Technische Universität München TOPSIS. Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution. - Eine Technik der Effizienzanalyse -

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1 TOPSIS Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution - Eine Technik der Effizienzanalyse - 1

2 Gliederung 1. Wiederholung Normalisierung (AHP) 2. Definition Effizienz 3. Ablauf von TOPSIS 4. Beispiel Endrik Lengwenat

3 Normalisierung Ergebnismatrix 3,0000 1,7500 8,0000 5,3332 3, ,0000 1,1666 0,6667 3,0000 Reihensummen Normalisieren = 12,7500 = 22,3332 = 4,8333 0,3194 0,5595 0, ,9165 1, Endrik Lengwenat

4 Effizienz = Verhältnis von eingesetzten Inputquantitäten zu erzielten Outputquantitäten Zwei Vergleichsmaßstäbe stehen zur Verfügung absolute Effizienz Vergleich mit einer bekannten effizienten Alternative. Die Produktionsfunktion ist bekannt. relative Effizienz Vergleich der Alternativen untereinander, da die absolut effizienteste nicht bekannt ist. Die einzelnen Alternativen sind aber alle mehr oder weniger ineffizient. Die Produktionsfunktion ist nicht bekannt. Voraussetzung: Eine optimale Alternative als Bezugspunkt Voraussetzung: Mindestens zwei Alternativen Aufgabenfeld der multikriteriellen Effizienzanalyse wie TOPSIS 4

5 Ansatz von TOPSIS Die Effizienz einer Alternative (aus einer endlichen Anzahl von Alternativen) wird bewertet, indem jeweils der Abstand der einzelnen Merkmalsausprägungen der betrachteten Alternative zu einer virtuellen Alternative bestimmt wird. Einfachstes Beispiel: Ziel: Den effizientesten Spieler auswählen 3 Alternativen: Output: Input: Tore: 25 Kosten 29 Mio Tore: 10 Kosten 37 Mio Tore: 21 Kosten 21 Mio Effizienz: 1,16 Mio /Tor 0,27 Tore/Mio Absolute Effizienz? Relative Effizienz? 25 Tore für 21 uro = 1,19 Tore/ Mio Anforderungen an die Kriterien erfüllt? Endrik Lengwenat

6 Prinzipieller Ablauf von TOPSIS Alternativen bestimmten Kriterien bestimmen Entscheidungsmatrix aufstellen Entscheidungsmatrix normalisieren Gewichte ermitteln / festlegen Mit Hilfe von AHP, o.ä. Entscheidungsmatrix gewichten virtuelle Alternativen bestimmen Abstandsmaße berechnen Effizienzindex und Rangfolge bestimmen 6

7 Auswahl der Alternativen Wie bei allen Verfahren für multikriterielle Entscheidungen steigt mit der Zahl der Alternativen und der Zahl der Kriterien der Aufwand. Sehr viele Alternativen sollte man also besser nicht wählen. 7

8 Kriterien Kriterien Kostenkriterien Inputs sind Kostenkriterien minimale Wert Nutzenkriterien Outputs sind Nutzenkriterien maximale Wert 8

9 Die Entscheidungsmatrix Für jede Alternative muss die Erfüllung von allen Kriterien ermittelt werden. Kriterien 1 bis m Vektor der Ausprägungen der Kriteriums C m über die Alternativen Vektor der Bewertungen der Alternative A 1 TOPSIS grundsätzlich nur auf kardinal messbare Kriterien anzuwenden Ausprägungen 9

10 Die Normalisierung der Entscheidungsmatrix Grund der Normalisierung: Wenn alle Kriterien kardinal gemessen werden konnten, aber jedes in seiner Dimension, sind die Zahlen in den Spalten-Vektoren sehr unterschiedlich groß. Ohne Normalisierung würden dadurch implizite Gewichtungen der Kriterien aufgrund von Skaleneffekten entstehen. Methode der Normalisierung: Über die Spalten wird die Summe der Quadrate der Kriterienausprägungen berechnet. Daraus wird die Wurzel gezogen. Dann wird jede Kriterienausprägung durch diese Wurzel dividiert. 10

11 Normalisierung der Matrix r ij = d ij n 2 i=1 d ij Endrik Lengwenat

12 Bestimmung der gewichteten normalisierten Entscheidungsmatrix Jeder Spaltenvektor der normalisierten Entscheidungsmatrix wird mit einem Kriteriengewicht multipliziert. Die Kriteriengewichte werden z.b. mit einer Technik zur Ermittlung von Kriteriengewichten wie z.b. dem AHP bestimmt. normalisierte Entscheidungsmatrix R * Kriteriengewichte = gewichtete normalisierte Entscheidungsmatrix V = 12

13 Entwicklung virtueller Alternativen Aus der gewichteten normalisierten Entscheidungsmatrix werden jetzt zwei virtueller Alternativen entwickelt. beste mögliche Alternative die höchsten Werte der Nutzenkriterien die niedrigsten Werte der Kostenkriterien Darunter ist einfach die beste mögliche und die schlechteste mögliche Alternative zu verstehen. schlechteste mögliche Alternative die geringsten Werte der Nutzenkriterien die höchsten Werte der Kostenkriterien werden miteinander kombiniert 13

14 Berechnung von Abstandsmaßen Technische Universität München Für jede reale Alternative werden nun zwei Abstandsmaße zu den beiden virtuellen Alternativen berechnet. Abstand zur Worst-case-Alternative Abstand zur Best-case-Alternative A min A 1 real A max Euklidische Abstände messen den Abstand zwischen zwei Punkten in einem mehrdimensionalen Raum. Die Dimensionalität des Raumes wird durch die Anzahl der Kriterien bestimmt. 14

15 Bestimmung der relativen Nähe zur Best-case-Alternative Technische Universität München Auf Basis der Abstandsmaße kann für jede Alternative ein Abstands-Index für die relative Nähe zur Best-case-Alternative berechnet werden. Diesem Index liegt die Idee zugrunde, daß eine effiziente Alternative möglichst nahe am effizienten Rand einer Technologiemenge liegen sollte und gleichzeitig möglichst weit von ineffizienten Alternativen entfernt sein sollte. Diese Technologiemenge (Produktionsfunktion) ist durch die tatsächlich beobachteten Alternativen partiell rekonstruiert. Übliche Effizienzmaße sind Quotienten, bei denen der Output zum Input ins Verhältnis gesetzt wird. Bei dem TOPSIS-Effizienzmaß auch einem Quotienten steht im Zähler der Abstand zur Worst-case-Alternative. Im Nenner steht der Abstand zur Best-case-Alternative. 15

16 Bestimmung der relativen Nähe zur Best-case Alternative je höher der Abstand zum schlechtest denkbaren Fall, desto höher der Indexwert Der Indexwert ist null, wenn der Abstand zur schlechtesten denkbaren Alternative null ist. Abstand zur Worst-case-Alternative Abstand zur Best-case-Alternative + Abstand zur Worst-case-Alternative je geringer der Abstand zum besten denkbaren Fall, desto höher der Indexwert Der Indexwert ist eins, wenn der Abstand zur besten denkbaren Alternative null ist. Der Indexwert liegt also zwischen 0 und 1. Dadurch ist die Interpretation erleichtert. Ci S i 0 S i 1 16

17 Beispiel 1 Es soll die Effizienz von Filialen eines Handelskonzern verglichen werden. Die folgenden Kriterien sollen verwendet werden: Umsatz Freundlichkeit des Personals Wartezeiten an den Kassen Aktualität und Frische der Produkte Kosten Zwei Kriterien können in Geldeinheiten gemessen werden. Die übrigen drei Kriterien werden auf einer Skala mit Punkten (1-5) gemessen. 17

18 Beispiel 1 - Entscheidungsmatrix Technische Universität München Für die Filialen 1 bis 4 und die 5 Kriterien wurden die unten dargestellten Kriterienausprägungen ermittelt. Filiale Umsatz Freundlichkeit Personal Wartezeiten Entscheidungsmatrix Produktfrische Kosten Die Entscheidungsmatrix wird im ersten Rechenschritt normalisiert: Für das Feld 1/1 gilt 18

19 Beispiel 1 normalisierte Entscheidungsmatrix Filiale Umsatz Freundlichkeit des Personals Wartezeiten Technische Universität München Kosten 1 0,447 0,680 0,577 0,640 0, ,547 0,544 0,462 0,512 0, ,472 0,272 0,346 0,256 0, ,527 0,408 0,577 0,512 0,533 Diese normalisierte Entscheidungsmatrix ist nun mit den Kriteriengewichten zu gewichten. Diese sind: Umsatz Freundlichkeit des Personals Wartezeiten Produktfrische Produktfrische Kosten Gewicht 0,42 0,06 0,06 0,04 0,42 19

20 Beispiel 1 gewichtete normalisierte Entscheidungsmatrix Technische Universität München Filiale Umsatz Freundlichkeit des Personals Wartezeiten Produktfrische Kosten 1 0,188 0,041 0,035 0,026 0, ,230 0,033 0,028 0,020 0, ,198 0,016 0,021 0,010 0, ,221 0,024 0,035 0,020 0,224 20

21 Beispiel 1 Berechnung der virtuellen Alternativen Aus den Spalten werden nun die jeweils besten und schlechtesten Werte herausgesucht. Umsatz Freundlichkeit des Personals Wartezeiten Produktfrische Kosten Best-C 0,230 0,041 0,035 0,026 0,188 Worst-C 0,188 0,016 0,021 0,010 0,228 Beim Kostenkriterium ist der geringste Wert der beste und der höchste der schlechteste! 21

22 Beispiel 1 Berechnung der Abstandsmaße Umsatz Freundlichkeit des Personals Wartezeiten Produktfrische Kosten Best-C 0,230 0,041 0,035 0,026 0,188 Worst-C 0,188 0,016 0,021 0,010 0,228 Nun werden die euklidischen Abstände berechnet: Berechnung für Filiale 2 als Beispiel Abstand zur besten virtuellen Alternative Abstand zur schlechtesten virtuellen Alternative 22

23 Beispiel 1 Abstandmaße und Effizienzindex Filiale Abstand zum Best-case Abstand zum Worst-Case Effizienz- Index Rangplatz 1 0,042 0,051 0, ,042 0,047 0, ,047 0,033 0, ,041 0,038 0,481 3 Beispiel für die Berechnung des Effizienz-Index für Filiale 2 C 2 = 0,047 0, ,047 0,528 23

24 Literatur Peters, Malte L. und Zelewski, Stephan: TOPSIS als Technik zur Effizienzanalyse. Wirtschaftsstudium, Heft 1, 2007, S Hwang und Yoon: Multiple Attribute Decision Making- Methods and Applications A State of the Art Survey, Berlin, Heidelberg, New-York,