Zusatzmaterial zu Kapitel 4

1 ERMITTLUNG DER TRANSITIONSMATRIX MIT DER SYLVESTER-FORMEL 1 Zusatzmaterial zu Kapitel 4 1 Ermittlung der Transitionsmatrix mit der Sylvester- Formel Wir nehmen an, dass das Zustandsmodell eines linearen und zeitinvarianten Systems die Form dx = Ax + bu dt y = ct x + du besitzt, und dass die Systemmatrix A eine (konstante) (n, n)-matrix mit lauter verschiedenen EigenwertenistDhesgilt: s i 6= s j i, j =1, 2,, n mit i 6= j In diesem Fall kann die Transitionsmatrix folgendermaßen berechnet werden (vgl Kapitel 4) Die Matrix P wird durch die n Rechts-Eigenvektoren p i e At = Pdiag(e s it )P 1 (1) Ap i =s i p i (i =1, 2,, n) (2) geprägt P =(p 1, p 2,, p n ), (3) während deren Inverse P 1 durch die n Links-Eigenvektoren ρ T i ρ T i A =s iρ T i, (i =1, 2,, n) charakterisiert wird: P 1 = ρ T 1 ρ T 2 (4) Ausgehend von der obigen Beziehung (1) erhält nach Ausmultiplikation die Transitionsmatrix die Gestalt e At = p i ρ T i e sit Sie entspricht einer gewichteten Summe von n Exponentialfunktionen e sit Führt man nun für die dyadischen Produkte p i ρ T i die (konstanten) Matrizen ρ T n F i := p i ρ T i (i =1,, n)

1 ERMITTLUNG DER TRANSITIONSMATRIX MIT DER SYLVESTER-FORMEL 2 ein, so erhält man die sogenannte spektrale Darstellung von e At : e At = F i e sit (5) Entscheidend für die Anwendung dieser Relation ist es, daß die formal eingeführten Matrizen F i ohne Berechnung von Eigenvektoren anhand der Rechenvorschrift (Sylvester-Formel) F i := A s k E s i s k (6) gebildet werden können! Damit erhalten wir die sogenannte Sylvester-Formel zur Berechnung der Transitionsmatrix " # e At A s k E = e sit s i s k Sie eignet sich gut für Systeme niedriger Ordnung (n 3) IndiesenbeidenFällenlautetsie: Fall n=2: e At = A s 2E e s1t + A s 1E e s 2t s 2 s 1 Fall n=3: e At = A s 2E 11 Beispiel A s 3 E e s 1t s 1 s 3 + A s 1E A s 3 E e s 2t s 2 s 1 s 2 s 3 + A s 1E s 3 s 1 A s 2 E e s 3t s 3 s 2 Die Systemmatrix A betrage Gesucht ist die Transitionsmatrix µ 1 A = 6 5 Die Eigenwerte von A ergeben sich durch Lösung der charakteristischen Gleichung det(se A) = Im konkreten Fall lautet sie s 1 6 s +5 = s2 +5s +6=(s +2)(s +3)= Die Eigenwerte lauten demnach s 1 = 2 und s 2 = 3

1 ERMITTLUNG DER TRANSITIONSMATRIX MIT DER SYLVESTER-FORMEL 3 Nach den Relationen (5) und (6) lautet die Transitionsmatrix im vorliegenden Fall n =2 e At = F 1 e s 1t + F 2 e s 2t, mit F 1 := A s 2E und F 2 := A s 1E s 2 s 1 Damit erhalten wir für die Koeffizienten der Exponentialfunktionen: ( 3) 1 µ 6 5 ( 3) 3 1 F 1 = = ( 2) ( 3) 6 2 und ( 2) 1 6 5 ( 2) F 2 = = ( 3) ( 2) Die gesuchte Transitionsmatrix ergibt sich somit zu µ 3 1 e At = e 2t + 6 2 µ 2 1 6 3 µ 2 1 6 3 e 3t 11 Bemerkung zur Struktur der Übertragungsfunktion des Systems Die Übertragungsfunktion des obigen Systems lautet G(s) =c T (se A) 1 b + d = c T Φ(s)b + d Die Resolvente der Systemmatrix, d h Φ(s) ergibt sich leicht im vorliegenden Fall durch Anwendung der Laplace-Transformation aus Relation (5) Φ(s) = F i 1 Damit lautet die Übertragungsfunktion bzw G(s) =c T G(s) = Durch Einführung der Abkürzungen F i 1 b + d c T F i b 1 + d η i := c T F i b

1 ERMITTLUNG DER TRANSITIONSMATRIX MIT DER SYLVESTER-FORMEL 4 erhält sie die Gestalt 1 G(s) = η i + d s s i Unter Beachtung der Relation (5) ergeben sich die Faktoren η i zu η i : = c T ( = A s k E s i s k )b c T (A s k E)b s i s k Hieraus ist schön ersichtlich, daß wenn b ein Rechts-Eigenvektor und/oder c ein Links- Eigenvektor von A ist, der (skalare) Faktor η i verschwindet, und somit der Grad der Übertragungsfunktion niedriger als die Systemordnung n ist Das bedeutet einen Verlust der Steuerbarkeit und/oder der Beobachtbarkeit des Systems (vgl Kapitel 5 insbesondere die Ausführungen über das Kriterium nach Hautus) 12 Zum Beweis der Sylvester-Formel Es gilt offensichtlich dh mit (3) und (4) bzw PP 1 = E (p 1, p 2,, p n ) E = Die Links-Multiplikation der Relation (7) mit Ψ i := ergibt zunächst Ψ i E = ρ T 1 ρ T 2 ρ T n = E, p i ρ T i (7) (A s k E) (A s k E) p i ρ T i Nachdem alle Terme - abgesehen von dem i-ten Term - verschwinden, erhalten wir " # Ψ i = (A s k E) p i ρ T i,

2 DER PUTZER-ALGORITHMUS 5 bzw unter Beachtung von (2) Damit gilt dh " Ψ i = # (s i s k ) p i ρ T i p i ρ T 1 i = Ψ i nq, (s i s k ) p i ρ T i = und die Sylvester-Formel ist bewiesen 2 Der PUTZER-Algorithmus (A s k E) (s i s k ) Wir betrachten eine konstante (n, n)-matrix A und bezeichnen deren n Eigenwerte mit s i (i = 1,, n) Die zugehörige Transitionsmatrix kann folgendermaßen dargestellt werden: e At = Q i r i (t) (8) Hierbei sind r i (t) skalare Zeitfunktionen und die (n, n)-matrizen Q i konstant Letztere werden anhand folgender rekursiver Relation berechnet Die Anfangsbedingung lautet hierbei Damit erhalten wir Q i+1 =(A s i E) Q i i =1,, n 1 (9) Q i+1 = Q 1 = E (1) iy (A s k E) i =1,, n 1 (11) k=1 Die Zeitfunktionen r i (t) erhält man durch Lösung eines Systems von n gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten Führt man den Vektor r(t) := r 1 (t) r 2 (t) r n (t) T ein, so lautet das zu lösende Differentialgleichungssystem: s 1 1 s 2 dr dt = 1 s 3 s n 1 1 s n r

2 DER PUTZER-ALGORITHMUS 6 Die Anfangsbedingungen lauten hierbei: r() := 1 T Die Lösung obigen Systems kann rekursiv ermittelt werden! Zuerst löst man die freie Differentialgleichung dr 1 dt = s 1r 1 und erhält r 1 (t) =e s1t Die restlichen Funktionen werden rekursiv durch Lösung jeweils einer skalaren gestörten Differentialgleichung dr i dt = s ir i + r i 1 i =2, 3,, n bei verschwindenden Anfangswerten r i () = berechnet Das ergibt: r i (t) = e s i(t τ) r i 1 (τ) dτ = e s it e siτ r i 1 (τ) dτ i =2, 3,, n 21 Bemerkung: Falls mehrfache Eigenwerte existieren, kommen diese in obigen Relationen mit ihrer Vielfachheit vor Die Indizierung der Eigenwerte ist irrelevant! 22 Beispiel der Fall n =2 : In diesem Fall ergeben sich für die benötigten Matrizen die Ausdrücke: Q 1 = E und Q 2 = A s 1 E Für die Funktionen r i (t) erhalten wir zunächst r 1 (t) =e s 1t Die Funktion r 2 (t) ergibt sich durch Lösung der Differentialgleichung dr 2 dt = s 2r 2 + r 1

2 DER PUTZER-ALGORITHMUS 7 zu r 2 (t) = e s2(t τ) e s1τ dτ = e s 2t e (s 1 s 2 )τ dτ = e s 2t e (s 1 s 2 )t 1 1 = es1t e s2t bzw r 2 (t) =e s 2t e(s 1 s 2 )t 1 Damit ergibt sich nach (8) für die Transitionsmatrix (vergleiche die Sylvester-Formel) e At = Ee s 1t + (A s 1 E) e s 2t e(s 1 s 2 )t 1 bzw Für e At = A s 2E e s 1t s 1 = s 2 = s + A s 1E s 2 s 1 e s 2t erhalten wir unmittelbar (mit Hilfe der Regel von de L Hospital) den Ausdruck 23 Beispiel (n =2): Die Systemmatrix A lautet: e At = Ee st + (A se) te st = [E + (A se) t] e st A = µ 3 1 1 1 Das charakteristischen Polynoms ergibt sich zu: det (se A) = s 3 1 1 s 1 = s2 4s +4=(s 2) 2 Dh es liegt ein doppelter Eigenwert vor: s 1,2 =2 Die Matrix Q 1 berechnet sich anhand (9) und (1): Q 2 = (A s 1 E) Q 1 mit Q 1 = E µ 3 s1 1 = (A s 1 E)= 1 1 s 1

2 DER PUTZER-ALGORITHMUS 8 Daraus folgt Mit Q 2 = µ 1 1 1 1 r 1 (t) =e 2t als Eingangsfunktion lautet die zu lösende Differentialgleichung Es ergibt sich dr 2 dt =2r 2 + e 2t mit r 2 () = r 2 (t) = e 2(t τ) e 2τ dτ = te 2t Die gesuchte Transitionsmatrix lautet nach (8): µ µ 1 1 1 e At = e 2t + 1 1 1 e 2t + te 2t te 2t = te 2t 1 te 2t te 2t Beispiel (n =3): Die Systemmatrix A sei gegeben: 1 1 A = 1 1 2 2 Das charakteristische Polynom det (se A) lässt sich anhand der Entwicklung nach der 3 Spalte leicht berechnen: det (se A) =(s 2) (s 1) 2 Die Eigenwerte lauten somit Die Matrix Q 1 lautet s 1 =2,s 2 =1 und s 3 =1 Q 2 = (A s 1 E) = 1 2 1 1 2 = 1 1 1 1 2 2 2 1 2 Damitergibtsichnach(9)für Q 3 =(A s 2 E) Q 2

2 DER PUTZER-ALGORITHMUS 9 Q 3 = 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 = Die Ermittlung von r 2 (t) erfolgt durch Lösung der Differentialgleichung dr 2 dt = r 2 + r 1 mit r 1 (t) =e 2t 1 1 als Störfunktion und der Anfangsbedingung r 2 () = Es ergibt sich r 2 (t) = e t τ e 2τ dτ = e t e τ dτ = e t e t 1 = e 2t e t Die Differentialgleichung für r 3 (t) lautet dann: dr 3 = r 3 + e 2t e t dt r 3 (t) = = e t e t τ e 2τ e τ dτ e τ dτ = e 2t e t te t dτ Die gesuchte Transitionsmatrix e At ist nach (8) durch e At = Er 1 (t)+q 1 r 2 (t)+q 2 r 3 (t) gegeben Dh e At = e At = 1 1 e 2t + 1 1 1 + 1 e 2t e t + 1 2 + 1 e 2t e t te t 1 e t te t e t e 2t + e t e 2t e t + te t e 2t

3 ZU KAPITEL 425: GEWICHTSFUNKTION UND ÜBERTRAGUNGSFUNKTION 1 Bemerkung: Durch die Indizierung s 1 = s 2 =1,s 3 =2 ergibt sich natürlich das gleiche Ergebnis! 1 1 e At = 1 e t + te t + 1 1 2 1 + e 2t te t e t 1 1 1 3 Zu Kapitel 425: Gewichtsfunktion und Übertragungsfunktion Für ein mathematisches Modell der Form dx dt = Ax + bu y = c T x + d mit dem n-dimensionalen Zustandsvektor x, der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße y ergibt sich die Gewichtsfunktion g (t) aufgrund der Relation (siehe Kapitel 224) Die Übertragungsfunktion lautet (nach Relation 34): g (t) =c T e At b (12) G(s) =c T L e Atª b+ d (13) Im Fall verschiedene Eigenwerte (siehe Kapitel 42) besitzt die Transitionsmatrix e At folgende Struktur: e At = F i e sit (14) Die konstanten (n, n)-matrizen F i können anhand der Berechnungsvorschrift 1 F i := j=1,j6=i A s j E s i s j gebildet Die Gewichtsfunktion lautet dann nach (12) und (14) 1 Siehe Zusatzmaterial Sylvester-Formel g (t) = c T F i be sit = η i e s it (15)

3 ZU KAPITEL 425: GEWICHTSFUNKTION UND ÜBERTRAGUNGSFUNKTION 11 mit η i := c T F i b (16) Dementsprechend ergibt sich nach (13) für die Übertragungsfunktion: G(s) = c T F i b 1 + d = η i 1 + d (17) Die Konstanten η i nach (16) lassen sich nach η i = c T Ã n Y j=1,j6=i! A s j E b s i s j bzw berechnen η i = j=1,j6=i c T (A s j E) b s i s j (18) Bemerkung: Die Größe η i nach (18) verschwindet offensichtlich, wenn b ein Rechtseigenvektor von A, dh (A s j E) b = und/oder wenn c ein Linkseigenvektor von A also c T (A s j E)= ist In solch einem Fall erscheint die gewichtete Exponentialfunktion η i e s it und damit die Eigenschwingung e s it in der Gewichtsfunktion g(t) nicht Nachdem sowohl Eigenschwingungen (Eigenwerte) als auch die Gewichtsfunktion Invarianten des Systems sind, bedeutet dies eine strukturelle Änderung! Analoges gilt für die Übertragungsfunktion G(s): nach (17) bedeutet das, dass der Term η i 1 verschwindet Damit ist die Ordnung der Übertragungsfunktion kleiner als die Ordnung des Systems! Das System verliert in solch einem Fall die Steuerbarkeit und/oder die Beobachtbarkeit