Das Sammler-Problem. Anja Bergdolt. 11. Januar 2018

Transkript

1 Das Sammler-Problem Anja Bergdolt 11. Januar 2018

2 Abbildung: Das Album enthält 640 Bildchen, und wir nehmen an, dass jedes Bildchen 10 Cent kostet. [1]

3 Schätzfrage Wie viel kostet es das Album komplett mit allen Bildchen zu füllen?

4 Fragestellung Ein Sammelkarten-Hersteller gibt verschiedene Sammelkarten heraus. Wie viele Karten müssen wir sammeln, bevor wir im Besitz aller Sammelkarten sind, unter der Voraussetzung, dass jede Karte, die wir sammeln, gleich wahrscheinlich ist?

5 Anfangsannahmen Jedes Bild kommt mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor. Es werden keine Bildchen mit anderen Sammlern getauscht. Jedes Bild wird einzeln, und nicht im Päckchen verkauft.

6 Erste Berechnungen Angenommen es gibt verschiedene Bildchen und wir haben bereits k, k < Bildchen gesammelt. Die Wahrscheinlichkeit in der nächsten Ziehung kein neues Bildchen zu erhalten ist dann genau p = k

7 Erste Berechnungen Wir interessieren uns nun für die Wahrscheinlichkeit genau s Ziehungen bis zum nächsten neuen Bildchen zu benötigen.

8 Erste Berechnungen Die Wahrscheinlichkeit genau s Ziehungen bis zum nächsten neuen Bildchen zu benötigen ist unter diesen Voraussetzungen: p(x k = s) = ( ) k s 1 ( 1 k ) X k - Zufallsvariable, die die Anzahl der Ziehungen bis zum nächsten neuen Bildchen zählt, für das jeweilige k

9 Erste Berechnungen Zur Erinnerung: Definition des Erwartungswertes für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen E(x) = i I x i p i = i I x i P(x = i) Also ist die erwartete Anzahl E neu von Ziehungen bis zum nächsten neuen Bildchen dann genau E neu = s 1 p(x k = s)s = s 1 ( ) k s 1 ( 1 k ) s

10 Behauptung 1 E neu = s 1 ( k ) s 1 ( 1 k ) s = 1 1 k

11 Beweis zu Behauptung 1 E neu = ( ) k s 1 ( 1 k ) s s 1 = ( 1 k ) ( ) k s 1 s s 1 ( ) k s 1 s ( ) k s s = s 1 = s 0 ( k = s 0 s 1 ) s (s + 1) ( k s 0 ) s = 1 1 k ( k Wir erhalten eine geometrische Reihe, da k < 1. ) s s

12 Sammeln ohne Anfangsbildchen Wir suchen die erwartete Anzahl von Ziehungen, bis wir jedes der verschiedenen Bildchen mindestens einmal erhalten haben. Wir müssen daher über alle k summieren: ( ) E X i = i 1 k=0 1 1 k = = H mit den harmonischen Zahlen H = k=1 1 k

13 Antwort auf das Sammler-Problem Im Mittel brauchen wir H Ziehungen, um jedes Motiv mindestens ein Mal zu bekommen.

14 Beispiel Zur WM 2014 gab der Fußballsticker-Hersteller Panini 640 Bildchen heraus. Wie viele Bildchen hätten wir damit erwartungsgemäß kaufen müssen um ein vollständiges Album zu haben? = 640 Bildchen E = H = 4505 Bildchen Es würde somit im Mittel 450,50 Euro kosten, das Album zu füllen.

15 Abschätzung harmonischer Zahlen Unter harmonischen Zahlen verstehen wir im Allgemeinen Behauptung H = k=1 1 k H log Für die Abschätzung nehmen wir eine Skizze zu Hilfe: Abbildung: Graph von f (t) = 1 t (1 t n) [2]

16 Abschätzung harmonischer Zahlen Die Fläche unter dem Graphen vergleichen wir mit der Fläche der dunkler schraffierten Rechtecke: H 1 = k=2 1 k < 1 1 dt = log t Wir vergleichen die Fläche unter dem Graphen auch mit der Fläche der großen Rechtecke (hell und dunkel schraffierte zusammen): H 1 1 = k=1 1 k > 1 Beides zusammengenommen ergibt: 1 dt = log t log + 1 < H < log + 1

17 Antwort auf das Sammler-Problem Im Mittel brauchen wir ungefähr log Ziehungen, um jedes Motiv mindestens ein Mal zu bekommen.

18 Beispiel Zur WM 2014 gab der Fußballsticker-Hersteller Panini 640 Bildchen heraus. Wie viele Bildchen hätten wir damit erwartungsgemäß kaufen müssen um ein vollständiges Album zu haben? = 640 Bildchen E log = 4135 Bildchen Zur Erinnerung Ohne die Abschätzung war die erwartete Anzahl an Bildchen 4505.

19 Vergleich H und log 4000 E 2000 H log Vergleich H und log

20 Risiko mehr Bildchen kaufen zu müssen als erwartet Im folgenden wollen wir die Wahrscheinlichkeit untersuchen, deutlich mehr Bildchen sammeln zu müssen als es der Erwartungswert angibt. Bezeichne V die Anzahl der benötigten Ziehungen. Der Erwartungswert ist E[V ] log. Sei c. Wir untersuchen also die Wahrscheinlichkeit für V > log + c Im weiteren sei m := log + c

21 Risiko mehr Bildchen kaufen zu müssen als erwartet Bezeichne A i das Ereignis, dass das Bildchen i in den ersten m Ziehungen nicht erwischt wird. Damit V > m, muss in den ersten m Ziehungen mindestens ein Bildchen nicht erwischt werden: Prob[V > m] = Prob[ i A i ] Weiterhin gilt: Prob[ i A i ] i Prob[A i ] Die Wahrscheinlichkeit ein Bildchen i nicht in den ersten m Ziehungen zu bekommen ist genau p = ( 1 1 ) m, da über alle Bildchen summiert wird, gilt: ( Prob[A i ] = 1 1 ) m i

22 Risiko mehr Bildchen kaufen zu müssen als erwartet Weil die Funktion ( 1 1 ) monoton steigend ist und ( lim 1 1 ) 1 e gilt: ( 1 1 ) m < e m/ = e c Die obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit c Bildchen über den Erwartungswert hinaus kaufen zu müssen beträgt e c

23 Risiko mehr Bildchen kaufen zu müssen als erwartet Obere Schranke für p 1 0,5 2 3 Kartenanzahl zusätzlich zum Erwartungswert Die obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit c Bildchen über den Erwartungswert hinaus kaufen zu müssen beträgt e c Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit statt der 4135 Bildchen, die wir erwarten, zusätzliche 640 Bildchen, also 4775, kaufen zu müssen liegt bei ca. 0,4.

24 Sammeln mit Tauschen Wir machen die Annahme, es gäbe noch einen weiteren Sammler. Dieser Sammler bekommt alle uns doppelten Bildchen. Wie viele Bildchen fehlen dem zweiten Sammler nachdem wir unser Set vervollständigt haben? Und wie viele Bildchen muss er dann erwartungsgemäß kaufen? Fazit: Die Kosten würden deutlich sinken.

25 Verkauf in Päckchen Wir machen die Annahme, man könne die Bildchen nur in Päckchen mit l Bildchen kaufen. Die l Bildchen, die in einem Päckchen sind, sind paarweise verschieden. Wie viele Bildchen müssen wir kaufen um ein vollständiges Album zu bekommen? Fazit: Wenn die Päckchengröße l im Vergleich zur Gesamtzahl der verschiedenen Bildchen klein ist, macht es wenig Unterschied, ob die Bildchen einzeln oder in Päckchen verkauft werden.

26 Bildchen mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten Der Hersteller kann bewusst einige Bildchen mit geringerer Stückzahl herausgeben. In der allgemeinsten Formulierung konnte das Sammler-Problem bisher nicht gelöst werden.

27 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit.