Geometrische Gruppentheorie

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1 Stichwortliste zur Vorlesung Geometrische Gruppentheorie Gabriela Schmithüsen Karlsruhe, Wintersemester 2009/2010 Kapitel I Cayleygraphen I.1 Graphen und Bäume Definition von Graphen; Beispiele wie die Rose und der Farey-Graph; die Kategorie der Graphen; Wege in Graphen; Bäume. I.2 Der Cayleygraph Definition des verallgemeinerten Cayleygraphen Γ(G, S) bezüglich eines Erzeugendensystems; G operiert auf Γ(G, S) durch Multiplikation von links. I.3 Graphen als topologische Räume Verkleben von Räumen; die geometrische Realisierung von Graphen; CW-Komplexe. I.4 Graphen als metrische Räume Beispiele für verschiedene Metriken auf R 2 ; Topologien, die von einer Metrik herkommen, sind hausdorffsch; Beispiele für nicht hausdorffsche Räume; Wege, Bögen und geodätische Segmente; Graphen als metrische Räume; Isometriegruppe von Graphen. Kapitel II Geometrie aus der Ferne II.1 Quasi-Isometrien Quasi-Isometrien und streng-quasi-isometrische Einbettungen; erste Beispiele und Eigenschaften. II.2 Cayleygraphen Wortmetrik; Satz1: Cayleygraphen derselben Gruppe zu endlichen Erzeugendensystemen sind quasi-isometrisch. II.3 Raum der Enden Enden als Äquivalenzklassen eigentlicher Strahlen; der Raum der Enden Ends(X); das Lemma von Arzelá-Ascoli; Umgebungsbasen in Ends(X); Satz2: Quasi-Isometrien induzieren Homöomorphismen zwischen den zugehörigen Endenräumen. Eine endlich erzeugte Gruppe G hat 0 Enden gdw. G endlich, zwei Enden gdw. G virtuell Z ist, ein Ende oder unendlich viele Enden. Der Endenraum eines

2 Baums ist die Cantor-Menge; der Endenraum einer endlich erzeugten Gruppe ist kompakt; falls er unendlich ist, dann ist er überabzählbar und jeder Punkt ist Häufungspunkt. II.4 Der Satz von Milnor und Svarc Eigentlich diskontinuierliche Gruppenaktionen; Quotientenräume; Satz 3 (Milnor/Svarc): Ist der Quotient eines eigentlich geodätischen Raums X nach einer eigentlich diskontinuierlichen Gruppenaktion kompakt, dann ist die Gruppe quasi-isometrisch zu X. Folgerung: Eine Gruppe ist quasi-isometrisch zu ihren Untergruppen von endlichem Index. Kapitel III Endlich erzeugte Gruppen III.1 Freie Gruppen und Präsentationen von Gruppen Freie Gruppen; Bäume als Cayleygraphen; Präsentationen von Gruppen. III.2 Beispiele für endlich präsentierte Gruppen Beispiele: S n, die Zopfgruppe und die Diedergruppe. III.3 Andrew-Curtis-Äquivalenz von Präsentationen Die Andrew-Curtis-Vermutung und einige prominente mögliche Gegenbeispiele. III.4 Das Wort-Problem Dehns drei klassische Probleme aus der kombinatorischen Gruppentheorie; Dehnpräsentationen; in Gruppen mit Dehnpräsentationen ist das Wortproblem linear lösbar. III.5 Thompsons Gruppe F Thompsons Gruppe F über Präsentationen und als Untergruppe der Homöomorphismengruppe von R. Kapitel IV Gromov-hyperbolische metrische Räume IV.1 Das Gromov-Produkt Einführung des Gromov-Produkts; geometrische Interpretation in der euklidischen Ebene; Mediane/Y -Punkte in metrischen Räumen; die Y -Eigenschaft; Zusammenhang zum Gromov-Produkt; Bäume haben die eindeutige Y -Eigenschaft; Mediane von vier Punkten in einem Baum. IV.2 Gromov-Hyperbolizität Eine erste Definition; Bäume sind 0-hyperbolisch; die Euklidische Ebene ist nicht hyperbolisch; 4-Punkte-Lemma; Unabhängigkeit der Hyperbolizität vom Basispunkt.

3 IV.3 Geometrie von Gromov-hyperbolischen Räumen Definition der Hyperbolizität in geodätischen Räumen über schlanke und dünne Dreieck, sowie über den insize- und minsize-radius. Satz 4: die verschiedenen Definitionen sind äquivalent. IV.4 R-Bäume Satz 5: Ein geodätischer Raum ist 0-hyperbolisch gdw. er ein R-Baum ist. IV.5 Quasi-Geodätische Einführung von Quasi-Geodätischen; Ballvermeidungslemma; Satz 6: lokal-quasi- Geodätische liegen nahe zu Geodätischen. IV.6 Quasi-Isometrien und Hyperbolizität Bilder von geodätischen Segmenten unter strengen Quasi-Isometrien sind quasi- Geodätische; Urbilder von hyperbolischen Räumen unter streng-quasi-isometrischen Einbettungen sind hyperbolisch; Satz 7: Hyperbolizität bleibt erhalten unter Quasi-Isometrie. Kapitel V Hyperbolische Gruppen V.1 Einführung Hyperbolische Gruppen; Beispiele und Gegenbeispiele: freie Gruppen, Z n, PSL 2 (Z). V.2 Das Wortproblem in hyperbolischen Gruppen In hyperbolischen Räumen gibt es keine K-lokalen geodätischen Schleifen, falls K groß genug. Hyperbolische Gruppen haben eine Dehnpräsentation. Damit ist das Wortproblem in linearer Zeit lösbar. V.3 Isoperimetrische Ungleichungen Dehn-Funktion und isoperimetrische Ungleichung; die klassische Variante in R 2 ; Gruppen mit Dehn-Präsentationen erfüllen eine lineare isoperimetrische Ungleichung; Dehn-Diagramme. V.4 Der hyperbolische Raum H n Hyperbolische Ebene H mit Poincaré-Metrik; Geometrie in H; H ist hyperbolisch. Hyperbolizität von Fuchsschen Gruppen, z.b. Flächengruppen.

4 Schließlich noch einige Kommentare zu Literatur begleitend zur Vorlesung. Vieles aus Kapitel I kann z.b. durch [S] oder auch [H] vertieft werden. Das meiste aus Kapitel II wurde dem Skript [L] entnommen. Zu II.3 diente als Grundlage [G, Kap. 13] und [BH, Kap. 1.8]. Kapitel III kann beispielsweise mit Hilfe der Bücher [LS] und [ECHLPT] vertieft werden. Mehr zu Zopfgruppen findet man in [M]. Als Hintergrund zu III.3 bietet sich das Preprint [MMS] an, als Grundlage für III.5 diente [G, II.9] und der sehr nett lesbare Artikel [CFP]. Kapitel IV und V stammen wiederum aus dem Skript [L], sowie aus [GHV, Kapitel I] und [BH]. Kap IV.4 wurde aus [CDP, Kap. 3] genommen. Literatur [BH] M. Bridson and A. Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Springer (1999). [CFP] J.W. Cannon, W.J. Floyd und W.R. Parry: Introductory notes on Richard Thompson s groups Enseign. Math., II. Sér. 42, No.3-4, S (1996). [CDP] M. Coornaert, T. Delzant und A. Papadopoulos: Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov. Lecture Notes in Mathematics, Springer (1990). [ECHLPT] D. Epstein, J. Cannon, D. Holt, S. Levy, M. Paterson, W. Thurston: Word processing in groups. Jones and Bartlett Publishers (1992). [G] R. Geoghegan: Topological methods in group theory. Graduate Texts in Mathematics 243. Springer (2008). [H] Vorlesung von F. Herrlich: Gruppen und Graphen. Informelles Vorlesungsskript. [L] C. Leininger A, Reed: Notes on Geometric group theory. Informelles Skript. clein/ [LS] R. C. Lyndon and P. E. Schupp: Combinatorial group theory. Classics in Mathematics. Springer (2001). [GHV] E. Ghys, A. Haefliger, A. Verjovsky: Group theory from a geometrical viewpoint. World Scientific (1993).

5 [M] S. Moran:The mathematical theory of knots and braids. An introduction. North-Holland Mathematics Studies, 82. Amsterdam-New York-Oxford: North-Holland. XI (1983). [MMS] A. D. Myasnikov, A. G. Myasnikov, V. Shpilrain: On the Andrews-Curtis equivalence. Preprint, arxiv:math/ [S] J.-P. Serre: Trees. Springer Monographs in Mathematics. Springer (2003).