl p. Dann gilt p (O K : Z[ϑ]). Beweis. Angenommen, die Primzahl p teilt den Index. Das bedeutet, dass es in der Restklassengruppe O K /Z[ϑ] ein nicht-triviales Element der Ordnung p gibt, also gibt es ein β O K, β / Z[ϑ], aber pβ Z[ϑ]. Dann gilt pβ = b 0 + b 1 ϑ b n 1 ϑ n 1 Z[ϑ]. Weil β = b0 p + b1 p ϑ bn 1 p ϑn 1 / Z[ϑ], ist nicht jedes b k durch p teilbar. Sei j der kleinste Index, so dass p b j. Die Zahl ρ = bj p ϑj bn 1 p ϑn 1 liegt als Differenz ρ = β ( b0 p + b1 p ϑ bj 1 p ϑj 1 ) zweier ganzalgebraischer Zahlen in O K (für k = 0,... j 1 sind alle b k p ganz nach Voraussetzung). Ebenfalls ist ϑn p O K, denn p ϑ (ϑ) = a a n ϑ n = 0, also ϑ n /p = ( a kp 0 k n 1 ϑ k ). Weil p ϑ (x) Eisensteinsch bezüglich p ist, sind alle a k durch p teilbar, d.h. a k p Z und folglich ϑ n /p O K. Dann gilt aber auch, dass bj p ϑn 1 O K. Das gilt wegen der folgenden Gleichheit ρϑ n j 1 = b j p ϑn 1 + ϑn ( bj b n 1 ϑ n j 2), p bei der wir bereits wissen, dass ρ und ϑ n /p in O K sind. Wir berechnen die Norm der Zahl bj p ϑn 1 : N K/Q ( bj p ϑn 1 ) = bn j p n N K/Q (ϑ) n 1. Die Zahl ϑ ist ein primitives Element der Erweiterung K/Q. Damit ist die 15

17 Norm N K/Q (ϑ) gerade das Produkt über alle Nullstellen des Minimalpolynoms p ϑ (x). Nach dem Satz von Vieta ist dieses Produkt gerade N K/Q (ϑ) = ( 1) n a 0, das Absolutglied von p ϑ (x). Insgesamt ist also N K/Q ( b j p ϑn 1 ) = bn j p n ( 1)n(n 1) a n 1 0. Weil bj p ϑn 1 in O K liegt, muss die Norm bn j p ( 1) n(n 1) a n 1 n 0 eine ganze Zahl sein. Nach der Voraussetzung gilt p b j. Damit gilt p n a n 1 0. Das liegt im Widerspruch zur Annahme, dass p ϑ (x) ein Eisenstein-Polynom bezüglich p ist, wonach p n 1 die höchste Potenz von p ist, die a n 1 0 teilt. Wir wollen dieses Ergebnis auf die Bestimmung einer Ganzheitsbasis des Ringes der ganzen Zahlen im Körper K = Q(e 2πi/p ) der p-ten Einheitswurzel anwenden. Ein unmittelbarer Kandidat für eine solche Basis ist {1, ζ, ζ 2,..., ζ p 2 }, wobei ζ eine primitive p-te Einheitswurzel ist. Wir berechnen die Diskriminante dieser Basis bis auf Vorzeichen. Lemma Beweis. Sei φ(x) = xp 1 x 1 d(1, ζ,..., ζ p 2 ) = ±p p 2 = p 1 k=1 (x ζk ) das Minimalpolynom von ζ. Nach Definition ist die Diskriminante d(1, ζ,..., ζ p 2 ) genau das Quadrat der Vandermonde- Determinante d(1, ζ,..., ζ p 2 ) = i<j (ζi ζ j ) 2. Damit ist bis auf Vorzeichen ±d(1, ζ,..., ζ p 2 ) = (ζ i ζ j ). Andererseits gilt für die Ableitung von φ(x): i,ji j p 1 φ (x) = (x ζ k ), l=1 k l und damit ist für jedes i {1,..., p 1} φ (ζ i ) = k i(ζ i ζ k ), also insegasamt ±d(1,..., ζ p 2 ) = 1 i p 1 φ (ζ i ) = N K/Q (φ (ζ)). Wegen (x 1)φ(x) = x p 1, gilt für die Ableitung φ (x): φ(x) + (x 1)φ (x) = px p 1. Substituieren wir x = ζ und beachten φ(ζ) = 0, erhalten wir φ (ζ) = p ζ(ζ 1). Weiterhin gilt N K/Q(ζ) = 1 und N K/Q (ζ 1) = N K/Q (1 ζ) = p 1 i=1 (1 ζ i ) = φ(1) = p. Damit ist N K/Q (φ (ζ)) = ±p p 2. Theorem Sei p eine Primzahl und ζ eine primitive p-te Einheitswurzel sowie K = Q(ζ). Dann gilt O K = Z[ζ]. 16

18 Beweis. Klar ist, dass Z[ζ] O K, weil ζ als Nullstelle des Polynoms φ(x) = x p 1 x 1 = x p x + 1 offensichtlich ganz ist. Das zeigt ebenfalls, dass der Ring Z[ζ] ein freier Z-Modul vom Rang p 1 = [K : Q]. Für den Index (O K : Z[ζ]) gilt nach Proposition und obigen Lemma (O K : Z[ζ]) 2 = pp 2 d K, (2.2.5) wobei d K die Diskriminante von K bezeichnet. Es ist leicht zu sehen, dass gilt Z[ζ] = Z[ζ 1], denn die Abbildung ζ ζ 1 induziert einen Basiswechsel mit einer ganzzahligen Matrix der Gestalt die offensichtlich die Determinante 1 hat. Das Minimalpolynom von ζ 1 ist offensichtlich das Polynom φ(x + 1) = (x + ( ) ( ) ( ) 1)p 1 p p p = x p 1 + x p x +. x p Jeder Binomialkoeffizient ( p j) ist durch p teilbar und ( p 1) = p. Damit ist φ(x + 1) ein Eisenstein-Polynom bezüglich der Zahl p 2. Nach Proposition gilt dann p (O K : Z[ζ 1]) = (O K : Z[ζ]). Dann folgt aber aus der Gleichung (2.2.5), dass (O K : Z[ζ]) = 1 und d(1,..., ζ p 2 ) = d K. Damit gilt O K = Z[ζ] nach Folgerung Hauptsatz der Dedekindschen Idealtheorie In der Theorie der Zahlkörper übernimmt der Ring der ganzen Zahlen O K eines Zahlkörpers K die Rolle von Z aus der elementaren Zahlentheorie und es stellt sich in natürlicher Weise die Frage nach der Gültigkeit von Sätzen in O K, die man aus der elementaren Zahlentheorie kennt, so zum Beispiel der Fundamentalsatz der Arithmetik. Schon bei der Betrachtung von quadratischen Zahlkörpern sieht man, dass so ein Satz nicht mehr im Allgemeinen gelten kann, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt. In O Q( 5) ist einerseits 21 = 3 7 aber gleichzeitig Es gilt weiter 21 = ( )(1 2 5). Lemma Die Zahlen 3, 7, 1+2 5, sind alle irreduzibel in O Q( 5) und sind nicht assoziiert zueinander. 2 Das ist gleichzeitig ein Beweis, dass φ(x + 1) irreduzibel ist und tatsächlich das Minimalpolynom für ζ 1 17

19 Beweis. Man argumentiert mit Hilfe der Norm. Angenommen 3 = αβ, wobei α und β Elemente aus O Q( 5) und keine Einheiten sind. Dann gilt N Q( 5)/Q (3) = N Q( 5)/Q (α)n Q( 5)/Q (β) = 9. Und damit ist N Q( 5)/Q (α) = N Q( 5)/Q (β) = ±3. Nach Lemma sind α und β von der Form a + b 5 mit a, b Z. Für solche Zahlen ist die Norm die ganze Zahl a 2 +5b 2. Die Gleichung a 2 +5b 2 = ±3 hat aber keine Lösung in den ganzen Zahlen. Das erzeugt den Widerspruch zur Annahme. Genauso beweist man die Irreduzibilität der anderen Zahlen. Angenommen 3 und eine der Zahlen 1±2 5 wären assoziiert, also es gäbe eine Einheit ɛ O Q( 5) mit 3ɛ = 1 ± 2 5. Weil N Q( 5)/Q (ɛ) = ±1 ist (warum eigentlich?), muss dann 9 = N Q( 5)/Q (3) = ±N Q( 5)/Q (1 ± 2 5) = ±21. Widerspruch! Den gleichen Widerspruch erreicht man, wenn man annimmt, dass 7 und 1 ± 2 5 assoziiert sind und können als Konjugierte nicht assoziiert sein. Die Entdeckung, dass die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in O K nicht allgemein gegeben ist geht auf Eduard Kummer zurück, der auf diese Frage im Zusammenhang mit seiner Arbeit über den letzten Satz von Fermat kam. Auf Kummer geht auch die Beobachtung zurück, dass die Eindeutigkeit erreicht werden kann, wenn man anstelle von Zahlen Ideale in O K betrachtet. In dem obigen Beispiel beobachten wir folgendes: Sei p 1 das von 3 und erzeugte Ideal in O 5, p 1 = 3, Weiterhin seien p 2 = 3, 1 2 5, p 3 = 7, , p 4 = 7, Dann gilt p 1 p 2 = 3, p 3 p 4 = 7, p 1 p 3 = , p 2 p 4 = Dann gilt 21 = p 1 p 2 p 3 p 4. Die Ideale p i sind alle prim 3 und plötzlich ist die Zerlegung beim Übergang zu Idealen eindeutig. R. Dedekind systematisierte diese Idee von Kummer und entwickelte die heute nach ihm bennante Theorie der Dedekindchen Ringe, die wir an dieser Stelle vorstellen wollen. Ein Noetherscher und ganzabgeschlossener Integritätsbereich A heißt Dedekind- Ring, wenn jedes Primideal in A ungleich dem Nullideal maximal ist. Es gilt Theorem Die Hauptordnung O K eines algebraischen Zahlkörpers K ist ein Dedekind-Ring. Beweis. O K ist nach Definition genau dann Noethersch, wenn jedes Ideal in O K endlich erzeugt ist. Nach dem Satz ist O K ein freier Z-Modul vom Rang [K : Q]. Damit ist jedes Ideal I in O K ebenfalls ein freier Z-Modul vom Rang [K : Q]. Das folgt aus der Tatsache, dass jeder Untermodul eines freien Moduls über einem Hauptidealring wieder frei ist, und da der Rang von I als Z-Untermodul von O K einerseits kleiner oder gleich [K : Q], und weil andererseits als O K -Modul der Rang von I über Z größer oder gleich [K : Q] sein muss. Insgesamt ist insbesondere I endlich erzeugt als Z-Modul und damit endlich erzeugt als O K -Modul. Als ganzer Abschluß von Z in K ist O K ganzabgeschlossen (Proposition 2.2.4). Es bleibt noch die Maximalität von Primidealen zu zeigen. Zunächst zeigen wir: Ist p (0) ein Primideal von O K, dann ist (p) = p Z ein Primideal in Z und p 0. Seien dazu α, β Z mit αβ p Z. Weil p prim ist, folgt dann α p Z oder β p Z, womit p Z prim ist. Sei 0 α p und sei p α (x) = x n +a n 1 x n a 0 das Minimalpolynom von α. Weil α O K, sind alle Koeffizienten a i ganze Zahlen in Z und weil p α (x) das 3 Sie sind sogar maximale Ideale 18

20 Minimalpolynom ist, gilt a 0 0. Ebenfalls ist a 0 p Z, weil a 0 Z[α] p. Betrachten wir die minimale Gleichung für α: α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 = 0, und reduzieren diese Gleichung modulo p. Wir erhalten für ᾱ = α + p O K /p: ᾱ n + ā n 1 ᾱ n ā 1 ᾱ + ā 0 = 0, wobei ā 0,..., ā n 1 Z/pZ = Z/(p Z) die Restklassen der a i modulo p, i = 0,..., n 1. Weil Z/pZ ein Körper ist, hat ᾱ (im Falle ᾱ 0) ein Inverses in O K /p. Das sehen wir folgendermaßen ein: Sei i der erste Index für den gilt ā i 0. Dann ist (ā i ) 1 (ᾱ n i 1 + ā n 1 ᾱ n i ā i+1 ) das Inverse zu ᾱ. Damit ist O K /p ein Körper, d. h. p ist ein maximales Ideal. An einigen Stellen haben wir schon mit Idealen und O K -Moduln gerechnet. Wir wollen nun die möglichen Rechenoperationen systematischer studieren und sie algebraisch und arithmetisch interpretieren. Zunächst führen wir einen leicht allgemeineren Begriff von Idealen. Sei A ein Dedekind-Ring und K sein Quotientenkörper (man denke an die Hauptordnung eines Zahlkörpers). Ein endlich erzeugter A-Modul in K heißt gebrochenes Ideal. Ein Ideal von A nennen wir in diesem Zusammenhang auch ganzes Ideal. Die Menge aller gebrochenen Ideale bezeichnen wir mit I K und die Menge der ganzen Ideale mit I A. Offensichtlich ist I A I K. Nahezu unmittelbar sieht man aber auch, dass zu jedem a I K ein a A existiert mit der Eigenschaft, dass aa I A 4. Folgende Operationen sind definiert: Seien a, b I K, dann sei a + b = {a + b a a, b b}. Das ist das kleinste Ideal, das a und b enthält. ab = { a i b i a i a, b i b}. Das ist das von allen Produkten ab mit a a und b b erzeugte Ideal. a 1 = {x K xa A}. Seien nun a, b I A. Dann definiert man: a, b = a + b = ggt (a, b). Das ist der größter gemeinsamer Teiler von a und b. a und b sind teilerfremd, wenn a + b = A. a b = kgv (a, b). Das ist das kleinste gemineinsame Vielfache von a und b. a b b a. Man sagt in diesem Fall a teilt b. Man überzeugt sich leicht, dass die obigen Definitionen im Falle A = Z äquivalent sind zu den üblichen Definitionen von Teilbarkeit von Zahlen. Das folgende Lemma gibt den technischen Kern des Hauptsatzes und zeigt, dass die Teilbarkeit von Idealen die gleichen Eigenschaften hat wie die Teilbarkeit in den ganzen Zahlen. 4 Das könnte als Rechtfertigung für die Namensgebung gebrochene Ideale gesehen werden. Sie sind im gewissen Sinn Quotienten ganzer Ideale. 19

21 Lemma Sei A ein Dedekind-Ring und sei p ein Primideal welches nicht das Nullideal ist. 1. Zu jedem a I A existieren Primideale p 1,..., p l I A mit der Eigenschaft, dass a p 1 p 2... p l. 2. Angenommen es gilt p ab in I A. Dann ist entweder p a oder p b. 3. Wenn p 1 = A ist, dann enthält p 1 ein Element, das nicht in A liegt. 4. pp 1 = A. Beweis. 1. Angenommen die Aussage gilt nicht für ein Ideal a. Dann gilt sie auch nicht für jedes Ideal, das a teilt (d. h. welches a umfasst). Weil A Noethersch ist, gibt es ein maximales solches a. Dieses a kann nicht prim sein. Also existieren Elemente a, b A mit der Eigenschaft, dass ab a aber a / a und b / a. Sei a 1 = a, a das von a und a erzeugte Ideal und a 2 = b, a. Dann gilt a a 1 a 2 aber a a 1, a a 2. Weil a maximal mit der obigen Eigenschaft ist, gibt es Primideale p 1,..., p l und q 1,..., q s mit der Eiganschaft, dass a 1 p 1... p l, a 2 q 1... q s. Dann gilt aber a p 1,... p l q 1... q s. Widerspruch! 2. Angenommen, dass p weder a noch b aber das Produkt ab teilt. Dann gibt es Elemente a a, b b, die nicht in p liegen, dessen Produkt aber in ab p liegt. Das ist aber nicht möglich, weil p ein Primideal ist. 3. Sei a p, a 0. Betrachte das Ideal a. Es gilt p a. Nach der Aussage 1., existieren Primideale p 1,..., p l mit a p 1... p l und damit p p 1... p l. Wegen der Aussage 2, teilt p einen der Faktoren, etwa p 1, und damit p = p 1. Damit gilt a pp 2... p l und a p 2,..., p l. Das bedeutet, dass ein b p 2... p l existiert mit b / a und bp a. Das ist aber äquivalent zu der Aussage, dass ba 1 / A und ba 1 p A. Nach Definition ist also ba 1 p 1 aber ba 1 / A. 4. Es gilt p pp 1 A. Weil p maximal ist (A ist Dedekindsch), gilt entweder pp 1 = p oder pp 1 = A. Im ersten Fall lässt jedes a p 1 den endlich erzeugten A-Modul p invariant und ist damit nach Definition ganz über A. Damit sind auch solche a p 1 mit a / A auch ganz über A. Aber A ist ganzabgeschlossen. Widerspruch. Theorem Sei A ein Dedekind-Ring und a ein ganzes Ideal ungleich dem Nullideal. Dann lässt sich a als ein Produkt a = p e pe l l schreiben, wobei alle p i Primideale sind und e i ganze Zahlen größer oder gleich Null. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren. Beweis. Um die Existenz der Zerlegung zu zeigen, nehmen wir an, dass ein Ideal a keine Primidealzerlegung besitzt. Mit der gleichen Begründung wie bei Beweis von Lemma können wir a als maximal mit dieser Eigenschaft annehmen. Man beachte, dass a in einem maximalen Ideal p enthalten ist, welches ein Primideal sein muss. Andererseits ist a p, denn sonst wäre a = p eine Zerlegung von a. Wir haben dann ap 1 pp 1 = A. Damit ist ap 1 ein ganzes Ideal, welches nicht in a enthalten ist, und besitzt eine Zerlegung ap 1 = p e1 1 pe l l. Dann ist a = ap 1 p = pp e1 1 pe l l eine Zerlegung von a. Widerspruch. 20

22 Die Eindeutigkeit ist leicht zu folgern: Angenommen das Ideal a hätte zwei Zerlegungen a = p e1 1 pe l l = q f1 1 qfs s. Dann gilt p 1 q f1 1 qfs s. Nach Lemma muss dann p 1 eines der Ideale q i sein, zum Beispiel p 1 = q 1 (nach geeigneter Umnummerierung). Genauso muss es für die restlichen Primfaktoren gelten, und nach geeigneter Umnummerierung ist p i = q i. Insbesondere ist l = s und damit e i = f i. Der Satz ist das richtige Analogon des Hauptsatzes der Arithmetik für die Hauptordnung O K eines Zahlkörpers K. Wir sehen, dass dort die Ideale bzw. die Primideale die richtigen Objekte für die Arithmetik von O K sind. 2.4 Folgerungen und Ergänzungen zum Hauptsatz Sei wieder A ein Dedekind-Ring, K sein Quotientenkörper und bezeichnen I A und I K die Mengen der ganzen und gebrochenen Ideale von K. Proposition Die Menge I K der gebrochenen Ideale bildet bezüglich der Idealmultiplikation eine abelsche Gruppe, in der A = 1 das Einselement ist, und in der a 1 das Inverse zum Ideal a ist. Beweis. Die Kommutativität und Assoziativität folgen unmittelbar aus der Definition der Idealmultiplikation (überzeugen Sie sich davon). Ebenso offensichtlich ist die Gleichheit a 1 = a aus welcher A sich als das neutrale Element herausstellt. Ist p ein Primideal, dann gilt nach Lemma (4), pp 1 = A. Damit ist p 1 das Inverse von p. Um die Behauptung für ein beliebiges ganzes Ideal a zu zeigen, zerlegen wir es zunächst nach dem Hauptsatz a = p 1 p r und beachten, dass a 1 = p 1 1 p 1 r (Übungsaufgabe). Dann gilt aa 1 = p 1 p r p 1 1 pr 1 = p 1 p 1 1 p r p 1 r = A. Sei schließlich a ein beliebiges gebrochenes Ideal. Dann existiert ein a A mit der Eigenschaft, dass aa = c ganz ist. Das Inverse von c ist c 1 = a 1 a 1. Damit ist a 1 das Inverse zu a. In der naheliegenden Weise ist ein gebrochenes Hauptideal definiert als ein Hauptideal a = aa, wobei a ein Element aus K ist. Die gebrochenen ganzen Ideale bilden eine Untergruppe P K von I K. Die Faktorgruppe Cl K = I K /P K nennen wir die Idealklassengruppe oder oft einfach Klassengruppe von K. Die Klassengruppe ist eine zentrale Invariante eines Dedekind-Rings, denn ihre Größe misst im gewissen Sinn, wie viel komplizierter die Arithmetik ist bei dem Übergang von den Zahlen zu Idealen, bzw. wie weit der Dedekind-Ring von einem Hauptidealring entfernt ist. Denn offensichtlich gilt Theorem Sei A ein Dedekind-Ring und K = Quot(A). A ist genau dann ein Hauptidealring, wenn die Klassengruppe Cl K trivial ist. Um weitere Analogien zu der bekannten Zahlentheorie von Z herzustellen, wollen wir die Verallgemeinerung des chinesischen Restsatzes auf beliebige Dedekind-Ringe vorstellen. 21

23 Theorem Seien a und b zwei teilerfremde Ideale eines Dedekind-Rings A, d. h. ggt(a, b) = a + b = 1 = A. Dann gilt A/(a b) = A/a A/b. Beweis. Sei κ : A A/a A/b der kanonische Homomorphismus gegeben durch a (a mod a, a mod b). Der Kern von κ besteht aus genau den Elementen von A, die sowohl in a als auch in b liegen. Damit ist ker(κ) = a b. Um zu zeigen, dass κ surjektiv ist, finden wir Elemente a a und b b mit der Eigenschaft, dass a + b = 1. Das ist möglich, weil ggt (a, b) = 1. Gegeben nun (x, y) A/a A/b, dann sei u = xb + ya. Es gilt dann u x mod a und u y mod b, weil a 1 mod b und b 1 mod a. Damit ist (x, y) ein Bild unter κ und κ ist surjektiv. Ein einfaches Induktionsargument verallgemeinert die Aussage des Satzes auf mehr als zwei Summanden. Theorem Seien a 1, a 2,..., a n paaarweise teilerfremde Ideale eines Dedekind- Rings A, d. h. ggt (a i, a j ) = 1 für i j, und sei a = n j=1 a j Dann gilt A/a = n A/a j. 2.5 Elemente der Verzweigungstheorie i=1 Betrachten wir ein Beispiel: Sei K = Q( 5). Dann ist O K = Z( 5). Wir interessieren uns für die Primidealzerlegung von den Hauptidealen 2O K, 3O K (zur Übung kann der Leser 5O K, 7O K betrachten). Sei p 1 = 2, 1 + 5, p 2 = 3, 1 + 5, p 3 = 3, 1 5. Lemma Die Ideale p 1, p 2, p 3 sind alle Primideale von O K und es gilt p 1 = 2O K = p 2 1 und 3O K = p 2 p 3. Beweis. Wir zeigen, dass die betreffenden Ideale maximal sind. Dazu berechnen wir zuerst den Index (O K : p i ). Dieser ergibt sich nach Beweis von Lemma als die Determinante der Matrix, die den Übergang von der Ganzheitsbasis {1, 5} zu einer Basis von p i beschreibt. Dann ergibt sich unmittelbar (O K : p 1 ) = 2, (O K : p 2 ) = (O K : p 3 ) = 3. Wenn wir nun annehmen, dass die Ideale p i nicht maximal sind, dann muss es ein Ideal I geben mit p i I O K. Dann muss auch (O K : I) (O K : p i ). Da die betreffenden Indizes alle Primzahlen sind, ist das nur mit (O K : I) = 1 oder (O K : I) = p, prim, also I = O K oder I = p i möglich. Die restlichen Behauptungen sind leicht nachzurechnen. Wir können am obigen Beispiel beobachten, dass einerseits die von den Primzahlen in Z erzeugten Ideale einer Hauptordnung keine Primideale bleiben. Wir merken aber auch, dass in O K das Hauptideal po K in ein Produkt zerfallen kann (man spricht von einer zerlegten Primzahl), oder aber dass po K Potenz eines einzigen Primideals von O K ist (wir sagen p ist verzweigt). Wir wollen in diesem Abschnitt eine Übersicht über alle möglichen Zerlegungen einer Primzahl in einer (endlichen) Erweiterung geben. 22

24 Sei K ein Zahlkörper vom Grad n und sei p Z eine Primzahl. Dann beobeachten wir, Lemma po K O K. Beweis. Sei P = pa mit einer ganzen Zahl a, die teilerfremd zu p ist. Dann finden wir ganze Zahlen x, y mit der Eigenschaft, dass 1 = xp+ya (chinesischer Restsatz). Sei s = ya. Dann gilt p s. Angenommen po K = O K. Dann gilt so K = spo K P O K. Dann ist s = P x mit einem x O K Q = Z. Damit p P s. Widerspruch. Wir können damit nach dem Hauptsatz der Dedekindschen Idealtheorie das Hauptideal po K in Produkt von Primidealpotenzen schreiben po K = p e pem m. (2.5.1) Die Exponenten e i dieser (eindeutigen) Zerlegung heißen Verzweigungsidizes von p an der Stelle p i. Wir ordnen jedem Faktor dieser Zerlegung noch eine weitere Zahl zu, den sogenannten Restklassengrad f i von p an der Stelle p i, auch Trägheitsindex von p an der Stelle p i genannt, definiert als der Grad der Erweiterung endlicher Körper f i := [O K /p i : Z/pZ]. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass die Zahlen e i, f j assoziiert zur Zerlegung (2.5.1) nicht willkürlich sein können, sondern dass es eine Beziehung zwischen den Verzweigungs- und Trägheitsindizesindizes und dem Grad n = [K : Q] von K gibt. Dazu ist die Norm eines Ideals ein nützlicher Begriff. Sei a ein ganzes Ideal in K, dann defininieren wir die Idealnorm N(a) von a als den Index von a in O K, d.h. N(a) = O K /a = (O K : a). Theorem Sei K ein Zahlkörper vom Grad n. Dann gilt: 1. Die Idealnorm ist multiplikativ, d.h. N(ab) = N(a)N(b) für alle ganzen Ideale a, b I OK. 2. Ist α O K, dann gilt N(αO K ) = N K/Q (α). Beweis. Zu 1.): Sind a und b teilerfremde Ideale, also mit der Eigenschaft a + b = O K, dann ist die Multiplikativität der Idealnorm eine unmittelbare Konsequenz aus dem chinesischen Restsatz Zunächst beachten wir, dass für teilerfremde Ideale a, b gilt ab = a b (Übung). Nach dem Satz gilt dann O K /ab = O K /a O K /b, und damit N(ab) = N(a)N(b). Desweiteren, zeigen wir, dass für ein Primideal p stets N(p e ) = N(p) e für alle e 0 gilt. Dazu betrachten wir die aufsteigende Kette von Idealen O K p p 2... p e. (2.5.2) Wegen der Multiplikativät des Index, welcher die Idealnorm gerade ist, erhalten wir e 1 (O K : p e ) = N(p e ) = p i /p i i=0