z-transformation für Ingenieure Grundlagen und Anwendungen in der Elektrotechnik, Informationstechnik und Regelungstechnik

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1 z-transformation für Ingenieure Grundlagen und Anwendungen in der Elektrotechnik, Informationstechnik und Regelungstechnik Von Dr.-Ing. habil. Fritz Bening Professor an der Universität Rostock B. G. Teubner Stuttgart 1995

2 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Bening, Fritz : Z-Transformation für Ingenieure : Grundlagen und Anwendungen in der Elektrotechnik, Informationstechnik und Regelungstechnik / von Fritz Bening. - Stuttgart : Teubner, 1995 ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. G. Teubner Stuttgart 1995 Gesamtherstellung: Präzis-Druck GmbH, Karlsruhe

3 Vorwort Wozu eigentlich Z-Transformation? Diese Frage hört man häufig von Studenten, die bereits Grundregeln der F ourier- und der Laplace-Transformation verstanden haben und sich - wenn auch nach anfänglichem Zögern - sogar damit anfreunden konnten. Nun schon wieder eine neue Transformation? Ist sie wirklich nötig? Wo kann ich sie anwenden und welche Vorteile bringt sie mir? Diese Einfiihrung versucht, solche und ähnliche Fragen leicht faßlich und präzise zu beantworten. Sie richtet sich zuerst an den Anfänger, den weniger mathematische Grundsatzfragen interessieren, der vielmehr das breit gefächerte Anwendungsspektrum der Z-Transformation kennenlernen möchte und nützliche Hinweise sowie praxisbezogene Rechenbeispiele erwartet. Darüber hinaus wird auch der Fortgeschrittene angesprochen, der den Gebrauch der Z-Transformation in der Technik kennenlernen und sich in diese Thematik einarbeiten möchte, um daraus fiir eigene Problemstellungen Nutzen zu ziehen. Denn eines ist unbestritten: dynamische Vorgänge in zeitdiskreten technischen Anwendungen werden vorwiegend mit Methoden der Z-Transformation behandelt; diese lineare Funktionaltransformation hat sich als leistungsfähiges Hilfsmittel zur rechnerischen Behandlung solcher Problemkreise durchgesetzt. Dies gilt insbesondere fiir digitale AufgabensteIlungen der Systemtheorie, der Regelungs- und Automatisierungstechnik sowie der allgemeinen Elektrotechnik. Vorwiegend dort, wo Rechentechnik einsetzbar ist, hat sich die Z-Transformation bei numerischen Untersuchungen bewährt. So ist beispielsweise die Analyse von Meßwertreihen selten an kontinuierliche Funktionen geknüpft, sie erfolgt vielmehr an Hand von gemessenen "Zahlenkolonnen", deren Verarbeitung eine Domäne der Z-Transformation darstellt. Zum Inhalt: Das 1. Kapitel stellt mathematische Grundlagen vor, soweit sie fiir den rechnenden Ingenieur unverzichtbar sind. Grundlegenden Definitionen folgt die Z-Abbildung einfacher und zusammengesetzter Signale; Transformationseigenschaften und Rechengesetze werden erläutert. Das 2. Kapitel befaßt sich mit der inversen Operation, der Z-Rücktrans/ormation und stellt in der Rechenpraxis bewährte Methoden vor. Vorwiegend werden (gebrochen-) rationale Funktionen von z, die bei Signalen und in Systemen mit konzentrierten Bauelementen vorherrschen, behandelt. Das 3. Kapitel beschreibt Systeme mit Hilfe der Gewichts- und der Übertragungs/unktion. Unterschiede bei der Anwendung der Z-Transformation auf (getastete) kontinuierliche und diskrete Systeme werden herausgearbeitet. Auch die Reaktion auf verschiedene Signaltypen, wie aperiodisch, periodisch und amplitudenmoduliert, wird ausfuhrlich besprochen. Den Abschluß bildet die

4 IV Vorwort erweiterte Z-Transformation; sie erlaubt bei kontinuierlichen Zeitfunktionen die Berechnung beliebig vieler Zwischenwerte innerhalb einer Tastperiodendauer. Das 4. Kapitel stellt weitere Kennjunktionen im z-frequenzbereich, wie den komplexen Frequenzgang mit seinen technisch bedeutsamen Komponenten Ortskurve, Amplituden- und Phasengang vor und geht auf die graphische Konstruktion dieser Kennfunktionen aus dem P-N-Plan ein. Das 5. Kapitel ist dem Zusammenspiel zwischen DifJerenzengleichungen und der Z-Transformation, also dem Zusammenwirken von Zeitbereich und Bildbereich gewidmet. Sowohl Analyse- als auch Syntheseprobleme werden betrachtet. Das 6. Kapitel behandelt am Beispiel technischer AufgabensteIlungen ausgewählte numerische Verfahren, die auf die Z-Transformation als Rechenhilfe zurückgreifen. Das 7. Kapitel enthält eine Aufgabensammlung samt Lösungen, die aus studentischen Rechenübungen zusammengestellt wurden und querschnittsmäßig den gesamten behandelten Stoff widerspiegeln. Das 8. Kapitel beinhaltet Hilfsprogramme, welche die Z-Rücktransformation und die Systemanalyse im Zeit- und Bildbereich erleichtern. Es umfaßt Demonstrationen zum Thema Anwendungen der Z-Transformation und bietet Lösungshilfen zu Beispielen und Aufgaben an. Das 9. Kapitel stellt wichtige Bezeichnungen, Formeln, Sätze und Korrespondenzen zusammen, soweit sie in den vorangegangenen Kapiteln benutzt wurden. Das Buch entstand aus Vorlesungen und Übungen, die der Autor am Fachbereich Elektrotechnik der Fakultät fiir Ingenieurwissenschaften an der Universität Rostock gehalten hat. Die inhaltliche Gestaltung und die Auswahl der eingefiigten Beispiele sind betont anwendungsorientiert gehalten. Sie geben dem Leser Gelegenheit, den Umgang mit den Elementen der Z-Transformation an Hand technischer Standardaufgaben zu üben. Wünschenswert fiir die mühelose Lektüre sind Vorkenntnisse in der Mathematik, der Elektrotechnik und der Signal- und Systemtheorie, wie sie im Grundstudium wissenschaftlicher Studiengänge vermittelt werden. Das Buch wendet sich vorwiegend an Studenten technischer Fachrichtungen und an Ingenieure. Um das Verständnis beim Leser zu fördern, sind zahlreiche vollständig durchgerechnete Aufgaben eingearbeitet. Dem Studierenden sollen Grundlagen vermittelt und technische Anwendungen der Z-Transformation nahe gebracht werden. Diese einfiihrende Darstellung versucht, den Ansprüchen an ein kombiniertes Lehr- und Übungsbuch zu genügen und ist nach Meinung befragter Studenten und des Autors zum Selbststudium geeignet. Rostock, im Sommer 1995 Fritz Bening

5 Inhalt Vorwort... III Formelzeichen und Symbole... IX 1 Z-Transformation Definition und Vereinbarungen Wege zur Z-Transformation... l Laplace- und Z-Transformation... 3 Diskrete Fourier- und Z-Transformation Ein- und zweiseitige Z-Transformation... 6 Kausalität... 7 Konvergenz Abbildung einfacher Signale Elementarsignale Sprungfunktion Potenzfunktion Exponentialfunktion Harmonische Funktion Rechenregeln und Sätze Linearitätssatz Verschiebungssätze Verschiebungs satz-links für Schaltfunktionen Verschiebungssatz-rechts für Schaltfunktionen Verschiebungs satz-rechts für Nicht-Schaltfunktionen Skalierung im z-bereich Differentiation Differentiation mittels Vorwärtsdifferenzen Differentiation mittels Rückwärtsdifferenzen Integration Faltung Grenzwertsätze... 26

6 VI Inhalt Anfangswertsatz Endwertsatz Abbildung zusammengesetzter Signale Zerlegung in Elementarsignale Periodisch fortgesetzte Signale Z-Rücktransformation Umkehrintegral Partialbruchentwicklung und Korrespondenztafel Anpassung von F(z) an die Korrespondenztafel Nullstellenüberschuß Polstellenüberschuß Reihenentwicklung Allgemeine Rekursionsforrnel Differenzengleichungs-Methode Systeme und Systemreaktionen Diskrete Systeme Kennfunktionen im z-bereich Einheitsimpuls, Gewichtsfolge Übertragungsfunktion Kontinuierliche Systeme Kennfunktionen im z-bereich Getastete Systeme ohne Halteglied: Pulssysteme Übertragungsmodell von Pulssystemen Tastelement und Dirac-Funktion Spektrale Betrachtung Getastete Systeme mit Halteglied: Abtastsysteme Übertragungsmodell von Abtastsystemen Ergänzung: Gges(z) aus Übergangsfunktion Systemreaktion auf ausgewählte Signale Aperiodische Eingangssignale (Tsignal > T) Kurze Rechteckimpulse (Tsignal < T) Periodische nichtharrnonische Eingangssignale.... (Tsignal> T) Modifizierte ~ewichtsfunktion (Tsignal < T) Modifizierte Ubertragungsfunktion Forrnierglied Erweiterte Z-Transforrnation und kontinuierliche Systeme Nutzung der Standard-Korrespondenzen Berechnung von Zwischenwerten a[(n+&)t] Listing: Zwischenwertberechnung Pol-Nullstellen-Geometrie im z-bereich P-N-Pläne im z-bereich

7 Inhalt VII Pollage u. Stabilität P-N-Geometrie von Systemen Polkoordinaten und Systemeinschwingvorgang P-N-Geometrie von Signalen Z-Übertragungsfunktion und Komplexer Frequenzgang Ortskurve, Amplituden- und Phasengang Graphische Konstruktion von Amplitudengang IGI und Phasengang <p aus Z-P-N-Plan Amplitudengang, graphisch Phasengang, graphisch Systeme und Differenzengleichungen Differenzengleichungen und z-transformation Differenzen Differenzengleichungen Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Elektrische Schaltungen und Differenzengleichungen Annäherung von Differentialgleichungen durch Differenzengleichungen Lösungsmethoden :fiir Differenzengleichungen im z-bereich Typen von Differenzengleichungen: Ordinaten- und Differenzenform Offene Lösung im Zeitbereich Geschlossene Lösung im z-bereich Systembeschreibung mittels Differenzengleichungen Z-Übertragungsfunktion aus Differenzengleichung Differenzengleichung aus z-übertragungsfunktion Übergang von kontinuierlichen zu diskreten Systemen Methode der Impuls-Invarianz Methode der Rückwärtsdifferenzen Methode der Bilinear-Transformation Ausgewählte Numerische Verfahren Zur Wahl der Tastperiodendauer Abtasttheorem :fiir gefensterte Funktionen Betrachtung im Frequenzbereich Kurze Signale Periodischer Schalter Aufstellen der Differenzengleichung :fiir die Kondensatorspannung Berechnung von Zwischenwerten Listing: Periodischer Schalter

8 VIII Inhalt 6.3 Zur Systemsynthese mittels Differenzengleichungen Entwurf eines diskreten Tiefpaß 2. Ordnung Auswirkung der Periodizität von Frequenz- Kennfunktionen Treppenförmige Eingangssignale Das Übertragungsmodell Z-Transformation und inverse Laplace-Transformation Aufgabensammlung Übungsaufgaben Z-Transformation Z-Rücktransformation System-Kennfunktionen, Systemreaktion Übertragungsmodell, Z-P-N-Plan Differenzengleichungen u. Z-Transformation Differenzengleichungen u. System-Funktionen Systeme mit Rückfiihrung... ~ Kontinuierliche Systeme mit diskreter Rückfiihrung Lösungen der Übungsaufgaben Lösungen der Kontrollfragen / -aufgaben Rechnerprogramme Z-Rücktransformation: zjueck.m Listing des Programms z Jueck.m Analyse diskreter Systeme: d_analys.m Listing des Programms d_analys.m Anhang: Tabellen Einige Elementarfunktionen Ausgewählte Korrespondenzen und Sätze Korrespondenzen zur Z-Transformation Korrespondenzen zur Z-Transformation Sätze zur Z-Transformation Korrespondenzen zur L -Transformation Sätze zur L-Transformation Vergleichende Korrespondenzen im Z-, L- u. Zeitbereich Anwendung der Z-Transformation auf diskrete / kontinuierliche Systeme bei verschiedenen Signaltypen System-Kennfunktionen Zeitkontinuierliche Systeme Zeitdiskrete Systeme Polwinkel cp = ffiot und Zeitfunktion f(nt) Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis

9 Formelzeichen IX Formelzeichen und Symbole 00 = 21tf OOA <p( eirol) <p(oo) ~(nt) ~Trr ~[f(nt)] ~oo o(t) I G(eirol) I I GGoo) I I (nt) I(t) a(nt) a(t) A(z) DFT DGL Diff.-Gl. e(nt) e(t) E(z) f f(nt) f(t) F(m~oo) F(z) F-l{FGoo)} F{f(t)} f max g(nt) g(t) Kreisfrequenz [rad/sec] Abtastfrequenz [rad/sec] Phasengang diskreter Systeme Phasengang kontinuierlicher Systeme Einheits-Impuls, Kronecker-Delta relative Einschaltdauer Differenz I.Ordnung Abstand der Spektrallinien Dirac-Funktion Amplitudengang diskreter Funktionen Amplitudengang kontinuierlicher Funktionen diskrete Sprungfunktion kontinuierliche Sprungfunktion diskretes Ausgangssignal kontinuierliches Ausgangssignal Ausgangssignal im Z-Bereich Diskrete F ouriertransformation Differentialgleichung Differenzengleichung diskretes Eingangssignal kontinuierliches Eingangssignal Eingangssignal im Z-Bereich Frequenz [Hz] diskretwertige Wertefolge, T - Abstand, n- natürliche Zahl Funktion der kontinuierlichen Zeit t Spektrum der Diskreten Fouriertransformation Rationale Funktion im Z-Bereich F ourier-rücktransformation F ourier-transformation höchste enthaltene Frequenzkomponente Gewichtsfolge, Einheits-Impulsreaktion Gewichtsfunktion, Dirac-Reaktion

10 X F onnelzeichen GGc.o) G(p) G(z) GH(P) i(t) Im k L-l{F(P)} L{~t)} m n p = cr+jc.o Re si(x) t T T F T max T o TP u(t) ü(t) v z,/ zl1 Z-l{F(z)} Z{~nT)} komplexer Frequenzgang kontinuierlicher Systeme Übertragungsfunktion im Laplacebereich Übertragungsfunktion im Z-Bildbereich L-Transfonnierte des Haltegliedes O. Ordnung Strom Imaginärteil Konstante, Verstärkungsfaktor von G(z) Laplace-Rücktransfonnation Laplace-Transfonnation Grad des Zählerpolynoms, Tastverhältnis, Zählvariable Grad des Nennerpolynoms, natürliche Zahl komplexe Variable bei der Laplace-Transfonnation Realteil Spaltfunktion si(x) = sin(x) / x kontinuierliche Zeitvariable Tastperiodendauer Fensterlänge (Beobachtungsdauer) eines Funktionsausschnitts höchstzulässige Tastperiodendauer Periodendauer Tietpaß, Verzögerungsglied Spannung Übergangsfunktion, Sprungreaktion Verstärkung Nullstellen des Zählerpolynoms Nullstellen des Nennerpolynoms Z-Rücktransfonnation Z-Transfonnation