Perkolation Zusammenhang mit RG 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 1
Agenda 1.1 Einführung und Motivation 1.2 Grundlagen 2.1 Erzeugende Funktion 2.2 Perkolation in einer Dimension 2.3 Perkolation auf einem Cayley-Baum 3.1 RG hierarchisches Gitter 3.2 RG Dreiecksgitter 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 2
Einführung Was ist Perkolation? geometrisches Objekt ~> Gitter Wahrscheinlichkeit : Teilstück des Objekts existiert ~> besetzter Gitterpunkt (Besetzungsperkolation; Verbindungsperkolation) Untersuchung der entstehenden Strukturen ~> Clustergröße, Perkolationsschwelle Anwendungen? 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 3 [1]
Motivation Anwendbar auf viele chemische und physikalische Phänomene Eindringen einer Flüssigkeit in ein poröses Medium Ausbreitung eines Feuers Elektrische Leitfähigkeit zusammengesetzer Stoffe Sol-Gel Übergang... [2] 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 4
Grundlagen - Begriffe Besetzungswahrscheinlichkeit Clusterzahl Perkolationsschwelle Größenverteilung Skalierung: Anteil Cluster Größe Anordnungen ~> Kritischer Exponent ~> lattice Animals Wichtig: ohne unendlichen Cluster Anteil des unendlichen Clusters Ordnungsparameter Skalierung: ~> Kritischer Exponent 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 5
Grundlagen - weitere Größen Wkt. Knoten ist Teil eines -Clusters: Wkt. Knoten eines endlichen Clusters ist Teil eines -Clusters: Mittlere Anzahl Knoten in endlichen Clustern Skalierung: ~> Kritischer Exponent 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 6
Grundlagen - weitere Größen Radius eines -Clusters Fraktale Dimension des Clusters Korrelationslänge Skalierung: ~> Kritischer Exponent [1] 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 7
Grundlagen - Skalierungshypothese Allgemeines Problem: Exakte Bestimmung von Ansatz: Skalierungshypothese a priori unbekannt nahe und Kritische Exponenten durch ausdrückbar 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 8
Erzeugende Funktion Hilfsmittel zur Berechnung Gegeben über Moment der Ordnung von über Differenziation 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 9
Perkolation in einer Dimension Clustergrößenverteilung gegeben über Lösung exakt möglich Erzeugende Funktion ~> 0. Moment: Clusterzahl ~> 1. Moment: Ordnungsparameter Vergleich: ~>... 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 10
Perkolation auf einem Cayley-Baum Jeder Knoten hat nächste Nachbarn Keine Schleifen Selbstähnlich Betrachte Verbindungsperkolation Bestimmung der Perkolationsschwelle Wähle Startpunkt, gehe nach außen Verbindungen existieren Statistische Unabhängigkeit der Schritte kein unendlicher Cluster Weitere Berechnungen möglich 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 11
Renormierungsgruppe hierarchisches Gitter Hierarchisches Diamantgitter unendlich viele nächste Nachbarn selbstähnlich exakte RG-Transformation selbst wenig physikalische Bedeutung ~> ähnelt RG-Transformation des quadratischen Bravais-Gitters [4] RG-Schritt invertiert Konstruktion 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 12
Renormierungsgruppe hierarchisches Gitter Mögliche Zustände und statistische Gewichte mit Drei Fixpunkte Fixpunkt bei Fixpunkt bei kritischer Fixpunkt 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 13
Renormierungsgruppe Dreiecksgitter Betrachte Besetzungsperkolation Mehrheitsprinzip-RG-Transformation Mögliche Zustände und statistische Gewichte Perkolationsschwelle Selbstähnlich exakt [4] 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 14
Renormierungsgruppe Dreiecksgitter Kritischer Exponent Theoriewert: gute Übereinstimmung nicht selbstverständlich verbunden nicht verbunden nicht verbunden verbunden 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 15
Quellen [1] Drossel, Barbara: Komplexe dynamische Systeme, Manuskript zur Vorlesung, Darmstadt, 2016 [2] eigene Arbeit R. J. Creswick, Horacio A. Farach, Charles P. Poole: Introduction to renormalization group methods in physics, John Wiley and Sons Ltd, New York (1992) R. J. Creswick, Horacio A. Farach, Charles P. Poole: Introduction to renormalization group methods in physics, John Wiley and Sons Ltd, New York (1992) überarbeitet 19.07.2017 TU Darmstadt Fachbereich Physik Johannes Reinhard 16