Unternehmensinteraktion (20119) Übung 9 Hotellings Modell Matthias Held Welle I: 22. Januar, Welle II: 29. Januar
Robert und Karl eröffnen entlang Monacos Küstenstraße je einen Store, um Ihre Shirts näher am Kunden anzubieten. Entlang dieser Straße der Länge L = 100 wohnen die Kunden dicht besetzt und gleichverteilt. Roberts Roberto Geissini Flaghsip Store befindet sich l R = 20 Einheiten vom westlichen Ortsausgang (Ende der Küstenstraße) entfernt, der KARL LAGERFELD Store liegt l K = 30 Einheiten vom östlichen Ende der Straße entfernt. Jeder Kunde entlang der Straße wird genau ein Shirt kaufen. Bei der jeweiligen Kaufentscheidung fliessen der Kaufpreis und die Transporkosten ein. Die Transportkosten von Kunde x hängen linear von der zurückgelegten Strecke zwischen x und dem Händlerstandort ab, den Transportkostensatz schätzen Sie zu t = 0.10. Pro Shirt entstehen sowohl Robert als auch Karl Kosten von k = 5. Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 2
Standortwahl / Produktdifferenzierung Siehe Hotelling (1929) Standortwahl: Suche den optimalen Standort in Abhängigkeit vom Standort der Konkurrenz und Verteilung der Kunden, Kunde x hat neben dem Preis p noch Transportkosten zum Produzenten in Höhe von t x l Produktdifferenzierung: L ist Verteilung des Kundengeschmacks, Kunde x erfährt neben dem Preis p noch Disnutzen durch Abweichung von seiner Zielproduktcharacteristik x in Höhe von t x l Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 3
Identifizierung des indifferenten Kunden Kunde x kann genau eine Einheit des Gutes bei Robert oder Karl kaufen Kauft er bei Anbieter i entstehen ihm dadurch Kosten p i + t x l i Der Kunde wird bei dem Anbieter kaufen, der ihm die geringsten Gesamtkosten verursacht Robert kann somit auf zwei Wege Kunden auf sich ziehen: In Stufe 2: Durch die Verringerung des Preises In Stufe 1: Durch Vergößerung seines Einzugsbereiches (Standortwahl) Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 4
Identifizierung des indifferenten Kunden Wenn wir davon ausgehen, dass der indifferente Kunde x irgendwo zwischen Robert und Karl liegt, l R < x < (L l K ), dann muss für diesen gelten: p }{{} R + t( x l R ) }{{} Preis } Transportkosten {{} wenn Kauf bei Robert = p }{{} K Preis + t((l l K ) x) }{{} Transportkosten } {{ } wenn Kauf bei Karl Umstellen nach x liefert den indifferenten Kunden: x = L l K + l R p K p R + }{{ 2 }} 2t {{} Mitte der Standorte Verschiebung durch Preis Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 5
Identifizierung des indifferenten Kunden x = L l K + l R p K p R + }{{ 2 }} 2t {{} Mitte der Standorte Verschiebung durch Preis p K p R > 0: mehr Kunden aus der Mitte zu Robert Bei steigenden Transportkosten t hat die Preisdifferenz einen fallenden Einfluss auf die Position des indifferenten Kunden: Für t liegt x genau zwischen Robert und Karl Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 6
Identifizierung des indifferenten Kunden Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 7
Identifizierung des indifferenten Kunden x = L l K + l R 2 + p K p R 2t = 45 + 5(p K p R ) p R = 10 e, p K = 10 e: x = 45 π R = x(p R k) = 45 5 e = 225 e π K = (L x)(p K k) = 55 5 e = 275 e p R = 10 e, p K = 16 e: ACHTUNG x = L π R = x(p R k) = 100 5 e = 500 e π K = (L x)(p K k) = 0 11 e = 0 e Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 8
Identifizierung des indifferenten Kunden x = L l K + l R 2 + p K p R 2t = 45 + 5(p K p R ) p R = 12 e, p K = 10 e: x = 35 π R = x(p R k) = 35 7 e = 245 e π K = (L x)(p K k) = 65 5 e = 325 e p R = 12 e, p K = 16 e: x = 65 π R = x(p R k) = 65 7 e = 455 e π K = (L x)(p K k) = 35 11 e = 385 e Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 9
Preiswahl und Profit Wählt Robert einen hinreichend kleinen Preis, wird er den gesamten Markt abdecken, x = L Grenzfall I: Robert bearbeitet den gesamten Markt bis zu Karls Standort, x = L l R, Karl bearbeitet nur sein Hinterland l K Normaler Markt: Robert bearbeitet sein Hinterland und ein Teil der Distanz zwischen den beiden Anbietern, siehe oben Grenzfall II: Robert bearbeitet nur sein Hinterland, x = l R, Karl bearbeitet den restlichen Markt, L l R Wählt Robert einen zu großen Preis, wird er nichts am Markt absetzen Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 10
Preiswahl und Absatz Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 11
Preiswahl und Absatz 5 p R 15 : x = L l K + l R 2 + p K p R 2t = 95 5p R 100 wenn p R < 5 q R = x = 95 5p R wenn 5 p R 15 0 wenn p R > 15 Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 12
Preiswahl und Absatz Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 13
Preiswahl und Profit Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 14
Preiswettbewerb Befinden sich beide Wettbewerber an der gleichen Stelle, l R = L l K, dann...... setzt ein brutaler Preiswettbewerb ein... Wettbewerb hält an bis Preis=Grenzkosten (Gleichgewicht?)... Anbieter teilen sich die Nachfragen je zur Hälfte Sind die Anbieter hinreichend räumlich voneinander getrennt, l R < L l K, dann...... können beide die Preise anheben und Profite einfahren... kann beim Grenzpreis nur noch das Hinterland bearbeitet werden... gibt es ein Preisgleichgewicht das beiden Profite ermöglicht Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 15
Preiswettbewerb Gegeben der Standorte l R und l K sowie Karls Preiswahl p K ist Roberts Profit π R = q R (p R k) = x(p R, p K, l R, l K )(p R k) ( L lk + l R = + p ) K p R (p R k) 2 2t Robert maximiert seinen Profit: (FOC und Lösung) 0 =! π R = L l K + l R p R 2 p R (p K ) = p K + k 2 + t(l l K + l R ) 2 + p K 2p R + k 2t = 7 + 0.5p K Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 16
Preiswettbewerb Karls Reaktionsfunktion ist analog dazu: pk (p R) = p R + k + t(l l R + l K ) 2 2 = 8 + 0.5p R Beachten Sie die Symmetrie: Aus Karls Sicht ist Robert der Karl Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 17
Preiswettbewerb Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 18
Preiswettbewerb Einsetzen der Reaktionsfunktionen liefert ( ) pr +k p R = pr (p K (p 2 + t(l l R+l K ) 2 + k R)) = pr = k + t(3l l K + l R ) 3 pk = k + t(3l l R + l K ) 3 Im Gleichgewicht gilt: q R 2 = 14.66 e = 15.33 e = x = 45 + 5(15.33 14.66) = 48.33 + t(l l K + l R ) 2 π R = q R (p R k) = 48.33(14.66 5) = 467.22 e π K = (L q R )(p K k) = 51.67(15.33 5) = 533.88 e Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 19
Exkursion: Der Umhüllendensatz Sei x (a) die stetige Lösung des stetigen Problems max f (x, a) x Sei M(a) = f (x (a), a) die Maximalwertfunktion, dann gilt: M(a) f (x, a) = a a x=x (a) Ändert man a, so hat dies keinen indirekten Einfluss auf das Optimum, d.h. kein Einfluss via f x x a Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 20
Exkursion: Der Umhüllendensatz Beweis: M(a) a = f (x, a) a x=x (a) f (x, a) = x x=x (a) }{{} =0 f (x, a) = a x=x (a) x (a) a + f (x, a) a x=x (a) An der Stelle x = x (a) besitzt f (x, a) gerade ein Maximum, somit ist die Ableitung der Funktion hier Null Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 21
Standortwechsel Wie verändert sich Roberts Profit, wenn er seinen Standort l R um eine kleine Einheit in Richtung Karl verändert? Roberts Profit (funktional) π R = (p R (l R) k) q R (p R (l R), p K (l R), l R ) Wir können hier den Umhüllendensatz anwenden: Roberts Reaktion pr ist gerade die optimale Antwort, die seinen Profit π R maximiert! Dies gilt natürlich nicht für p K (l R), dies ist Karls optimale Wahl, die π K maximiert Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 22
Standortwechsel Anwendung des Umhüllendensatzes: π R = π R p R l R p R l R + π R pr =pr (l l R) R }{{} =0 = (pr (l R) k) q R pk p K l }{{ R } SE pr =p R (l R) + q R l R }{{} NE NE Nachfrageeffekt: Vergrößerung des Einzugsgebietes, mehr Kunden (positiv) SE Strategischer Effekt: Wegen Annäherung senkt Karl die Preise (Reaktion auf Roberts l R ), Kunden gehen verloren (negativ) Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 23
Standortwechsel Falls der Nachfrageeffekt der stärkere ist, lohnt es sich näher an den Konkurrenten zu ziehen, im Extremfall ziehen beide in die Mitte Wenn der strategische Effekt dominiert, lohnt es sich weiter vom Konkurrenten wegzuziehen, im Extremfall ziehen beide an den jeweiligen Rand Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 24
Standortwechsel Die Komponenten: q R = L l K + l R 2 q R l R = 1 2 q R p K = 1 2t + p K p R 2t p K = k + t(3l l R + l K ) 3 p K l R = t 3 Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 25
Standortwechsel Strategischer Effekt: Nachfrageeffekt: q R p K p K l R = 1 2t q R l R = 1 2 ( t ) = 1 3 6 NE+SE = 1 2 1 6 > 0: Es ist für Roberts stets (!) sinnvoll, seine Position näher an Karl zu verlagern, da der Nachfrageeffekt dominiert Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 26
Dynamik Es ist für Roberts stets (!) sinnvoll, seine Position näher an Karl zu verlagern (bzw. sich zwischen Karl und den Großteil der Nachfrage zu setzen) Dasselbe gilt für Karl Treffen sich in der Mitte In der Mitte findet der Preiskampf bis P=GK statt Wenn P=GK, starker Anreiz von der Mitte abzuweichen um Preise zu differenzieren Keine stabile Lösung Kein Gleichgewicht Matthias Held Unternehmensinteraktion (20119) 27