Wigners Theorem: die Existenz von unitären oder anti-unitären Darstellungen

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1 Wigners Theorem: die Existenz von unitären oder anti-unitären Darstellungen Michael Salz & Malte Weinberg 13. November 2006 Wigners Theorem begründet mit seinen Aussagen über Symmetriegruppen einen sehr wichtigen Aspekt der Quantenmechanik. Zusammengefasst lauten diese Aussagen: Zu jeder Symmetriegruppe G eines gegebenen physikalischen Systems existiert eine Gruppe Ĝ von Strahlentransformationen ĝ; eine Gruppe ÛG von unitären (antiunitären) Operator-Strahlen Û und ein Satz von unitären (antiunitären) Operatoren U Û, sodass die Gruppen G, Ĝ und ÛG isomorph sind. Der folgende Beweis ist recht formal und führt nicht zu einem tieferen Verständnis von Symmetrie. Mit diesem zunächst sehr abstrakt erscheinenden Theorem wird jedoch erst ein ganz wesentlicher Teil der Physik erschlossen. So kann man die Quantenmechanik auch als die Theorie der Darstellung von Symmetriegruppen der entsprechenden physikalischen Systeme bezeichnen und den Hilbertraum eines Systems als Darstellungsraum von Symmetrieen ansehen. Nur durch Wigners Theorem ist nun gesichert, dass in der Quantenmechanik alle Erhaltungsgrößen mit unitären bzw. antiuntären Operatoren verbunden werden können. Im Folgenden werden Hilbertvektoren ψ, ϕ behandelt. Die Norm eines Hilbertvektors ist definiert als ϕ = ϕ ϕ. (1) Des weiteren kann jeder Vektor im Hilbertraum als ein Vielfaches ϕ = a ϕ 0 ; a 0 eines entsprechenden Einheitsvektors ϕ 0 = 1 ϕ mit a = ϕ (2) a geschrieben werden. Nun betrachte man die so genannten Einheitsstrahlen ( unit rays ) von Hilbertvektoren. Ein Strahl ˆϕ eines Vektors ϕ im Hilbertraum ist definiert als ˆϕ = {ω ϕ ; ω = 1}. (3) Ein Strahl ˆϕ stellt also die Menge des entsprechenden Hilbertvektors ϕ multipliziert mit einer beliebigen Phase ω = e iα ; α R dar, wobei jedes ϕ ˆϕ als Repräsentant des Strahls dienen kann. Das Skalarprodukt ist definiert als ˆϕ ˆψ = ϕ ψ, (4) wobei (4) nicht von der Wahl des stellvertretenden Vektors ϕ ˆϕ und ψ ˆψ abhängt, da die Phase durch den Betrag raus fällt. Aus (1) und (4) folgt, dass ˆϕ ˆϕ = ϕ (5) unabhängig von der Wahl des stellvertretenden Vektors ϕ ist. Die Norm eines Strahls ist somit als ˆϕ = ϕ ϕ = ϕ (6) 1

2 definiert. Jetzt kann ein Strahl als ˆϕ = ϕ ˆϕ 0 geschrieben werden, wobei ˆϕ 0 ein entsprechender Einheitsstrahl ist. Die Zustandsvektoren ψ, ϕ entsprechen nicht genau den physikalischen Zuständen, da lediglich Betragsquadrate und Erwartungswerte der Vektoren betrachtet werden. Einheitsstrahlen hingegen berücksichtigen die beliebige, individuelle Phase der Vektoren, die im Skalarprodukt zweier Strahlen wieder herausfällt. Ein physikalisches System wird daher erst durch die Notation der Zustände in Einheitsstrahlen ˆψ, ˆϕ exakt beschrieben. Somit existiert zu jeder Gruppe G von Transformationen eines Systems S eine entsprechende Strahlendarstellung Ĝ isomorph zu G, welche die Strahlen ebenso transformiert, wie G die physikalischen Zustände. Da physikalische Zustände einem Satz von Einheitsvektoren entsprechen ist die Strahlendarstellung Ĝ auch nur auf dem Satz von Einheitsstrahlen definiert. Diese Definition lässt sich allerdings auf alle Strahlen ausweiten, indem man zusätzlich ĝ ˆϕ = ĝ ˆϕ ˆϕ 0 = ˆϕ ĝ ˆϕ 0 definiert. Im Folgenden wird der Index Null für Einheitsstrahlen ausgelassen, da alle zu behandelnden Strahlen fast ausschließlich Einheitsstrahlen sind. Hier nun die formale Definition von Symmetrie: G ist eine Symmetriegruppe des quantenmechanischen Systems S, wenn die Strahlendarstellung Ĝ von G die Strahlenprodukte für S invariant lässt: G: g G transformiert ψ ψ = gψ Ĝ: ĝ Ĝ transformiert ˆψ ˆψ = ĝ ˆψ sodass gilt: ˆϕ ˆψ = ˆϕ ˆψ (7) Die Gruppe Ĝ bildet Strahlen eines Unterraumes von H auf Strahlen des selben Unterraumes ab. Diese Definition garantiert die Invarianz aller Wahrscheinlichkeiten und Eigenwerte, also aller beobachtbarer Daten. In der Quantenmechanik ist es notwendig nicht nur Strahlen, sondern auch Hilbertvektoren zu transformieren, jedoch existieren zu einer gegebenen Strahlentransformation scheinbar unendlich viele Möglichkeiten von Vektortransformationen: die Transformation des Vektors ϕ ˆϕ ist bis auf die Bedingung ϕ ˆϕ vollkommen beliebig. Mit einem gewählten Bild von ϕ kann nichts über das Bild von e iα ϕ ausgesagt werden, da die Transformation der Phase noch nicht definiert ist. Dies bedeutet, dass der unendliche Satz {T } von Vektortransformationen, die kompatibel zu ˆϕ ˆϕ sind, alle Arten von unstetigen und nichtlinearen Transformationen enthält. Des weiteren ist bei einer vollkommen festgelegten Vektortransformation, die ˆϕ auf ˆϕ abbildet, wiederum nichts bezüglich der Abbildung von ˆψ auf ˆψ definiert. Mit dem Beweis von Wigners Theorem kann nun für den oben beschriebenen unendlichen Satz {T } von Vektortransformationen T gezeigt werden, dass dieser immer einen Sub-Satz von entweder unitären, oder antiunitären Vektortransformationen enthält, falls die entsprechende Strahlentransformation einer Symmetrie zugrunde liegt. Der erste Beweis von Wigner selbst (1931) war nicht komplett, (Wigner hatte antiunitäre Transformationen nicht berücksichtigt) seitdem wurden aber viele Beweise dieses bedeutenden Theorems geführt. Alle bauen auf der Idee auf, die Phasen von ϕ und T ϕ festzulegen, sodass T unitär bzw. antiunitär wird. In der folgenden Konstruktion wird der unendliche Satz {T } von Vektortransformationen T durch geschickte Ausnutzung der Symmetriebedingungen und aller verfügbaren Freiheiten in der Wahl von T eingeschränkt, bis entweder unitäre oder antiunitäre Transformationen verbleiben. 2

3 Zu Beginn folgt aus der Symmetriebedingung (7), dass jedes T {T } eine komplette Orthonormalbasis { ϕ n } von H in eine andere komplette Orthonormalbasis { ϕ n } transformiert. Das die Norm erhalten bleibt und die Orthogonalität der Vektoren ebenso, ist sofort ersichtlich durch Einsetzen in (7). Wäre die transformierte Basis { ϕ n } nicht komplett, gäbe es einen Vektor ψ, der orthogonal zu allen ϕ n steht und demzufolge auch einen Vektor ψ orthogonal zu allen ϕ n im Widerspruch zur Annahme { ϕ n } sei komplett. Folglich ist die neue Basis { ϕ n } komplett. Zu einer fest gewählten Basis { ϕ n } gehört ein entsprechender Satz von Einheitsstrahlen { ˆϕ n }. Mit der Strahlentransformation wird das Bild des Satzes Von Einheitsstrahlen { ˆϕ n} erzeugt. Aus jedem ˆϕ n wähle man nun einen repräsentativen Vektor ϕ n. Die Vektoren ϕ n bilden eine Basis, die hier nur vorübergehend verwendet wird. Im Folgenden werden die wichtigen Schlussfolgerungen in mehreren einzelnen Schritten erreicht: 1. Man stelle sich einen beliebigen Strahl ˆψ und sein Bild ˆψ vor und entwickle die repräsentativen Vektoren ψ in der Basis { ϕ n } sowie ψ in { ϕ n }: Mit (4) und der Symmetriebedingung (7) erhält man ψ = A n ϕ n ; ψ = A n ϕ n (8) ˆϕ n ˆψ = A n = ˆϕ n ˆψ = A n. (9) Dieses Ergebnis ist sowohl unabhängig von der Wahl der Basis von ˆψ, als auch von den stellvertretenden Vektoren ψ und ψ. Schreibt man ist A n = a n e iαn mit α n reell und a n 0 a n = a n. (10) 2. Betrachte weiter einen beliebigen Vektor ψ mit reellen, nicht-negativen Koeffizienten: ψ = a n ϕ n a n 0. ψ ist ein stellvertretender Vektor ˆψ. Man wähle nun einen beliebigen Vektor ψ ˆψ mit der Entwicklung in der Basis { ϕ n }: ψ = a n e iα n ϕ n (11) Jetzt nutzt man die Freiheit T zu definieren, sodass ψ das Bild von ψ darstellt: T ψ = ψ (12) Diese Freiheit kann erneut verwendet werden, um die Wahl der Basis { ϕ n } zu korrigieren: sei e iα n ϕ n = ψ n, so lautet die neue Basis { ϕ n }. Zusammenfassend wird also ein einzelner Vektor ψ mit reellen, nicht negativen Koeffizienten (in der alten Basis) in einen anderen Vektor ψ mit den selben Koeffizienten (in der neuen Basis) transformiert. 3. Man könnte nun vermuten, dass eine solche Transformation nur für ein einzelnes ψ möglich ist, da die Phase α n von ψ in die Basis eingeht. Es kann jedoch gezeigt werden, dass diese Transformation für jedes beliebige ϕ mit reellen, nicht-negativen Koeffizienten erlaubt ist. Hierzu wähle man mit einen Repräsentanten ϕ ˆϕ : ϕ = b n ϕ n b n 0 ϕ = b n e iβ n ϕ n mit β 1 = 0. 3

4 Dies ist immer möglich, ohne irgendwelche Annahmen zu verletzen. Aus ˆϕ ˆψ = ˆϕ ˆψ folgt jetzt a 1 b 1 + a n b n = a 1 b 1 + a n b n e iβ n, (13) wobei die Summe ohne den ersten Term bezeichnet. Man kann die Summe a 1 b 1 + a n b n e iβ n (14) als eine Summe von Vektoren in der komplexen Zahlenebene darstellen: auf der linken Seite der Gleichung (14) ist jeder Term null oder größer und die Vektoren somit auf der reellen Achse aneinander gereiht. Die rechte Seite der Gleichung hat den selben Betrag, daher müssen dort auch alle Vektoren aneinander gereiht sein. Nun liegt aber der erste Term a 1 b 1 schon auf der reellen Achse, sodass folglich alle anderen Terme auch reell sein müssen. Das bedeutet wiederum, dass alle zu nicht verschwindenden b n gehörigen β n null sind. Man definiere jetzt den eben behandelten Vektor ϕ als das Bild von ϕ. Damit wurde T so konstruiert, dass alle Vektoren mit reellen, nicht-negativen Koeffizienten in Vektoren mit den selben nicht-negativen Koeffizienten transformiert werden: ϕ = b n ϕ n T ϕ = ϕ = b n ϕ n (15) Dies gilt speziell für die Basisvektoren ϕ n selbst, da b n = 1. Mit der Transformation T ist also das Bild der Basis { ϕ n } gerade die Basis { ϕ n }: 4. Betrachte nun beliebige Vektoren. T ϕ n = ϕ n. (16) ψ = a n e iαn ϕ n ϕ = b n e iβn ϕ n (17) Die Bilder dieser beiden Zustandsvektoren sind dann bis auf α n und β n definiert. ψ = a n e iα n ϕ n ϕ = b n e iβ n ϕ n (18) Mit dem Skalarprodukt gilt nun ganz allgemein: an b n e i(βn αn) = an b n e i(β n α n ) (19) Um die Transformation nun genauer definieren zu können, wird ϕ spezialisiert um Erkenntnisse über die Transformation von ψ zu gewinnen. Wähle nun alle β n = 0 und auch alle b n zu Null außer b l und b k. Somit erfüllt ϕ die Bedingungen aus (3.) und das Bild ist schon definiert. Alle β n = 0 und nur b l = b l und b k = b k sind von Null verschieden. Das Skalarprodukt lässt sich nun vereinfachen. Und somit gilt für beliebige l und k: a l b l e iα l + a k b k e iα k = a l b l e iα l + ak b k e iα k (20) a l b l + a k b k e i(α k α l ) = a l b l + a k b k e i(α k α l ) (21) α k α l = ±(α k α l) (22) Für einen Zustandsvektor kann immer nur entweder das Plus- oder das Minuszeichen gelten: α k α l = α k α l (23) α k α j = (α k α j) (24) 4

5 Addiert man beide Gleichungen, so erhält man 2α k α j α l = α j α l. Dies steht eindeutig im Widerspruch zu (22), denn die Komponenten j und l müssten natürlich genau so transformieren. Sei nun α k = ±α k + λ k. = α k α l = ±(α k α l ) + (λ k λ l ) (25) Hieraus ist ersichtlich, dass für beliebige Komponenten l und k des Zustandvektors ψ, über den keine Aussagen getroffen wurden und der somit beliebig wählbar ist, λ k = λ l = λ = const gilt. Jedes ψ H transformiert also wie folgt: ψ = a n e iαn ϕ n ψ = e iλ a n e ±iαn ϕ n (26) Nun kann die Transformation weiter spezifiziert werden, in dem der einfachste Fall gewählt wird, also λ = 0. Diese Wahl ist auch konsistent mit der Aussage in (3.), dass Vektoren mit nichtnegativen, reellen Koeffizienten auf Vektoren mit gleichen Koeffizienten transformiert werden. Im nächsten Schritt wird nun das Plus- bzw. Minuszeichen der Phase genauer betrachtet. 5. Wie schon erwähnt, gilt für jeden Vektor α k α k oder α k α k. Gäbe es nun auf einem Hilbertraum einen Zustandsvektor ψ + und einen ψ, die unterschiedlich transformieren, so wäre ihre Summe ψ = ψ + + ψ von einem gemischt transformierenden Typ und somit nicht erlaubt. Dies widerspricht den Eigenschaften eines Hilbertraumes. Daher kann man schließen, dass das Plusoder Minuszeichen wiederum eine Eigenschaft der Transformation ist, und für alle Zustandsvektoren gleichermaßen gilt. Soll die Strahltransformation ĝ stetig mit der Identität verbunden sein, so ist nur das Pluszeichen zulässig. 6. Da nun zwei Fälle von Transformationen möglich sind, werden diese beiden auch unterschieden. ψ = A n ϕ n ψ = A n ϕ n = ( A n T ϕ n = T ψ = T An ϕ n ) (27) In diesem Fall ist T linear und daraus folgt auch gleich, dass die Transformation T = U unitär ist. ψ ϕ = T ψ T ϕ = A kb l T ϕ k T ϕ l = A kb k = A k ϕ k B l ϕ l = ψ ϕ (28) (29) T = U, Uψ Uϕ = ψ ϕ (30) Im zweiten Fall ist T antilinear und damit auch antiunitär. ( ψ = T An ϕ n ) = A n T ϕ n (31) ψ ϕ = T ψ T ϕ = A k B l T ϕ k T ϕ l = A k B k = B k ϕ k A l ϕ l = ϕ ψ (33) (32) (34) T = Ū, Ūψ Ūϕ = ϕ ψ = ψ ϕ (35) Hier wurde eine essenzielle Aussage des Wigner Theorems gezeigt. Zu jedem ĝ kann eine entweder unitäre oder antiunitäre Transformation konstruiert werden. Welches von beiden gilt, ist durch die Symmetriegruppe bestimmt. Da dies immer gilt, werden von nun an nicht mehr alle denkbaren Transformationen betrachtet, sondern nur noch Unitäre und Antiunitäre. Jedoch gibt es zu einer bestimmten Strahltransformation nicht nur eine unitäre Transformation. Dies wird im nächsten Schritt betrachtet. 7. Welche unitären bzw. antiunitären Transformationen sind kompatibel mit einer Strahltransformation? Da die Norm von Zustandsvektoren erhalten sein muss, kann nur eine Phase zwei verschiedene Transformationen unterscheiden. T ϕ = ω(ϕ)r ϕ ω(ϕ) = 1 (36) T ψ = ω(ψ)r ψ ω(ψ) = 1 (37) 5

6 Falls ϕ und ψ unabhängige Vektoren sind, so gilt: T ( ϕ + ψ ) = T ϕ + T ψ = ω(ϕ)r ϕ + ω(ψ)r ψ (38) = ω(ϕ, ψ)r( ϕ + ψ ) (39) = ω(ϕ, ψ)r ϕ + ω(ϕ, ψ)r ψ (40) Woraus direkt ersichtlich ist, dass ω(ϕ) = ω(ϕ, ψ) = ω(ψ) = ω gelten muss. Dies gilt unabhängig vom Vektor, denn wären ϕ und ψ linear abhängig, so könnte man einen dritten Vektor finden, der senkrecht zu beiden steht, und für den die aufgeführte Beziehung wieder gilt. Somit wurde gezeigt, dass sich die unitären bzw. antiunitären Transformationen, die mit einer Strahltransformation kompatibel sind, höchstens um eine Phase unterscheiden. 8. Nun kann der Begriff des Operator-Strahls ( operator ray ) eingeführt werden. Er fasst alle zu einer Strahltransformation kompatiblen unitären bzw. antiunitären Transformationen zusammen. Û(ĝ) = {ω(ĝ)u(ĝ) ω = 1} (41) Es gibt nun zu jedem ĝ genau einen unitären bzw. antiuntären Operatorstrahl. Somit formt Û eine zu ĝ isomorphe Gruppe. Dass es genau einen Operatorstrahl gibt, ist durch die Konstruktion gegeben, und lässt sich leicht daran veranschaulichen, dass es nur einen Operator gibt, der die Basisvektoren auf die neuen Basisvektoren abbildet. Für die Transformationen gilt dies jedoch nicht, denn für jedes ĝ gibt es natürlich unendliche viele mögliche Transformationen. Sie bilden nicht einmal eine Gruppendarstellung, was im nächsten Schritt aber genauer betrachtet wird. 9. Um dieses Problem zu veranschaulichen, betrachte eine Symmetriegruppe Ĝ. Zu jedem Element ĝ aus der Gruppe gibt es ein Û. Doch welches U aus Û soll nun gewählt werden? Hierfür gibt es keinen Hinweis. Seien ĝ, ĥ und ĵ Strahltransformationen aus der selben Symmetriegruppe, wobei ĝ ĥ = ĵ gilt. Wähle nun beliebige U g, U h und U j aus den Operatorstrahlen aus. Dann gilt allgemein, dass U g U h Ûj aber U g U h U j, da sie eine beliebige Phase haben. Das bedeutet, dass die unitären bzw. anitunitären Transformationen nur eine Darstellung der Operatorstrahlgruppe bis auf einen Faktor modulo eins sind. U g U h = ω(g, h)u g,h (42) Für manche Gruppen lässt sich durch geeignete Wahl der Transformationen ω(g, h) vereinfachen. Zum Beispiel für die Rotationsgruppe. Dort ist ω = ±1. Das Wigner Theorem wurde nun vollständig gezeigt. Hier noch einmal die drei Aussagen: Für jede Symmetriegruppe G eines physikalischen Systems gibt es eine Gruppe Ĝ von Strahltransformationen ĝ isomorph zu G eine Gruppe von ÛG von unitären bzw. antiunitären Operatorstrahlen Û auch isomorph zu G eine Reihe unitärer bzw. antiunitärer Operatoren U Û. Wählt man beliebig jeweils ein U aus den Strahltransformationen aus, so bilden diese eine Gruppendarstellung von G bis auf eine Phase. 6