Methoden für Individualentscheidungen

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1 Methoden für Individualentscheidungen Mike Hüftle 28. Juli 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Entscheidungsproblem Entscheidungsmodell Entscheidung bei Sicherheit und mehreren Zielen Allgemeines Zielerreichungsmatrix Nebenpfad: Vektor-Normierung Dominanz-, Maximin- und Maximax-Strategie MADM bei ordinaler Präferenzinformation MADM bei kardinaler Präferenzinformation Nebenpfad: Paarvergleichsmatrix Nebenpfad: Einfache additive Gewichtung Nebenpfad: Analytic Hierarchy Process Outranking-Verfahren Entscheidung bei Unsicherheit Problemstellung Maximin- und Maximax-Strategie Hurwicz-Prinzip und Laplace-Regel Entscheidungen bei Risiko Entscheidungsregeln bei Risiko Bernoulli-Prinzip Nebenpfad: Bernoulli-Nutzenfunktion Mehrperiodige Entscheidungen Problemstellung Entscheidungsbaum Roll-Back-Verfahren Mathematische Optimierung

2 6 Literatur und Methoden Einführende Literatur Weiterführende Literatur Methoden

3 1 Einleitung 1.1 Entscheidungsproblem Individual- vs. Gruppenentscheidungen Eine wesentliches Differenzierungskriterium von Entscheidungsproblemen ist die Frage, wieviele Personen an einer Entscheidung beteiligt sind. Bei Individualentscheidungen trifft ein Entscheider mit Hilfe einer Methode zur Entscheidungsunterstützung die Entscheidung über die Auswahl einer von mehreren Handlungsalternativen. Demgegenüber sind bei Gruppenentscheidungen mehrere Entscheider beteiligt, was ein zusätzliches Entscheidungsproblem bedeutet, da in der Regel die Entscheider unterschiedliche Präferenzen haben. Methoden für Individualentscheidungen Methoden, die den einzelnen Entscheider bei der Alternativenauswahl unterstützen, haben das Ziel, die für den Entscheider gemäß seinen individuellen Präferenzen beste Alternative zu finden. Welche Methode für ein bestimmtes Entscheidungsproblem angewendet wird, hängt davon ab, wieviele und welche Informationen über die Entscheidungssituation vorliegen: Sicherheit: Die zukünftigen Konsequenzen einer Entscheidung können mit Sicherheit vorhergesagt werden. Unsicherheit: Die Konsequenzen einer Entscheidung können nicht definitiv vorhergesagt werden. Wahrscheinlichkeiten über mögliche zukünftige Folgen können nicht beziffert werden. Risiko: Die Folgen einer Entscheidung können zwar nicht definitiv vorhergesagt werden; der Entscheider kann jedoch angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese Folgen eintreten. Weiterhin wird unterschieden, ob und wie die einzelnen Methoden die Präferenzen des Entscheiders (risikoscheu, risikoneutral oder risikofreudig) wiedergeben können und ob bei der Entscheidung mehrere Ziele berücksichtigt werden sollen (Multi-Criteria-Analyse). 3

4 1.2 Entscheidungsmodell Komponenten eines Entscheidungsmodells Ein Entscheidungsproblem kann mit folgenden Größen modelliert werden: (Handlungs-) Alternativen: Dies ist eine Menge von Handlungsmöglichkeiten, die vor der Entscheidungsfindung feststehen, und aus denen der Entscheider eine oder mehrere auswählen soll. (Umwelt-) Zustände: Dies sind Ereignisse oder Zustände, die vom Entscheider nicht direkt beeinflusst werden können. Der Entscheider kann aber angeben, welchen Einfluss ein Zustand auf das Ergebnis seiner Entscheidung hat. Bei Entscheidungen unter Risiko kann der Entscheider angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmter Zustand eintritt. Ergebnisse: Dies sind die Folgen aus einer Entscheidung, welche der Entscheider (z.b. monetär oder als Nutzen) bewerten kann. Der Entscheider kann angeben, welches Ereignis unter welchem Zustand bei welcher Entscheidung eintritt. Ziele bzw. Präferenzen: Der Entscheider kann festlegen, welches Ziel oder welche Ziele er mit seiner Entscheidung verfolgt. Mit dem Begriff der Präferenz werden die Einstellungen des Entscheiders zu Ergebnissen bezeichnet, d.h. wann er ein Ergebnis einem anderen Ergebnis bevorzugt. Entscheidungsmatrix Der Zusammenhang zwischen diesen Komponenten lässt sich in Form einer Entscheidungsmatrix mit den Zuständen Z j, den Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustände p(z j ) (nur bei Entscheidungen unter Risiko), den Alternativen A i und den Ergebnissen e ij darstellen: 4

5 Z 1 Z 2... Z n p(z 1 ) p(z 2 ) p(z n ) A 1 e 11 e e 1n A 2 e 21 e e 2n A m e m1 e m2... e mn 5

6 2.1 Allgemeines 2 Entscheidung bei Sicherheit und mehreren Zielen Multi- Attribut- Entscheidungen Multi-Attribut-Entscheidungen ( Multi Attribute Decision Making, MADM) sind mehrkriterielle Entscheidungsprobleme, die durch Auswahl einer von mehreren Handlungsalternativen gelöst werden (im Gegensatz zu Mehrziel-Optimierungsproblemen, bei denen eine Handlungsalternative berechnet wird). Die Ziele des Entscheiders werden als Attribute bezeichnet. Lösungsansätze für MADM- Probleme Die verschiedenen Ansätze zur Lösung von MADM-Problemen werden nach den von ihnen benötigten Informationen klassifiziert. MADM-Verfahren, die einen relativ geringen Informationsbedarf haben, sind die Dominanz-, die Maximin- und die Maximax-Strategie. Die mit diesen Verfahren generierten Entscheidungsvorschläge sind jedoch in vielen Fällen unbrauchbar (vgl. [] S. 26). Verfahren, die mehr Informationen vom Entscheider erfordern, wie die lexikographische Methode oder Gewichtungsmethoden, liefern meist bessere Entscheidungen. Sie erfordern jedoch auch, dass sich der Entscheider in größerem Umfang mit dem Entscheidungsproblem auseinandersetzt. 6

7 2.2 Zielerreichungsmatrix Bei allen MADM-Problemen werden m Alternativen A 1, A 2,... A m im Hinblick auf n Attribute (Ziele) C 1, C 2,... C n bewertet. Mit x ij wird das Ausmaß der Zielerreichung von Alternative A i im Hinblick auf Attribut C j beschrieben. Durch die Koeffizienten x ij wird die Zielerreichungsmatrix X festgelegt C 1 C 2... C n A 1 x 11 x x 1n A 2 x 21 x x 2n A m x m1 x m2... x mn Skalenniveau Die Koeffizienten x ij müssen mindestens ordinales Skalenniveau besitzen, damit sich sinnvolle Aussagen aus der Koeffizientenmatrix treffen lassen. Normierung Für einige MADM-Verfahren ist eine Normierung der Zielerreichungsmatrix notwendig (z.b. Maximin-Strategie, additive Gewichtung, ELECTRE). Hierfür gibt es eine Reihe von Verfahren, wie z.b. die Vektor-Normierung oder die lineare Skalentransformation. Anwendungshinweise finden sich in ([] S. 38 ) beschrieben Nebenpfad: Vektor-Normierung Bei der Vektor-Normierung werden die Spaltenvektoren der Zielerreichungsmatrix X durch ihre euklidische Norm dividiert, so dass die Spaltenvektoren nach der Normierung alle dieselbe euklidische Länge besitzen. 7

8 Die normierten Koeffizienten r ij werden berechnet zu: r ij = x ij m k=1 (x kj) 2 (1) 8

9 2.3 Dominanz-, Maximin- und Maximax-Strategie Dominanz-, Maximin- und Maximax-Strategie benötigen relativ wenig Informationen von Seiten des Entscheiders. Dieser muss keine Präferenzen bezüglich der Alternativen angeben, da diese Präferenzen implizit in den drei Verfahren unterstellt werden. Diese drei Strategien spiegeln jedoch nur in Ausnahmefällen die tatsächlichen Präferenzen des Entscheiders wieder. Dominanz- Strategie Die Dominanz-Strategie vergleicht die Alternativen und eliminiert dominierte Alternativen. Eine dominierte Alternative ist eine Alternative, die bezüglich der Zielerreichung in einem oder mehreren Attributen von einer anderen Alternative übertroffen wird, wobei die Zielerreichung in den anderen Attributen gleichwertig ist. Begonnen wird mit den ersten beiden Alternativen, hiervon wird die dominierte Alternative eliminiert und die nicht-dominierte wird mit der nächsten Alternative verglichen usw. Meist bleiben in diesem Verfahren so viele nicht-dominierte Alternativen übrig, dass zusätzlich ein weiteres Verfahren zur Entscheidungsfindung herangezogen werden muss. Maximin- Strategie Die Maximin-Strategie besteht darin, diejenige Alternative auszuwählen, deren schlechtestes Attribut den besten Wert aller Alternativen aufweist, d.h. eine Alternative wird im Prinzip nur durch ihr Attribut mit dem schlechtesten Ausmaß der Zielerreichung repräsentiert. Für die Maximin-Strategie muss die Zielerreichungsmatrix X normiert werden. Die Strategie wird bei Problemen angewendet, bei der die Wertschätzung für eine Alternative nur durch die schlechteste Attributausprägung bestimmt wird. Dies ist also eine sehr pessimistische Sichtweise auf das Problem. Maximax- Strategie Die Maximax-Strategie hingegen ist eine sehr optimistische Strategie. Sie berücksichtigt bei der Entscheidungsfindung für jede Alternative nur den besten Attributwert. Diejenige Alternative wird ausgewählt, für die der beste Attributwert maximal ist. Die Zielerreichungsmatrix muss normiert werden. 9

10 2.4 MADM bei ordinaler Präferenzinformation Kann der Entscheider die relative Wichtigkeit der verschiedenen Attribute auf einer ordinalen Skala angeben, so kann die lexikographische Methode angewendet werden. LexikographischeDie lexikographische Methode geht davon aus, dass die relative Wichtigkeit Methode der einzelnen Attribute für den Entscheider festgelegt werden kann. Nach demjenigen Attribut, welches am wichtigsten ist, wird der erste Vergleich der Alternativen vorgenommen. Diejenige Alternative, welche die höchste Ausprägung bezüglich dieses Attributes hat, wird als beste Entscheidung ausgewählt. Existieren mehrere Alternativen mit gleichen Ausprägungen des wichtigsten Attributes, so wird das zweitwichtigste Attribut zum Vergleich dieser Alternativen herangezogen. Dies wird so lange fortgesetzt, bis entweder eine Alternative als beste Entscheidung ausgewählt werden konnte oder bis nach allen Attributen verglichen wurde (und somit noch keine beste Alternative gefunden werden konnte). Nachteile der Methode Diese Methode ermöglicht jedoch keine Kompensation, d.h. wenn eine Alternative im wichtigsten Attribut geringfügig schlechter, in anderen Attributen jedoch viel besser abschneidet als eine zweite Alternative, so wird trotzdem die zweite Alternative gewählt. LexikographischeEine Variante der lexikographischen Methode ist die lexikographische Halbordnung, bei der auch Alternativen ausgewählt werden, bei denen die Ausprägung Halbordnung in einem Attribut nicht signifikant von der maximalen Ausprägung über alle Alternativen in diesem Attribut abweicht. Diese Methode ermöglicht also eine teilweise Kompensation zwischen den Attributen. 10

11 2.5 MADM bei kardinaler Präferenzinformation IntervallskalierungKann die Wichtigkeit von Atrributen für den Entscheider durch eine Intervallskala ausgedrückt werden, so kann die relative Wichtigkeit durch Gewichte wiedergegeben werden. Methoden, die mit der Gewichtung der Attribute arbeiten, ermöglichen eine Kompensation zwischen Attributen. D.h. wenn eine Alternative im relativ wichtigsten Attribut geringfügig schlechter, in anderen Attributen jedoch viel besser abschneidet als eine zweite Alternative, so kann auch die erste Alternative gewählt werden. Gewichte Für jedes der n Attribute C 1, C 2,... C n wird ein Gewicht w j definiert, welches die relative Wichtigkeit des j-ten Attributes im Vergleich zu allen anderen Attributen ausdrückt. Die Gewichte werden in der Regel normiert, so dass n j=1 w j = 1 Gewichtevektor Nachdem der Entscheider die relative Wichtigkeit aller Attribute durch 1/2 n (n 1) Paarvergleiche festgelegt hat, kann eine Paarvergleichsmatrix aufgestellt werden. Wiedersprüchliche Paarvergleiche Da jedoch der Entscheider nur selten wiederspruchsfreie Schätzungen für die Paarvergleichsmatrix geben kann, wurden Methoden entwickelt, um den Gewichtevektor auch aus einer inkonsistenten Paarvergleichsmatrix bestimmen zu können. Dies sind z.b. die Methode der kleinsten gewichteten Quadrate oder Saatys Eigenvektor-Methode (beschrieben in [], S. 56 ff). MADM- Methoden auf der Grundlage von Gewichten Es gibt eine Vielzahl von MADM-Methoden, welche Gewichte zur Bestimmung der besten Alternative verwenden. Dies sind beispielsweise: Die lineare Zuordnungsmethode Die einfache additive Gewichtung Der Analytic Hierarchy Process (AHP) [] [] 11

12 2.5.1 Nebenpfad: Paarvergleichsmatrix Die Paarvergleichsmatrix hat folgende Gestalt: C 1... C j... C n C 1 a a 1j... a 1n C i a i1... a ij... a in C n a n1... a nj... a nn Gilt die Gleichung a ik a kj = a ij i, j, k, so ist die Paarvergleichsmatrix wiederspruchsfrei. Ist die Paarvergleichsmatrix wiederspruchsfrei, so können die Gewichte der n Attribute C n durch Normierung der j-ten Spalte der Matrixberechnet werden: w i = a ij n k=1 a kj (2) Nebenpfad: Einfache additive Gewichtung Bestimmen der besten Alternative Bei der einfachen additiven Gewichtung wird für jede Alternative der Wert n v(a i ) = w j x ij (3) j=1 bestimmen, mit x ij als (reelwertigem) Ausmaß der Zielerreichung von Alternative A i im Hinblick auf Attribut C j. 12

13 Anwendungsvoraussetzungen Um die Methode der additiven Gwichtung anwenden zu können, müssen die Attribute präferenzunabhängig sein. Dies bedeutet, dass eine sehr hohe Ausprägung in einem Attribut den Nutzen eines anderen Attributes für den Entscheider nicht beeinflussen darf Nebenpfad: Analytic Hierarchy Process Strukturierung des Entscheidungsproblems Der Analytic Hierarchy Process wurde in den 70er Jahren von T. L. Saaty konzipiert. Er basiert auf der Strukturierung des Entscheidungsproblems in Hierarchien. Hierdurch kann das Gesamtproblem in kleinere, für den Entscheider überschaubare Teilprobleme zerlegt werden. Die Abbildung zeigt eine mögliche hierarchische Gliederung eines Entscheidungsproblems in Oberziel, Ziele, Kriterien und Unterkriterien. Methodenbeschreibung Der AHP umfasst ein mehrstufiges Vorgehen: 1. Im ersten Schritt wird eine Hierarchie der Attribute (Ziele) und der Zielkriterien des Entscheiders aufgestellt. 2. Anschließend werden Paarvergleiche durchgeführt. Dazu wird für die Alternativen im Hinblick auf jedes Ziel und jedes Kriterium der Zielhierarchie eine Paarvergleichsmatrixaufgestellt. Bei einer Hierarchie mit einem Oberziel, drei Zielen und sechs Kriterien werden somit 10 Paarvergleichsmatrizen erstellt. 3. Zu jeder Paarvergleichsmatrix wird ein Gewichtungsvektor nach Saatys Eigenvektormethode berechnet. 4. Die Konsistenz der Paarvergleiche wird mit Hilfe des Konsistenzwertes von Saaty bestimmt. Sind die Vergleiche nicht konsistent, so müssen diese erneut dem Entscheider vorgelegt werden. 5. Bei konsistenten Paarvergleichen werden die Alternativen durch eine einfache lineare Funktion kombiniert, so dass aus den Bewertungen der untersten Hierarchieebene die Bewertung der Alternativen bezüglich des Oberziels berechnet werden kann. 13

14 Bewertung der Alternativen Die Bewertung der Alternativen in Schritt 5 soll an einem Beispiel erläutert werden. Das Gewicht der Alternative Ausbau des Streckennetzes in Hinblick auf das Oberziel wird wie folgt berechnet: w V RZ (ASN) = w V UH (ASN) w V RZ (V UH) + w RV S (ASN) w V RZ (RV S) + w ERG (ASN) w V RZ (ERG) = Ebenso können w V RZ (MSN) = und w V RZ (F P O) = berechnet werden. Demzufolge ist also die Alternative die beste Entscheidung für das Oberziel Veringerung der Reisezeit im ÖPNV. Anwendungsvoraussetzungen Der AHP basiert auf vier wichtigen Voraussetzungen: 1. Die Paarvergleichsmatrix zur Bestimmung der Gewichte muss reziprok sein, d.h. wird Alternative 1 als doppelt so wichtig wie Alternative 2 angesehen, so muss auch umgekehrt Alternative 2 als nur halb so wichtig wie Alternative 1 festgelegt werden. 2. Eine Alternative darf niemals unendlich viel besser als eine andere Alternative sein. 3. Die Entscheidungssituation muss in einer Hierarchie abbildbar sein. Insbesondere muss der Paarvergleich in einer Hierarchieebene unabhängig von den Präferenzen in anderen Hierarchieebenen sein. 4. Sämtliche relevanten Alternativen und Attribute müssen in der Hierarchie enthalten sein. 14

15 2.6 Outranking-Verfahren Schlecht strukturierte Entscheidungsprobleme Outranking-Verfahren unterstützen den Entscheider bei schlecht strukturierten Entscheidungsproblemen oder in Situationen mit unvollständigen Informationen. Z.B. kann der Entscheider oft keine strikte Präferenzordnung über die Handlungsalternativen angeben, wenn er die Ergebnisse verschiedener Handlungsalternativen gar nicht unmittelbar miteinander vergleichen kann oder ihm hierzu die notwendigen Informationen fehlen. Bekannte Beispiele für Outranking-Verfahren sind ELECTRE und PROME- THEE []. ELECTRE ELECTRE [] (Elimination et Choice Translation Reality) wurde in den 60er Jahren entwickelt und später durch zahlreiche Variationen erweitert. Über eine gewichtete, normierte Zielerreichungsmatrix werden so genannte Konkordanzund Diskordanzmatrizen berechnet. Diese enthalten Informationen über die relative Dominanz der Alternativen bezüglich der einzelnen Attribute. Hieraus kann eine Präferenzordnung über alle Alternativen gebildet werden. ELECTRE arbeitet also nicht mit absoluten Dominanzen (eine Alternative dominiert eine andere oder nicht), sondern mit relativen Dominanzen (wie stark dominiert eine Alternative eine andere). 15

16 3 Entscheidung bei Unsicherheit 3.1 Problemstellung Unsicherheit In der Relität kann oft nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden, zu welchem Ergebnis die Wahl einer Alternative führen wird. Das tatsächliche Ergebnis einer Alternativenwahl hängt vom zukünftigen, unbekannten Umweltzustand ab. Entscheidung bei Unsicherheit Wird unter solchen Umständen eine Entscheidung getroffen, so wird dies eine Entscheidung unter Unsicherheit genannt. Im Gegensatz zur Entscheidung bei Risiko liegen bei Unsicherheit keine Wahrscheinlichkeiten über die zukünftigen Ergebnisse bzw. Folgen einer Alternativenwahl vor. Entscheidungen unter Unsicherheit haben nur eine geringe praktische Bedeutung, da sich reale Probleme in der Regel besser durch die Angabe von Wahrscheinlichkeiten, also durch eine Entscheidung bei Risiko beschreiben lassen. 16

17 3.2 Maximin- und Maximax-Strategie Maximin- Strategie Bei der Maximin-Strategie wird diejenige Alternative gewählt, welche im ungünstigsten Fall das beste Ergebnis hat. Die Maximin-Strategie geht gewissermaßen davon aus, dass das worst case -Szenario eintritt und dann das beste Ergebnis realisiert wird. Diese extrem pessimistische Sichtweise ist der größte Nachteil der Maximin- Strategie, da dies nur in seltenen Fällen den Präferenzen des Entscheiders entspricht. Maximax- Strategie Bei der Maximin-Strategie wird diejenige Alternative ausgewählt, welche im günstigsten Fall das beste Ergebnis liefert. Die Maximax-Strategie geht also von einem best case -Szenario aus. Diese optimistische Sichtweise wird jedoch in den meisten Fällen nicht den tatsächichen Präferenzen des Entscheiders gerecht. 17

18 3.3 Hurwicz-Prinzip und Laplace-Regel Hurwicz- Prinzip Das Hurwicz-Prinzip ist ein Kompromiss zwischen Maximin- und Maximax- Strategie. Um eine Alternative zu bewerten sind sowohl der worst case als auch der best case von Bedeutung. Aus diesen beiden Ergebnissen wird ein, mit einem Parameter α gewichteter, Durchschnitt gebildet. Somit kann der Entscheider zum Ausdruck geben, in wieweit er eher eine pessimistische oder eine optimistische Sichtweise des Problems hat. Zur Bestimmung des Parameters α muss der Entscheider angeben, bei welchem Ergebnis er indifferent zwischen zwei Alternativen ist. Hieraus kann der Parameter bestimmt werden. Laplace-Regel Bei der Laplace-Regel wird die Unsicherheit in eine Risikosituation transformiert, indem alle Zustände als gleichwahrscheinlich betrachtet werden. Es wird angenommen, dass unter Unsicherheit für keinen Zustand eine höhere Wahrscheinlichkeit als für die anderen Zustände vorausgesetzt werden kann. Die eigentliche Entscheidung wird dann mit einer Methode zur Entscheidungsfindung bei Risiko bestimmt. Ein wichtiger Kritikpunkt an der Laplace-Regel ist, dass die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes stark davon abhängt, wieviele Zustände definiert werden, d.h. bei drei Zuständen ist die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Zustandes 1/3, wird ein zusätzlicher Zustand definiert nur noch 1/4. 18

19 4 Entscheidungen bei Risiko 4.1 Entscheidungsregeln bei Risiko Praktische Entscheidungssituationen sind meist Situationen unter Risiko, d.h. der Entscheider hat eine Vorstellung darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmter Umweltzustand eintrifft (im Gegensatz zu Entscheidungen unter Unsicherheit, bei denen der Entscheider keine Wahrscheinlichkeiten angeben kann). µ-regel Bei der µ-regel wird der Erwartungswertder Zielgröße als Entscheidungskriterium verwendet. Diejenige Alternative wird ausgewählt, welche diesen Erwartungswert maximiert: max v(a i ) = s p(s j ) v(x ij ) (4) j=1 mit dem Ergebnis der Alternative v(a i ), der Wahrscheinlichkeit des Zustands p(s j ) und dem Ergebnis v(x ij ) der Alternative i im Zustand j. Gibt es mehrere Alternativen mit demselben Erwartungswert, so werden diese als gleichwertig betrachtet. Anwendung der µ-regel Da die µ-regel relativ einfach mit stochastischen Entscheidungsmodellen verknüpft werden kann, ist sie eine der beliebtesten Entscheidungsregeln bei Unsicherheit. Die µ-regel vernachlässigt jedoch die subjektiven Präferenzen und die Risikoeinstellung des Entscheiders (wenn beispielsweise Verluste für den Entscheider sehr viel schwerwiegender sind als Gewinne in der gleichen Höhe). µ, σ-prinzip Das µ, σ-prinzip berücksichtigt neben dem Erwartungswert der Ergebnisse auch das Risiko, indem die Standardabweichungder (zufälligen) Ergebnisse mit einbezogen wird. σ gibt also an, in welchem Umfang die möglicherweise eintretenden Ergebnisse um den Erwartungswert streuen. Ein risikoscheuer Entscheider wird also Situationen mit geringerer Standardabweichung der Ergebnisse bevorzugen, wohingegen ein risikofreudiger Entscheider eine größere Standardabweichung in Kauf nimmt, d.h. akzeptiert 19

20 eine größere positive oder negative Abweichung vom Erwartungswert als der risikoscheue Entscheider. 20

21 4.2 Bernoulli-Prinzip Bernoulli- Prinzip Sowohl die µ-regel als auch das µ, σ-prinzip repräsentieren die Verteilungen der möglichen Ergebnisse durch die Parameter µ, σ. Dies bedeutet einen Informationsverlust gegenüber der expliziten Betrachtung aller möglicher Ergebnisse und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten. Nach dem Bernoulli-Prinzip hingegen wird jedem möglichen Ergebnis ein Nutzen gemäß einer vorher festzulegenden individuellen Nutzenfunktion zugewiesen. Nähere Erläuterungen zur Ermittlung der Nutzenfunktion finden Sie hier. Ergebnis der Berechnungen ist eine Entscheidungsmatrix, welche den Nutzen U(e ij ) der Ergebnisse e ij die Nutzenerwartungswerte für die Alternativen enthält. S 1 S 2... S n Nutzenerwartungswerte A 1 U(e 11) U(e 12)... U(e 1n ) n j=1 p(s j) U(e 1j ) A 2 U(e 21) U(e 22)... U(e 2n ) n j=1 p(s j) U(e 2j ) A m U(e m1) U(e m2)... U(e mn ) n j=1 p(s j) U(e mj ) Diejenige Alternative wird ausgewählt, welche den höchsten Nutzenerwartungswert hat. Anwendung des Bernoulli- Prinzips Wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind, kann das Bernoulli-Prinzip zur Entscheidungsfindung eingesetzt werden: Der Entscheider kann für zwei beliebige Ergebnisse angeben, welches er präferiert bzw. ob er indifferent zwischen den Ergebnissen ist. Die Präferenzordnung über alle Ergebnisse ist transitiv, d.h. aus e i e j und e j e k folgt e i e k 21

22 Der Entscheider kann ein α angeben, bei dem er indifferent zwischen dem sicheren Ergebnis und der Lotterie ist Nebenpfad: Bernoulli-Nutzenfunktion Die Bestimmung der individuellen Nutzenfunktion des Entscheiders ist das eigentliche Problem bei der Entscheidung nach dem Bernoulli-Prinzip. Bernoulli- Befragung Die Nutzenfunktion kann beispielsweise mit einer so genannten Bernoulli-Befragung ermittelt werden. Hierzu wird das für den Entscheider ungünstigste Ergebnis e und das günstigste Ergebnis e* erfragt. Das ungünstigste Ergebnis erhält den Nutzen 0 und das günstigste Ergebnis den Nutzen 1. Alle anderen möglichen Ergebnisse e ij werden vom Entscheider günstiger als e und ungünstiger als e* empfunden. Sicheres Ergebnis vs. Lotterie Um den Nutzen eines Ergebnisses e ij zu bestimmen, wird der Entscheider vor die Wahl gestellt, entweder das sichere Ergebnis e ij zu wählen oder an einer Lotterie teilzunehmen, bei welcher e* mit der Wahrscheinlichkeit α und e mit der Wahrscheinlichkeit 1 α eintritt. Diejenige Wahrscheinlichkeit α, bei welcher der Entscheider indifferent zwischen dem sicheren Ergebnis und der Lotterie ist, wird gleich dem Nutzen U(e ij ) dieses Ergebnisses gesetzt. Bestimmung der Nutzenfunktion Führt man dies für jedes mögliche Ergebnis durch, so erhält man die Nutzenfunktion U.Gibt es sehr viele mögliche Ergebnisse, so wird die Nutzenfunktion bestimmt, indem einige Stützstellen durch eine Bernoulli-Befraagung bestimmt werden und die Nutzenfunktion über diese Stützstelle interpoliert wird. 22

23 5 Mehrperiodige Entscheidungen 5.1 Problemstellung Dynamische Entscheidungen Bei vielen Entscheidungsproblemen müssen im Laufe der Zeit mehrere Entscheidungen getroffen werden. Dabei hängen häufig zeitlich aufeinander folgende Entscheidungen voneinander ab, so dass bei der Modellierung des Problems Interdependenzen zwischen den Entscheidungen berücksichtigt werden müssen. Solche Probleme werden auch mehrstufige Entscheidungsprobleme genannt und die Lösung eines solchen Problems wird auch als Strategie bezeichnet. InterdependenzenDie zu berücksichtigenden Interdependenzen bei einem mehrstufigen Entscheidungsproblem können vielfältig sein: Die Wahl einer Alternative zu einem bestimmten Zeitpunkt kann die in einem späteren Zeitpunkt zur Verfügung stehenden Alternativen und die zukünftigen Zustände beeeinflussen. Das Ergebnis in einem Zeitpunkt hängt in der Regel von der Alternativenwahl aller vorhergehender Zeitpunkte ab. Die Wahrscheinlichkeit des Eintritts eines Zustandes kann von der Eintrittswahrscheinlichkeit vorheriger Zustände abhängen. 23

24 5.2 Entscheidungsbaum Folgen von Zuständen und Handlungsalternativen Eine weit verbreitete Methode zur Analyse mehrstufiger Entscheidungen sind Entscheidungsbäume. In einem solchen Entscheidungsbaum werden Folgen von Zuständen und Handlungsalternativen dargestellt. Der Entscheider hat mehrere Alternativen zur Wahl. Die Auswahl einer Alternative beeinflusst das Eintreten des nächsten Zustandes. Das Eintreten der auf eine Alternativenwahl folgenden Zustände wird vom Entscheider mit einer Wahrscheinlichkeit beziffert. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses als Resultat einer Folge von Handlungsalternativen kann als Produkt der Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden, mit der die Zustände in dieser Folge eintreten. EntscheidungsbaumDie Abbildung zeigt ein Beispiel für solch einen Entscheidungsbaum mit zwei Zustandsebenen (d.h. zwei betrachteten Perioden). 24

25 5.3 Roll-Back-Verfahren Optimale Strategie=Maximaler Erwartungswert Das Roll-Back-Verfahren wird eingesetzt, um die optimale Strategie in einem Entscheidungsbaum zu finden. Die optimale Strategie ist in diesem Sinne diejenige Folge von Handlungsalternativen, welche zum maximalen Erwartungswert des Ergebnisses führt. Hierzu wird der Entscheidungsbaum von rechts nach links aufgerollt. Beginnend mit dem Zustand, der im Entscheidungsbaum am weitesten links steht, d.h. in der zeitlichen Abfolge am spätesten eintreten kann, wird für jeden Zustand der Erwartungswert der Ergebnisse in diesem Zustand berechnet. Die Diashow erläutert das Roll-Back-Verfahren anhand eines Beispiels für einen risikoneutralen Entscheider: Ausgangssituation Beste Entscheidung im Zustand Z1 Erwartungswerte in Z2 und Z3 Beste Entscheidung in Z4 Beste Entscheidung in Z0 Optimale Strategie Die optimale Stragie im obigen Beispiel ist also die folgende: 1. Führe Handlungsalternative A2 mit einem Erwartungswert von 298 Euro durch. 2. Wenn Zustand Z3 eintritt ist das Ergebnis 500 Euro. 3. Wenn Zustand Z4 eintritt, führe Alternative A4 mit dem Erwartungswert 275 Euro durch. 25

26 Risikoscheue und risikofreudige Entscheider Für risikoscheue oder risikofreudige Entscheider kann das Entscheidungsbaumverfahren gleichermaßen angewendet werden. Es müssen dann lediglich statt der Erwartungswerte Nutzenerwartungswerte berechnet werden, indem die Ergebnisse gemäß der Nutzenfunktion des Entscheiders in Nutzenwerte umgewandelt werden. 26

27 5.4 Mathematische Optimierung Hohe Komplexität In vielen Fällen umfasst eine mehrperiodige Entscheidung eine Vielzahl von Handlungsalternativen, Zuständen und Ergebnissen. Dann kann nicht mehr sinnvoll mit einem Entscheidungsbaum gearbeitet werden. Mathematisches Optimierungsmodell Unter diesen Umständen kann die mathematische Optimierung zur Entscheidungsfindung eingesetzt werden ([] S. 297). Hierfür wird das Entscheidungsproblem durch mehrere Zustandsfolgen (in einem Zustandsbaum) betrachtet. Jedem Zustand wird eine Entscheidungsvariable zugeordnet, die ausdrückt, welche Entscheidung in einem Zustand gefällt wird. Weiterhin können den Zuständen Nebenbedingungen zugeordnet werden, welche die möglichen Handlungsalternativen einschränken. In der ZielfunktiondesOptimierungsmodells wird für jede mögliche Zustandsfolge das Ergebnis in Abhängigkeit von der Eintrittswahrscheinlichkeit der Zustandsfolge ausgedrückt. Ein solches Optimierungsmodell lässt sich, je nach den mathematischen Eigenschaften der Zielfunktion und der Nebenbedingungen, mit einer Optimierungsmethode lösen. 27

28 6 Literatur und Methoden 6.1 Einführende Literatur Literaturverzeichnis [] Eisenführ, F./Weber, M.: Rationales Entscheiden. 4. Aufl., Springer, Berlin Heidelberg New York [] Laux, H.: Entscheidungstheorie. %. Aufl., Springer, Berlin Heidelberg New York Saliger, E.: Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie. 4. Aufl., Oldenbourg [] Nitzsch, R. von: Entscheidungslehre. Schäffer-Poeschel, Stuttgart [] Zimmermann, H.-J./Gutsche, L.: Multi-Criteria Analyse. Springer, Berlin Heidelberg New York Weiterführende Literatur Literaturverzeichnis [] Brans, J.P.Vincke, Ph./Mareschal, B.: How to select and how to rank projects: The PROMETHEE method, in: European Journal of Operations Research, Vol. 24, 1986, pp [] Haedrich, G./Kuß, A./Kreilkamp, E.: Der Analytic Hierarchy Process, in: Wirtschaftswissenschaftliches Studium (WiSt), Heft 3, 1986, pp [] Roy, B.: The Outranking Approach and the Foundations of ELECTRE Methods, in: Bana c Costa, C.A. (ed.): Readings in Multiple Criteria Decision Aid, Springer, Berlin Heidelberg New York 1990, pp [] Saaty, Th. L.: The Analytic Hierarchy Process. McGraw-Hill, New York London Methoden Verzeichnis der erläuterten Methoden µ-regel µ, σ-prinzip Analytic Hierarchy Process Einfache Additive Gewichtung Bernoulli-Lotterie Bernoulli-Prinzip 28

29 Dominanz-Strategie ELECTRE Entscheidungsbaum Maximax-Strategie Maximin-Strategie Hurwicz-Prinzip Laplace-Regel Lexikographische Halbordnung Lexikographische Ordnung Roll-Back-Verfahren Saatys Eigenvektor-Methode Zielgewichtung 29