Eichtransformationen i) Satz: HP impliziert Kovarianz der Lagrange-Gl. 2. Art unter Koord.-Transf. Beweis: Wirkung S ist unabhängig von Parametrisierung für gegebene physikalische Bahnkurve; folglich haben Euler-Lagrange-Gl. die gleiche Form für jede Parametrisierung! Parametrisierung 1: (z.b.: ) HP: Parametrisierung 2: [Definition von ] (z.b.: ) HP: Kovarianz der Bewegungsgleichung: (2) und (5) haben dieselbe Form! (ii) Satz: Bewegungsgleichungen sind invariant unter "Eichtransformationen" (ET): Beweis: totale Ableitung einer beliebigen Funktion von Betrachte: [unabhängig v.!] Unter Variation mit festen Randbedingungen, gilt, laut (2): Bewegungsgleichungen sind invariant unter Eichtransformat. ist nicht eindeutig festgelegt: ist "genauso gut"!
Zwischenbemerkung: Nachtrag zu Vorlesung 10 (Herleitung d. Lagrange-Gleichungen) Verallgemeinerung für geschwindigkeitsabhängige Potenziale Betrachte Kraft d. Form:, mit Def: Verallg. Kraft: (6) gilt auch für Kraft d. Form (1)! Beispiel: Frage: Geladenes Teilchen in äußerem elektromagnetischem Feld Welches L beschreibt Lorentz-Kraft? Antwort: (Beweis folgt auf S. 36) wobei das "Skalarpotenzial" und "Vektorpotenzial" Hilfsgrößen zur kompakten Beschreibung des elektrischen Felds und Magnetfelds sind: (siehe E2, T3) Zwischenbemerkung: Die "elektromagnetischen Potenziale" sind keine messbaren Größen, aber sehr nützlich für die kompakte Darstellung vieler Ergebnisse. Z.B. Vereinfachen sich 2 der Maxwell-Gl.: wird identisch erfüllt (Vektoridentität)
Lorenz-Kraft: Zwischenrechnung: Gradient von Skalarfeld Zeitableitung von Vektorfeld definiere: "minimale Kopplung" dann gilt: F hat Form von (33.1)! also gelten LG2, (33.6) Lagrange-Funktion für geladenes Teilchen im Elektromagnetischen Feld: Check Bewegungsgleichung: Fazit: (34.1) Lorentz-Kraft läßt sich mittels Potential (35.7) und Lagrange-Funktion (36.1) beschreiben!
Eichinvarianz der -und -Felder Satz: sei eine beliebige skalare Funktion. Unter der "Eichtransformation" sind und -Felder invariant (= unverändert). Beweis: Fazit: und sind nicht eindeutig definiert: "Eichfreiheit"! Die Freiheit, nach Bedarf zu wählen, kann zur Vereinfachung von konkreten Rechnungen genutzt werden. Eichtransformation für L: Fazit: unter Eichtransformation (37.1, 2) ändert sich L nur um totale Zeitableitung. Folglich sind, laut (32.1), Lagrange-Gleichungen invariant (unverändert) unter (37.1, 2). In der Tat: LG2 ist invariant, denn sind invariant (siehe 37.3,4).
Bemerkung: Forderung der Lokalität, Homogenität und Isotropie der Raumzeit, sowie der Eichinvarianz, genügt, um die Form von L eindeutig zu bestimmen! (d.h. um Form der Lorentz-Kraft zu bestimmen!) 1. Forderung: Kopplung des Teilchens an soll lokal sein in Raum und Zeit (Ableitungen von oder sollen nicht vorkommen): 2. Forderung: Homogenität und Isotropie der Raumzeit (keine explizite Abhängigkeit in Winkeln...) aber nicht: 3. Forderung: Bewegungsgl. des Teilchens soll eichinvariant sein: Zusatzterm erlaubt wegen (32.1) Bestimmung von L mittels Forderungen 1-3 Allgemeinst-denkbare Form von Λ wäre: kommen alle links in (85a.3) vor! Aber: nur funktioniert: sonst erzeugt Terme wie usw., die links in (39.3) nicht vorkommen! Sei nun infinitesimal, und entwickle (39.3) in Potenzen von : Ordnung : Ordnung : Koeffizientenvergleich:
Hieraus folgt: Aber, für freies Teilchen gilt: Die Form von L ist nun komplett bestimmt! Mit Identifikation Ladung des Teilchens ist das Endergebnis: Bemerkung: Konstruktion von "neuen" Lagrange-Funktionen anhand von Symmetrieforderungen ist sehr fruchtbare Vorgehensweise in der theor. Physik Zusammenfassung: Eichtransformation, Lorentz-Kraft Hamilton-Prinzip impliziert Kovarianz der Lagrange-Gl. 2. Art unter Koord.-Transf. Bewegungsgleichungen sind invariant unter "Eichtransformationen": Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld erfährt Lorentz-Kraft: Skalares Potential, Vektorpotential: Entsprechende Lagrange-Funktion ist: Unter Eichtransformation sind E,B invariant: und L ändert sich nur um totale Zeitableitung: