Versuchsvorbereitung: Ideales und reales Gas

Transkript

1 Praktikum Klassische Physik II Versuchsvorbereitung: Ideales und reales Gas (P2-47,48,49) Christian Buntin, Jingfan Ye Gruppe Mo-11 Karlsruhe, 14. Juni 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Messung mit dem Jollyschen Gasthermometer 2 2 Messung des Verhältnisses der spezifischen Wärme κ = c p c v Nach Clément-Desormes Vergleichsmessungen Nach Rüchard Dampfdruckkurve von n-hexan 6 1

2 1 Messung mit dem Jollyschen Gasthermometer 1 Messung mit dem Jollyschen Gasthermometer In diesem Versuch soll mit Hilfe eines Jollyschen Gasthermometers der isochore Spannungskoeffizient α von Luft bestimmt werden. Dieser ist definiert als die spezifische änderung (p: ) bei Änderung der bei konstantem Volumen V: α = 1 ( ) p p (1.1) V Da experimentell keine Differentiale gemessen werden können, sondern nur Differenzen, werden die Differentiale aus obiger Formel in Differenzen umgewandelt. Anders als beim Differential, bei dem man die momentane Änderungsrate zum momentanen p bestimmen kann, werden bei Differenzen keine infinitesimalen Größen betrachtet. Deswegen muss statt dem momentanen p der Anfangsdruck p 0 des Vergleichs geschrieben werden und werden. Es ergibt sich: α 1 p 0 p p = α p 0 (1.2) Mit p = p 1 p 0, wobei p 1 der Enddruck des Vergleichs ist, folgt genau die Gleichung aus der Versuchsvorbereitung: p 1 = p 0 (1 + α ) (1.3) Eine Skizze des Jollyschen Gasthermometers ist in Abbildung 1 auf der nächsten Seite zu sehen. Er besteht aus einem Gasbehälter K, der über ein Rohr R mit einem flexiblen U-Rohr verbinden ist. Das U-Rohr ist aus zwei festen Glasrohren und einem Gummischlauch aufgebaut, sodass man die Glasrohre auf beiden Seiten beliebig in der Hohe verstellen kann. Das U-Rohr enthält eine Flüssigkeit, typischerweise Quecksilber. Diese Flüssigkeit trennt das Gas im Behälter K mit der Umgebung. Wird das Gas im Behälter K erhitzt, so dehnt es sich aus. Die anfängliche Marke M (Grenze Gas- Quecksilber) verschiebt sich aufgrund des höheren s nach unten. Da in diesem Versuch nach isochoren Versuchsbedingungen verlangt wird, wird die Flüssigkeitssäule auf der rechten Seite stattdessen nach oben gehoben, damit das Flüssigkeit wegen ihrer Gewichtskraft dem Gas ein Gegendruck erzeugt und die Grenze wieder auf die ursprüngliche Position zurückdrängen kann. Somit bleibt das Gasvolumen immer konstant und nur der erhöht sich aufgrund der. in diesem Versuch soll nun bei verschiedenen en aus der Höhendifferenz h auf den im Gasbehälter geschlossen werden. Für den Überdruck zum Ausgleich der erhöhung durch erhöhung gilt: p = F A = m g A = ϱ V g A = ϱg h p h = ϱg (1.4) Kombiniert mit Gleichung (1.2) erhält α nur noch in Abhängigkeit von mit dieser Apparatur messbaren Größen: α p 0 = ϱg h α = ϱ g p 0 1 Für ideale Gase sollte sich ein konstantes α ergeben, dessen Wert bei α = 273,15 K+ϑ liegt, wobei ϑ die Anfangstemperatur des Gases in C ist. Hierbei ist der Bezugspunkt für die messung die Raumtemperatur, während in der Vorbereitungsmappe die Bezugstemperatur auf den Gefrierpunkt von Wasser gelegt wurde, für den ϑ = 0 C gilt. Aus diesem Grund enthält der Nenner von α in dieser Versuchsvorbereitung noch ein +ϑ. h (1.5) 2 Christian Buntin, Jingfan Ye

3 Praktikum Klassische Physik II Gleichverteilungssatz 1 Ekin k pro Freiheitsgrad. 2 Im Gleichverteilungssatz Versuch wird über P2-47,48,49: das bisher betrachtete Idealeseinatomige und reales Gas Gas hinausgehend berücksichtigt, dass Moleküle zusätzlich zur ranslationsenergie auch Rotations- und Schwingungsenergie aufnehmen können, so dass die Zahl ihrer Freiheitsgrade auch >3 sein kann. 4. Jollysches Gasthermometer: Das Jollysche Gasthermometer ist ein wichtiges Gerät zur Eichung von hermometern und zur Festlegung der skale. In diesem Versuch wird es zur Messung des Spannungskoeffizienten benutzt. Das Gasthermometer besteht aus einem mit Luft gefüllten Glasballon K (Abb. 3), der über eine enge Kapillare R mit einem Quecksilber-Manometer in Verbindung steht. Der rechte Schenkel des Manometers kann mit einer Stellschraube gehoben und gesenkt werden. Durch Einstellen der Quecksilberkuppe im linken Schenkel des Manometers auf die Marke M, welche auf einem kleinen Spiegel markiert ist, kann bei jeder ein ganz bestimmtes Volumen eingestellt werden. Der, unter dem die Luft in diesem Abb. 3 GASHERMOMEER Volumen steht, ist gleich dem äußeren Luftdruck p a plus Abbildung 1: Jollysches Gasthermometer. Aus (7. Juni 2010, 0:02 Uhr) dem aus der jeweiligen Höhendifferenz h der beiden Quecksilberkuppen errechneten. Die Höhendifferenz h wird in Millimetern Quecksilbersäule abgelesen und in Pascal (SI- Einheit für ) umgerechnet: Setzt man in Gleichung (1.3) auf der vorherigen Seite für 1 mm den Hg-Säule negativen 133,3 Kehrwert Pascal. dieses Zahlenwerts ein, erhält man p 1 = 0. In diesem Fall ist der absolute Nullpunkt erreicht. Im Modell eines idealen Gases bestehen die Gasteilchen AUFGABEN aus punktförmigen eilchen, die nur durch Impulsübertragung bei Stößen gegen Wände einen erzeugen. Beim absoluten Nullpunkt ruhen diese eilchen, sie können auch keinen Impuls mehr übertragen, damit ist der von ihnen erzeugte auch 1. Messung der Höhendifferenz h am Gasthermometer bei Zimmertemperatur, für Eiswasser und siedendes Wasser, jeweils 10 Messwerte. 0. Dieser Zahlenwert für α entspricht also genau dem negativen Kehrwert des absoluten Nullpunkts (von Zimmertemperatur aus gesehen). 2. Berechnung des Spannungskoeffizienten (Gl. (16)). Bisher wurden nur ideale Versuchsbedingungen 3. Berechnung betrachtet. der Zimmertemperatur Da aber zum mit Hilfe Beispiel des in Aufgabe die Luft 2 ermittelten in den Spannungskoeffizienten und und die Vergleich Kapillare mit der sich selbsteines auch, Zimmerthermometers. je nach Glasart Kapillaren stets die Zimmertemperatur behält unterschiedlich stark, ausdehnt, wird das Volumen verfälscht. Dabei wird das zusätzliche Volumen der Kapillare schädliches Volumen v genannt. Nach der Versuchsanweisung kann man folgende Formel verwenden, um diese Fehler zumindest 74 näherungsweise zu beheben: α = p 1 p p ( 1 γ + v ) 1 p 0 ϑ b p 0 V Z ist die Zimmertemperatur in K, ϑ b die Differenz aus Anfangs- und Endtemperatur des Wassers und γ der thermische Ausdehnungskoeffizient des Glases, welches an einer abelle abgelesen werden kann. Das schädliche Volumen v kann man durch geometrische Überlegungen abschätzen. Z 2 Messung des Verhältnisses der spezifischen Wärme κ = c p c v Das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten unter konstantem (c p ) und unter konstantem Volumen (c v ) wird auch Adiabatenexponent bezeichnet. Denn bei einer adiabatischen Expansion und Kompression gilt: p V κ = const V κ 1 = const (2.1) 2.1 Nach Clément-Desormes Folgende Prozessschritte werden durchgeführt (pv-diagramm in Abbildung 2): 14. Juni

4 2 Messung des Verhältnisses der spezifischen Wärme κ = c p c v p p 1 a) p 1 p 2 Adiabate p 2 d) Isochore b) p 0 Isobare c) V 0 V 1 V Abbildung 2: pv-diagramm der Prozessschritte zur Bestimmung des Adiabatenexponenten nach dem Verfahren von Clément-Desormes. V a) Isochore Kompression um p 1 von p 0 auf p 1 und anschließendem ausgleich mit der Umgebung. Die Zustandsgrößen sind danach: V = V 0 p = p 0 + p 1 = 0 b) Adiabatische Expansion um V von V 0 auf V 1. p 1 wird wieder zur p 0 und das Arbeitsmedium kühlt sich um von 0 auf 1 ab. Die Zustandsgrößen: V = V 0 + V p = p 0 = 0 c) Abtrennung des überschüssigen Volumens V 1 V 0. Zustandsgrößen: V = V 0 p = p 0 = 0 d) Isochore Aufwärmung des Volumes V 0 auf Raumtemperatur, dabei steigt der um p 2 auf p 2 an. Zustandsgrößen: V = V 0 p = p 0 + p 2 = 0 Der adiabatische Prozess b) sollte relativ schnell verlaufen, damit die Expansion ihre Energie nur aus der inneren Energie des Gases bezieht und keine Wärmezufuhr aus der Umgebung erfolgt. Wäre der Prozess ideal adiabatisch, so ergeben sich die folgenden adiabatischen Beziehungen: (p 0 + p 1 ) V κ 0 = p 0 (V 0 + V) κ (2.2) ( 0 ) (V 0 + V) κ 1 = 0 V κ 1 0 (2.3) Da die Volumenänderung V viel kleiner als V 0 ist, kann man wie folgt eine aylorentwicklung bilden: ( (V 0 + V) κ = V0 κ 1 + V ) κ V0 κ V + κvκ 1 0 V (2.4) 0 4 Christian Buntin, Jingfan Ye

5 Praktikum Klassische Physik II Versuch P2-47,48,49: Ideales und reales Gas Mit dieser Näherung und Gleichung (2.2) auf der vorherigen Seite sowie Gleichung (2.3) auf der vorherigen Seite erhält man: p 1 p 0 = κ V V 0 bzw 0 = (κ 1) V V 0 Es folgt: = κ 1 p 1 0 κ p 0 Nimmt man ideales Verhalten des Arbeitsgases an, folgt nach dem idealen Gasgesetz (pv = nr) mit den Zustandsgrößen nach den Prozessschritten c) und d): p 0 V 0 = nr ( 0 ) (p 0 + p 2 ) V 0 = nr 0 Bildet man den Quotienten der beiden Gleichungen, folgt: Durch Umformungen erhält man dann: p 0 = 0 = 1 p 0 + p κ = p 1 p 1 p 2 (2.5) 2.2 Vergleichsmessungen Mit mehreren Vergleichsmessungen, bei denen der adiabatische Prozessschritt b) in unterschiedlich langer Zeit vonstatten geht, soll überprüft werden, ob dieser Schritt ausreichend adiabatisch verläuft. Bei Variation der Zeit sollten, bei ausreichend adiabatischer Prozessführung, keine großen Unterschied zustande kommen. 2.3 Nach Rüchard Ein Rohr wird dicht in die Öffnung eines großen Gasbehälters geklemmt. Eine Stahlkugel wird in das Rohr, ebenfalls luftdicht gebracht, sodass die Luftmenge unter der Kugel konstant bleibt und abgeschlossen ist. Die Luft unter der Kugel wird komprimiert und erzeugt einen nach außen. Dadurch wird die Gewichtskraft der Kugel ausgeglichen, sodass sie in der Röhre schwebt. Wird die Kugel vertikal angestoßen, so vollführt sie Schwingungen. Diese entstehen dadurch, dass die Luft unter der Kugel abwechselnd komprimiert und wieder expandiert wird. Diese Prozesse werden als adiabatisch angenommen, da die Schwingungen eine relativ hohe Frequenz haben und somit die änderungen bei Kompression und Expansion lediglich durch Änderung der inneren Energie vonstatten gehen und daher keine äußere Wärmezufuhr auftritt. Es gilt nach der Adiabatengleichung: p 0 V κ 0 = (p 0 + p) (V 0 + V) κ (2.6) p 0 ist dabei das Anfangsdruck und V 0 das Anfangsvolumen. p und V sind jeweils die Änderungen der Größen durch die Schwingung. Da diese Änderungen der Größen sehr klein im Vergleich zu den Anfangsgrößen sind, kann man wieder die Näherung aus Gleichung (2.4) auf der vorherigen Seite verwenden, und erhält: p = κp 0 V V Juni

6 3 Dampfdruckkurve von n-hexan Diese Näherung macht aus dem vorliegenden Modell einen harmonischen Oszillator. Es ist V = A x, wobei A die Querschnittsfläche der Kugel und x die zurückgelegte Strecke im Rohr ist. Multipliziert man obige Gleichung nochmal mit der Querschnittsfläche A, so erhält man mit p A = F: F = κ p 0 A 2 x (2.7) V }{{ 0 } =D D ist die Federkonstante eines harmonischen Oszillators. Für ihre Periodendauer gilt: m = 2π D Stoff ohne Anomalie Durch Einsetzen von Gleichung (2.7) folgt: ( ) mv = 0 2π 2 2π κp 0 A 2 κ = mv kritischer 0 A 2 Kritischer (2.8) flüssig p 0 Punkt fest Man kann also den Adiabatenexponent κ durch Messung der Periodendauer der Schwingung bestimmen. Dabei muss man noch beachten, dass der Anfangsdruck p 0 der Summe des Atmosphärendrucks und dem durch die Gewichtskraft der Stahlkugel entspricht. ripelpunkt 3 Dampfdruckkurve von n-hexan gasförmig kritische Stoff ohne Anomalie Stoff mit Anomalie (z.b. Wasser) kritischer fest flüssig Kritischer Punkt 221 bar Wasser Kritischer Punkt ripelpunkt gasförmig 1 bar 0,006 bar Eis ripelpunkt Wasserdampf kritische 0 C 100 C 374 C Stoff mit (a) Anomalie Stoff ohne Anomalie (z.b. Wasser) (b) Stoff mit Anomalie (z.b. Wasser) Abbildung 3: Phasendiagramme. Die Dampfdruckkurve ist die Kurve zwischen der gasförmigen und der flüssigen Phase. Aus: (12. Juni 2010, 17: bar Kritischer Uhr) Punkt Wasser In diesem Versuch soll die Dampfdruckkurve von n-hexan zwischen Zimmertemperatur und dem Gefrierpunkt von Wasser gemessen werden. Ein Phasendiagramm ist in Abbildung 3 zu sehen. Die 1 bar Dampfdruckkurve Eis ist die Kurve zwischen der gasförmigen und der flüssigen Phase. n-hexan ist ein Stoff 0,006 bar ohne Anomalie. ripelpunkt Wasserdampf heoretische0 C Betrachtung 100 C 374 C In diesem Versuch soll eine Phasengrenzlinie eines Reinstoffs (n-hexan) zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phasen untersucht werden. Befinden sich zwei Phasen im Gleichgewicht, so sind ihre chemischen Potentiale µ α und µ β gleich. Für reine Stoffe gilt µ = G m, wobei G m die molare freie 6 Christian Buntin, Jingfan Ye

7 Praktikum Klassische Physik II Versuch P2-47,48,49: Ideales und reales Gas Enthalpie (auch Gibbs-Enthalpie genannt) ist. Nach den Fundamental - oder Mastergleichungen der hermodynamik gilt: Daraus folgt: ( ) Gm = p dg = S d + V dp ( ) µ p S = Entropie ( ) Gm = S m = p ( ) µ = V m p Die Zustandsgröße im Index der Klammer bezeichnet die Größe, die konstant bleibt. Der Index m besagt, dass es sich bei einer Größe um die molare Größe handelt, so ist V m das molare Volumen, G m die molare freie Enthalpie und S m die molare Entropie. Auf einer Phasengrenzlinie gilt ja µ α = µ β, wobei hier α für die Gasphase und β für die flüssige Phase steht: µ α ( + d, p + dp) = µ β ( + d, p + dp) Die zweidimensionale aylorentwicklung bis zur ersten Ordnung ergibt: dµ α ({ ) }} ( ) { ( { ) }} ( ) { µα µα µβ µβ µ α (, p) + d + dp = µ p p β (, p) + d + dp p p }{{}}{{}}{{}}{{} S m,α V m,α S m,β V m,β dµ β µ α (, p) und µ β (, p) heben sich gegenseitig auf, es folgt: ( Vm,α V m,β ) dp = ( Sm,α S m,β ) d Schließlich folgt also für die Phasengrenzlinie: dp d = S m,α S m,β V m,α V m,β = α βs m α β V m α β gibt die Änderung der jeweiligen Größe vom Zustand α in den Zustand β an. Weiter ist auch bekannt, dass bei konstantem gilt: S m = H m (kann man auch aus den Mastergleichungen herleiten), H m ist die Änderung der molaren Enthalpie. Es folgt also schließlich die Clausius- Gleichung: dp d = α β H m (3.1) α β V m α β α β H m ist also hierbei die nötige / freiwerdende Enthalpie bei der Phasenumwandlung und α β die, bei der die Phasenumwandlung stattfindet. Für die Phasengrenzlinie flüssig-gasförmig kann man 3 vereinfachende Annahmen machen: a) V m,l V m,g, sodass für die Volumenänderung angenommen werden kann: V m V m,g. (V m,l und V m,g bezeichnen das molare Volumen in der flüssigen bzw. gasförmigen Phase) b) Ideales Verhalten der zu untersuchenden Substanz in der Gasphase: V m,g = R p c) H m ist konstant. 14. Juni

8 3 Dampfdruckkurve von n-hexan Dann folgt nämlich: dp d = H m V m = H m p R 2 Die Lösung dieser Differentialgleichung (durch rennung der Veränderlichen) ist genau die Clausius- Clapeyron-Gleichung: ln(p) ln(p 0 ) = H ( m 1 R 1 ) (3.2) 0 p 0 und 0 sind jeweils die Anfangswerte der Größen. Experimentelle Durchführung Es wird n-hexan in einem Behälter in ein Wasserbad gebracht, das elektrisch erwärmt werden kann. Mit dem Behälter ist ein Manometer verbunden, welches den aktuellen Dampfdruck des n-hexan anzeigt. Man kann nun das Wasserbad und damit auch das n-hexan erhitzen, um den Dampfdruck bei verschiedenen en abzulesen. Ein Rührer sorgt für eine möglichst homogene verteilung. Bei der Durchführung sollten einmal Werte genommen werden, wenn erhitzt wird, und einmal, wenn das Wasser sich wieder abkühlt, denn aufgrund der rägheit der Ablesung variieren die beiden Messreihen. Man kann den Fehler dadurch minimieren, indem man die Werte beider Messreihen mittelt, sodass sich die Verschiebungen in beide Richtungen sich gegenseitig aufheben. 8 Christian Buntin, Jingfan Ye