Übungsaufgaben 8. Übung SS 17: Woche vom 22.5. - 26. 5. 2017 Heft Ü 2: 24.15.f; 25.11.b, f; 26.1.a, b, c; + 1 Zusatzaufgabe zur Reduktion bei DGLn
Krümmungsvektor, Krümmung im R 3 (R n ) Def. 5.17: Der Grenzwert lim t 1 t t s = lim t 1 t t(t 1 ) t(t) t 1 t s(t 1 ) s(t) t 1 t = ṫ(t) ṡ(t) heißt Krümmungsvektor. Die Länge des Krümmungsvektors ergibt sich zu κ(t) := 1 ṫ(t) ṫ(t) = ṡ(t) γ(t) und bezeichnet die Krümmung der Kurve an der Stelle t.
Kurven im R 3 II Abbildung 5.10: Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
Kurven im R 3 III Abbildung 5.11: Normalen der Kurve γ im Punkt γ(t)
Kurven im R 3 IV γ(t).. s. 2 s χ.. γ n t γ Abbildung 5.13: Beschleunigungsvektor γ(t) mit seinen Komponenten in der Schmiegebene
Torsion und Torsionsvektor Def. 5.18: Man nennt 1 = lim ṡ(t)ḃ(t) t 1 t b s den Torsionsvektor der dreimal stetig differenzierbaren Kurve γ an der Stelle t ]t a, t e [. Es gilt: 1 = τ(t)n(t) ṡ(t)ḃ(t) Def. 5.19: Man nennt τ(t) die Torsion der dreimal stetig differenzierbaren Kurve γ an der Stelle t ]t a, t e [.
Eine dreimal stetig differenzierbare reguläre Kurve γ : [t a, t e ] R 3 besitzt an jeder Parameterstelle t mit γ(t) γ(t) 0 die Bogenlänge s(t) = t den Tangentenvektor t(t) = γ(t) γ(t), den Binormalenvektor b(t) = t a γ(u) du, ṡ(t) = γ(t) γ(t) γ(t) γ(t) γ(t), den Hauptnormalenvektor n(t) = b(t) t(t), die Krümmung κ(t) = die Torsion τ(t) = γ(t) γ(t) γ(t) 3,... det( γ(t), γ(t), γ (t)) γ(t) γ(t) 2. n > 3 : n -stetig diffbare reguläre Kurven (Frenet-Kurven mit begleit. n-bein) besitzen n 1 Krümmungen (κ n 1 ˆ= τ).
Kurven im R 3 V Abbildung 5.14: Schraubenlinie γ(t)
Die Erkennungsdaten der Schraubenlinie I (i) Parametrisierung: γ s (t) = (cos t, sin t, at) T, a R fixiert. Genau eine Windung: t [0, 2π], n Windungen: t [0, 2nπ], usw. (ii) Tangentenvektor und (lokale) Bogenlänge: sin t cos t γ s (t) = cos t, γ s(t) = sin t,... γ s (t) = a 0 sin t cos t 0 ṡ(t) = γ s (t) = 1 + a 2 s(t) = 1 + a 2 (t t a ). Die Kurve ist regulär in jedem Punkt, da 1 + a 2 > 0. (iii) Begleitendes Dreibein: Es gilt γ s (t) γ s (t) 2 = 1 + a 2 > 0.
Die Erkennungsdaten der Schraubenlinie II Folglich existieren Haupt- und Binormalenvektor in jedem Punkt der Schraubenlinie. sin t cos t a sin t 1 t s (t)= 1 + a 2 cos t n s(t)= sin t b 1 s(t)= 1 + a 2 a cos t a 0 1 (iv) Krümmung und Torsion: Beide Größen sind konstant κ s (t) 1 1 + a 2, τ s(t) a 1 + a 2.
4. Mehrdimensionale Integralrechnung 4.1 Elemente der Kurventheorie 4.1.1 Ebene Kurven - Darstellungsmöglichkeiten Def. 4.1: Eine ebene Kurve läßt sich (u.a.) wie folgt definieren a) explizit: y = f(x), y = sin x, b) implizit: F (x, y) = 0, x 3 + y 3 3axy = 0, c) parametr.: x = x(t), y = y(t), x = t 3, y = t 2 d) Polarkoord.: ρ = ρ(φ), ρ(φ) = ae kφ, a, k > 0 ( R). a) c): alle Darstellungen in kartesischen Koordinaten(!), d) x = x(φ) = (x(φ), y(φ)) T = (ρ(φ) cos φ, ρ(φ) sin(φ)) T
Lokale Elemente ebener glatter Kurven Tangente und Normale: Tangente in P 0 ist die Grenzlage der Sekante durch P 0 = (x(t 0 ), y(t 0 )) T und P 1 = (x(t 1 ), y(t 1 )) T für t 1 t 0. Tangentengleichung: x(s) = P 0 + sτ 0, s R. Tangenten- und Normaleneinheitsvektor τ, n: 1 1 1 f a): τ 0 = 1 + f (x 0 ) 2 f, n 0 = 0 (x 0 ) 1 + (f 0 ) 2 1 1 Fy (x b): τ 0 = 0, y 0 ) 1 Fx, n 0 = Fx 2 + Fy 2 F x (x 0, y 0 ) Fx 2 + Fy 2 F y (ẋ(t0 ) 1 ) 1 ẏ c): τ 0 = ẋ2, n 0 = + ẏ 2 ẋ2 ẏ(t 0 ) + ẏ 2 ẋ ( 1 ρ ) cos φ ρ sin φ d): τ 0 = ρ2 + ρ 2 ρ, P 0 = (x(φ 0 ), y(φ 0 )) T sin φ + ρ cos φ
Die Krümmung ebener (glatter) Kurven Krümmungskreis an die Kurve: Grenzlage des Kreises durch P 0 = (x(t 0 ), y(t 0 )) T und P 1 = (x(t 1 ), y(t 1 )) T P 2 = (x(t 2 ), y(t 2 )) T für t 1, t 2 t 0 dessen Radius: Krümmungsradius R Krümmung κ := 1/R (Gerade: R κ 0) f (x 0 ) a): κ 0 = (1 + f (x 0 ) 2 ), P x0 3/2 0 = f(x 0 ) b): κ 0 = F y 2 F xx + 2F x F y F xy Fx 2 F yy x0, P (Fx 2 + Fy 2 ) 3/2 0 = c): κ 0 = ẋÿ ẏẍ (ẋ 2 + ẏ 2 ) 3/2, P 0 = x(t0 ) y(t 0 ) d): κ 0 = ρ2 + 2(ρ ) 2 ρρ (ρ 2 + ρ 2 ) 3/2, P 0 = ( x(φ0 ) y(φ 0 ) ) y 0
Singuläre Kurvenpunkte Def. 4.2: Ein Kurvenpunkt heißt singulär, falls gilt (i) F (x 0, y 0 ) = 0 (Fall b), (ii) ẋ(t 0 ) = 0 (Fall c), (iii) ρ (φ 0 ) = ρ(φ 0 ) = 0 (Fall d). Lokales Bogenelement und Kurvenlänge Wir betrachten eine reguläre Kurve in Darstellung c) (damit auch: Fall a), d)), einem (festen) Punkt P 0 = ( x(t 0 ) y(t 0 )) und einen weiteren Punkt P 1 = ( x(t 1 ) y(t 1 )). Dann setzen wir t0 := t 1 t 0 > 0, s(t 1, t 0 ) := P 0 P 1 E = (x(t 1 ) x(t 0 )) 2 + (y(t 1 ) y(t 0 )) 2, und betrachten ṡ(t 0 ) = ds(t 0) dt := lim t 1 t 0 s(t 1, t 0 ) t 0 = ẋ(t 0 ) 2 + ẏ(t 0 ) 2 ṡ(t 0 ) heißt lokale Längenänderung, ds(t 0 ) := ẋ 2 0 + ẏ2 0 dt das (lokale) Bogenelement.
Damit ergibt sich die Bogenlänge eines Kurvenstücks über dem Bereich [t a, t], t 0 < t t e, zu s(t) = t t ẋ(τ)2 ds(τ) = + ẏ(τ) 2 dτ, t (t 0, t e ], t a t a bzw. für die Gesamtlänge einer Kurve (über [t 0, t e ]) L = s(t e ) = te t a ẋ(t)2 + ẏ(t) 2 dt Die analogen Formeln im Fall a) und d) lauten a): ds = 1 + f (x) 2 dx, L = s(x e ) = xe x a 1 + f (x) 2 dx d): ds = ρ 2 + ρ 2 dφ, L = s(φ e ) = φe φ a ρ2 (φ) + ρ 2 (φ)dφ Im Fall b) muß eine Parametrisierung vorgenommen werden.
Beispiel: Die logarithmische Spirale ρ = ρ(φ) = ae kφ x(φ) = dabei x(φ) y(φ) = ( ae kφ ) cos φ ae kφ, φ R (!) sin φ lim φ x(φ) = 0, x(φ) = x 2 (φ) + y 2 (φ) für φ, auch: ρ (φ) 0 für φ - 0 ist asymptodisch singulärer Punkt. Tangente und Normale: (z.b. für φ 1 = 0, φ 2 = 3π/4) ( a x(φ 1 ) = x 1 = ), x(φ 2 ) = x 2 = aek3π/4 1, 0 2 1 ( ae und ρ (φ) = ake kφ x kφ ) [k cos φ sin φ] (φ) = ae kφ t(φ) := [k sin φ + cos φ] x (φ) x (φ) =...= 1 k cos φ sin φ 1 k t(φ 1 )=t 1 =, k2 + 1 k sin φ + cos φ k2 + 1 1 1 k + 1 1 k 1 t(φ 2 )=t 2 =, n 2 t 2, n 2 = 2k2 + 2 1 k 2k2 + 2 k + 1
Tangenten- und Normalengleichung: (in x 1, x 2, s R) a 1 k Tangente in x 1 : x = x(s) = + s 0 k2 + 1 1 ( Tangente in x 2 : x = x(s) = aek3π/4 1 1 k + 1 +s 2 1 2k2 + 2 1 k ( Normale in x 2 : x = x(s) = aek3π/4 1 1 k 1 +s 2 1 2k2 + 2 1 + k Krümmung: (ρ = ak 2 e kφ (ρ ) 2 = ρρ, φ R) ), ). κ = κ(φ) = ρ2 + 2(ρ ) 2 ρρ (ρ 2 + ρ 2 ) 3/2 = 1 ρ2 + ρ = 1 2 a k 2 + 1 e kφ lim κ(φ) = 0, lim φ κ(φ) =, (κ(φ) > 0, φ R). φ
Kurvenlänge der log.-spirale Längenänderung und Bogenelement (lokal): s (φ 0 ) = ρ 2 (φ 0 )+ρ 2 (φ 0 ) = a k 2 +1e kφ 0, ds 0 = a k 2 +1e kφ 0 dφ Die Länge eines Spiralenstücks: (über [φ a, φ e ]) φe L= ρ 2 +ρ 2 dφ=a φe k 2 +1 e kφ k2 +1 dφ= k/a [ekφ e e kφ a ] φ a Speziell für das Stück zw. x 1, x 2 (s.o.): L = a 1 + k 2 [e k3π/4 1] Die Gesamtlänge der logarithmischen Spirale von x(φ 0 ) bis x( ) = 0 (über (, φ 0 ] - uneigentliches Integral) L ges (φ 0 ) = φ0 φ a a k 2 +1e kφ dφ = a 1 + k 2 e kφ 0 <, φ 0 R. Die Gesamtlänge der logar. Spirale ist für jedes φ 0 R endlich.
Stetigkeit von Abbildungen Def. 5.20/21: Sei D R n. Eine Abbildung f : D R m heißt stetig in x 0 D, wenn für alle Folgen (x k ) D aus die Beziehung folgt. lim k x k = x 0 lim f(x k) = f(x 0 ) k f heißt stetig auf A D, wenn f für alle x A stetig ist. f heißt stetig, wenn f auf dem Definitionsbereich D stetig ist.
Vererbung der Stetigkeit Sind f : D R und g : D R stetig im Punkt x 0 D, so sind f + g, f g, f g und auch stetig in x 0. f g (falls g(x 0 ) 0) Seien f : A B und g : B C gegeben und A R n, B R p, C R m. Wenn f in x 0 A und g in f(x 0 ) B stetig sind, dann ist die verkettete Funktion g f : A C stetig in x 0 (dabei möglich: n p m). Bemerkung: Die Begriffe monotone, gerade/ungerade, periodische Fkt. und Umkehrfkt. lassen sich nicht (direkt) auf mehrdimensionale Funktionen übertragen!
2 Beispiele zu GW/Stetigkeit von Abb. I 2): f 2 (x, y)= xy x 2 + y 2, 3): f 3(x, y)= x 2 + y 2 1 + x2 + y 2 1, DB(f 2/3 ) = R 2 \ {0} In jedem Punkt ihres (natürlichen) DB sind die beiden Funktionen ) stetig. Kritisch ist das Grenzwertverhalten in x = 0. Dazu ( 0 0 r > 0, ϕ [0, 2π) : R2 x = x y = r cos ϕ r sin ϕ 0 : x 0 r 0 (!) Dann gilt: f 2/3 (x) = f 2/3 (r, ϕ) und lim x 0 f 2/3 (x) = c = lim r 0 f2/3 (r, ϕ) f 2 (r, ϕ) = sin ϕ cos ϕ = 1 2 sin 2ϕ, f3 (r, ϕ) = r 2 1 + r2 1
2 Beispiele zu GW/Stetigkeit von Abb. II Das Grenzwertverhalten von f 3 (bzw. f 3 ) für x 0: lim r 0 r f 2 3 (r, ϕ) = lim r 0 1 + r2 1 =... = 2 (l Hospital) Für f 3 existiert der GW lim x 0 f 3 (x) = 2 stetige Fortsetzbarkeit Für f 2 (bzw. f 2 ) existieren nur Richtungs-GW mit festem d1 d = R 2 lim f 2 (0 + td) = lim f2 (r, ϕ 0 ) = 1 t 0 r 0 2 sin 2ϕ 0, d 2 ϕ 0 = arctan(d 2 /d 1 ), aber dabei gilt i.a. Ungleichheit, z.b. 1 1 1 sin(2 0) = lim 2 f 2(0 + t ) lim f 2 (0 + t ) = 1 t 0 0 t 0 1 2 sin(2 π 4 )
Differentialrechnung: Partielle Ableitungen Abbildung 5.16: Graph von f(x 1, x 2 ) := 1 x 1 x 2
Partielle Ableitung einer Funktion Abbildung 5.17: Graph von f (x 1 ) = 1 3x 1 an f einschließlich Tangente
Partielle Ableitungen Def. 5.23/5.24: Sei D R n, x ein innerer Punkt von D und f : D R. Existiert der Grenzwert f xi (x) := f(x) x i f(x + he i ) f(x) := lim, h 0 h dann heißt er partielle Ableitung von f nach x i an der Stelle x und man sagt, f ist in x partiell differenzierbar nach x i. Eine Funktion f : D R heißt partiell differenzierbar in x, falls in x die partiellen Ableitungen von f nach x 1,..., x n existieren. Ist D offen und ist f für jedes x D partiell differenzierbar, so heißt f partiell differenzierbar.