Numerische Strömungssimulation

Transkript

1 V13 1 / 54 Numerische Strömungssimulation Markus Uhlmann Institut für Hydromechanik SS 2010 Bemerkung: Verweise auf zusätzliche Information zum Download erscheinen in dieser Farbe

2 V13 2 / VORLESUNG MATLAB Einführung

3 V13 3 / 54 Fragen, die in dieser Vorlesung diskutiert werden Wie benutzt man MATLAB als Taschenrechner? Wie erstellt und manipuliert man Vektoren? Matrizen und Mehrdimensionale Felder Vektoren/Matrix Opeartionen

4 V13 4 / 54 Fragen, die in dieser Vorlesung diskutiert werden MATLAB als Programmiersprache Kontrollstrukturen Funktionen Datenstrukturen Welche Funktionen stehen zur grafischen Darstellung zur Verfügung?

5 V13 5 / 54 Wozu MATLAB? Motivation Programmstart Werkzeug in Wissenschaft und Technik Numerische Mathematik Datenanalyse Grafische Darstellung Datenerfassung...

6 V13 6 / 54 Wozu MATLAB? (2) Motivation Programmstart Verringerung des Programmieraufwandes Vielzahl von Funktionen vordefiniert Effiziente und präzise numerische Algorithmen Benutzerprogramme sind kompakt Weite Verbreitung

7 V13 7 / 54 Wozu nicht MATLAB? Motivation Programmstart MATLAB ist eine Interpretersprache wenn es auf extreme Effizienz ankommt: Kompilersprache bevorzugt (C, C++, FORTRAN,...)

8 V13 8 / 54 Geschichte Motivation Programmstart entworfen in den 1970ern von C. Moler ursprünglich als Werkzeug in der Lehre (lineare Algebra) MATLAB = MATrix LABoratory seitdem mehrfach umgeschrieben und ständig erweitert

9 V13 9 / 54 Umfang des Programmes Motivation Programmstart integrierte Entwicklungsumgebung Bibliothek mathematischer Funktionen erweiterbar durch Dutzende von Toolboxes Programmiersprache Schnittstellen zu externen Programmen, Geräten

10 V13 10 / 54 Open Source Alternative Motivation Programmstart GNU OCTAVE akzeptiert weitgehend den Syntax von MATLAB (Homepage)

11 13 11 / 54 Motivation Programmstart Entwicklungsumgebung Oberfläche: Kommandofenster, Variablenbersicht,... Editor/Debugger starten durch Klicken auf Dateiname

12 V13 12 / 54 Erste Schritte Motivation Programmstart Interaktion meist über Kommandozeile Eingabeaufforderung mit >> dargestellt Hilfe über Kommandozeile: >> help topic z.b >> help general über Menü Help Demos: >> help demo weitere Ressourcen zu MATLAB: siehe Anhang

13 V13 13 / 54 Grundlagen Felder MATLAB als Taschenrechner Eintippen in Kommandozeile (gefolgt durch Enter ): >> 2+3/4*5 ans = Hinzufügen eines Semikolons: keine Ausgabe >> 2+3/4*5; Priorität der Operatoren: (),^,*/,+-

14 13 14 / 54 Variablen Grundlagen Felder Variablen werden in der Regel nicht deklariert numerische Daten: intern als double precision behandelt Variablennamen: 1 Buchstabe, gefolgt von Buchstaben/Zahlen/Underscore; max. Länge: 63 Gross- & Kleinschreibung! legal: MeineVariable, guter Name illegal: 1Variable, var-vec, &fach

15 Zahlenformate Grundlagen Felder Numerische Typen in MATLAB Typ Beispiel Ganzzahl -156 reelle Zahl (wissenschaftliche Notation: 6.34e-2) komplexe Zahl i*5.47 (i = 1) Inf (Unendlich) Teilen durch 0 NaN ( Not a Number ) 0/0 oder Inf - Inf Ausgabeformat wird durch format kontrolliert Bsp.: >> x= >> x = >> format long; >> x= >> x = V13 15 / 54

16 V13 16 / 54 Konstanten Grundlagen Felder Vordefiniert in MATLAB pi, Kreiskonstante π eps, Präzision der Gleitkommaarithmetik i,j, imaginäre Einheit 1 Vorsicht: alle Konstanten können vom Benutzer berschrieben werden

17 V13 17 / 54 Eingebaute Funktionen Grundlagen Felder Trigonometrie: sin, cos, tan,... Exponentiale: exp, log, sqrt,... komplexe Zahlen: abs, imag, real,... Rundung: round, mod, sign,... Übersicht über die grundlegenden Funktionen: >> help elfun oder specfun oder elmat

18 V13 18 / 54 Grundlagen Felder Arbeiten mit aufgezeichneten Kommandos/Programmen Verschiedene Optionen 1. Aufzeichnen der eingegebenen Kommandos einer Session: diary 2. Speichern des momentanen Zustandes (gesamter Speicher): save 3. Editieren/Aufrufen von eigenen Skripten: M-Files

19 V13 19 / 54 Aufzeichnen mit diary Grundlagen Felder diary( dateiname ) startet Aufzeichnung aller Kommandos und deren Resultate in Datei Datei kann mit Texteditor bearbeitet werden diary on und diary off schalten Aufzeichnung ein/aus

20 V13 20 / 54 Grundlagen Felder Sichern des Arbeitsspeichers mit save save( dateiname ) sichert die Werte aller momentanen Variablen in einer binären Datei dateiname.mat Datei kann durch load( dateiname ) geladen werden Anzeige der momentan aktiven Variablen & -dimensionen: >> whos mehr Information: >> help save und >> help load

21 V13 21 / 54 Grundlagen Felder Erzeugen von MATLAB-Scripts in Textfiles M-Files Editieren in eingebautem Editor (oder beliebigem Texteditor) Kommentarzeilen starten mit % Speichern als: dateiname.m Laden in MATLAB durch Dateinamen (ohne.m ): >> dateiname

22 V13 22 / 54 Felder in MATLAB Grundlagen Felder Matrizen als grundlegende Elemente MATLAB arbeitet in der Regel mit Matrizen (2-dimensionalen Feldern) ein Skalar ist eine Matrix mit einem einzigen Element (1x1) ein Zeilenvektor ist eine Matrix mit einer Zeile (1xN) ein Spaltenvektor ist eine Matrix mit einer Spalte (Nx1) Mherdimensionale Felder sind möglich Dimension eines Ausdruckes: size(ausdruck)

23 V13 23 / 54 Vektoren Grundlagen Felder Zeilenvektoren Liste von Ausdrücken, durch Komma oder Leerzeichen getrennt, in eckigen Klammern. Beispiel eines Zeilenvektors mit 3 Elementen: >> vec = [1 3, sqrt(5)] vec = >> size(vec) ans = 1 3 >> length(vec) ans = 3

24 Grundlagen Felder Operationen mit Vektoren Arithmetik Addition/Subtraktion von Vektoren gleicher Länge: +, - Multiplikation von Skalar und Vektor: * Beispiel: >> avec = [1 3 5]; bvec = [1 1 4]; avec-2*bvec = Operationen, die elementweise ausgeführt werden:.*./.^ (Produkt, Division, Potenz) Beispiel: >> avec = [1 3 5]; bvec = [1 1 4]; avec.*bvec = V13 24 / 54

25 V13 25 / 54 Spaltenvektoren Grundlagen Felder wie Zeilenvektoren, aber Elemente durch Semikolon oder Zeilenende getrennt. Beispiel: Erzeugung eines Spaltenvektors mit 3 Elementen >> svec = [1; 3; sqrt(5)] svec = >> size(svec) ans = 3 1 >> length(svec) ans = 3

26 V13 26 / 54 Transponieren von Vektoren Grundlagen Felder Der Hochkomma-Operator Umwandeln von Zeilen- in Spaltenvektoren (und umgekehrt): >>vektor Beispiel: >> zvec= [1 3 5], svec = [1; 3; sqrt(5)] zvec = svec = >> zvec+2*svec ans =

27 V13 27 / 54 Arbeiten mit Vektoren Grundlagen Felder Reduktionsoperationen Summieren der Elemente eines Vektors: sum Beispiel: >> vec = exp((1:20)/20); % erzeugt vektor der laenge 20 >> sum(vec) % summiert die elemente ans = Produkt der Elemente eines Vektors: prod Maximal-/Minimalwert der Elemente eines Vektors: max, min

28 V13 28 / 54 Auffinden bestimmter Elemente Die Funktion find Grundlagen Felder ermittelt Indizes von Elementen, welche eine vorgegebene Bedingung erfüllen: index vec = find(bedingung) Beispiel: Funktionswerte mit mindestens 90% des Maximalwertes bestimmen. x=(0:100)/100; y=sin(2*pi*x).^2.*exp(3*x); index=find(y>=0.9*max(y)); plot(x,y, k-o ); hold on; plot(x(index),y(index), ro ); plot([0 1],[1 1]*.9*max(y), k-- ); Nutzung der Funktion find führt zu extrem effizientem Code

29 13 29 / 54 Grundlagen Felder Weitere nützliche Vektoroperationen Sortieren der Elemente: Unterdrückung von Mehrfacheinträgen: Abfrage ob leeres Feld: (Erzeugung eines leeren Feldes mit: [] )... sort unique isempty

30 V13 30 / 54 Matrizen Grundlagen Felder Definition Matrix = rechteckige Anordnung von Zahlen (Zeilen, Spalten) Bedeutung in linearer Algebra Matrizen in MATLAB Matrix = zweidimensionales Feld Dimension: (M N), M Zeilen, N Spalten viele mathematische Operationen zur Auswahl

31 V13 31 / 54 Generieren von Matrizen Grundlagen Felder Direkte Eingabe analog zu Vektoren: Elemente in eckigen Klammern, Zeilenende durch Semikolon markiert Beispiel: (2 3) Matrix >> Amat=[1, 2, 5; 3, 1, 4] % oder auch: Amat=[1 2 5; 3 1 4] >> Amat = >> size(amat) >> ans = 2 3

32 Generieren von Matrizen (2) Grundlagen Felder MATLAB Funktionen zur Initialisierung Matrizen mit konstanten Einträgen: ones, zeros zufällige Einträge: rand Identitätsmatrix: eye Matrix mit einer besetzten Diagonalen: diag Beispiele: konstante (3 2) Matrix diagonale (3 3) Matrix >> Bmat=ones(3,2)*5 >> Bmat = >> Cmat=diag([1 2 3]) >> Cmat = / 54

33 13 33 / 54 Generieren von Matrizen (3) Grundlagen Felder MATLAB Funktionen zur Initialisierung Matrix erzeugung durch Verkettung/Aneinanderreihung von (Teil-)Matrizen Dimension beachten konstante (3 2) Matrix diagonale (3 3) Matrix >> Amat = >> Cmat = >> Cmat =[A B] >> Cmat =

34 Grundlagen Felder Der Doppelpunkt-Operator a:b:c ist Abkürzung für: Vektor mit Elementen von a bis c, Schrittweite b Beispiel: >> 1:2:10 ans = >> 5:-1:3 ans = Initialisieren eines Vektors/ Auswählen von Teilbereichen Beispiel: >> vec=(1:2:10) ans = >> vec(2:4) ans = weitere Information: >> help colon V13 34 / 54

35 V13 35 / 54 Indizierung von Matrizen Grundlagen Felder Ansprechen einzelner Elemente Indexpaar, durch Komma getrennt: >> Amat(i,j) Mehrere Elemente Indexbereich mit Doppelpunkt: >> Amat(3:6,j) gesamter Bereich mit Doppelpunkt >> Amat(:,j) Schlüsselwort end für obere Grenze: >> Amat(i,3:end) Indexvektoren: >> Amat([2 5],j) Ausprobieren! (z.b. getting started zum Thema Matrizen)

36 V13 36 / 54 Grundlagen Felder Lösung linearer Gleichungssysteme Problemstellung technische Probleme oft große lineare Gleichungssysteme A x = b Matrix A, Vektoren x, b gegeben: A, b; gesucht: x Lösung: x = A 1 b Lösung mit MATLAB backslash Operator: >> x = A\b MATLAB wählt je nach Fall die effizienteste Methode Hilfe hierzu: >> help slash (Link zur Online Information zu linearer Algebra in MATLAB)

37 Kontrollstrukturen Kontrollstrukturen Funktionen Datenstrukturen Bedingungen Mehrstufige Auswahl: if...elseif...else...end Vergleichsoperatoren: <, <=, >, >=, ==, ~= Logische Verknüpfungen: Hilfe zu den Vergleichsoperatoren: Beispiel: if max(vec)<0 % vec sei ein gegebener vektor disp( alle Elemente negativ ) elseif max(vec)==0 disp( alle Elemente nicht-positiv ) elseif isempty(vec) disp( leeres Feld ) else disp( positives Maximum ) &,, ~, xor >> help relop end V13 37 / 54

38 V13 38 / 54 Schleifen Kontrollstrukturen Funktionen Datenstrukturen Zählergesteuert for zaehler=ausdruck...end Beispiel: vec=[1 5 13]; for index=1:length(vec) disp(vec(index)) end Bedingungsgesteuert while ausdruck...end Beispiel: a=6; while a>0 a=a-rand; end

39 13 39 / 54 Funktionen Kontrollstrukturen Funktionen Datenstrukturen Programmtext in sog. M-Files Programm ohne jegliche Parameter: Script Programmteil mit übergabe von Parametern: Funktion Struktur einer Funktion: Datei funktionsname.m function [output params]= funktionsname(input params) % Kommentare, Hilfstext...Kommandos... end

40 V13 40 / 54 Kontrollstrukturen Funktionen Datenstrukturen Funktionen (2) Beispiel Funktion zur Bestimmung der Standardabweichung Datei standardabweichung.m function [sigma]= standardabweichung(vec) % Standardabweichung eines Vektors mittelwert=sum(vec)/length(vec); sigma= sqrt(sum((vec-mittelwert).^2)/length(vec)); end Aufruf: >> myvec=[ ]; >> sigma=standardabweichung(myvec) >> sigma =

41 V13 41 / 54 Kontrollstrukturen Funktionen Datenstrukturen Typische MATLAB Programmstruktur MATLAB-Script fungiert als Hauptprogramm Aufruf beliebiger Anzahl von Funktionen (siehe Beispiel Pendel weiter unten) Achtung: alle M-Files des Projekts müssen auffindbar sein (siehe: >> help path)

42 V13 42 / 54 Kontrollstrukturen Funktionen Datenstrukturen Benutzerdefinierte Datenstrukturen Verschiedene Datentypen/-längen in einer Struktur Erzeugung (ohne Deklaration) durch Zuweisung an Elemente: >> NeueStruktur.name= Hans Meier ; >> NeueStruktur.alter=27; >> NeueStruktur.ruhepuls=42 >> NeueStruktur = name: Hans Meier alter: 27 ruhepuls: 42 Details hierzu: >> help struct

43 V13 43 / 54 Liniendiagramme Einfache Diagramme plot(x,y) Liniendiagramm mit Wertepaaren (x, y) Beispiel: >> x=(0:100)/100;y=sin(2*pi*x); >> plot(x,y); erzeugt: Linientypen, Farbe, Strichstärke, etc.: >> help plot

44 V13 44 / 54 Beschriftung von Diagrammen Einfache Diagramme xlabel( text ) erzeugt Beschriftung der horizontalen Achse analog: ylabel, title, legend Beispiel: >> x=(0:100)/100;y=sin(2*pi*x); >> plot(x,y);xlabel( x-achse );ylabel( y-achse ); >> title( Linienplot );legend( sin(2*pi*x) ); erzeugt:

45 V13 45 / 54 Mehrfache Liniendiagramme Einfache Diagramme mehrere Wertepaare in einem Kommando: plot(x1,y1,x2,y2,...) mehrere Kommandos, Festhalten durch hold: plot(x1,y1);hold on;plot(x2,y2); Beispiel: >> x=(0:100)/100;y1=sin(2*pi*x);y2=cos(2*pi*x); >> plot(x,y1,x,y2);legend( sin(2*pi*x), cos(2*pi*x) );

46 Einfache Diagramme Verndern des Achsenbereiches axis([x1 x2 y1 y2]) setzt Ober- und Untergrenzen Beispiel: >> axis([ ]); V13 46 / 54

47 V13 47 / 54 Einfache Diagramme Weitere Eigenschaften von Diagrammen Benutzen der Handles von objekten ein Handle ist die Identifikation eines objektes Bsp.: h=plot(x,y), Handle gespeichert in Variable h dient der Referenzierung (ähnlich Zeiger auf Objektdaten) Auflisten der Eigenschaften: get(h) Verändern von Eigenschaften: set(h, Eigenschaft,Wert) Beispiel: Linienfarbe auf rot, Linientyp auf gestrichelt setzen set(h, Color, r, LineStyle, -- )

48 13 48 / 54 Export von Diagrammen Einfache Diagramme Gängige formate print -d format dateiname erzeugt datei namens dateiname im Format format typische Formate: Postscript (eps), JPEG (jpeg), TIFF (tiff), PNG (png),... Ausgabe als MATLAB Diagrammobjekt hgsave(handle, dateiname ) erzeugt MATLAB-spezifische datei namens dateiname Laden der Gafik durch hgload( dateiname ) Vorteil: Diagramm kann weiterbearbeitet werden (3D!)

49 V13 49 / 54 Beispiele Einfache Diagramme Zufallsvariablen Erzeugung von Daten mit der rand Funktion Analyse, grafische Darstellung der Daten Bewegung eines Doppelpendels (MATLAB Code)

50 V13 50 / 54 Zusammenfassung Aufgaben Literatur MATLAB direkt anwendbar auf Vektoren Stärken: numerische Mathematik, Datenanalyse, effizientes durch mächtigen Befehlssatz weitreichende möglichkeiten

51 V13 51 / 54 Aufgaben Literatur Aufgaben zum Nachdenken/Ausprobieren Erklären Sie die Ausgabe erzeugt durch folgende Anweisungen: t=0.1 n=1:10 e=n/10-n*t Erzeugen Sie einen Vektor mit 10 gleichmässig verteilten Werten im Intervall [0, 1] (einschlielich der Randwerte). Plotten Sie die Exponentialfunktion e x an den oben bestimmten Stützstellen im Intervall [0, 1].

52 V13 52 / 54 Aufgaben Literatur Aufgaben zum Nachdenken/Ausprobieren Schreiben Sie eine Funktion, die einen Vektor (mit numerischen Daten) mittels bubble sort in aufsteigender Reihenfolge sortiert. Vergleichen Sie die Ausführungszeit Ihrer Funktion mit der Zeit, die die MATLAB Funktion sort benötigt. (Hinweis: Zeitmessung mit Hilfe von tic,toc) Erzeugen Sie ein Diagramm mit einem Kreis mit Radius r = 1.5. (Hinweis: das Achsenverhältnis eines Diagramms kann mit dem Befehl axis kontrolliert werden.)

53 V13 53 / 54 Aufgaben Literatur Weiterführendes Material zu MATLAB Information auf der Seite des Herstellers Mathworks Skripte in deutscher Sprache: S1, S2 Englischsprachige Skripte: Moler, Dundee Deutschsprachige Bücher: B1, B2, B3, B4