Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien E. Weinmüller WS L I N E A R E A L G E B R A F Ü R T P H, U E (3.64). Haupttest (MO, 8..6) / Gruppe (mit Lösung ) Ein einfacher Taschenrechner ist erlaubt. Unterlagen: eigenes VO-Skriptum. Arbeitszeit: 9 min. FAMILIENNAME Vorname Studium / Matr.Nr... 3. gesamt Punkte maximal 8 Tragen Sie bitte oben Ihre persönlichen Daten ein. Als Grundlage für die Beurteilung dienen ausschließlich die in die entsprechenden Kästchen eingetragenen Antworten. Machen Sie sich zunächst Notizen, und tragen Sie dann erst Ihre Lösung samt Zusammenfassung des Lösungweges ein! Die Größe der Kästchen ist auf die jeweilige Aufgabe abgestimmt.
Aufgabe. Seien B = {b, b, b 3, b 4 } und C = {c, c, c 3 } Basen von R 4 bzw. R 3, welche durch die Vektoren b = b = b 3 = b 4 = und definiert sind. c = c = c 3 = Sei die lineare Abbildung φ : R 4 R 3 durch die Bilder der Basisvektoren der Basis B definiert φ(b ) = c + c 3 φ(b ) = c φ(b 3 ) = c φ(b 4 ) = c + c + c 3. a) ( Punkt) Die lineare Abbildung φ kann bezüglich der beiden Basen B und C mit Hilfe der Matrix [φ(b)] C := A dargestellt werden. Geben Sie diese Matrix an. Wie direkt aus der Definition ersichtlich, lautet die gesuchte Matrix [φ(b)] C = A =. b) (3 Punkte) Nun seien zwei weitere Basen B = { b, b, b 3, b 4 } und C = { c, c, c 3 }, mit den Basisvektoren b = b b = b + b b3 = b 3 + b + b 3 b4 = b 4 + b 3 + b + b und c = c c = c + c c 3 = c 3 + c + c 3 definiert. Geben Sie die Matrixdarstellung der Abbildung φ begüglich der Basen B und C, [φ( B)] C := Ã, an. Unter Verwendung von Satz 3.9 aus dem Vorlesungsskriptum gilt à = [ φ ( B)] C = T C C [ φ ( B )] C T B B = T C C [ φ ( B )]C T B B = T C C AT B B. Es müssen also die beiden Transformationsmatrizen T C C und T B B bestimmt werden. Die einzelnen Spaltenvektoren s (i), i =,, 3, 4, der Transformationsmatrix T B B können simultan durch Lösen der Gleichungssysteme bestimmt werden. ( b, b, b 3, b 4 ) = (b, b, b 3, b 4 )(s (), s (), s (3), s (4) )
Gleiches Vorgehen wird für die Transformationsmatrix T C C verwendet. Nach dem Lösen der Gleichungssysteme ergeben sich die Transformationsmatrizen T C C = und T B B = mit deren Hilfe man die Darstellung der Abbildung φ bzgl. der Basen B und C findet, 3 3 à =. Eine Lösung mit den Basen B und C wie oben, mit Ausnahme von b3 = b + b + b 3 bzw. c 3 = c + c + c 3 wird ebenfalls akzeptiert. Dabei ergeben sich die Transformationsmatrizen und die Matrix à zu T C C = T B B = 3 3 à =. 3
c) ( Punkte) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix bezüglich den kanonischen Basen E 3 und E 4, [φ(e 4 )] E3. Sie können dabei die Matrix A (oder Ã) verwenden oder direkt vorgehen. Hinweis: Das direkte Vorgehen spart Zeit. Die Matrix [φ(e 4 )] E3 Zusammenhangs der Abbildung φ bezüglich der Basen E 3 und E 4 kann mit Hilfe des berechnet werden und es folgt, [φ(e 4 )] E3 = T E3 CAT B E4 T E3 C = (c, c, c 3 ) und T B E4 = T E 4 B = (b, b, b 3, b 4 ). Statt die Inverse von T E4 B zu berechnen, kann man auch die entsprechenden linearen Gleichungssysteme für die Spalten s (i), i =,, 3, 4, von T B E4 (e, e, e 3, e 4 ) = (b, b, b 3, b 4 )(s (), s (), s (3), s (4) ) Damit ergibt sich die Matrix [φ(e 4 )] E3, 4 = = [φ(e 4 )] E3. Ähnlich lässt sich die Matrix [φ(e 4 )] E3 mit Hilfe der Matrix à bestimmen, 3 3 3 3 3 3 4 = = [φ(e 4 )] E3. Mit der alternativen Lösung aus Aufgabenteil b, ergibt sich 3 3 3 4 = = [φ(e 4 )] E3. 3 Alternative Lösung: Aus der Definition der Abbildung und wegen (b, b, b 3, b 4 ) = (e, e + e, e + e + e 3, e + e + e 3 + e 4 ) sowie (c, c, c 3 ) = (e, e + e, e + e + e 3 ) folgt, φ(b ) = φ(e ) = e + e + e + e 3 = e + e + e 3 φ(b ) = φ(e + e ) = φ(e ) + φ(e ) = e + e φ(e ) = e e 3 φ(b 3 ) = φ(e ) + φ(e ) + φ(e 3 ) = e φ(e 3 ) = e e φ(b 4 ) = φ(e ) + φ(e ) + φ(e 3 ) + φ(e 4 ) = 3e + e + e 3 φ(e 4 ) = 4e + e + e 3 Aus diesen 4 Beziehungen, lässt sich dann analog zum Unterpunkt a.) die Matrix [φ(e 4 )] E3 bestimmen.
Aufgabe. Betrachten Sie den euklidischen Vektorraum V = (C[, ],, ), wobei das Skalarprodukt und die Norm wie folgt definiert sind: f, g := f(x)g(x) dx, f = f, f. a ) (3 Punkte) Betrachten Sie einen Unteraum U von V mit der Basis B = {b, b } = {, x }. Orthonormieren Sie diese Basis bezüglich des obigen Skalarproduktes mit Hilfe des Verfahrens von Gram-Schmidt. Wir gehen nach Schema des Gram-Schmidt-Verfahrens vor ( w, seien die jeweils noch nicht normierten Vektoren und w, die normierten): w (x) =, w, w = w (x) = x x, = x w, w = dx = x = w (x) =. (x 4 3 x + 9 ) dx = 9 + 9 = 4 4 w (x) = 3 (x 3 ). x dx = x ( 3 x3 ) = x 3. b ) (3 Punkte) Berechnen Sie die Orthogonalprojektion u von v(x) = e x V auf den Unterraum U. Berechnung der Fourier-Koeffizienten: v, w = v, w = mit e x dx = e, e x 3 (x 3 ) = 3 ( ) 4 3 3e x e x dx = + xe x dx = ( xe + x e e + ) e x dx =. e Damit erhalten wir: u(x) = 4 4 ( ( ) 4 3 3e) x 3 +. e
4 Aufgabe 3. Gegeben sei die Matrix: A = 4 3 3 a ) Berechnen Sie die Jordansche Normalform J und die dazugehörige Transformationsmatrix X. a): P. det(a λi) = ( λ 3)(( λ) 6) = ( λ)(λ + 3) = λ, = 3, n =, g λ 3 =, n 3 = = g 3, 4 4 (A λ I) v = 4 4 3 v = v = s, s. Für s = folgt v =. 4 4 (A λ 3 I) v 3 = 4 4 3 8 v =. v = v = s, s. Für s = folgt Da Rang(A λ I) = gilt, gibt es nur einen Eigenvektor, d.h. es gibt einen Hauptvektor: 4 4 4 (A λ I) h = v 4 4 3 h = h = + t. Für t = 4 folgt h =. 3 J = 3, X = (v, h, v ) = AX = XJ ist erfüllt 4 b ) Ist A invertierbar? (Begründung reicht aus.) b): P. A ist invertierbar, da kein Eigenwert von A ist.