Annahme: - Päferenzunabhängigkeit der Ziele - kardinal skalierte Größen!!!!

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1 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel Nutzwertanalyse Verfahren zur Lösung von Mehrzielentscheidungen Hierarchisch aufgebaute systeme å i.d.r. sind nur zwei oder drei Teilziele gleichzeitig zu betrachten und zu gewichten Gesamtziel Oberziel O Oberziel O Oberziel O Z Z Z Z 4 Z 5 Z 6 Z 7 Z 8 Schrittweise Aggregation von wenigen Teilzielen zu einem höheren mittels gewichteter Addition der partiellen Nutzenwerte Annahme: - Päferenzunabhängigkeit der e - kardinal skalierte Größen!!!! < 4.0 >

2 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 4 Gesamtbewertung des Autokaufs 0, 0,5 0, Bewertung des Bewertung des Bewertung der Kaufpreises Autos Werkstatt 0,4 0, 0,4 Bewertung des Design Bewertung der Motorenleistung Bewertung der Ausstattung Entscheidungsregel: Auswahl der Alternative mit höchstem (Gesamt-)Nutzenwert! Zentrale Elemente der Nutzwertanalyse: (partielle) Nutzenwerte Gewichte der kriterien Ermittlung der Nutzenwerte

3 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 5 (nach Zangemeister 97) å Projektion der erreichungsgrade in das Intervall [0, 0] mit Hilfe von darüber gelegten, verbal erläuterten Intervallklassen "sehr schlecht": [0, [ "schlecht": [, 4[ "durchschnittlich": [4, 6] "gut": ]6, 8] "sehr gut": ]8, 0] å wahrheitsgetreue und eindeutige Nutzenwertzuordnung??!! Realistischer dürften Fuzzy-Nutzenwerte über [0, 0]!!

4 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 6 Ermittlung der gewichte Bestimmung der Gewichte über Ermittlung der paarweisen Austauschraten zwischen den en a g = g (Paarvergleichsmatrizen) kr k r Austauschrate kr gr gk a = > 0, k, r {,...,K} Preis Preis Auto Werkstatt Auto Werkstatt å Speziell gilt: g a k kk = = für k = r gk gk a rk = = reziproke Paarvergleichsmatrix gr akr

5 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 7 Konsistenzbedingung für Paarvergleichsmatrix!! å widerspruchsfreie Präferenzen gr gs g a s kr ars ( = = ) = gk gr gk aks in einer konsistenten Paarvergleichsmatrix sind alle Spaltenvektoren Vielfache voneinander und jede Spalte stellt somit einen äquivalenten Gewichtevektor dar! normierter Gewichtevektor: Austauschraten sind dann eindeutig bestimmt, wenn die Summe der Gewichte auf normiert wird. Preis Preis Auto W.statt Auto W.statt 6 0,77 0, ,88

6 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel Analytic Hierarchy Process (AHP) (THOMAS L. SAATY 980) Basis: konsistente, reziproke Paarvergleichsmatrix å Bewertung der Paarvergleiche mit Hilfe der 9- Punkteskala von SAATY 5 7 9,4, 6,8 gleiche Bedeutung etwas größere Bedeutung erheblich größere Bedeutung sehr viel größere Bedeutung absolut dominierend Zwischenwerte Beide verglichenen Elemente haben die gleiche Bedeutung für das nächst-höhere Element (). Erfahrung und Einschätzung sprechen für eine etwas größere Bedeutung Erfahrung und Einschätzung sprechen für eine erheblich größere Bedeutung Die sehr viel größere Bedeutung eines Elements hat sich in der Vergangenheit klar gezeigt Es handelt sich um den größtmöglichen Bedeutungsunterschied zwischen Elementen Zwischen zwei benachbarten Urteilen muß eine Übereinkunft getroffen werden, ein Kompromiß Nur ordinalskalierte Paarvergleiche

7 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 9 Unklare Definition der Präferenzen Alternative Berechnung des normierten Gewichtevektors: Im Fall einer konsistenten Paarvergleichsmatrix A entspricht der Gewichtevektor g dem Eigenvektor x zum größten Eigenwert λ von A A x = λ x Weiterhin gilt, dass der größte Eigenwert einer konsistenten Paarvergleichsmatrix A stets gleich der Ordnung von A ist und alle übrigen Eigenwerte gleich 0 sind. ( A λe) x = 0 Determinantentheorie!!! < 4. > bekannte Paarvergleichsmatrix aus < 4.8 > λ λ λ = λ ( λ) = 0 Eigenwerte λ = und λ, = 0 Eigenvektor zu λ = : (,,) t, t R,

8 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 0 Norm. Gewichtevektor (0,77,0,54554,0,88) Häufiges Problem bei realen Anwendungen: Entscheider formulieren inkonsistente Paarvergleichsmatrizen. Diese widersprüchlichen Präferenzen sind das Ergebnis einer beschränkten Informationsverarbeitungskapazität Vorschlag von THOMAS SAATY: Bei kleineren Verstößen gegen die Konsistenzbedingung sollte weiterhin als Gewichtevektor der Eigenvektor zum größten Eigenwert von A verwendet werden. Nach SAATY, solange KI( A) der Konsistenzwert KW(A) = 0, ist. RI λ - Konsistenzindex KI = max n n - Random Index (RI) = durchschnittlicher Konsistenzindex, der sich ergibt, wenn reziproke Zufallsmatrizen auf Grundlage der SAATYschen Skala erzeugt werden n RI(n) 0 0 0,58 0,90,,4,,4 n

9 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 RI(n),45,48,49,5,56,57,5 < 4. > Design Motorleist. Ausstattung Design 7 Motorleistung 7 Ausstattung inkonsistente Paarvergleichsmatrix B, da b = z. B. b = 7 b maximaler Eigenwert nicht gleich, sondern näherungsweise λ max =, KW(B) = = 0,0079 0, 0,58 ausreichend konsistent Eigenvektor zu λ max : (; 6,6494;,054) t, t R

10 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 Norm. Gewichtevektor: (0,05; 0,686; 0,58). Gewichte für Design, Motorleistung und Ausstattung durch Multiplikation dieser Gewichte mit dem Gewicht für die Bewertung der Attribute eines Autos Gesamtbewertung des Autokaufs Bewertung des Kaufpreises Bewertung des Autos Bewertung der Werkstatt Bewertung des Design Bewertung der Motorenleistung Bewertung der Ausstattung Preis Design Motorleistung Ausstattung Werkstatt Gesamtnutzen w 0,77 0,0559 0,77 0,77 0,88 A ,5464 A 8 6, ,9998 A ,558 A ,50

11 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 Ermittlung der Teilnutzenwerte å analoge Vorgehensweise (Eigenvektor): Zuweisung von Nutzenwerten zwischen 0 und å hierarchie erhält zusätzliche Ebene Z k Alternative A Alternative A Alternative A Alternative A 4 å sinnvoll nur bei wenigen Alternativen

12 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 4 < 4.4 > relative Nutzenbewertung "Motorleistung": A A A A4 A 8 5 A 8 5 A 5 A4 5 inkonsistente 4 4-Paarvergleichsmatrix, da z. B. gilt c c 8 = c = 5. maximale Eigenwert λ max = 4, , Da KW(C) = 0,9 = 0,096 0,, 4 ist die Paarvergleichsmatrix noch ausreichend konsistent normierter Eigenvektor (0,56; 0,054; 0,0; 0,940) als relativer Nutzenvektor

13 Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 5 Kritik: gewichtung als geeignetes Aggregationskriterium??? Paarvergleiche sind ordinalskaliert; Bestimmung der reziproken Werte/Berechnung der Gewichteverteilung erfordert Verhältnis- bzw. Kardinalskalenniveau Saatys 9-Punkte-Skala ist rational nicht gerechtfertigt und angreifbar andere Skalen können zu anderen Rangordnungen der Alternativen führen Ergebnis: Rangordnungen differieren jeweils unterschiedlich stark in Abhängigkeit der Anzahl von Alternativen, Kriterien und Verteilungen. Definition der Präferenz in den Paarvergleichen äußerst schwammig praktische Erfahrungen: Anwender verstehen Austauschraten eher im dem Sinne, daß ein x- mal wichtiger als ein anderes ist.