Aufgabe. (8 Punkte) Es sei (G, ) eine Gruppe und e G ihr neutrales Element. Für h G sei µ h : G G die Abbildung, die durch g G : µ h (g) := h g gegeben ist. a) Zeigen Sie, dass für jedes h G die Abbildung µ h bijektiv ist und dass µ h (g) = g für ein g G genau dann gilt, wenn h = e G. b) Seien nun G kommutativ, n N und g,..., g n G. Zeigen Sie, dass dann für jedes h G gilt: µ h n(g g 2... g n ) = µ h (g ) µ h (g 2 )... µ h (g n ). c) Nun sei G kommutativ und bestehe aus genau n N Elementen g,..., g n. Folgern Sie aus den ersten beiden Teilaufgaben, dass jedes h G die Eigenschaft h n = e G hat. a) Die Abbildung µ h ist injektiv, da für alle g, g 2 G gilt: µ h (g ) = µ h (g 2 ) h g = h g 2 h (h g ) = h (h g 2 ) (h h) g = (h h) g 2 e G g = e G g 2 g = g 2. Die Abbildung µ h ist surjektiv, da für alle g G gilt: Daher ist µ h bijektiv. Zudem folgt aus µ h (g) = g auch µ h (h g) = h h g = g. h g = g h g g = g g h e G = e G h = e G b) Es gilt nach Definition von µ h : µ h (g ) µ h (g 2 )... µ h (g n ) = h g h g 2 h g n. Da G kommutativ ist, kann man hier auf der rechten Seite die Faktoren vertauschen und den n-fach auftretenden Faktor h voranstellen: h g h g 2 h g n = h n g g 2... g n = µ h n(g g 2... g n ). Die letzte Gleichheit ist die Definition von µ h n. c) Da µ h nach (a) bijektiv ist, ist G = {µ h (g ),..., µ h (g n )}. Da G zudem kommutativ ist, kommt es auf die Reihenfolge der Faktoren nicht an, und es folgt mit (b) g g n = µ h (g ) µ h (g 2 )... µ h (g n ) = µ h n(g g n ). Aus der letzten Behauptung in (a) folgt dann h n = e G.
Aufgabe.2 (8 Punkte) Es sei V der R -Vektorraum der reellwertigen Folgen. Weiter sei U := {(a i ) i N V i N : a i+2 = a i + a i+ } V. a) Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von V ist. b) Bestimmen Sie die Dimension von U. c) Für F = (a i ) i N U sei Φ(F ) die Folge (a i+ ) i N. Begründen Sie, wieso die so definierte Abbildung Φ ein Endomorphismus von U ist. a) Die Menge U ist nicht leer, da die Nullfolge darin liegt. Wenn weiter a = (a i ) i N und b = (b i ) i N Elemente von U sind und x, y R, dann liegt auch die Folge c := xa + yb mit den Folgengliedern c i = xa i + yb i in U, denn für jedes i N gilt: c i+2 = xa i+2 +yb i+2 = x(a i +a i+ )+y(b i +b i+ ) = xa i +yb i +xa i+ +yb i+ = c i +c i+. Nach dem Untervektorraumkriterium ist demnach U ein Untervektorraum von V. b) Es sei f die Folge in U, die mit den Folgengliedern f = und f 2 = beginnt. Dann berechnen sich rekursiv die weiteren Folgenglieder durch f i+2 = f i + f i+, also f 3 =, f 4 = 2, f 5 = 3, f 6 = 5, f 7 = 8,.... Analog sei g die Folge in U, die mit den Folgengliedern g =, g 2 = beginnt. Dann gilt g 3 =, g 4 =, g 5 = 2, g 6 = 3, g 7 = 5,... f und g sind linear unabhängig, da xf + yg als erste Folgenglieder gerade y und x hat, also nur dann wird, wenn x und y selbst sind. Für eine beliebige Folge a = (a i ) i N aus U ist dann a a g a 2 f eine Folge aus U, deren erste zwei Folgenglieder sind, und wegen der Rekursionsbedingung an die Folgen in U sind dann auch alle weiteren Folgenglieder. Also ist a = a g + a 2 f, und f und G erzeugen U. Damit hat U die Basis {f, g}, ist also zweidimensional. c) Für a U ist b = Φ(a) ebenfalls in U, denn für das i -te Folgenglied gilt b i = a i+, und damit ist b i+2 = a i+3 = a i+ + a i+2 = b i + b i+. Weiter gilt für zwei Folgen a, b U und x, y R, dass die Folge c = xa + yb mit Folgengliedern c i = xa i + yb i als Bild die Folge Φ(c) mit den Folgengliedern c i+ = xa i+ + yb i+ hat, also Φ(c) = xφ(a) + yφ(b) gilt. Damit ist Φ : U U linear, also ein Endomorphismus von U.
Aufgabe.3 (8 Punkte) Sei 2 3 4 A = 2 3 4 5 R 3 4. 3 4 5 6 Bestimmen Sie a) die (normierte!) Treppenform T R 3 4 von A sowie eine Matrix C GL 3 (R), sodass T = C A gilt. b) die Menge L T aller Matrizen M R 3 3 mit M T =. c) die Menge L A aller Matrizen N R 3 3 mit N A =. d) die Menge L A,T aller Matrizen D R 3 3 mit D A = T. a) Wir führen den Gauß-Algorithmus durch und merken uns dabei jeweils, welche Matrizen für die Zeilenumformungen benötigt werden, indem wir die erweiterte Matrix (A I 3 ) transformieren. Die letzten drei Spalten bilden dann eine passende Matrix C. ( 2 3 4 2 3 3 4 4 5 5 6 ) + ( 3 2 ) 3 3 + ( ) 2 3 4 + 3 2 4 6 3 ( 3 2 ) 2 3 2 Damit ist 3 2 T = 2 3 und zum Beispiel C = 2. b) Aufgrund der Bestimmung von T ist x L T = y x, y, z R z offensichtlich. c) Wegen NA = NC T ist x x x L A = {MC M L T } = y y y x, y, z R. z z z d) Wegen DA = T = CA (D C)A = gilt L A,T = {C + N N L A }. +
Aufgabe.4 (8 Punkte) Es sei V R[X] ein reeller Untervektorraum des Polynomringes über R. a) Zeigen Sie, dass für jedes a R die Auswertungsabbildung E a : V R, f E a (f) := f(a) eine Linearform ist. b) Für V = {f R[X] Grad(f) 2} ist B := { X 2 +, 2 (X2 X), 2 (X2 + X)} eine Basis von V. Bestimmen Sie a, b, c R, sodass die Linearformen E a, E b, E c die zu B duale Basis des Dualraumes V bilden. c) Nun sei V R[X] endlich-dimensional, dim(v ) 3, und B V eine Basis, die das Polynom X 2 enthält. Begründen Sie, wieso die zu B duale Basis nicht nur aus Linearformen der Gestalt E a wie in Teil a) bestehen kann. a) Für f = c + c X + c 2 X 2 + + c n X n und g = d + d X + + d n X n (wobei n das Maximum der Grade von f und g sei) sowie λ R gilt E a (f +g) = E a ( und (c i +d i )X i ) = i= E a (λf) = Damit ist E a eine Linearform. (c i +d i )a i = i= λc i a i = λ i= c i a i + i= d i a i = E a (f)+e a (g) i= c i a i = λe a (f). b) Wir nennen die drei Funktionen der Basis in der Reihenfolge ihres Auftretens f, g, h. Nun müssen wir a, b, c R finden, sodass E a, E b und E c dazu dual sind, das heißt konkret: f(a) =, g(a) = h(a) =, f(b) = h(b) =, g(b) =, f(c) = g(c) =, h(c) =. Die einzige gemeinsame Nullstelle von g und h ist, und f() =. Die einzige gemeinsame Nullstelle von f und h ist, und g( ) =. Die einzige gemeinsame Nullstelle von f und g ist, und h() =. Also sind a =, b =, c = eine gute Wahl. c) Sei d = dim V. Zu der dualen Basis von B gehören d Linearformen, die bei X 2 den Wert annehmen. Wenn diese alle von der Gestalt E a wären, dann müsste X 2 mindestens d Nullstellen in R besitzen, was den Widerspruch d 2 nach sich zieht. i=
Aufgabe.5 (8 Punkte) In Abhängigkeit von a R sei A R 4 4 die Matrix 3 3 2 A = 4 2 2 4 3. 4a 3a 2a a Weiter sei Φ = Φ A : R 4 R 4 der Endomorphismus von R 4, der durch v Φ(v) := A v gegeben ist. a) Bestimmen Sie die Dimension des Eigenraumes Eig(Φ, ) und weisen Sie nach, dass ein Eigenwert von Φ ist. b) Wählen Sie eine Basis des Eigenraumes Eig(Φ, ) und ergänzen Sie diese zu einer Basis B von R 4. Bestimmen Sie dann die Abbildungsmatrix D BB (Φ). c) Entscheiden Sie, für welche Werte von a der Endomorphismus Φ diagonalisierbar ist. a) Der Eigenraum Eig(Φ, ) ist der Kern der Matrix A ( ) I 4 = A + I 4, also 4 3 2 Kern 4 3 2 4 3 2 4a 3a 2a a Diese Matrix hat Rang, ihr Kern ist also nach der Dimensionsformel dreidimensional. Jedes von verschiedene Element im Eigenraum ist ein Eigenvektor von Φ zum Eigenwert, es gibt also solche Eigenvektoren, und damit ist ein Eigenwert von Φ. b) Eine Basis des Eigenraums sieht man der Matrix aus Teil (a) an, zum Beispiel,, 4 3 Wir nennen diese drei Vektoren in der Reihenfolge b, b 2, b 3 und ergänzen sie durch b 4 := e 4 (vierter Vektor der Standardbasis) zu einer Basis B von R 4. Φ(b 4 ) = = b + b 2 + b 3 + (8 + a)b 4 a Da die anderen drei Basisvektoren Eigenvektoren sind, ist die Abbildungsmatrix D BB (Φ) =. 8 + a
c) Die Eigenwerte von Φ sind und 8 + a, wie man der Abbildungsmatrix aus (b) ansieht (Dreiecksmatrix!). Der Eigenraum zu hat für jedes a die Dimension 3. Damit ist Φ genau dann diagonalisierbar, wenn nicht der einzige Eigenwert ist, wenn also a 9.
Aufgabe.6 (8 Punkte) Für reelle Parameter a, b und n N sei die n n-matrix A n = (a i,j ) i,j n durch a, falls i = j, a i,j = b, falls i j =,, sonst. definiert Berechnen Sie det(a ), det(a 2 ) sowie det(a 3 ) und leiten Sie eine rekursive Formel zur Berechnung von det(a n ) her. Die Matrix sieht wie folgt aus: a b.... b a b... A n =............. b a b... b a Es gilt det(a ) = det((a)) = a, det(a 2 ) = det (( a b b a)) = a 2 b 2, a b det(a 3 ) = det b a b = a 3 2b 2 a. b a Dabei haben wir in der dritten Zeile die Regel von Sarrus angewandt. Nun sei n 3. Wir entwickeln det(a n ) nach der letzten Zeile: wobei B die (n ) (n ) -Matrix det(a n ) = a det(a n ) b det(b), B = A n, b b deren letzte Spalte b e n ist. Entwickeln nach der letzten Spalte zeigt det(b) = b det(a n ) und damit det(a n ) = a det(a n ) b 2 det(a n ).