Algorithmen und Datenstrukturen 14. Vorlesung

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1 Algorithmen und Datenstrukturen. Vorlesung Karl-Heinz Niggl. Juli 006 Graphentheorie: Grundbegriffe Graphen (ungerichtet) 6 Digraph / gerichteter Graph: 6 FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Graphentheorie: Grundbegriffe Graphen unddigraphen sindeine inderinformatikgrundlegende (Daten-)Struktur. Graphen modellieren z.b. Städte und Verbindungswege Gatter und Leitungen auf einem Chip Systemkomponenten und Verbindungen Zustände eines Systems und Übergänge (Daten-)Flussdiagramme für Programmentwurf(-analyse) Vorgänge mit Unerträglichkeitsbeziehungen Transportsysteme: Stationen, Verbindungskapazitäten Soziale Beziehungen... Hier: Nur Algorithmen zum Umgang mit den Strukturen. Graphentheorie: Grundbegriffe Def. Ein gerichteter Graph (englisch: directed graph), kurz Digraph, ist ein Paar G := (V,E), wobei gilt: V ist eine endliche Menge, E V V = {(u, ) u, V }. Die Elemente on V heißen Knoten (node oder ertex). Die Elemente on E heißen Kanten (edge oder arc). Darstellung on Knoten : Darstellung on Kanten e=(u, ): u e FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

2 Graphentheorie: Grundbegriffe Def. Sei G =(V,E) ein Digraph, e=(u, ) E eine Kante. u u bzw. heißen inzident zu e (u, liegen auf e). u und heißen adjazent (benachbart). e heißt Nachfolger on u, suc(u):= { V (u, ) E} die Menge der Nachfolger on u. u heißt Vorgänger on, pred():={u V (u,) E} die Menge der Vorgänger on u. Eine Kante (,) heißt Schleife (loop). Graphentheorie: Grundbegriffe Def. Sei G =(V,E) ein Graph. Der Ingrad (indegree) eines Knotens V ist die Anzahl in eingehenden Kanten: indeg() := pred() Der Ausgrad (outdegree) on ist #(ausgehenden Kanten): outdeg() := suc() FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Graphentheorie: Grundbegriffe 6 Lemma (Ingrade/Ausgrade und Kantenzahl). Für einen Graphen G=(V,E) gilt: indeg() = outdeg() = E V V Beweis. : In beiden Summen wird jede Kante genau einmal gezählt. E = 6 7 Summe der Ingrade: = 8 Graphentheorie: Grundbegriffe 7 Def. Sei G = (V,E) ein Digraph. Ein Weg (auch Pfad) in G ist eine Folge ( 0,,..., k ) on Knoten in G mit ( i, i ) E für i k. Äquialent: Kantenfolge ( 0, ),(, ),...,( k, k ) (,,,,6) Wiederholungen sind nicht erboten! (,),(,,,,,,6,,,),(). 6 7 Die Länge eines Weges ( 0,,..., k ) ist k, die Kantenzahl. Insbesondere hat ein Weg () die Länge 0. 8 FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

3 Graphentheorie: Grundbegriffe 8 Def. Ein Weg ( 0,,..., k ) aus paarweise erschiedenen Knoten in einem Digraphen G heißt einfach (simple). (,,,,6) 6 7 Def. Sei G = (V,E) ein Digraph. Knoten,w V heißen wegerbunden in G, in Zeichen G w, falls in G ein Weg (,,..., k,w) existiert. G, G 6, G G heißt dag (directed acyclic graph), falls G azyklisch ist, d.h. G besitzt keinen Kreis, d.h. einen Weg ( 0,,..., k, 0 ). 8 Graphentheorie: Grundbegriffe Lemma (Partielle Ordnung, Einfachheit: Digraph G).. Die Relation G ist reflexi und transiti, d.h. stets gilt: G und u G G w = u G w.. Ist G azyklisch, so ist G eine partielle Ordnung auf V, d.h. neben. ist G auch antisymmetrisch, d.h. es gilt: u G und G u = u=.. Wenn G w gilt, dann existiert in G auch ein einfacher Weg on nach w. Beweis. Zu. Offenbar ist () ein Weg on nach. Sind ( 0,..., k ) und ( k,w,...,w l ) Wege in G, so auch ( 0,..., k,w,...,w l ). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Graphentheorie: Grundbegriffe 0 Zu. Folgt aus. und der Kreisfreiheit on G. Zu. Idee: Entferne alle orhandenen Kreise. : procedure delete-circles-in-path( p:=( 0,..., k )) : while p enthält i = j mit 0 i<j <Länge(p) do : p:=( 0,..., i, j+,..., k ) : return p Korrektheit: Kommt in p = ( 0,..., k ) ein Knoten i = j, 0 i < j k zweimal or, so ist ( 0,..., i, j+,..., k ) immer noch ein Weg in G on 0 nach k. Graphentheorie: Grundbegriffe 7 6 (,,,,,,,,,,,6,,,,,) (,,,,,,,,6,,,,,) (,,,,,,,,) (,,,,,,,) (,,,) Bem. Andere Auswahlfolgeliefert deneinfachenweg (,,). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

4 Graphentheorie: Grundbegriffe Def. Ein Kreis ( 0,,..., k, 0 ) in einem Digraphen G heißt einfach, falls,..., k paarweise erschieden sind. (,,,,), (6,7,,6), (,) sind einfache Kreise. 7 Graphentheorie: Grundbegriffe Beweis. Wie beiderkonstruktiononeinfachenwegen, nur mit erschärfter Suchbedingung: i = j mit 0 i<j < k Bem. Kreise, die sich nur im Anfangspunkt unterscheiden, werden oft identifiziert. Lemma (Existenz einfacher Kreise bei Digraphen G). In einem Digraph G besitzt jeder Kreis ( 0,,..., k, 0 ) auch einen einfachen Kreis ( 0, i,..., il, 0 ). (,,6,,,,,,,,,,6,7,,),,6,,,,,,6,7,,) (,,,6,7,,) (,,,) Alternatie: (,,6,,,,,,,,,,6,7,,) (,,) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Graphentheorie: Grundbegriffe Def. EinGraph (ungerichtet) ist ein Paar G := (V,E) mit: V ist eine endliche Menge, E [V ] :={{u, } u, V,u }. Die Elemente on V heißen Knoten (node oder ertex). Die Elemente on E heißen Kanten (edge). Darstellung on Knoten : Darstellung on Kanten e=(u, ): Konention: Kanten {u, } = {,u} werden als Paare (u, ) geschrieben. Nur: Bei Kanten on (ungerichteten) Graphen gilt: (u, ) = (,u) u e Graphentheorie: Grundbegriffe Def. Sei G=(V,E) ein Graph und e=(u, ) E eine Kante. u u bzw. heißen inzident zu e (u, liegen auf e). u und heißen adjazent (benachbart). u heißt Nachbar on und heißt Nachbar on u. e FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

5 Graphentheorie: Grundbegriffe 6 Def. Sei G ein Graph. DerGrad (degree) eines Knoten, in Zeichen deg(), ist die Anzahl seiner Nachbarn: deg() := {u V (u, ) E} Knoten mit Grad 0, d.h. ohne Nachbarn, heißen isoliert. deg() = 6 Lemma (Handshaking). Für Graphen G = (V,E) gilt: V deg() = E Beweis. Kante (u, ) trägtzudeg(u) undzudeg() bei. Graphentheorie: Grundbegriffe 7 Im Graphen ist die Anzahl der Kanten und die Summe der Grade ergibt: = Def. Sei G = (V,E) ein Graph. Die Begriffe Weg (Pfad) in G, Länge und Einfachheit eines Weges in G sind wie bei Digraphen definiert. Neu. Ist ( 0,..., k ) ein Weg, so auch ( k, k,..., 0 ). Sind u, V durch einen Weg in G erbunden, so schreiben wir u G (oder u, falls G im Kontext bekannt ist). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Graphentheorie: Grundbegriffe 8 Lemma (Existenz einfacher Wege). u G = einfacher Weg on u nach. Bew. Wie bei Digraphen. Lemma (Äquialenzrelation). Die Relation G ist eine Äquialenzrelation, d.h. es gilt: Reflexiität: G Symmetrie: u G = G u Transitiität: u G G w = u G w Bew. Symmetrie folgt aus Neu, Rest wie bei Digraphen. Def. Die Menge [] G := {u u G } heißt Äquialenzklasse on G mit Repräsentant. Graphentheorie: Grundbegriffe Bem. Es gilt: u [] G = [u] G =[] G Mittels Äquialenzklassen werden diejenigen Elemente einer Menge identifiziert, die dasgleiche tun ( Repräsentant ). In [] G ist jedes u mit jedem anderen w wegerbunden. [] G heißt auch Zusammenhangskomponente on G. Liest man u G als u mag, so ist [] G eine Clique. Bem. Die Menge der Zusammenhangskomponenten bildet eine Partition on V, d.h. es gilt: [] G [u] G [] G = [u] G =[] G V = [] G V FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

6 Graphentheorie: Grundbegriffe 0 Graph mit ZHKn Graphentheorie: Grundbegriffe Def. Ein Weg ( 0,,..., k ) in einem Graphen G heißt Kreis, falls gilt: k, 0 = k und ( i {,...,k }: i i+ ) sowie k. 7 6 Graph mit 7 ZHKn 8 Kreis: (6,7,8,,6,,,,0,,,,6) D.h., ein Hin und her (...,u,, u,...) über dieselbe Kante (u, )=(,u) ist nicht erlaubt. Daher muß k gelten. Sonstige Knoten- oder Kantenwiederholungen sind erlaubt. 0 FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Graphentheorie: Grundbegriffe Def. Ein Weg ( 0,,..., k ) in einem Graphen G heißt einfacher Kreis, falls gilt: k, 0 = k und 0,,..., k sind paarweise erschieden Einfache Kreise: (6,,,,0,,,,6) 0 und (,6,,,,0,,,) Lemma (Existenz einfacher Kreise). Besitzt ein Graph einen Kreis, so auch einen einfachen Kreis. Beweis. Übung! Graphentheorie: Grundbegriffe Def. Sei G = (V,E) ein Graph. G heißt azyklisch (kreisfrei), falls er keinen Kreis besitzt. G heißt freier Baum, kurz Baum, falls er kreisfrei und zusammenhängend ist. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

7 Graphentheorie: Grundbegriffe Lemma (Charakterisierung freier Bäume). Für Graph G=(V,E) sind folgende Aussagen äquialent:. G ist ein freier Baum.. G ist kreisfrei und E V.. G ist zusammenhängend und E V.. Je zwei Knoten u, sind durch genau einen einfachen Weg erbunden.. G ist maximal kreisfrei, d.h. G ist kreisfrei und jede neue Kante erzeugt einen Kreis. 6. G ist minimal zusammenhängend (analog definiert). Beweis. Wird für Interessierte auf die Webseite gelegt. Datenstrukturen für Digraphen/Graphen Sei G =(V,E) beliebiger Graph oder Digraph. ) Ordne die n= V Knoten beliebig an: V ={,..., n } A C B D E ) Dann stelle V z.b. durch ein Array dar: nodes[..n] of nodetype nodes: wobei sich i in nodes[i] befindet und i.a. noch mehr: Attribute der Knoten wie Markierungen oder Beschriftungen. Also: Knotensindi.a. mit,,...,n numeriert undeinnodes- Array ist orhanden. Dann ist (i,j) Kante ( i, j ) E. : : : : : A B E D C FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Datenstrukturen für Digraphen/Graphen Def. Sei G = (V,E) ein Graph/Digraph mit V = {,...,n}. Die Adjazenzmatrix on G die n n-matrix M G = (a ij ) i,j n mit {, falls (i,j) E a ij := 0, sonst. In den meisten Programmiersprachen: Matrizen sind als -dimensionale Arrays A[..n][..n] realisierbar, mit Einträgen aus {0,} oder om Typ boolean. Fazit: Zugriff (Lesen, Schreiben) auf a ij geht in Zeit O(). Datenstrukturen für Digraphen/Graphen Beispiel-Digraph: Dann gilt: = 6 Anzahl der en in Zeile i = Ausgrad on Knoten i Anzahl der en in Spalte j = Ingrad on Knoten j FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

8 Datenstrukturen für Digraphen/Graphen Beispiel-Graph: = 6 Bem. Die Adjazenzmatrix eines Graphen ist symmetrisch! Bem. #(en in Zeile/Spalte i) = Grad on Knoten i. Datenstrukturen für Digraphen/Graphen Bem. Stellt man Graphen/Digraphen mit n Knoten als Adjazenzmatrix dar, so gilt:. Speicherplatzbedarf ist Θ(n ).. Zugriff (Lesen/Schreiben) auf a ij geht in Zeit O().. Die Ermittlung aller Nachfolger, Vorgänger oder Nachbarn eines Knotens erfordert Zeit Θ(n). (Zeilen/Spaltendurchlauf; Reihenfolge:,...,n). Der Speicherplatzbedarf ist im Vergleich zur orhandenen Information relati hoch, falls E n (dünn besetzte Graphen). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Datenstrukturen für Digraphen/Graphen 6 Erweiterung: Sind die Kanten mit Objekten aus einer (Markierungs-)Menge M beschriftet, benutzt manstatt des Booleschen Arrays ein Array mit Einträgen aus M { } ( bedeutet nicht orhanden ): 6 a c f a d a d b c e a f c 6 h d = h f a d c 6 f c b d a e a c d a Datenstrukturen für Digraphen/Graphen 7 Bem. Bei Zahleneinträgen wird für oft 0 oder erwendet, je nach Anwendungsart. für mögliche Beschriftungen: anwendungsabhängig. Kantenlängen l(i, j) R Kantengewicht w(i,j) R (Transport-)Kapazitäten c(i,j) R + FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

9 Datenstrukturen für Digraphen/Graphen 8 Def. Bei der Adjazenzlistendarstellung on Digraphen oder Graphen existiert für jeden Knoten i eine Liste L i der Nachfolger on i im Fall on Digraphen Nachbarn on i im Fall on Graphen. : : nodes: 6 Datenstrukturen für Digraphen/Graphen Bem. ) Die Länge der Liste L i ist outdeg(i) bei Digraphen und deg(i) bei Graphen. ) Bei Graphen gilt: Eintrag i kommt in L j or Eintrag j kommt in L i or. ) Durch die Reihenfolge der Einträge in Liste L i sind die Nachbarn/NachfolgeronKnoten i immer implizit angeordnet. : : : 6: 6 6 Erweiterungen: a) Knotenbeschriftungen befinden sich im nodes-array. b) Kantenbeschriftungen speichert man in zusätzlichen Attributen in den Listenelementen der Adjazenzlisten. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Datenstrukturen für Digraphen/Graphen 0 Bem. Werden Graphen/Digraphen G = (V,E) mittels Adjazenzlisten dargestellt, dann gilt:. Der Speicherplatzbedarf ist O( V + E ).. Das Durchlaufen aller Kanten benötigt Zeit O( V + E ).. Das Durchlaufen deradjazenzliste zuknotenibenötigt Zeit O(deg(i)) bei Graphen bzw. O(outdeg(i)) bei Digraphen. Breitensuche in Digraphen. Breitensuche on einem Knoten 0 aus: Finde alle Knoten, die on 0 aus erreichbar sind. Numeriere die entdeckten Knoten durch. Bestimme für jeden on 0 aus erreichbaren Knoten einen kürzesten Weg on 0 nach, Abstand on 0 zu. Die on 0 = aus erreichbaren Knoten, mit kürzesten Wegen on 0 = aus, und Nummern: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

10 Breitensuche in Digraphen Ansatz: Knoten werden entdeckt (numeriert und als entdeckt markiert) undspäterbearbeitet (die Menge dernachfolger wird durchgegangen, um neue Knoten zu entdecken). Die Reihenfolge der Bearbeitung wird über eine anfänglich leere Queue Q organisiert. Information an Knoten (gespeichert im nodes-array): Nummer bfs num() Leel leel() (Abstand on 0 nach ) Vorgänger pred() (on auf kürzestem Weg 0 ) Globale Information: Zähler bfs count Initialisierung: bfs count 0; alle bfs num() 0. Breitensuche in Digraphen : procedure bfs( 0 ) Breitensuche on 0 aus : bfs count bfs count+ : bfs num( 0 ) bfs count : leel( 0 ) 0 : pred( 0 ) 0 Weg der Länge 0 6: enqueue(q,) erstes Element in Warteschlange 7: while Q NIL do 8: first(q) : dequeue(q) nun bearbeite 0: foreach w suc() (Adjazenzliste!) do : if bfs num(w)=0 then w wird entdeckt! : bfs count bfs count+ : bfs num(w) bfs count : leel(w) leel()+ : pred(w) w on aus erreicht 6: enqueue(q,w) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Breitensuche in Digraphen Breitensuche in Digraphen fertig FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

11 Breitensuche in Digraphen 6 Breitensuche in Digraphen fertig fertig fertig fertig FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Breitensuche in Digraphen fertig Breitensuche in Digraphen Feststellungen: ) Jeder on 0 aus erreichbare Knoten wird irgendwann entdeckt, erhält eine Nummer und Leelnummer. (Für Weg ( 0,,..., k ) mit = k zeigt man indukti, daß jedes i auf dem Weg entdeckt wird.) ) Knoten wird on pred() aus entdeckt fertig... und so weiter. ) Alle entdeckten Knoten mit den Kanten (pred(),), 0 bilden einen Baum: Breitensuch-Baum ) leel() = Länge eines kürzesten Weges on 0 nach. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

12 Breitensuche in Digraphen 0 Um einen solchen Weg zu finden, starte in und erfolge wiederholt die Kanten (pred(w),w). ) Die Laufzeit eines Aufrufs bfs( 0 ) ist proportional zur Anzahl der on 0 aus erreichbaren Knoten und Kanten. 6) DerSpeicherplatzbedarfist proportionalzuranzahlderon 0 aus erreichbaren Knoten. Bew. )+6) Sei V bzw. E die Menge der erreichten Knoten bzw. durchlaufenen Kanten. Klar: E = V outdeg( ) Kosten für Einfügen und Entnehmen aus der Queue: O() und O(outdeg()) für das Durchlaufen der Adjazenzliste. Insgesamt: O( V + E ), nur V -Knoten gelangen in Q. Breitensuche in Digraphen. Globale Breitensuche in G: : procedure global-bfs(g) : bfs count 0 : for to n do : bfs num() 0 : for to n do 6: if bfs num()=0 then noch nicht erreicht! 7: bfs() Starte bfs on aus Bem. bfs-aufrufe eränderndie bfs num-werte. Durchbfs- Aufrufe auf den noch unerreichten Knoten werden insgesamt alle Knoten in G erreicht! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD Breitensuche in Digraphen BFS-Bäume mit BFS-Nummern und Leels: Entstehende Bei bfs-aufruf auf neuen Knoten zählt bfs count weiter! Breitensuche in Digraphen. Breitensuche in (ungerichteten) Graphen Verläuft analog zu bfs. Beachte: Bei der Bearbeitung on wird der Knoten pred(), obwohl er in der Adjazenzliste on orkommt, nie berücksichtigt (hat schon eine Nummer). Wenn man in 0 startet, werden alle Knoten in der Zusammenhangskomponente on 0 entdeckt. leel() entspricht dabei dem Abstand on zu 0. Wenn man in allen noch nicht entdeckten Knoten eine Breitensuche startet (analog global-bfs(g)), sofindet manalle Zusammenhangskomponenten on G. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

13 Breitensuche in Digraphen Kosten für global-bfs bei Graphen: O( V + E ). Speicherplatz für die Queue: O( V ) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD

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