Nachweis der Gesetze von Boyle-Mariotte und Gay-Lussac

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1 Berufliche Oberschule Aschaffenburg Fachrichtung Technik Nachweis der Gesetze von Boyle-Mariotte und Gay-Lussac Entwurf schülergerechter Versuchsprotokolle für das Schülerpraktikum in der 11. Klasse der Fachoberschule Seminararbeit von Philipp Sell im Fach Physik Betreuungslehrer: OStR Winfried Rehse Abgabetermin:

2 2 Vorbereitung der Versuche 2.1 Einführung in die Wärmelehre 1 Die Temperatur ist eine Zustandsgröße, welche hauptsächlich in Grad Celsius ( C) oder Kelvin (K) angegeben wird. In den USA wird außerdem noch die Einheit Fahrenheit ( F) verwendet. Zustandsgrößen geben den momentanen Zustand eines Gases an. Zum Beispiel hat ein Gas eine Temperatur von 70 C. Weitere relevante Zustandsgrößen sind Druck und Volumen. Diese drei Zustandsgrößen reichen aus um ein Gas vollständig zu beschreiben. Wärme (Q) ist eine Form von Arbeit. Durch Zufuhr von Wärme wird die innere Energie (E i ) eines Körpers erhöht. Die Einheit der Wärme ist Joule (J) Die Celsius Skala Die vom schwedischen Astronom Anders Celsius( ) eingeführte Skala ergibt sich, wenn man den Abstand vom Gefrierpunkt (0 C) und dem Siedepunkt von Wasser (100 C) in100gleichgroßestückeeinteilt. 2 DieseEinteilungwirddannauchfürTemperaturenüber 100 C und unter 0 C beibehalten. Man verwendet üblicherweise den Formelbuchstaben ϑ (theta) Wärme als Energieform Wärmeenergie(Q) ist die Bewegungsenergie der kleinsten Teilchen eines Körpers. Bei steigender Temperatur schwingen die Teilchen stärker, die innere Energie des Körpers nimmt zu. Es liegt eine direkte Proportionalität der inneren Energie zur inneren Temperatur eines Stoffes vor. Je größer ein Körper desselben Materials ist, desto mehr Energie besitzt er bei gleicher Temperatur. Es liegt eine direkte Proportionalität der inneren Energie zur Masse vor, somit ist das Produkt von Masse und Temperatur ebenfalls direkt proportional zur inneren Energie. Um die Änderung der inneren Energie eines Körpers zu berechnen verwendet man das Produkt der spezifischen Wärmekapazität c, der Masse und der Änderung der Temperatur. Die spezifische Wärmekapazität ist eine stoffspezifische Größe, mit der Einheit kj kg K Hauptsatz der Wärmelehre Energie kann weder gewonnen werden, noch verlorengehen, sie kann nur in andere Energiearten umgewandelt werden. 3 1 Herrmann, P., Einführung der Wärmelehre, o.o., o.j. S.78 2 vgl. Lexikonredaktion des Bibliographischen Instituts(Hg.), unter dem Stichwort :, Celsius,Meyers großes Handlexikon von A-Z, o.o., o.j.,s.xy 3 Heywang, F., Nücke, E., Walter, T., Physik für Techniker, Hamburg 1999, S

3 2.2 Ideale Gase 4 Zur Vereinfachung von Rechnungen wird ein ideales Gas verwendet, welches aber in der Natur nicht vorkommt. Es hat folgende Eigenschaften: Das Gas lässt sich nicht verflüssigen. Das Gas besteht aus sehr kleinen, harten, kugelförmigen Teilchen. Das Volumen der Kugeln ist gegenüber dem Gesamtvolumen des Gases vernachlässigbar. Alle Stöße der Kugeln untereinander und mit den Wänden sind vollkommen elastisch, also ohne Verlust von kinetischer Energie. Die innere Energie des Gases ist gleich der Summe der mechanischen Energie der einzelnen Teilchen. 2.3 Nachweis des Gesetzes von Boyle-Mariotte Durchführung des Versuches Es wird ein Gasverdichter mit Stellschraube, Manometer und Skala zum Ablesen der Höhe der Luftsäule verwendet. Durch langsames Drehen an der Stellschraube wird die Luftsäule und damit das Volumen des Gasverdichters reduziert. Idealerweise verwendet man auch einen Temperaturmesser, um die Temperatur des Gases zu messen, um zu kontrollieren, dass es sich nicht erwärmt und das Messergebnis verfälscht. Man misst für verschiedene Volumina den dazugehörigen Druck und notiert die gemessenen Werte in einer Tabelle Auswertung des Versuches Es ist zu beobachten, dass bei abnehmendem Volumen der Druck steigt. Es ist nahe liegend, dass eine indirekte Proportionalität vorliegt. Es ist zu überprüfen, ob das Produkt aus Druck und Volumen konstant ist, Innendurchmesser des Zylinders: d = (4,0±0,2)cm l/cm 25,0 24,0 23,0 22,0 21,0 20,0 19,0 18,0 17,0 16,0 V/cm p/ N cm p V/10 2 Nm 31,4 31,4 31,5 31,7 31,7 31,4 31,5 31,9 32,1 32,2 l/cm 15,0 14,0 13,0 12,0 11,0 10,0 9,0 8,0 7,0 6,4 V/cm ,0 80,4 p/ N cm p V/10 2 Nm 31,8 32,0 32,3 32,2 32,0 32,4 32,2 32,3 31,9 32,2 4 Kuhn, W., Handbuch der Experimentellen Physik Sekundarbereich. Band 2: Thermodynamik, Köln 2004, S.21. 5

4 Nach dem Auswerten der Tabelle ist im Rahmen der Messgenauigkeit zu erkennen, dass das Gesetz von Boyle-Mariotte richtig ist. Das Produkt aus Druck und Volumen ist konstant Graphische Auswertung Die Auswertung einer Messreihe in einem Diagramm folgt stets dem selben Muster. Man trägt die freie Variable an die Abszissen-Achse und die abhängige Variable an die Ordinaten-Achse. Hierbei gibt es jedoch auch Ausnahmen, wie bei Versuchen mit Weg und Zeit, bei denen der Weg geändert wird und die Zeit zu den unterschiedlichen Strecken gemessen wird. Obwohl die Zeit die abhängige Größe ist, wird sie an die Abszissen-Achse und der Weg an die Ordinaten-Achse angetragen. Damit die Art der Abhängigkeit festgestellt werden kann, müssen die Messpunkte beim Verbinden eine Ursprungshalbgerade ergeben. Auf Grund von Messfehlern liegen die Werte nie ideal auf einer Geraden. Deshalb wählt man eine Gerade, bei der die Anzahl der Punkte über dem Graphen gleich der Anzahl der Punkte unter dem Graph ist, eine sogenannte Ausgleichsgerade. Zeichnen Sie als Hausaufgabe für die Messwerte zu die vier Diagramme zur Darstellung von p(v), p( 1 V ), V(p) und V(1 p ). Erklären Sie, welches der Diagramme das Beste ist. 2.4 Nachweis des Gesetzes von Gay-Lussac Versuchsaufbau Benötigte Einzelteile: Befestigungsvorrichtung (Tischklemme, Stange , 2 Klemme mit Stange mit Klaue) Glaskolben Gasthermometer Thermometer Spritzwanne siedendes Wasser Eiswasser Abbildung 1: Versuchsaufbau nach Gay-Lussac 6

5 2.4.2 Durchführung des Versuches Zuerst wird das siedende Wasser in den Glaskolben geschüttet, bis sich die eingeschlossene Luftsäule komplett im Wasserbad befindet. Dabei zeigt das Thermometer im Idealfall eine Temperatur nahe 100 C an. Gleichzeitig liest man die Höhe der Luftsäule im Gasthermometer ab und notiert den Wert in einer Tabelle. Das Wasser kühlt durch die Wärmeabgabe an den Raum ab. Zirka alle 10 C liest man die Höhe der Luftsäule und die Temperatur ab und notiert die Werte. Um den Abkühlvorgang zu beschleunigen wird Eiswasser dazu geschüttet. Damit der Glaskolben nicht überläuft wird ein Teil des darin befindlichen Wassers entnommen. Um eine Temperatur nahe des Gefrierpunktes zu erreichen, sollte nur noch Eiswasser im Glaskolben enthalten sein. Temperatur ϑ in C Temperatur T in K Gassäulenlänge l in cm Gasvolumen V in 10 7 m 3 V T in 10 9m3 K 80, ,6 9,46 2,68 70, ,2 9,27 2,70 60, ,7 8,95 2,69 50, ,2 8,66 2,68 40, ,8 8,44 2,69 30, ,0 7,98 2,63 20, ,6 7,75 2,64 10, ,1 7,47 2,64 Anhand der Quotienten aus Volumen und Temperatur ist gut zu erkennen, dass es sich um eine direkte Proportionalität handelt. Sie sind näherungsweise identisch Auswertung des Versuches Es ist zu beobachten, dass bei abnehmender Temperatur die Höhe und damit auch das Volumen der Luftsäule geringer werden. Eine graphische Auswertung in einem ϑ(v) Diagramm ergibt folgendes Bild. 7

6 Infolge von Messfehlern gibt es einen oberen und einen unteren Grenzgraphen. Zwischen diesen beiden Graphen liegt der theoretisch ideale Graph. Er zeigt, dass ein Stoff bei -273,15 C kein Volumen mehr besitzt. Dies ist der absolute Nullpunkt der Temperaturskala. An diesem Punkt besitzt das Gas keine innere Energie Einführung der Kelvinskala Da es keine niedrigere Temperatur als -273,15 C gibt, führte der britische Physiker William Thomson ( ), später Lord Kelvin 5 eine Temperaturskala ein, die ihren Ursprung im absoluten Nullpunkt hat. Die von Celsius eingeführte Teilung behielt er bei. Die Temperatur wird mit dem Formelbuchstaben T in der Einheit Kelvin (K) angegeben. Man erhält im Rahmen der Messgenauigkeit eine Ursprungshalbgerade, woran die direkte Proportionalität von Volumen und Temperatur zu erkennen ist. Dass das Volumen geteilt durch die Temperatur konstant ist, hat Gay-Lussac mit Hilfe seines Versuches nachgewiesen. 2.5 Gesetz von Amontons Der Franzose Guillaume Amontons ( ) wies nach, dass im geschlossenen System der Druck indirekt proportional zu Temperatur eines Gases ist. Daraus formulierte er das Gesetz von Amontons welches besagt, dass der Druck geteilt durch das Volumen konstant ist. 5 vgl. Lexikonredation des Bibliographischen Instituts(Hg.), unter dem Stichwort :, Kelvin,Meyers großes Handlexikon von A-Z, o.o., o.j. 8

7 2.6 Die allgemeine Gasgleichung Werden die Gesetze von Boyle-Mariotte, Gay-Lussac und Amontons kombiniert, so erhält man die allgemeine Gasgleichung. pv T = konstant Die allgemeine Gasgleichung besagt, dass das Produkt aus Druck und Volumen geteilt durch die Temperatur in Kelvin immer konstant ist. Diese Gleichung ermöglicht es, in einem geschlossenem System, in dem Druck, Temperatur und Volumen bekannt sind, bei Änderung zweier Größen die Dritte zu berechnen. Hierbei unterscheidet man drei spezielle Zustandsänderungen mit einer Erhaltungsgröße: 1. Eine isotherme Zustandsänderung liegt vor, wenn die Temperatur konstant ist und Druck, und Volumen sich ändern. Der Versuch von Boyle-Mariotte fällt unter die isotherme Zustandsänderung. Ein Beispiel aus dem Anwendungsbereich liefert der Stirlingmotor, welcher das Arbeitsgas isotherm komprimiert. Das Produkt aus Druck und Volumen ist konstant. 2. Eine isobare Zustandsänderung liegt vor, wenn der Druck konstant ist und Temperatur und Volumen sich ändern. Der Versuch von Gay-Lussac fällt unter die isobare Zustandsänderung. Ein Beispiel aus der Praxis liefert der Dieselmotor, bei dem das Treibstoffgemisch im Moment des Verbrennens isobar expandiert. Der Quotient von Volumen und Temperatur ist konstant. 3. Eine isochore Zustandsänderung liegt vor, wenn das Volumen konstant ist und Temperatur und Druck sich ändern. Ein Beispiel aus der Praxis liefert der Ottomotor, bei dem nach dem Zünden im Kolben ein schneller Druck- und Temperaturanstieg zu messen ist, das Volumen aber nahezu konstant bleibt. Der Quotient von Druck und Temperatur ist konstant. Ändern sich alle drei Größen, spricht man von einer adiabatischen oder isentropen Zustandsänderung.Eine adiabatische Änderung folgt auch den Gesetzmäßigkeiten der allgemeinen Gasgleichung. Ist nur eine geänderte Größe bekannt, muss man zur Berechnung der anderen beiden Größen eine Adiabatengleichung verwenden. Ein Beispiel aus der Praxis liefert der Ottomotor, bei dem das Treibstoffgemisch adiabat verdichtet wird. Welches Gas verwendet wird, ist nicht relevant, da das Gesetz nahezu stoffunabhängig ist. Kein in der Natur vorkommendes Gas erfüllt die Gleichung exakt, was damit zu erklären ist, dass sie sich bei hohem Druck und niedriger Temperatur verflüssigen lassen. 6 Aus diesem Grund werden Rechnungen nur mit einem idealisierten Gas durchgeführt. Reale Gase verhalten sich dann annähernd ideal, wenn der Abstand zu ihrem Siedepunkt groß ist (z.b. Luft bei Raumtemperatur). 6 vgl. Beck, O., Grabski, U., Müller, H., Physkik für die Fachoberschule, Köln 1992, S.46. 9

8 2.6.1 Die allgemeine Gaskonstante Die allgemeine Gaskonstante ergibt sich, wenn man mit den Standardwerten von Druck, Volumen und Temperatur bezogen auf 1 mol rechnet. Der Normaldruck auf Höhe des Meeresspiegels liegt bei p 0 = 1, N m 2 Die Normtemperatur liegt bei T 0 = 273,15 K (0 C) Das Normvolumen ist das Volumen von 1 mol eines Gases bei Normaldruck und Normtemperatur. Es nimmt einen Raum von V m = 22, dm 3 ein. Es ist stoffunabhängig. p 0 V m = 1, N 22, m 3 m 2 nt 0 1mol 273, 15K J = 8,3145 molk = R7 Daraus ergibt sich die allgemeine Gasgleichung pv T = nr mit der allgemeinen Gaskonstante R = 8,3145 J molk Chemiker beschäftigen sich hauptsächlich mit den kleinsten Teilchen und der Summe der Teilchen in einem Gas. Deshalb ist die Formel mit der Teilchenzahl hier von besonders großem Nutzen. 7 Holler, E., Technologie für die berufliche Oberstufe. Klasse 12 Technik, Troisdorf 2004, S.93f. 10

9 3 Aufgaben zu den Gasgesetzen Aufgabe 1 8 Ein Kompressor saugt atmosphärische Luft von 1,0 bar bei 20 C an und befördert sie in einen 20 m 3 großen Druckbehälter. Im Behälter hat die komprimierte Luft bei 20 C einen Druck von 30 bar. Berechnen Sie die Menge der angesaugten, atmosphärischen Luft. Hinweis: Es ist zu beachten, dass der Behälter vor dem Verdichtungsvorgang bereits mit atmosphärischer Luft gefüllt ist. Aufgabe 2 9 Unter einem gewichtsbelasteten Kolben, also mit konstanter Gewichtskraft sind 1,5 l Gas mit einem Druck von 5,0 bar bei einer Temperatur von 25 C eingeschlossen (Zustand 1). Durch Wärmezufuhr steigt der Kolben nach oben, so dass das Gasvolumen 2,0 l beträgt(zustand 2). Anschließend wird das System abgekühlt, bis die Gastemperatur 0,0 C beträgt (Zustand 3). 1.1 Berechnen Sie die Temperatur des Gases im Zustand Berechnen Sie das Volumen des Gases im Zustand 3. Aufgabe 3 10 Auf einem Rummelplatz wird ein Luftballon aufgeblasen. Er hat ein Volumen von 10,0 dm 3. Der Ballon wird anschließend der Sonneneinstrahlung ausgesetzt und dadurch erwärmt sich das eingeschlossene Gas auf 37,0 C. Durch Ausdehnen der Ballonhülle vergrößert sich das Gasvolumen auf 10,2 dm 3. Berechnen Sie den Druck des Gases im Ballon. Aufgabe 4 11 Ein Verdichter (Kolben- oder Kreiselverdichter) saugt 6,0 m3 min atmosphärische Luft von 0,95 bar mit einer Temperatur von 17 C an und fördert sie in einen Behälter von 10 m 3 Inhalt. 4.1 Berechnen Sie die Zeit, bis ein Druck von 6,2 bar im Behälter herrscht, wenn die Endtemperatur infolge der Aufwärmung während des Verdichtungsvorganges 77 C beträgt. 4.2 Berechnen Sie den Druck, wenn die Temperatur im Behälter nach dem Stillstand des Verdichters auf 17 C zurückgeht. 4.3BerechnenSie,wielangenachgepumptwerdenmuss,damitbei17 CderDruckwieder 6,2 bar beträgt. Aufgabe 5 12 Bei einem Außendruck von 980 hpa wird der Schlauch eines Kraftwagenreifens auf ein Volumen von 28 dm 3 und einen Überdruck von 2,8 bar mit Luft aufgepumpt. Infolge des Komprimierens besitzt die Luft danach eine Temperatur von 30 C. 5.1 Berechnen Sie den Rauminhalt, welchen die Luft bei 980 hpa und 17 C einnahm. 5.2 Berechnen Sie den Wert des Überdrucks nach einigen Minuten, wenn sich die Innentemperatur wieder auf 17 C abgesenkt hat. 8 Schubert, Energie, o.o., o.j. S Ebd. 10 Beck, O., Grabski, U., Müller, H., Physik für die Fachoberschule, Köln 1992, S Dietzel, F., Wagner, W., Technische Wärmelehre, 8.Auflage, Würzburg 2001, S Heywang, F., Nücke, E., Walter, T., Physik für Techniker, Hamburg 1999, S

10 4 Durchführung des Versuches von Gay-Lussac 4.1 Versuchsaufbau Benötigte Einzelteile: Befestigungsvorrichtung (Tischklemme, Stange , 2 Klemme mit Stange mit Klaue) Glaskolben Gasthermometer Thermometer Spritzwanne siedendes Wasser Eiswasser Aufbau des Versuches nach Abbildung 2. Abbildung 2: Versuchsaufbau nach Gay-Lussac 4.2 Durchführung des Versuches Zuerst wird das siedende Wasser in den Glaskolben geschüttet, bis die im Gasthermometer eingeschlossene Luftsäule komplett im Wasserbad ist. Dabei zeigt das Thermometer im IdealfalleineTemperaturnahebei100 Can.ManliestdieHöhederLuftsäuleimGasthermometer und die Temperatur ab und notiert die Werte in einer Tabelle. Das Wasser kühlt durch die Wärmeabgabe an den Raum ab. Alle 10 C liest man die Höhe der Luftsäule ab und notiert diese mit den zugehörigen Temperaturen. Um Temperaturen, die niedriger als die Raumtemperatur sind zu erreichen, wird Eiswasser dazu geschüttet. Damit der Glaskolben nicht überläuft wird ein Teil des darin befindlichen Wassers entnommen. Um 0 C zu erreichen, sollte nur noch Eiswasser im Glaskolben enthalten sein. 12

11 A=5, m 3 l = mm ϑ = C Temperatur ϑ Temperatur T Gassäulenlänge Gasvolumen V in C in K l in cm in 10 7 m 3 V T in 10 9m3 K 4.3 Auswertung des Versuches Werten Sie Ihre Messergebnisse in einem ϑ(v) Diagramm aus! Ermitteln Sie mit Hilfe des Diagrammes den absoluten Nullpunkt der Temperatur! 13