Alfred Holl. 1. Endl. arithmetische Reihen 1.1 Alkuin und Alg. Rat. 1.2 Johann Kandler
|
|
|
- Katrin Kerner
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 1. Endl. arithmetische Reihen 1.1 Alkuin und Alg. Rat. 1.2 Johann Kandler 2. Endl. geometrische Reihen 2.1 Minutienmultiplikation Liber ysagogarum Algorismi 2.2 Alkuin und Alg. Rat. 2.3 Tegernseer Linienrechenb. 2.4 Johann Kandler Alfred Holl Summenformeln für endliche arithmetische und geometrische Reihen in Handschriften und frühneuzeitlichen Rechenbüchern im Regensburger Raum Alfred Holl, Miesenbach /1
2 1.1 Endl. arithm. Reihen bei Alkuin, Propositiones ad acuendos iuvenes ~ Stufen Lösung: Bildung von Zahlenpaaren mit der Summe 100 Propositiones ad acuendos iuvenes, Nr. 42 (Edition Folkerts 1978, S. 70 und 37f.) Alfred Holl, Miesenbach /2
3 1.1 Endl. arithm. Reihen bei Fridericus Amann ~ Algorismus Ratisbonensis ~1450 (Edition Vogel 1954) Bewegungsaufgaben: progressive vs. aequaliter vadere Nr. 53, 55 mit Zahlenwerten Nr. 54 ohne Zahlenwerte Zwei Wanderer sollen an einem Tag n zusammentreffen; der eine geht progressive (beginnend mit 1), der andere geht aequaliter. Wieviele Meilen geht der andere täglich? (1 + n)n/2 = xn x = (1 + n)/2 Letzteres als Lösungsweg angegeben dazu Nr. 99 mit Zahlenwerten Lösungsberechnungen ohne Begründung keine explizite Formel, nur Schrittweite 1 Alfred Holl, Miesenbach /3
4 1.2 Endl. arithm. Reihen bei Johann Kandler ~ ältestes gedrucktes Regensburger Rechenbuch Arithmetica 1. Auflage Regensburg: Joh. Burger 1578 (UB München; ÖNB) Arithmetica 3. Auflage Lauingen: Jacob Winter 1605 Hrsg. Alexius Bruckmüller, Buchfürer zu Regensburg (SB Regensburg) Alfred Holl, Miesenbach /4
5 1.2 Endl. arithm. Reihen bei Johann Kandler Arithmetica 1578, Ci-i addir die erst zal zur letzten/ was kombt/ mul= tiplicir mit dem halben theil der stett/ erzeigt sich die summa Alfred Holl, Miesenbach /5
6 1.2 Johann Kandler: Prüfeninger Eierwette Arithmetica 1578, Xiii -iv 37 Gänge 1. Gang 24 Schuh 37. Gang = 888 Schuh (24+888) 37/2 = Schuh = 3374 Passus 2 Schuh = 26 Stadien 124 Passus 2 Sch = ¾ Meile 2 St 124 P 2 Sch Parallelen in Georg Wendlers Bearbeitung von Anton Neudörffers Grosser Arithmetic Alfred Holl, Miesenbach /6
7 1.2 Johann Kandler: Prüfeninger Eierwette Bearbeitung von Georg Wendler ( ) Hs. Analysis vel resolutio Cgm 3789, 374v (~1650) Erst explizite Auflistung, dann Berechnung mit Formel Alfred Holl, Miesenbach /7
8 2.1 Exponentenaddition bei der Multiplikation von Sexagesimalbrüchen bei al-khwarizmi / Adelhard Liber ysagogarum Algorismi Clm Kloster Prüfening, ~1165 (Bibl. Nat. Paris, Lat , 67r) Mohammed ben Mūsā al-khwarizmi (~780-~850) Perser aus Khwârazm / Khorasmia am Unterlauf des Amu-Darya (Aral-See) latinisiert Algorismus Liber ysagogarum (Einführung ins Quadrivium) übersetzt von Adelhard von Bath (aktiv ) arab. nicht erhalten, nur in lat. Übersetzungen (ed. Vogel 1963, Allard 1992) Algorismus = Anleitung zum Rechnen mit arab. Zahlen Einführung der 0 aus der indischen Mathematik Anleitungen zum Rechnen mit arab. Zahlen oft als erster Teil einer Einführung ins Quadrivium oder in die Astronomie Denn: Voraussetzung für astronom. Tafeln Astronomische Tafeln übers. von Adelhard 1126 Alfred Holl, Miesenbach /8
9 2.1 Exponentenaddition bei der Multiplikation von Sexagesimalbrüchen bei al-khwarizmi / Adelhard Liber ysagogarum Algorismi (Clm 13021, 28ra) Tafeln zur Multiplikation von Sexagesimalbrüchen durch Addition der Exponenten (cf. Cappelli 422 zu 12) z. B. (1/60) 2 (1/60) 3 = (1/60) 2+3 = (1/60) 5 (Cod. Paris. lat , 68ra) Alfred Holl, Miesenbach /9
![2.1 Exponentenaddition bei der Multiplikation von Sexagesimalbrüchen bei al-khwarizmi / Adelhard Liber ysagogarum Algorismi De multiplicatione minutiarum [O]mnis itaque minutia ducta in se ipsam uel](/docs-images/79/80060304/images/10-0.jpg "aliam decrescit in totam sui uel illius quota est integri. Verbi gratia [12] minuta in 24 minuta ducta in 288 secunda decrescunt. Et 14 minuta 15 in secunda 210 tertia fiunt.")
10 2.1 Exponentenaddition bei der Multiplikation von Sexagesimalbrüchen bei al-khwarizmi / Adelhard Liber ysagogarum Algorismi De multiplicatione minutiarum [O]mnis itaque minutia ducta in se ipsam uel aliam decrescit in totam sui uel illius quota est integri. Verbi gratia [12] minuta in 24 minuta ducta in 288 secunda decrescunt. Et 14 minuta 15 in secunda 210 tertia fiunt. Et idem in ceteris ]quarum haec figura est[. Harum minutiarum in se uel inter se col lectarum summa sumit earundem minutiarum aggregatas denomina tiones. (Clm 13021, 28ra; Edition Allard 1992) Alfred Holl, Miesenbach /10
11 2.1 Exponentenaddition bei der Multiplikation von Sexagesimalbrüchen bei al-khwarizmi / Adelhard Liber ysagogarum Algorismi Multiplikation von Sexadezimalbrüchen Jeder Bruch, der mit sich selbst oder mit einem anderen Bruch multipliziert wird, nimmt auf eine [sc. descriptio, Bennennung] ab, die so groß [totam] wie [quota] die ganze Zahl [Exponent] von ihm selbst oder [und] vom anderen ist = 288 ; = 210 Beispiel: 12 minuta multipliziert mit 24 minuta nehmen auf 288 secunda ab und 14 minuta mal 15 secunda ergeben 210 tertia usw. Das Ergebnis [summa] dieser mit oder unter sich multiplizierten Brüche nimmt [als Benennung] ihre addierten [aggregatas] Benennungen [denominationes, Exponenten] an, die in der folgenden Tabelle angegeben sind. Alfred Holl, Miesenbach /11
12 2.2 Endl. geom. Reihen bei Alkuin, Propositiones ad acuendos iuvenes Nr. 13 und Nr. 41 (Folkerts 1978, S. 37, 51f., 69) keine Formel, Aufzählung der Zwischenergebnisse im Algorismus Ratisbonensis Schachbrettaufgabe, Nr. 319 Verkauf einer Kuh nach Klauen, Nr. 317 Verkauf eines Pferdes nach Hufnägeln, Nr. 318 Nr. 274 (Vogel 1954) nur Lösung ohne Angaben zur Berechnung Alfred Holl, Miesenbach /12
13 2.3 Endl. geom. Reihe im Tegernseer Linienrechenbuch Cgm 740, ~1480 [ ] also/ Nym die lesten zal/ das ist l*ge die aller lesten zal nider in die li= nien/ vnd leg dann dar zu [addiere] die zal noch ainest/ doch.1. ϑ minder/ so hastu wieuil der gantzn summa wirt/ das thut dann In ainer Summa wie nacher volgt. Summenformel 2 n n 1 1 Geometrische Zweierprogression im Tegernseer Linienrechenbuch: Pferdeverkauf nach Hufnägeln (wie Alg. Rat.). In der Tabelle links steigend die Zweierpotenzen, bei Nr. 25 etwa steht = 2 24 (Cgm 740, 33v; Edition Kaunzner 1970, S. 16) Alfred Holl, Miesenbach /13
14 2.4 Endl. geom. Reihen bei Johann Kandler Arithmetica 1578, Cii-ii Summenformel aq aq n = a(q n+1 1)/(q 1) = (aq n q a)/(q 1) Multiplicir die letzte zal mit der vbertrettung/ dauon die proportion den namen hat/ vom product nimm die erst zal/ das Rest diuidir durch die vbertrettung weniger eins/ der quotient zeigt dir die summam [ ] Alfred Holl, Miesenbach /14
15 2.4 Endl. geom. Reihen bei Johann Kandler Arithmetica 1578, Ciii -iv Produkt von Folgengliedern aq n aq m / a = aq n+m Wenn du zwo zalen mit einander mul= tiplicirst/ vnd mit der ersten kleinesten diuidirest/ so zeugen dir die zwo ziffer vber den gemultiplicirten zalen/ so man sie zusamen addirt/ die zal/ dahin der quotient ge= hört/ Alfred Holl, Miesenbach /15
16 Alfred Holl, Miesenbach /16
Summenformeln für endliche arithmetische und geometrische Reihen in Handschriften und frühneuzeitlichen Rechenbüchern im Regensburger Raum
Summenformeln für endliche arithmetische und geometrische Reihen in Handschriften und frühneuzeitlichen Rechenbüchern im Regensburger Raum Alfred Holl In diesem Beitrag werden nur einzelne Beispiele herausgegriffen,
Alfred Holl, RLFB Mathematikgeschichte Regensburg 1
Alfred Holl, RLFB Mathematikgeschichte Regensburg 1 Regula falsi und Algebra (Coss) Gott-grüß-euch -Aufgabe bei Kandler: Einer kompt in ein RechenschGl/ spricht zu denen/ so der Arithmeticken obligen/
Spiel mit Zahlen - Kampf mit Zahlen? Das mittelalterliche Zahlenkampfspiel Rithmomachie in seiner Regensburger Fassung
Alfred Holl Spiel mit Zahlen - Kampf mit Zahlen? Das mittelalterliche Zahlenkampfspiel Rithmomachie in seiner Regensburger Fassung 1. Einführung 1.1 Vorbemerkungen 1.2 Geschichte der Rithmomachie 1.3 Bezug
Wirtschaftsmathematik
Hochschule Darmstadt FB Mathematik und Naturwissenschaften Wirtschaftsmathematik für die Betriebswirtschaftslehre (B.Sc.) Sommersemester 207 Adam Georg Balogh Dr. rer. nat. habil. Adam Georg Balogh E-mail:
Vorab : Von dem indischen Mathematiker D. R. Kaprekar stammt folgender Zusammenhang :
Seite 1 Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten Autor : Dipl.- Ing. Josef Meiler ; Datum : März 015 Vorab : Von dem indischen Mathematiker D. R. Kaprekar stammt folgender Zusammenhang : a) man
Aufgabensammlung Klasse 8
Aufgabensammlung Klasse 8 Inhaltsverzeichnis 1 Potenzen mit natürlichen Hochzahlen 3 1.1 Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen..................... 3 1.1.1 Addition und Subtraktion von Potenzen...................
Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen:
2. Zahlbereiche Besonderheiten und Rechengesetze Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen: 2.1. Die natürlichen Zahlen * + besitzt abzählbar unendlich viele Elemente
Viele Statistiken werden durch endliche Folgen beschrieben. (z.b. Anzahl der Studierenden an der TU München in den Jahren 1962 bis 1976)
Kapitel 9 Folgen und Reihen 9.1 Folgen 9.1.1 Was ist eine Folge? Abbildungen, die auf N definiert sind (mit Werten z.b. in R), heißen (unendliche) Folgen. Abb., die auf einer endlichen Menge aufeinander
Alfred Holl. Teil 1: Arithmetik
I. Quadrivium II. Arithmetik 1. Zahldarstellung 2. Arabische Zahlen 3. Astronomische Tafeln III. Al-Khwarizmis Algorismus 1. Grundlagen 2. Ganze Zahlen 3. Brüche 4. Quadratwurzeln 5. Zusammenfassung Alfred
Edith Feistner Alfred Holl
Edith Feistner Alfred Holl Handschrift und gedrucktes Buch im Schulbetrieb der frühen Neuzeit: das Beispiel des Regensburger Rechenmeisters und Schulhalters Johann Kandler (mit Möglichkeit zur Mitwirkung
Mathematik Runden, Potenzen, Terme
Mathematik Runden, Potenzen, Terme Mag. Rainer Sickinger HTL v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik Runden, Potenzen, Terme 1 / 81 Das Stellenwertsystem eins < zehn < hundert < tausend < zehntausend < hunderttausend...
Vorkurs Mathematik Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge.
Vorkurs Mathematik 17.08.-28.08.15 Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge E-mail: karsten.runge@hs-bochum.de www.hs-bochum.de\imt > Mathematik-Vorkurs > Mathematik-Werkstatt Die Mathematik-Werkstatt bietet
Runden Potenzen und Wurzel Terme. Mathematik W2. Mag. Rainer Sickinger BRP, LMM. v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 1 / 82
Mathematik W2 Mag. Rainer Sickinger BRP, LMM v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 1 / 82 Das Stellenwertsystem eins < zehn < hundert < tausend < zehntausend < hunderttausend... v 7 Mag. Rainer Sickinger
Zahlen 25 = = 0.08
2. Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche: N Z Q R ( C). }{{} später Schreibweisen von rationalen/reellen Zahlen als unendliche Dezimalbrüche = Dezimalentwicklungen. Beispiel (Rationale Zahlen) 1 10
ZahlenfolgenZahlenfolgen. Zahlenfolgen. Anna Rodenhausen. Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze?
Zahlenfolgen Anna Rodenhausen Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze? Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze? # Linien # Dreiecke # Trapeze 0 3 0 3 3 6 5 0 5 6 5 3 Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze? # Linien
Angewandte Mathematik und Programmierung
Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu wissenschaftlichen Rechnens mit C++ und Matlab SS2013 Inhalt Bis jetzt : Die grundlegende Aspekte
Quadratische Gleichungen bei al-khwarizmi
Rainer Kaske Quadratische Gleichungen bei al-khwarizmi überarbeitete PDF-Version: 2001 c Rainer Kaske 0 Vorspann Wir lösen heute quadratische Gleichungen im Prinzip genauso wie der iranische Mathematiker
Grundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 8 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P13) Primfaktorzerlegungen Die Primfaktorzerlegungen lauten: a) 66 =
60 = 8x 4 8x 4 = x = x = x 8 = 56 8 x = 7
ganz klar: Mathematik - Das Ferienheft mit Erfolgsanzeiger Gleichungen lösen durch Umformen Zum Lösen der Gleichung werden Äquivalenzumformungen angewendet. Das heißt, man muss auf beiden Seiten der Gleichung
Grundwissensblatt 8. Klasse. IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen
Grundwissensblatt 8. Klasse IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen Alle linearen Gleichungen der Form a + by = c (oder auch y = m + t) erfüllen:
2. Altägyptische Mathematik 2.1 Quellen und Grundlegendes
2. Altägyptische Mathematik 2.1 Quellen und Grundlegendes Etwa 10 mathematische Papyri (sowie ein Holzbrett und eine Lederrolle) sind erhalten geblieben. Am wichtigsten sind das Papyrus Rhind und das Moskauer
1.4 Weitere Quellen 2. Sekundärliteratur 2.1 Spezifische Sekundärliteratur
Literaturverzeichnis 1. Quellen (enthält u.a. alle deutschsprachigen edierten arithmetisch-algebraischen Aufgabensammlungen vor 1500) 1.1 Quellen: nicht edierte Handschriften Anonymus: Ars arithmetica
Übung Programmieren - Zahlendarstellung, SSH, SCP, Shellskripte -
Übung Programmieren - Zahlendarstellung, SSH, SCP, Shellskripte - Sebastian Ebers Institut für Telematik, Universität zu Lübeck http://www.itm.uni-luebeck.de/users/ebers Zahlendarstellung 201010? 16 2010
Grundwissen 5. Klasse
Grundwissen 5. Klasse 1/5 1. Zahlenmengen Grundwissen 5. Klasse Natürliche Zahlen ohne Null: N 1;2;3;4;5;... mit der Null: N 0 0;1;2;3;4;... Ganze Zahlen: Z... 3; 2; 1;0;1;2;3;.... 2. Die Rechenarten a)
1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen:
Zahlensysteme. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis darstellen: n n n n z a a... a a a Dabei sind die Koeffizienten a, a, a,... aus der
1 Folgen und Stetigkeit
1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt
Teil I Auswahlfragen
UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Dominik Faas Grundlagen der Analysis Sommersemester 010 Klausur vom 07.09.010 Teil I Auswahlfragen Name: Hinweise: Bei den folgenden Auswahlfragen
Technische Universität München. Lösung Montag WS 2013/14. (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich)
Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 1 für Physiker Lösung Montag WS 01/1 Aufgabe 1 Zum warm werden: Komplexe Zahlen - Lehrling Bestimmen Sie das komplex Konjugierte, den Betrag
Rechnen mit Brüchen PRÜFUNG 10. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 15.
MATHEMATIK PRÜFUNGSVORBEREITUNG Rechnen mit Brüchen Name: Klasse: Datum: PRÜFUNG 0 : Note: Ausgabe:. September 0 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle Berechnungsaufgaben
Ein Bruchteil vom Ganzen lässt sich mit Hilfe von Bruchzahlen darstellen. Bsp.: Ganzes: 20 Kästchen
Grundwissen Mathematik G8 6. Klasse Zahlen. Brüche.. Bruchteile und Bruchzahlen Ein Bruchteil vom Ganzen lässt sich mit Hilfe von Bruchzahlen darstellen. Ganzes: 0 Kästchen 6 6 graue Kästchen, also: 0
anschauen würdest. Meine Mailadresse lautet wenn du Fragen hast, kannst du mir eine schreiben.
15.Übungsblatt Klasse 5a Ausgabe am 17.03.2004 Abgabe am..2004 im Mathematikunterricht Nicht alle Erklärungen und Aufgaben, die im Internet zur Verfügung stehen, werden in gedruckter Form in den Übungsblättern
Spielen mit Zahlen Seminarleiter: Dieter Bauke
Spielen mit Zahlen Seminarleiter: Dieter Bauke EINLEITUNG Was ist Mathematik? Geometrie und Arithmetik: Untersuchung von Figuren und Zahlen. Wir kombinieren Arithmetik und Geometrie mittels figurierter
Kombinatorik von Zahlenfolgen
6. April 2006 Vorlesung in der Orientierungswoche 1 Kombinatorik von Zahlenfolgen Einige Beispiele Jeder kennt die Fragen aus Intelligenztests, in denen man Zahlenfolgen fortsetzen soll. Zum Beispiel könnten
Folgen und Reihen. 1. Folgen
1. Folgen Aufgabe 1.1. Sie kennen alle die Intelligenztests, bei welchen man zu einer gegebenen Folge von Zahlen die nächsten herausfinden soll. Wie lauten die nächsten drei Zahlen bei den folgenden Beispielen?
Zahlenfolgen. Aufgabe 1 (Streichholzfiguren)
Zahlenfolgen Aufgabe (Streichholzfiguren) a) Wie viele Streichhölzer benötigt man für die 0. Figur? b) Gib für die Streichholzfolge eine rekursive und eine explizite Berechnungsvorschrift an. Aufgabe (Quadratzahlen)
Alfred Holl. Teil 2: Geometrie
I. Quadrivium II. Al-Khwarizmis Geometrie 1. Inhalt 2. Punkt, Linie, Figur, Winkel 3. Dreieck 4. Kreis, Kugel III. Al-Zarqalis Trigonometrie 1. Europäischer Kontext 2. Sinus und Sinus versus 3. Tangens
ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN POTENZSCHREIBWEISE
ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN UND DIE POTENZSCHREIBWEISE ) VARIABLE Beispiel: Ein Rechteck habe einen Umfang von 0 cm. Gib Länge und Breite des Rechtecks in einer Formel an. Es ist natürlich leicht
Die gesamte Bruchrechnung wird hier in Kompetenzfragen verpackt. Dein Wissensstand sollte also die Übungsleuchttürme von 007 bis 016 beinhalten.
Mathe Leuchtturm-Übungen-.Klasse-Nr.0-Brüche-KOMPETENZCHECK C by Joh Zerbs Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 0 Übungskapitel Die gesamte Bruchrechnung wird hier in Kompetenzfragen verpackt. Dein Wissensstand
Der Code Lernaufgabe als Vorbereitung zum logarithmischen Rechnen
Der Code Lernaufgabe als Vorbereitung zum logarithmischen Rechnen Diese Lernaufgabe zeigt den Schülern wie eine beliebige Potenz zweier reeller Zahlen näherungsweise berechnet werden kann. Sogar völlig
Dipl.-Ing. Halit Ünver Datenbanken/Künstliche Intelligenz FAW/n. Zahlensysteme
Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Datenbanken/Künstliche Intelligenz FAW/n Zahlensysteme Seite Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Inhalt I. Informatik und Zahlen für Wirtschaftswissenschaftler? II. III.
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Mathematik Klasse 6 Übersicht über die Bruchrechnung..20 1.) Pflichtbereich So viele Regeln zum Bruchrechnen, da kann man leicht schnell etwas durcheinander bringen! Das muss nicht sein: Verschaffe Dir
Körper sind nullteilerfrei
Mathematik I für Informatiker Komplexe Zahlen p. 1 Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a = 0 oder b = 0. Beweis: Aus a b = 0 und a 0 folgt also b =
Negative Zahlen. Lösung: Ordne in einen Zahlenstrahl ein! 7;5; 3; 6. Das Dezimalsystem
Negative Zahlen Negative Zahlen Ordne in einen Zahlenstrahl ein! 7;5; 3; 6 Das Dezimalsystem Zerlege in Stufen! Einer, Zehner, usw. a) 3.185.629 b) 24.045.376 c) 3.010.500.700 Das Dezimalsystem a) 3M 1HT
Skript zum Thema Rechnen wie Adam Ries
Skript zum Thema Rechnen wie Adam Ries Xenia Rendtel 16. März 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 1 2 Die Theorie 1 2.1 Die schriftliche Addition.................................... 1 2.2 Die schriftliche
Grundwissen. 5. Jahrgangsstufe. Mathematik
Grundwissen 5. Jahrgangsstufe Mathematik Grundwissen Mathematik 5. Jahrgangsstufe Seite 1 1 Natürliche Zahlen 1.1 Große Zahlen und Zehnerpotenzen eine Million = 1 000 000 = 10 6 eine Milliarde = 1 000
Inhaltsverzeichnis. Vorwort 1. I Zahlen 5. II Algebra 29
Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 I Zahlen 5 1. Rechnen mit ganzen Zahlen 6 Addition, Subtraktion und Multiplikation............. 7 Division mit Rest........................... 7 Teiler und Primzahlen........................
2. Altägyptische Mathematik 2.1 Quellen und Grundlegendes
2. Altägyptische Mathematik 2.1 Quellen und Grundlegendes Etwa 10 mathematische Papyri (sowie ein Holzbrett und eine Lederrolle) sind erhalten geblieben. Am wichtigsten sind das Papyrus Rhind und das Moskauer
1.1 Bruchteile und Bruchzahlen Bruchteile von Ganzen lassen sich mit Hilfe von Bruchzahlen darstellen: 6 3 = Schraffiert:
Zahlen. Bruchteile und Bruchzahlen Bruchteile von Ganzen lassen sich mit Hilfe von Bruchzahlen darstellen: Gelb: 6 = Schraffiert: 20 0 Bruchteile gibt man häufig in Prozent (%) an. Prozent = Hundertstel
Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen
Aufgaben 1 Vektoren Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen Lernziele - einen Vektor korrekt kennzeichnen bzw. schreiben können. - wissen, was ein Gegenvektor ist. - wissen, wie die Addition zweier
Vektorrechnung. Beispiele: (4 8) 2-Tupel (Zahlenpaar) (4 8 9) 3-Tupel (Zahlentrippel)
Vektorrechnung Oftmals möchte man in der Mathematik mit mehreren Zahlen auf einmal rechnen. Dafür werde geordnete Listen verwendet. Eine Liste besteht aus n reellen Zahlen und wird n-tupel genannt. Beispiele:
Rationale Zahlen und rationale Funktionen: Was ist ihnen gemeinsam? Wie werden sie dargestellt?
Rationale Zahlen und rationale Funktionen: Was ist ihnen gemeinsam? Wie werden sie dargestellt? Franz Pauer, Florian Stampfer Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik Universität Innsbruck
3 heißt 1. Faktor und 4 heißt 2. Faktor. 12 heißt Wert des Produkts. Beispiele : a) 4 5 = = 20. b) 3 12 = = 36
VI. Die Multiplikation und Division natürlicher Zahlen ================================================================= 6.1 Die Multiplikation 3 4 Wir schreiben 4 + 4 + 4 = 3 4 und damit ist 3 4 = 12.
Vorwort. Marc Peter, Rainer Hofer Berufsschullehrer und Lehrpersonen für Förderangebote
Vorwort Das mathematische Grundwissen in der Arithmetik dem «Rechnen» kommt in vielen Berufen zur Anwendung. Dieser Band aus der Reihe «Mathematik Basics» bietet Ihnen die Möglichkeit, in Form eines programmierten
n(n + 1)(2n + 1). 6 j 2 = Hinweis: Setze für n IN n(n + 1)(2n + 1) 6 A(n) : und wähle die Bezeichnung s n := n (2j + 1) = n2 (2j + 1) = (n + 1)2
15. Dezember 2006 Arbeitsblatt 9 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen I. Gasser, H. Strade, B. Werner WiSe 06/07 19.12.06 Präsenzaufgaben: 1. Zu
Rechnen mit natürlichen Zahlen
Addieren und Subtrahieren einer Zahl Fachausdrücke bei der Addition und Subtraktion: Addition (+) 52 + 27 = 79 1. Summand + 2. Summand = Summe Rechnen mit natürlichen Zahlen Subtraktion ( - ) Strichrechnungen
Terme und Formeln Grundoperationen
Terme und Formeln Grundoperationen Die Vollständige Anleitung zur Algebra vom Mathematiker Leonhard Euler (*1707 in Basel, 1783 in Petersburg) prägte den Unterricht und die Lehrmittel für lange Zeit. Euler
) sind keine Terme. Setzt man für die Variable eines Terms eine Zahl ein, so erhält man als Ergebnis wieder eine Zahl. y = 2 3 y = 11
Wert eines Terms berechnen sind sinnvolle Rechenausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern bestehen können. Setzt man für die Variablen Zahlen ein, so erhält man als Ergebnis wieder
Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen
Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen Vorrangregeln Die Rechnungsarten zweiter Stufe haben Vorrang vor den Rechnungsarten erster Stufe. Man sagt: "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" Treten in einer
Inhaltsübersicht. Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen
Inhaltsübersicht Kapitel 4: Die Macht des Imaginären: Komplexe Zahlen Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen Die Polardarstellung komplexer Zahlen Polynome im Komplexen Exponentialfunktion
8 Dezimalzahlen und Fehlerfortpflanzung
7 Dezimalzahlen und Fehlerfortpflanzung 29 8 Dezimalzahlen und Fehlerfortpflanzung Lernziele: Konzepte: Dezimalzahlen und Runden Methoden: spezielle Umrechungen Kompetenzen: Einschätzen von Fehlerfortpflanzungen
Folgen und Reihen. Petra Grell, WS 2004/05
Folgen und Reihen Petra Grell, WS 2004/05 Folgen 1 Einführung Beispiel 1.1. Setze fort: 1, 2, 3,... 4, 5, 6,... natürliche Zahlen 5, 8, 13,... Fibonacci-Zahlen Wir können nicht eindeutig sagen, wie es
MATHEMATISCHE AUFGABENSAMMLUNG
MATHEMATISCHE AUFGABENSAMMLUNG Arithmetik Algebra und Analysis Zweite verbesserte Auflage 1956 VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN VII INHALT ERSTER ABSCHNITT Rechnen mit natürlichen Zahlen
Inhaltsverzeichnis. Vorwort. I Zahlen 5. II Algebra 29
Inhaltsverzeichnis Vorwort I Zahlen 5 1. Rechnen mit ganzen Zahlen 6 Addition, Subtraktion und Multiplikation 7 Division mit Rest 7 Teiler und Primzahlen 9 Der ggt und das kgv 11 2. Rechnen mit Brüchen
0. Wiederholung 0.1 Rechnen in der Menge der positiven rationalen Zahlen lq + 0
0. Wiederholung 0.1 Rechnen in der Menge der positiven rationalen Zahlen lq + 0 0.1.1 Formveränderungen von Brüchen Erweitern heißt Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl multiplizieren. a
Orientierungsmodul Oberstufe OS 1. Zahlen auf dem Zahlenstrahl darstellen und interpretieren. natürliche Zahlen bis 2 Millionen lesen und schreiben
ernziele Inhalt/ernziele Zahlendarstellung Zahlen auf dem Zahlenstrahl darstellen und interpretieren natürliche Zahlen bis 2 Millionen lesen und schreiben Schwierigkeitsgrad A1 73%, A2 57%, A4 56% A3 68%
Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-8: Rechnen mit Potenzen. 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB. Potenzen mit negativer Basis
Schule Thema Personen Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Mathematik -Arbeitsblatt -8: Rechnen mit Potenzen F Wintersemester 0/0 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB ) Potenzen mit negativer Basis Zur
Schreibe die jeweilige Dreieckszahl unter die Zeichnung. Wie heißen die nächsten vier Dreieckszahlen?
Hier siehst du Figuren, die aus Kreisen bestehen. Schon ab der zweiten Figur ergibt sich ein Dreieck. Die Anzahl der Kreise, die ein Dreieck bilden, nennt man Dreieckszahlen. Man tut so, als ob auch der
Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-4: Rechnen mit Brüchen. 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB RECHNEN MIT BRÜCHEN
RECHNEN MIT BRÜCHEN. Arten von Brüchen und Definition Beispiel: 3 5 Zähler Bruchstrich Nenner Definition: Jeder Bruch hat folgendes Aussehen: Zähler Nenner. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große
Inhaltsverzeichnis s.
Inhaltsverzeichnis s. Abschnitt I. Rechnung mit bestimmten Grössen. Capitel I. Elemente der Lehre von den ganzen Zahlen. 1. Begriff der Zahl. Unabhängigkeit einer Summe gegebener Zahlen von der Anordnung
Mathematik für Informatik 3
Mathematik für Informatik 3 - ANALYSIS - Folgen, Reihen und Funktionen - Funktionen mehrerer Veränderlicher - Extremwertaufgaben - Normen und Approximationen - STATISTIK - WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Literaturempfehlungen:
Informatik Übungsaufgaben
Tobias Krähling email: Homepage: 11..7 Version: 1.1 Zusammenfassung Die Übungsaufgaben stammen aus den Übungsaufgaben und Anwesenheitsaufgaben zur Vorlesung»Einführung
Orientierungsmodul Oberstufe OS 2 OS 2 _Mathematik_71. Zahlen auf dem Zahlenstrahl darstellen und interpretieren
Inhalt/ Orientierungsmodul Oberstufe O 2 O 2 _Mathematik_71 Zahlendarstellung Zahlen auf dem Zahlenstrahl darstellen und interpretieren A1, A2, A3, A5 natürliche Zahlen bis 2 Millionen lesen und schreiben
Determinanten. Wolfgang Kippels 28. April Inhaltsverzeichnis. 1 Vorwort 2. 2 Einleitung 3. 3 Die Matrix 3
Determinanten Wolfgang Kippels April Inhaltsverzeichnis Vorwort Einleitung Die Matrix Die Determinante einer Matrix Zweireihige Determinanten Mehrreihige Determinanten Beispiel : Eine dreireigige Determinante
Leitprogramm Bruchterme
Leitprogramm Jede Stunde werden die Lernziele mit Angaben der zu machenden festgelegt. Jede Gruppe arbeitet selbständig in ihrem eigenen Tempo, die einzelnen SuS unterstützen sich gegenseitig. Bei Problemen
Vorkurs Mathematik für Informatiker. 1 Potenzen. Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer Oktober Kap.
1 Potenzen Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 1: Potenzen 1 Potenzen Definition Für reelle Zahl x R (Basis) und eine natürliche Zahl n N (Exponent): x n := x x x... x }{{}
Rückblick. Zahlendarstellung zu einer beliebigen Basis b. Umwandlung zwischen Zahlendarstellung (214) 5 = (278) 10 =(?) 8
Rückblick Zahlendarstellung zu einer beliebigen Basis b (214) 5 = Umwandlung zwischen Zahlendarstellung (278) 10 =(?) 8 25 Rückblick Schnellere Umwandlung zwischen Binärdarstellung und Hexadezimaldarstellung
Als Mathematiker noch rechneten
Als Mathematiker noch rechneten Ina Prinz Das Rechnen stellte zu Beginn der Neuzeit eine Fähigkeit dar, die aufgrund wirtschaftlichen Aufschwungs, Wachstum von Handel und Verwaltung in Europa, immer dringender
Formeln und Aufgaben über arithmetische und geometrische Reihen
Formeln und Aufgaben über arithmetische und geometrische Reihen Dietrich Baumgarten «17. Januar 014 Inhaltsverzeichnis 1 Arithmetische und geometrische Folgen 1 1.1 Zusammenfassung...............................
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten: Rechenregeln
Lüneburg, Fragment Potenzen mit ganzzahligen Exponenten: Rechenregeln 5-E1 5-E2 Potenzen: Rechenregeln Regel 1: Potenzen mit gleicher Basis können dadurch miteinander multipliziert werden, dass man die
Mathematikvorkurs. Fachbereich I. Sommersemester Elizaveta Buch
Mathematikvorkurs Fachbereich I Sommersemester 2017 Elizaveta Buch Themenüberblick Montag Grundrechenarten und -regeln Bruchrechnen Binomische Formeln Dienstag Potenzen, Wurzeln und Logarithmus Summen-
Differenzengleichungen. und Polynome
Lineare Differenzengleichungen und Polynome Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-600 Innsbruck, Österreich franz.pauer@uibk.ac.at 1 Einleitung Mit linearen Differenzengleichungen
Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen
Algebra und Diskrete Mathematik, PS3 Sommersemester 2016 Prüfungsfragen Erläutern Sie die Sätze über die Division mit Rest für ganze Zahlen und für Polynome (mit Koeffizienten in einem Körper). Wodurch
Mathematik anschaulich dargestellt
Peter Dörsam Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften 15. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra
Brückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik Eine Einführung mit Beispielen und Übungsaufgaben von Prof. Dr. Karl Bosch 14., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Mengenlehre 1 1.1
Kapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38
Kapitel 4 Folgen und Reihen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38 Folgen Eine Folge ist eine Anordnung von reellen Zahlen. Die einzelnen Zahlen heißen Glieder
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 1. Semester ARBEITSBLATT 5 RECHNEN MIT BRÜCHEN. 1. Arten von Brüchen und Definition
ARBEITSBLATT 5 RECHNEN MIT BRÜCHEN 1. Arten von Brüchen und Definition Beispiel: 3 5 Zähler Bruchstrich Nenner Definition: Jeder Bruch hat folgendes Aussehen: Zähler. Der Nenner gibt an, Nenner in wie
Erzbischöfliche Liebfrauenschule Köln. Schulinternes Curriculum Fach: Mathematik Jg. 6
Erzbischöfliche Liebfrauenschule Köln Schulinternes Curriculum Fach: Mathematik Jg. 6 Reihenfolge Buchabschnitt Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen 1 1.1 1.7 Brüche mit gleichem
DOWNLOAD. Lernzirkel Grundrechenarten- Übungen. Albrecht Schiekofer. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
DOWNLOAD Albrecht Schiekofer Lernzirkel Grundrechenarten- Übungen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Lernzirkel: inhaltlicher Aufbau Lernzirkel A ADDITION Lernzirkel B SUBTRAKTION Lernzirkel C MULTIPLIKATION
Terme und Gleichungen
Terme und Gleichungen Rainer Hauser November 00 Terme. Rekursive Definition der Terme Welche Objekte Terme genannt werden, wird rekursiv definiert. Die rekursive Definition legt zuerst als Basis fest,
Folgen und Reihen. Kapitel Zahlenfolgen
Kapitel 2 Folgen und Reihen 2. Zahlenfolgen Definition. Eine Folge reeller Zahlen a 0,a,a 2,..., die gewonnen wird durch eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl n N genau eine reelle Zahl a n zuordnet,
Die natürlichen Zahlen
Mathematik I für Informatiker Zahlen p. 1 Die natürlichen Zahlen Für eine beliebige Menge S definiert man den Nachfolger S + durch S + := S {S}. Damit kann man, beginnend mit der leeren Menge Ø, eine unendliche
Addition und Subtraktion
3 Rechenregeln Addition Das Kommutativgesetz. Für je zwei Zahlen a, b gilt a + b = b + a. Für je drei Zahlen a, b, c gilt a + b + c = (a + b) + c nach Definition. Assoziativgesetz. Für je drei Zahlen a,
Mathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 11. November 2010 1 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert Varianz und Streuung Rechenregeln Binomialverteilung
5. bis 10. Klasse. Schnell-Merk-System. Mathematik. Kompaktwissen Testfragen SMS. Mit Lernquiz fürs Handy
5. bis 10. Klasse SMS Schnell-Merk-System Mathematik Kompaktwissen Testfragen Mit Lernquiz fürs Handy 2 Zahlen und Rechnen Rechnen mit natürlichen Zahlen Multiplikation ist die mehrfache Addition gleicher
Grundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 6 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P9) Die Ordnung der natürlichen Zahlen I Wir hatten in der Vorlesung
Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Die Addition von Vektoren einführen. Walter Czech, Krumbach VORANSICHT
Reihe 11 S 1 Verlauf Material Die Addition von Vektoren einführen Walter Czech, Krumbach Schlittenhunde Um die Gesamtkraft, mit der die Hunde am Schlitten ziehen, zu ermitteln, bedient man sich zweckmäßigerweise
Mathematik - Jahrgangsstufe 5
Mathematik - Jahrgangsstufe 5 1. Natürliche Zahlen und Größen (Stochastik, Arithmetik/Algebra) Strichlisten, Tabellen und Diagramme Die Stellenwerttafel im Dezimalsystem & Runden Grundrechenarten: Summe,
Analogie- bzw. Symmetriebetrachtungen zum arithmetischen und harmonischen Mittel *
Otto Hamborg 4. November 995 Bismarckstraße 06 065 Berlin Tel. 030-33 67 65 hamborg-berlin@t-online.de Analogie- bzw. Symmetriebetrachtungen zum arithmetischen und harmonischen Mittel * Den folgenden Ausführungen
Arbeitszeit Teil A 45 Minuten Teil B 45 Minuten
Inhalt/Lernziele Arbeitszeit Teil A 45 Minuten Teil B 45 Minuten Teil A Teiler einer Zahl bestimmen Teilbarkeitsgegeln anwenden Primzahlen kleiner 100 erkennen Quadratzahlen kleiner 300 erkennen Getönte
VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK
VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK KLAUSUR 1, 8.12.2015 (1) Verwandle die folgenden Zahlen in Keilschrift bzw. in unsere Schreibweise: a) 14 b) 30 c) 100 d) 1 2 e) 1 1 3 (2) a) Begründe, warum für kleine x die