eseprobe Kuckertz Grundlagen Wechselstrom EEKTOTEHNK / EEKTONK Studienbrief -050-100. Auflage 007 HD HOHSHVEBND DSTANE EANNG
Verfasser: Prof. Dipl.-ng. Heinz Kuckertz Professor für Elektrotechnik und egelungstechnik im Fachbereich Produktions- und Verfahrenstechnik an der Fachhochschule Braunschweig / Wolfenbüttel Der Studienbrief wurde auf der Grundlage des urriculums für das Studienfach Elektrotechnik / Elektronik verfasst. Die Bestätigung des urriculums erfolgte durch den Fachausschuss Grundständiges Fernstudium Wirtschaftsingenieurwesen, dem Professoren der folgenden Fachhochschulen angehörten: HS Anhalt, FHTW Berlin, TFH Berlin, HTWK eipzig, HS Magdeburg-Stendal, HS Merseburg, HS Mittweida, FH Schmalkalden, FH Stralsund, TFH Wildau und WH Zwickau. edaktionsschluss: August 007., aktualisierte Auflage 007 007 by Service-Agentur des Hochschulverbundes Distance earning mit Sitz an der FH Brandenburg. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten echte, insbesondere das echt der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung und des Nachdrucks, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form ohne schriftliche Genehmigung der Service-Agentur des HD reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Service-Agentur des HD (Hochschulverbund Distance earning) eiter: Dr. einhard Wulfert c/o Agentur für wissenschaftliche Weiterbildung und Wissenstransfer e. V. Magdeburger Straße 50, 14770 Brandenburg Tel.: 0 33 81-35 57 40 E-Mail: kontakt-hdl@aww-brandenburg.de Fax: 0 33 81-35 57 49 nternet: http://www.aww-brandenburg.de
Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Wechselstrom nhaltsverzeichnis Einleitung... 7 iteraturempfehlung... 8 1 Schaltvorgänge bei Gleichstrom... 8 1.1 Ein- und Ausschaltvorgänge beim Kondensator... 8 1.1.1 Einschaltvorgang am Kondensator... 9 1.1. Ausschaltvorgang am Kondensator... 1 1. Ein- und Ausschaltvorgang bei der nduktivität... 15 1..1 Einschaltvorgang im Stromkreis mit einer nduktivität... 16 1.. Ausschaltvorgang im Stromkreis mit einer nduktivität... 19 Wechsel- und Drehstrom... 0.1 Wechselstrom... 1.1.1 Erzeugen einer Wechselspannung... 1.1. Definitionen und Zeigerdarstellung... 3. Wechselstromwiderstände... 8..1 Ohmscher Widerstand... 8.. nduktiver Blindwiderstand... 9..3 Kapazitiver Blindwiderstand... 30..4 eihenschaltung von Wechselstromwiderständen... 3..5 Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen... 37.3 Wechselstromnetze mit veränderlicher Frequenz... 39.3.1 eihenschwingkreis... 39.3. Tiefpass... 41.3.3 Hochpass... 43.4 eistung im Wechselstromkreis... 45.4.1 Wirkleistung... 45.4. Blindleistung... 47.4.3 eistung bei gemischten Wechselstromverbrauchern, Scheinleistung... 48.5 Drehstrom-Netz... 54.5.1 Erzeugen der Dreiphasenwechselspannung... 54.5. Das Drehstromnetz... 55.5.3 Ströme und Drehstromverbraucher... 57.5.4 eistung, Arbeit und eistungsfaktor im Drehstromnetz... 63.6 Frequenzanalyse... 64 Antworten zu den Kontrollfragen und ösungen zu den Übungsaufgaben... 69 iteraturverzeichnis... 7
Grundlagen Wechselstrom Elektrotechnik / Elektronik Verzeichnis der Formelzeichen Physikalische Größe Formelzeichen Einheit Physikalische Einheit Kapazität 1 F = 1 As/V Farad eistungsfaktor cos ϕ Frequenz f 1 Hz = 1/s Hertz, 1/Sekunde esonanzfrequenz f 0 1 Hz = 1/s Grenzfrequenz f g 1 Hz = 1/s Zeitlich veränderlicher Strom i A Ampere Gleichstrom, Effektivwert des Wechselstroms A Stromzeiger A Amplitude des Wechselstroms î A Strom durch nduktivität im eingeschwungenen A Zustand Effektivwert des Kondensatorstroms A Zeitlich veränderlicher Strom am Kondensator i A Einschaltstromstoß am Kondensator i 0 A Ausschaltstromstoß am Kondensator i 0a A Effektivwert des Wechselstroms eff A Gesamtstrom ges A Zeitlich veränderlicher Strom durch die i A nduktivität Effektivwert des Stroms durch nduktivität A Drehstrom: Strom im Außenleiter, bei Y- oder, Y, A -Schaltung eiterströme im Drehstromnetz 1,, 3 A Strom durch Widerstand A Strangstrom bei Y- oder -Schaltung StrY, Str A nduktivität 1 H = 1 Vs/A Henry Windungszahl N Drehzahl n 1/min 1/Minute eistung P W Watt Zeitlich veränderliche eistung P(t) W Abgegebene eistung P ab W Elektrische (Wirk-)eistung P el W Mechanische eistung P mech W Wirkleistung eines Stranges bei Y- oder P StrY, P Str W -Schaltung Verlustleistung P V W Blindleistung Q 1 var = 1 VA Voltampere reaktiv Blindleistung bei kapazitiver ast Q 1 var = 1 VA Blindleistung bei induktiver ast Q 1 var = 1 VA Widerstand 1 Ω = 1 V/A Kupferwiderstand u Ω Ohm Widerstand der Entladestrecke ent Ω 4
Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Wechselstrom Physikalische Größe Formelzeichen Einheit Physikalische Einheit Scheinleistung S VA (sprich: Vau-A) Voltampere Zeit t s Sekunde Periodendauer T s Ausschaltzeitkonstante T a s Einschaltzeitkonstante T e s Spannungszeiger V Volt Amplitude der Wechselspannung û V Spannung, klein: zeitlich veränderliche, u V Spannung Batteriespannung B V Spannung am Kondensator u V Effektivwert der Wechselspannung eff V Drehstromnetz: (Außen-)eiterspannung V Effektivwert der Spannung an der nduktivität V Zeitlich veränderliche Spannung an der u V nduktivität eiterspannungen im Drehstromnetz 1,, 3 V Drehstromnetz: Sternspannung (Spannung N V zwischen Außenleiter und Neutralleiter) Spannungsabfall am Widerstand V Drehstromnetz: Strangspannung, Str, StrY V Strangspannung bei Y-Schaltung Strangspannungen an den Strängen u, v, w u u, u v, u w V Verstärkung V Energie, Arbeit W Ws Wattsekunde Blindarbeit W B vars Voltamperesekunde Kapazitiver Blindwiderstand X Ω nduktiver Blindwiderstand X Ω Sternschaltung Y Scheinwiderstand (Betrag) Z Ω Gesamt-Scheinwiderstand (Betrag) Z ges Ω Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit ω 1/s Dreieckschaltung Magnetischer Fluss Φ Vs Voltsekunde Phasenverschiebung ϕ Wirkungsgrad η Kreisfrequenz bei esonanz ω 0 1/s Nullphasenwinkel des Stromes ϕ i Nullphasenwinkel der Spannung ϕ u Maximalwert (Amplitude) des magnetischen Φ max Vs Wechselflusses Zu berechnende (unbekannte) Größe ndex x 5
Grundlagen Wechselstrom Elektrotechnik / Elektronik. Wechselstromwiderstände Bei den folgenden Betrachtungen wird immer ein Strom i= sinω t durch einen Wechselstromwiderstand geschickt. Dieser Strom liegt im Zeigerdiagramm zum Zeitpunkt t = 0 waagerecht. Der Nullphasenwinkel ϕ i ist also ϕ i = 0...1 Ohmscher Widerstand Zu jedem Zeitpunkt gilt das Ohmsche Gesetz: u = i. (.16) Wenn ein Strom i = sinω t durch fließt, gilt also u = sinω t = sinω t. (.17) Vergleicht man Gl. (.17) mit Gl. (.14) ergibt sich: = (.18) und ϕ u = 0. Damit ist =. (.19) Am ohmschen Widerstand sind und in Phase (ϕ = 0). Die Verhältnisse am ohmschen Widerstand zeigt Bild.9: u i 3 ωt Schaltzeichen iniendiagramm Zeigerdiagramm B Bild.9 B.3 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis Ein Wechselstrom (50 Hz) mit = A fließt durch einen ohmschen Widerstand mit = 75 Ω. Welcher Spannungsabfall entsteht dabei? ösung: Gemäß Gl. (.18) ist V = = 75 A 150 V. A = 8
Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Wechselstrom.. nduktiver Blindwiderstand Gemäß Gl. (1.11) gilt für jeden Zeitpunkt für die stromdurchflossene nduktivität: u di =. (1.11) dt Wenn ein Wechselstrom i = sinω t durch die nduktivität strömt, entsteht eine Spannung u (Ableiten nach t): u = ωcos ωt oder (.0) (vgl. mit Gl. (.5) u. (.6)) u = ω sin( ωt + ). (.1) Durch Koeffizientenvergleich mit Gl. (.14) erhält man Das Verhältnis = ω. (.) bezeichnet man als induktiven Blindwiderstand X : = =ω =. (.3) X f Die nduktivität stellt einen frequenzabhängigen Blindwiderstand dar, der eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung von ϕ = + verursacht (siehe Bild.10). Deutlich ist zu sehen, dass die Spannung dem Strom um den Winkel ϕ=+ = 90 vorauseilt. Das Schaltzeichen und die Verhältnisse am induktiven Blindwiderstand sind ebenfalls in Bild.10 gezeigt. u i 3 ωt + Schaltzeichen iniendiagramm Zeigerdiagramm Bild.10 nduktiver Widerstand im Wechselstromkreis 9
Grundlagen Wechselstrom Elektrotechnik / Elektronik B B.4 Eine nduktivität von = 30 mh liegt an einer Wechselspannung (50 Hz) von = 30 V. Wie groß ist der induktive Blindwiderstand und Vs welcher Strom fließt ( 1 H = 1 )? A ösung: Mit Gl. (.3) ist X 1 = ω = f = 50 30 10 s 3 Vs A = 9,4 Ω und 30 V = = = 4,4 A. X 9,4 Ω Ü Ü.1 An einer nduktivität liegt eine Spannung von 5 V mit 10 khz. Dabei fließt ein Strom von 10 ma. Berechnen Sie den Blindwiderstand und die nduktivität!..3 Kapazitiver Blindwiderstand Wird ein Kondensator an eine Wechselspannung gelegt, so werden seine Elektroden abwechselnd ständig umgeladen. Dies entspricht einem Wechselstrom in den Kondensatorzuleitungen. Zwischen diesem Strom i und der Kondensatorspannung besteht gemäß Gl. (1.1) zu jedem Zeitpunkt die Beziehung: i du =. (1.1) dt 1 Mit i = sinω t ist damit du = (sin ω t) dt. Durch ntegrieren wird daraus u = ( cos ωt) oder ω u = sin( ωt ). (.4) ω Der Koeffizientenvergleich (s. Gl. (.14)) ergibt: =. (.5) ω Den Quotienten bezeichnet man als kapazitiven Blindwiderstand X : X 1 1. (.6) f = = = ω Der Kondensator stellt einen frequenzabhängigen Blindwiderstand X dar, der eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung von ϕ = verursacht (siehe Bild.11). Deutlich ist zu sehen, dass die Spannung gegenüber dem Strom um den Winkel ϕ = = 90 phasen- 30
Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Wechselstrom verschoben ist. Beim Kondensator eilt also der Strom der Spannung voraus. Das Schaltzeichen ist ebenfalls in Bild.11 gezeigt. i 3 ωt u Schaltzeichen iniendiagramm Zeigerdiagramm Bild.11 Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis Merke: Schnelle! Bei eilt voraus, bei eilt voraus. M B.5 Ü. Ein Kondensator mit = 100 nf liegt an einer Wechselspannung von 10 V bei 10 khz. Berechnen Sie den kapazitiven Blindwiderstand und den Kondensatorstrom! ösung: Aus Gl. (.6): X 1 = ω 1 s V = = f 3 10 10 100 10 10V = = 6,8 ma. X 159,Ω = 9 = 159, Ω As An einem Kondensator liegt eine Spannung von 10 V mit 1 khz. Dabei wird ein Strom von 0,1 ma gemessen. Berechnen Sie den kapazitiven Blindwiderstand und die Kapazität! B Ü 31
Grundlagen Wechselstrom Elektrotechnik / Elektronik..4 eihenschaltung von Wechselstromwiderständen eihenschaltung von ohmschem Widerstand und induktivem Blindwiderstand Spule Bild.1 Spule Eine Spule (Bild.1) stellt elektrisch eine eihenschaltung aus dem ohmschen Widerstand der Wicklung (Kupferwiderstand u ) und einer nduktivität mit dem Blindwiderstand X dar (siehe Bild.13). u Bild.13 Ersatzschaltbild der Spule n dieser Ersatzschaltung werden die beiden Bauteile von demselben Strom durchflossen, deswegen wird im folgenden Zeigerdiagramm der Stromzeiger zum Bezugszeiger, er wird am einfachsten waagerecht gezeichnet (Bild.14). ges φ Bild.14 Zeigerdiagramm der Spannungen und Ströme Durch den Strom entsteht an u ein Spannungsabfall, der gemäß Gl. (.17) und Bild.9 in dieselbe ichtung zeigt wie der Stromzeiger. Am induktiven Blindwiderstand X entsteht ein Spannungsabfall, der gemäß Gl. (.1) und Bild.10 dem Stromzeiger um + 90 voreilt. Die Gesamtspannung ergibt sich aus der Summe der beiden Einzelspannungen, wobei hier Zeigergrößen addiert werden: = +. ges 3
Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Wechselstrom Den Betrag der Gesamtspannung errechnet man (Satz des Pythagoras) zu ges ges = = +. (.7) Da der Stromzeiger als Bezugszeiger mit waagerechter age gewählt wurde, ist ϕ i = 0 und die Phasenverschiebung ϕ iu (= Winkel von zu ges ) zwischen und ges kann einfach als ϕ ohne ndex angegeben werden. Aus Bild.14 entnimmt man auch die Winkelbeziehungen: tan = ϕ und cos = ϕ. (.8) Aus diesen Winkelbeziehungen lässt sich über die mkehrfunktionen (arctan bzw. arccos) die Phasenverschiebung ϕ einfach bestimmen. ges B.6 Eine Spule mit u = 31 Ω und = 88 mh liegt an einer Wechselspannung mit 50 Hz. Dabei fließt ein Strom = 5,61 A. Berechnen Sie die Spannungen, und ges sowie die Phasenverschiebung ϕ und zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der Spannungen und Ströme! ösung: m das Zeigerdiagramm zeichnen zu können, bestimmt man zuerst die Beträge der einzelnen Teilspannungen: = = 31 Ω 5,61 A 173,9 V, u = = X = f = 7,6 Ω 5,61 A = 155 V B mit Gl. (.0) ges = + = 33 V mit Gl. (.1) tan ϕ = = 0, 89 folgt ϕ = 41, 7. Das Zeigerdiagramm kann nun maßstäblich gezeichnet werden (Bild.15). ges φ Bild.15 Spannungsdiagramm zu Beispiel B.6 Werden im Spannungsdiagramm die Spannungszeiger durch den Strom dividiert, so ergibt sich gemäß = und X = das Zeigerdiagramm der Wechselstromwiderstände (Bild.16). 33
Grundlagen Wechselstrom Elektrotechnik / Elektronik Z X φ Bild.16 Widerstandsdiagramm Den Gesamtwiderstand bezeichnet man als Scheinwiderstand Z der Schaltung: Dabei ist: ges Z =. (.9) Z = + X, (.30) X tan ϕ= und cosϕ =. (.31) Z B B.7 Es werden die Zahlen aus dem Beispiel B.6 übernommen: Dann ist u = 31 Ω und Mit Gl. (.31) ergibt sich u X = f = 50 88 Ω = 7,6Ω. Z = + X = 31 + 7,6 Ω = 41,5Ω. Damit ist gemäß Gl. (.9) ges = Z = 41,5 Ω 5,61 A = 3,8 V und X 7,6 tan ϕ = = = 0,89. 31 u Ü Ü.3 Eine Spule nimmt beim Anschluss an eine Gleichspannung = 1 V einen Gleichstrom von = 0,1 A auf. Bei Anschluss an eine Wechselspannung von = 4 V mit 50 Hz fließt ein Wechselstrom von 0,15 A. a) Berechnen Sie den Kupferwiderstand u! b) Berechnen Sie den Scheinwiderstand Z! c) Berechnen Sie X und die nduktivität! d) Bestimmen Sie den Phasenwinkel ϕ! 34
Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Wechselstrom eihenschaltung von ohmschem Widerstand, nduktivität und Kapazität n diesem Abschnitt beginnen wir aus Gründen der Anschaulichkeit gleich mit einem Beispiel: B.8 Eine eihenschaltung aus = 500 Ω, = 00 mh und = 3 µf liegt an einer Wechselspannung 4 V mit 400 Hz (siehe Bild.17). B ges ~ Bild.17 eihenschaltung von Wechselstromwiderständen a) Entwerfen Sie das Zeigerdiagramm der Ströme und Spannungen (ohne Maßstab)! b) Berechnen Sie die einzelnen Wechselstromwiderstände und den Scheinwiderstand der Gesamtschaltung! c) Berechnen Sie den Strom durch die eihenschaltung und die einzelnen Spannungsabfälle! d) Bestimmen Sie die Phasenverschiebung ϕ und cos ϕ! ösung: Zu a): Analog zu Beispiel B.6 nimmt man als Bezugszeiger. Dann ergibt sich Bild.18: Hier sind die Zeiger und wie in Beispiel B.6 konstruiert: Der Zeiger zeigt nach unten, da er gegenüber dem Stromzeiger nacheilt. ges φ Bild.18 Spannungsdiagramm der eihenschaltung 35
Grundlagen Wechselstrom Elektrotechnik / Elektronik Die vektorielle Addition ergibt (s. Bild.18): = + +. (.3) ges Dabei ist ges ges = = + ( ), (.33) c tan ϕ = und cos ϕ =. (.34) ges Mit Division der Spannungszeiger durch den Strom erhält man das Zeigerdiagramm der Wechselstromwiderstände (Bild.19): X X Z φ Bild.19 Widerstandsdiagramm der eihenschaltung Der Scheinwiderstand ergibt sich zu Z = Z= + (X X ), (.35) X X c tan ϕ = und cos ϕ =. (.36) Z Zu b): Mit den genannten Zahlenwerten ist = 500 Ω, X = f = 400 0, Ω = 50 Ω 6. = 1 10 X = Ω = Ω f 400 3 133 Damit ergibt sich aus Gl. (.35): Z = + (X X ) = 500 + (50 133) Ω = 61 Ω. Zu c): Mit Gl. (.8) ergibt sich ges 4 V = = = 38,6 ma. Z 61 Ω Zu d): X X c 50 133 Aus tan ϕ = = = 0, 738 ergibt sich 500 ϕ = 36, 4 und cos ϕ = 0, 8. 36
Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Wechselstrom Ü.4 Eine eihenschaltung aus = 10 kω, = 31,8 mh und = 1 nf liegt an einer Wechselspannung 10 V mit 0 khz. a) Berechnen Sie den Gesamtscheinwiderstand, den Strom und den Gesamtphasenwinkel ϕ! b) Zeichnen Sie das maßstäbliche Zeigerdiagramm der Widerstände! Hat die eihenschaltung insgesamt kapazitiven oder induktiven harakter? Ü..5 Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen ges Bild.0 Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen Bild.0 zeigt die Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes, eines induktiven und eines kapazitiven Blindwiderstandes. Alle Schaltungselemente liegen an derselben Spannung. Zum Entwickeln des Zeigerdiagramms nimmt man daher den Spannungszeiger als Bezugszeiger. Die age der einzelnen Stromzeiger,, erhält man gemäß der Abschnitte.1,. und.3 bzw. der Merkregel Schnelle (s. Abschn..3): ist in Phase mit ; ist nacheilend gegenüber ; ist voreilend gegenüber. nter Beachtung dieser Einzelvorschriften ergibt sich das Zeigerdiagramm in Bild.1. ges φ Bild.1 Stromdiagramm der Parallelschaltung 37
Grundlagen Wechselstrom Elektrotechnik / Elektronik Da im Wechselstromkreis Zeigergrößen addiert werden, lautet die Knotenregel: 0 oder (.37) ges = = + +, (.38) ges dabei ist ges + ( ) = (.39) und tan =, ϕ=, =, X cos = = (.40) X ges ϕ. (.41) B B.9 Die Schaltelemente aus Beispiel B.8 werden parallel geschaltet und an die Spannung 4 V / 400 Hz angeschlossen. Dann fließen folgende Ströme: 4 V 4 V = = = 48 ma, = = = 47,8 ma 500 Ω X 50 Ω 4 V = = 180,5 ma. X 133 Ω = Damit ergibt sich das in Bild.1 dargestellte maßstäbliche Zeigerdiagramm: Da >, eilt der Zeiger ges dem Spannungszeiger voraus; die Phasenverschiebung ϕ (von ges nach gemessen) ist also negativ. Dies zeigt auch die echnung über den Tangens: tan ϕ = =,76 oder ϕ = 70,1. Da ϕ < 0, hat die Gesamtschaltung kapazitiven harakter. M Achtung: Bei der Parallelschaltung können Einzelströme größer sein als der Gesamtstrom (wie hier im Beispiel B.8/B.9 gezeigt)! Dies liegt daran, dass die beiden Energiespeicher nduktivität und Kapazität ihre Energien direkt miteinander austauschen. Ü Ü.5 Eine Parallelschaltung aus = 100 kω und = 1,6 nf liegt an einer Spannung 10 V / 1 khz. a) Zeichnen Sie die Schaltung! b) Berechnen Sie die Zweigströme, den Gesamtstrom und den Phasenwinkel! c) Entwerfen Sie das Zeigerdiagramm der Spannungen und Ströme! 38