Verarbeitung von Laser-Doppler-Datensätzen

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1 1 Verarbeitung von Laser-Doppler-Datensätzen Holger Nobach Fachgebiet Strömungslehre und Aerodynamik RWTH Aachen,

2 Einführung: LDA-Signal- und Datenverarbeitung Datensatzaufnahme und -verarbeitung in der Strömungsmesstechnik mit dem Hitzdrahtanemometer Eigenschaften des LDA-Datensatzes Verarbeitungsverfahren Direkte Spektralanalyse Rekonstruktion Slotkorrelation Zeit-Längen-Transformationen Taylor-Hypothese Integrale Zeit-Längen-Transformationen Nichtstationäre Prozesse Schwingungen Kurzzeit-Stationarität (zyklische Prozesse) driftende Mittelwerte Inhalt 2

3 LDA-Signalverarbeitung Einzelteilchenmessung Aus dem Streusignal werden bestimmt Zeitpunkt Geschwindigkeit Aufenthaltszeit Beschleunigung LDA-Datenverarbeitung Messwertensemble Aus der stochastisch abgetasteten Zeitreihe werden bestimmt Geschwindigkeits-Zeit-Funktion (Rekonstruktion) statistische Kennwerte und -funktionen LDA-Signal- und Datenverarbeitung 3

4 Datensatzaufnahme und -verarbeitung in der Strömungsmesstechnik Hitzdrahtanemometer Sensor Vorverstärker Anpassung TP ADU Analoges Filter: AD-Umsetzer: Anti-Aliasing Diskretisierung Rauschunterdrückung Diskreter Datensatz u i (t i ) äquidistant abgetastet schmalbandiges Rauschen äquidistanter Datensatz u i (t i ) R( )= u(t)u(t+ ) Autokorrelationsfunktion R uu ( k ) Fourier-Transformation inverse Fourier-Transformation Fourier-Transformation inverse Fourier-Transformation Amplitudendichtespektrum U(f j ) S(f)=U * U= U 2 Leistungsdichtespektrum S uu (f j ) Datenverarbeitung 4

5 Zeitliche Kennfunktionen zeitliche Autokorrelationsfunktion Korrelationskoeffizient Normierung Taylor-Zeitmaß T integrales Zeitmaß T L spektrale Leistungsdichte Fourier-Transformation Varianz Zeitliche Kennfunktionen 5

6 Räumliche Kennfunktionen u räumliche Korrelationsfunktion räumlicher Korrelationskoeffizient Wellenzahlspektrum x u Taylor-Mikromaß f integrales Längenmaß L f x Taylor-Mikromaß g integrales Längenmaß L g Abschätzung der Dissipationsrate ε Räumliche Kennfunktionen 6

7 LDA-Datensatz Geschwindigkeit Zeit Einzelteilchenmessung zufällig abgetastete Zeitreihe Unsicherheit der Frequenzschätzung breitbandiges Rauschen Korrelation zw. Teilchenrate und Geschwindigkeit Korrelation zw. Datenrate und Geschwindigkeit Interferenz des Streulichtes verschiedener Teilchen Prozessortotzeit LDA-Datensatz 7

8 Strategien für die Auswertung von unregelmäßig abgetasteten Datensätzen unregelmäßig abgetasteter Datensatz Direkte Verarbeitung Signalrekonstruktion und regelmäßige Wiederabtastung Transformation in einen dünn besetzten Datensatz Mathematische Beschreibung des Signals (z.b. Folge von Dirac-Impulsen) Berücksichtigung der unregelmäßigen Abtastung Entwicklung geeigneter Schätzer Wahl einer geeigneten Rekonstruktions- bzw. Interpolationsvorschrift Klassische Datenverarbeitung Quantisierung der Abtastzeitpunkte oder -intervalle Berücksichtigung von Signallücken Schätzer aus der Prozessidentifikation Geschwindigkeit Geschwindigkeit Geschwindigkeit Zeit Zeit Zeit Auswertestrategien 8

9 Prinzip der direkten Spektralanalyse Systematischer Fehler aufgrund der unregelmäßigen Abtastung T S S f 1 T 0 u t e 2 j f t i 2= T 2 N i 2 u i e 2 jft N i=1 Fehlerabschätzung: Korrektur: [GAS77] E {S S }=S P T N 2 u S P f = T { N N 2 i=1 2} N u i e i 2 2 j f t u i i=1 Direkte Spektralanalyse 9

10 Ablauf LDA-Datensatz Rekonstruktion und regelmäßige Abtastung Korrelationsfunktion Fourier-Transformation Spektrum Rekonstruktion 10

11 Auswirkung der Rekonstruktion Sample-and-Hold-Rekonstruktion lineare Interpolation exponentielle Rekonstruktion [HOS94] Tiefpasswirkung der Rekonstruktion 11

12 Auswirkung der Rekonstruktion Spline-Interpolation Kalman-Rekonstruktion [BEN95,MAA94] Shannon-Rekonstruktion [CLA85,VEY88] Anpassung einer bandbegrenzten Funktion (POCS) [LEE92,KUO92,SAU87,YEH90] fraktale Rekonstruktion [STR88,STR91,CHA92] Allen Rekonstruktionen (unabhängig von der Rekonstruktionsvorschrift) ist gemeinsam: Bei hoher Datenrate sind alle Verfahren geeignet, aus dem unregelmäßig abgetasteten LDA-Datensatz einen regelmäßig abgetasteten Datensatz zu erzeugen, der die spektralen Eigenschaften des Strömungsprozesses widerspiegelt. Bei geringer Datenrate verändern sich die spektralen Eigenschaften. Der spektrale Charakter des Rekonstruktionsergebnisses wird direkt und unabhängig vom zugrundeliegenden Strömungsprozess von der verwendeten Rekonstruktionsvorschrift und der Datenrate bestimmt. Tiefpasswirkung der Rekonstruktion 12

13 Korrektur des Rekonstruktionseinflusses [NOB96,98a] 1. Analyse des rekonstruierten Datensatzes LDA-Datensatz Rekonstruktion Resampling Korrelationsund Spektralanalyse Korrektur des Rekonstruktionsfilters 13

14 2. Abschätzung des Filters LDA-Datensatz Wahre ACF Rekonstruktion Resampling E { R R }=MR Korrelationsund Spektralanalyse Nach Rekonstruktion erwartete ACF R R t 1 t R Korrektur des Rekonstruktionsfilters 14

15 LDA-Datensatz Wahre ACF 3. Korrektur Korrigierte ACF Rekonstruktion Resampling E { R R }=MR R =M 1 RR Korrelationsund Spektralanalyse Nach Rekonstruktion erwartete ACF Nach Rekonstruktion bestimmte ACF Korrektur des Rekonstruktionsfilters 15

16 Sample-and-Hold-Rekonstruktion Rekonstruktionsvorschrift Interpolationsfilter u R t =u i t i t t i 1 E { R R k }=e ṅ k { 0 eṅ R 1 2 } 1 e 2ṅ =1 e ṅ 1 e 2ṅ min k, R Korrektur R k ={ R R 0 für k=0 2c 1 R R k c [ R R k 1 R R k 1 ] sonst c= e ṅ 1 e ṅ 2 Proportional-Ein-Punkt-Rekonstruktion (exp., Korrelationskoeffizient, S&H) Rekonstruktionsvorschrift Interpolationsfilter Korrektur erfolgt numerisch durch Lösung des linearen Gleichungssystems andere Interpolationen prinzipiell auch für andere Interpolationen geeignet u R t =u i f R t t i numerischer Aufwand steigt mit der Anzahl der verwendeten Stützstellen stark an geringer Gewinn gegenüber Sample-and-Hold-Interpolation 0 t i t t i 1 E { R R k }=R 0 i= f R i f R k i 1 e ṅ e ṅ k i min k, =1 R i=1 f R i f R k 1 e ṅ 2 e ṅ 2 k i Korrektur des Rekonstruktionsfilters 16

17 Ablauf mit Filterkorrektur LDA-Datensatz S&H-Rekonstruktion und regelmäßige Abtastung Korrelationsfunktion Bestimmung der Datenrate Filterkorrektur Fourier-Transformation Spektrum Korrektur des Rekonstruktionsfilters 17

18 Grundprinzip [GAS75, MAY74, 78, SCO74] i=1 N j=1 N j i u i t i u j t j t j t i u i u j z k = i=1 n k = i=1 N N j=1 j i N N j=1 j i u i u j b k t j t i b k t j t i AKF b k t ={ 1 für k 1/2 t k 1/2 0 sonst Rk =z k /n k Slotkorrelation 18

19 Bias-Korrektur [BEN98,00,BUC79,MUE94,NOB98b,99,TUM96] N 1 z k = i=1 N j=i 1 N 1 u i u j w i w j b k t j t i n k = i=1 N w i w j b k t j t i j=i 1 Rk =z k /n k 1D-Geschwindigkeits- Wichtung Aufenthaltszeit-Wichtung Ankunftszeit-Wichtung w i =1/ u i w i = i w i =t i t i 1 nur für 1D-Turbulenz nur für homogenes Seeding rauschanfällig 3D-Geschwindigkeits- Wichtung auch für 3D-Turbulenz bei 1D- Messung Wichtungsfaktoren unabhängig von Geschwindigkeitsmesswerten exakte Messung ist schwierig nur für homogenes Seeding geeignet für Momente nicht für Korrelationen Vorwärts-Rückwärts- Ankunftszeitwichtung w i =1/ u i 2 v i 2 d /l 2 w i 2 w i =t i t i 1 w j =t j 1 t j j i setzt 3D-Messung voraus nur für homogenes Seeding rauschanfällig exakt für hohe Datenrate auch für inhomogenes Seeding robust Wirkung von der Datenrate abhängig Slotkorrelation 19

20 Vorwärts-Rückwärts-Ankunftszeit-Wichtung [NOB99a] Slot k t j t i [u i ; t i ] [u j ; t j ] Rückwärts- Ankunftszeit-Wichtung Unabhängige Ankunftszeiten w i =t i t i 1 w j =t j t j 1 Begrenzte Ankunftszeiten w i =t i t i 1 w j =t j t j 1 Vorwärts-Rückwärts- Ankunftszeit-Wichtung Immer unabhängige Ankunftszeiten w i =t i t i 1 w j =t j 1 t j Slotkorrelation 20

21 Fuzzy Slotting [NOB98b] b k ={ 1 für k 1 2 k sonst b k ={ 1 k 0 sonst für k 1 Gewicht b k 1 Gewicht b k 1 k=0 k=1 k=2 k=3 k=0 k=1 k=2 k=3 0 Δ 2Δ 3Δ Zeitverschiebung 0 Δ 2Δ 3Δ Zeitverschiebung Slotkorrelation 21

22 Local Normalization [TUM96,MAA96] u t u t = u 2 t u t u t = u 2 t u 2 t k = N 1 i=1 N 1 i=1 N u 2 i w i w j b k t j t i j=i 1 N u i u j w i w j b k t j t i j=i 1 N 1 i=1 N u 2 j w i w j b k t j t i j=i 1 Slotkorrelation 22

23 Auswirkung von Datenrauschen mit Selbstprodukten R k ohne Local Normalization mit Selbstprodukten ρ k mit Local Normalization ohne Selbstprodukte ohne Selbstprodukte Korrektur: Local Normalization ohne Selbstprodukte und Renormierung R k = u 2 k ln k = k ln / 0 ln Slotkorrelation 23

24 Bias durch räumliche Ausdehnung des Messvolumens Zwei kurz aufeinanderfolgende Teilchen mit großem Abstand quer zur Strömung Wertung wie zwei aufeinanderfolgende Teilchen ohne Abstand quer zur Strömung Verringerung der f- Korrelation Auswirkung und Korrektur wie Datenrauschen Slotkorrelation 24

25 Bias durch räumliche Mittelung bei 2-Punkt-Messungen Einzelteilchen, die nur ein Messvolumen passieren haben keine Auswirkung Zwei Teilchen, die gleichzeitig beide Messvolumen passieren, führen zu einer räumlichen Mittelung Verringerung der f-kreuzkorrelation Auswirkung und Korrektur wie Datenrauschen FG Strömungslehre und Aerodynamik Slotkorrelation Holger Nobach: Verarbeitung von Laser-Doppler-Datensätzen 25

26 Bias durch Slot-Mittelung (ohne Totzeit) Slotbreite (Mittelungsbereich) tatsächliche Werte geschätzte Werte Korrektur ist nicht möglich Reduktion des Effektes durch bessere zeitliche Auflösung erfordert längere Messreihe Bias durch Slot-Mittelung (mit Totzeit) Slotbreite tatsächlicher Verlauf der Korrelationsfunktion geschätzter Wert der Korrelationsfunktion Zuordnung zur Slotmitte Häufung bei großer Zeitverschiebung Slotkorrelation 26

27 Korrektur: Local Time Estimation [NOB02] geschätzter Wert der Korrelationsfunktion Zuordnung zur geschätzten mittleren Zeitverschiebung nicht-äquidistante Korrelationsfunktion Renormierung zur Rauschunterdrückung funktioniert hier nicht! Slotkorrelation 27

28 Modellbasierte Schätzung [NOB03] Korrelationsfunktion Strukturfunktion Bereich quadratischer Abhängigkeit Übergangsbereich Bereich exponentieller Abhängigkeit quadratische Abhängigkeit 2/3 -Abhängigkeit exponentielle Abhängigkeit Modell: =exp { 2 T 1 4/3 2/3 T 2 } Vorteil: robuste und präzise Abschätzung des Rauschens der Eckfrequenzen (Wellenzahlen) des Taylor-Zeitmaßes (Längenmaß) des integralen Zeitmaßes (Längenmaß) der Dissipationsrate Leistungsdichtespektrum Slotkorrelation 28

29 Zeitliche Korrelations- und Spektralanalyse LDA-Datensatz S&H-Rekonstruktion und regelmäßige Abtastung Korrektur des Datenratenfilters (Refinement) Verarbeitung großer Blöcke durch Kürzen der Korrelationsfunktion [NOB00] Verwendung schneller Algorithmen (FFT) kommerzielle Nutzung Slot-Korrelation Local Normalization Fuzzy Slotting Local Time Estimation Wichtungsfaktoren (Transit-Time / Forward- Backward-Arrival-Time) etwas geringere Schätzunsicherheit Offline-Auswertung Modellbasierte Rausch- / Varianzschätzung Zeitskalen Taylor-Zeitmaß integrales Zeitmaß Leistungsdichtespektrum Continuous Fourier Transform [NOB02] Variable Windowing [TUM96] Räumliche Korrelationsfunktion Zeit-Raum-Transformationen Rezept 29

30 Multi-Punkt-Messung? HDA (g-korrelation): LDA (f-korrelation): Korrelation R( ) Vorteil: direkte Messung der räumlichen Korrelation Nachteile: zwei oder mehr Sensoren begrenzte räumliche Auflösung zeitliche Korrelationen bleiben ungenutzt hoher Justage- und Kalibrieraufwand hoher zeitlicher Aufwand (mechanische Traversierung und wiederholte Messung) hohe Anforderungen an die Langzeitstabilität Probleme durch Rückwirkung der Sonden Messvolumenabstand Räumliche Korrelationsfunktion 30

31 Zeit-Raum-Transformation Vorteile: schnelle Messwertaufnahme nur eine Sonde erforderlich hohe zeitliche und räumliche Auflösung einfache Bestimmung von Raum-Zeit- Korrelationen Nachteile: Annahme von bestimmten Voraussetzungen nur Längskorrelationen (bei einkomponentiger Messung) zeitiche Korrelationsfunktion räumliche Korrelationsfunktion Korrelation R uu ( ) Zeit-Raum- Transformation Korrelation R uu ( ) Zeitverschiebung Messvolumenabstand Räumliche Korrelationsfunktion 31

32 Taylor-Hypothese Messpunkt 1 Messpunkt 2 U=5 m s Struktur 1mm Zeitliche Autokorrelationsfunktion Zeitliche Kreuzkorrelationsfunktion Räumliche Autokorrelationsfunktion 1ms 5 mm Raum-Zeit-Transformation 32

33 veränderliche Geschwindigkeit Messpunkt 1 Messpunkt 2 u Struktur 1mm Zeitliche Autokorrelationsfunktion Zeitliche Kreuzkorrelationsfunktion Räumliche Autokorrelationsfunktion 1ms u 1mm Raum-Zeit-Transformation 33

34 Geschwindigkeitsstatistik für jedes u: Transformation Wahrscheinlichkeitsdichte = p u =u mean 2xRMS ganze räumliche Korrelationsfunktion: Integration über alle u = u p u du zusätzliche Zeitverschiebung für zweidimensionale Raum- Zeit-Korrelation, =, u p u du, u = /u Raum-Zeit-Transformation 34

35 Raum-Zeit-Korrelation Messpunkt 1 Messpunkt 2 u Raum-Zeit-Transformation 35

36 Untersuchung nichtstationärer Prozesse Autokorrelationsfunktion, Leistungsdichtespektrum, Mittelwert und Varianz sind statistische Kennfunktionen und Kenngrößen des untersuchten Prozesses und setzen Stationarität voraus Bei nichtstationären Vorgängen haben statistische Kenngrößen und Kennfunktionen keine Aussagekraft. Bei nichtstationären Vorgängen nur dann anwendbar, wenn neben dem nichtstationären Anteil auch ein stationärer Anteil im Signal existiert nur der stationäre Anteil statistisch untersucht wird der stationäre Anteil unabhängig vom nichtstationären Anteil ist der stationäre Anteil vom nichtstationären Anteil zu trennen ist (z.b. Frequenzbereich) Es ist stets zu prüfen, ob der stationäre Anteil tatsächlich erhalten bleibt der instationäre Anteil tatsächlich entfernt wird Mögliche Anwendung: Stationäre Turbulenz über instationärem Strömungsverlauf Schwingungen Kurzzeit-Stationarität (zyklischer Prozess) driftender Mittelwert Nichtstationäre Prozesse 36

37 Schwingungen Korrektur: Zeitreihe Autokorrelationsfunktion Offset turbulenter Anteil langwellige Schwingung Abschätzung der Periode, Amplitude und Phase der Schwingung Abschätzung der Periode und Amplitude der Schwingung alternierender Verlauf Entfernen der Schwingung aus der Zeitreihe Entfernen der Schwingung aus der Autokorrelationsfunktion Nichtstationäre Prozesse 37

38 Kurzzeit-Stationarität (zyklischer Prozess) Problem: zeitliche Begrenzung Rekonstruktion: Messfenster systematische Fehler durch Fensterfunktion Slot-Korrelation: Korrektur: evtl. zu wenige Daten innnerhalb einer Periode (v.a. bei hohen Zeitverschiebungen) hohe Schätzunsicherheit kein systematischer Fehler Rekonstruktion: Invertierung der Fensterfunktion in der Korrelationsfunktion Slot-Korrelation: Zusammenfassung mehrerer Zyklen in den Summen der Korrelationsfunktion Nichtstationäre Prozesse 38

39 Driftender Mittelwert Korrektur durch gleitenden Mittelwert: [SRE94,NOB99b] j=i M m i = u j j=i M u i ' =u i m i turbulenter Anteil Offset ohne Filterung mit Filterung Achtung! Hochpasswirkung auch für stationären Anteil (turbulente Schwankung) Nichtstationäre Prozesse 39

40 Laser Doppler and Phase Doppler Signal and Data Processing Site News-Service Literatur LDA-Signalverarbeitung LDA-Datenverarbeitung Downloads Simulationsprogramme Experimentelle Referenzdaten (HDA und LDA) Analyseprogramme Weitere Informationen 40

41 [BEN95] L H Benedict and R D Gould 1995: Experiences Using Kalman Reconstruction for Enhanced Power Spectrum Estimates, Proc. ASME/JSME Fluids Eng. and Laser Anemometry Conf., FED-Vol. 229, Hilton Head Island, South Carolina, USA, pp. 1-7 [BEN98] L H Benedict, H Nobach and C Tropea 1998: Benchmark tests for the estimation of power spectra from LDA signals, Proc. 9th Int. Symp. on Appl. of Laser Techn. to Fluid Mechanics, Lisbon, Portugal, paper 32.6 [BEN00] L H Benedict, H Nobach and C Tropea 2000: Estimation of turbulent velocity spectra from laser Doppler data, Meas. Sci. Technol. vol 11, 8, pp [BUC79] P Buchhave W K George Jr and J L Lumley 1979: The measurement of turbulence with the laser Doppler anemometer, Annual Review of Fluid Mechanics, vol 11, Annual Reviews, Inc., Palo Alto, CA, pp [CHA92] Y C Chao and J H Leu 1992: A Fractal Reconstruction Method for LDV Spectral Analysis, Experiments in Fluids, vol 13, pp [CLA85] J J Clark and M R Palmer and P D Lawrence 1985: A Transformation Method for the Reconstruction of Functions from Nonuniformly Spaced Samples, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol 33, 4, pp [GAS75] M Gaster and J B Roberts 1975: Spectral analysis of randomly sampled signals, J. Inst. Maths. Applics, vol 15, pp [GAS77] M Gaster and J B Roberts 1977: The spectral analysis of randomly sampled records by a direct transform, Proc. R. Soc. Lond. A. 254, [HOS94] A Høst-Madsen 1994: A New Method for Estimation of Turbulence Spectra for Laser Doppler Anemometry, Proc. 7th Int. Symp. on Appl. of Laser Techn. to Fluid Mechanics, Lisbon, Portugal, paper 11.1 [KUO92] S Kuo and R J Mammone 1992: Image Restoration by Convex Projections Using Adaptive Constraints and the L 1 Norm, IEEE Transactions on Signal Processing, vol 40, 1, pp [LEE92] D H Lee and H J Sung 1992: Turbulent Spectral Bias of Individual Realization of LDV, Proc. 6th Int. Symp. on Appl. of Laser Techn. to Fluid Mechanics, Lisbon, Portugal, paper 8.1 [MAA 94] H R E van Maanen and H J A F Tulleken: 1994: Application of Kalman Reconstruction to Laser-Doppler Anemometry Data for Estimation of Turbulent Velocity Fluctuations, Proc. 7th Int. Symp. on Appl. of Laser Techn. to Fluid Mechanics, Lisbon, Portugal, paper 23.1 [MAA96] H R E van Maanen and M J Tummers 1996: Estimation of the autocorrelation function of turbulent velocity fluctuations using the slotting technique with local normalization, Proc. 8th Int. Symp. on Appl. of Laser Techn. to Fluid Mechanics, Lisbon, Portugal, paper 36.4 [MAY74] W T Mayo Jr, M T Shay and S Ritter 1974: The development of new digital data processing techniques for turbulence measurements with a laser velocimeter, AEDC-TR Final Report USAF AEDC Contract No. F C-0003 [MAY78] W T Mayo Jr 1978: Spectrum measurements with laser velocimeters, Proc. Dynamic Flow Conf., pp [MUE94] E Müller, H Nobach and C Tropea 1994: LDA signal reconstruction: Application to moment and spectral estimation, Proc. 7th Int. Symp. Technische on Appl. Universität of Laser Darmstadt Techn. to Fluid Mechanics,Lisbon, Portugal, paper Literatur

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