Fachbereich Mathematik und Statistik ϑ µ Einführungskurs Mathematik γ WS 2/ ε Michael Junk β Φ Universität Konstanz α Σ δ Ψ ξ Ω
Mathematik Wieso-weshalb-warum Warum Mathematik? Zur Beschreibung von Gesetzmäßigkeiten Mustern regelmäßigen Strukturen mit dem Ziel, unsere Umwelt besser zu verstehen.
Mathematik Arbeitsweise Besonderheit der Mathematik präzise Sprache (basierend auf Mengenlehre) spezielle Symbolik (hohe Informationsdichte) präzise Argumentation (Logik) deduktiver Aufbau der Theorie (axiomatische Methode) Abstraktion (Konzentration auf das Wesentliche)
Mathematik Vorgehensweise Arbeitsziel in der Mathematik sinnvoll motivierte Aussagen zu beweisen Eine Aussage beschreibt einen Sachverhalt, der entweder wahr oder falsch ist. Ableitung einer wahren Aussage aus anderen wahren Aussagen nach bestimmten logischen Schlussregeln
µ γ ϑ ε Aussagen β Φ α Σ δ Ψ ξ Ω
Eine Aussage beschreibt einen Sachverhalt, der entweder wahr oder falsch ist. Peter hat rote Haare. Aussagen ist eine Aussage in einem Kontext, wo Peter eindeutig eine Person beschreibt ist keine Aussage in einer Gruppe, wo zwei Peter verschiedene Haarfarben haben Bem: Sie müssen dazu nicht wissen, ob Peter rote Haare hat oder nicht
Aussagen Herzlichen Glückwunsch! ist keine Aussage, da kein Wahrheitswert zugeordnet werden kann.
Aussagen = 2 ist eine Aussage mit Wahrheitswert falsch.
Aussagen Jede gerade Zahl, die größer ist als 2, ist Summe zweier Primzahlen Das ist die Goldbachsche Vermutung. Ihr Wahrheitswert ist unbekannt dennoch nimmt man an, dass sie entweder wahr oder falsch und damit eine Aussage ist.
Aussagen Diese Aussage ist falsch. ist keine Aussage, da kein Wahrheitswert zugeordnet werden kann: wäre die Aussage wahr, dann wäre sie falsch und wäre die Aussage falsch dann wäre sie wahr.
Aussagen p ist eine Primzahl. ist keine Aussage, da kein Wahrheitswert zugeordnet werden kann. Aber: wenn wir den Platzhalter p durch eine Zahl ersetzen, entsteht eine Aussage. Wir nennen A(p)= p ist eine Primzahl. eine Aussageform.
Aussagen viele mathematische Aussagen beinhalten Aussageformen Behauptung: Für alle natürlichen Zahlen n ist n 2 + n + 4 eine Primzahl.
Aussagen viele mathematische Aussagen beinhalten Aussageformen Behauptung: Für alle natürlichen Zahlen n ist n 2 + n + 4 eine Primzahl. Behauptung: Es gibt eine reelle Lösung x 2 = 2 der Gleichung. x
Aussagen viele mathematische Aussagen beinhalten Aussageformen Behauptung: Für alle natürlichen Zahlen n ist n 2 + n + 4 eine Primzahl. Behauptung: Es gibt eine reelle Lösung x x 2 = 2 der Gleichung. Aussageformen: A( n) : n 2 + n + 4 ist prim B( x) : x 2 = 2
Aussagen Quantor-Notation: Allquantor n N : n 2 + n + 4 ist prim Lies: für alle n in der Menge N gilt generell: x M : A( x) ist eine Aussage, die wahr ist, wenn A(x) für alle zulässigen x wahr ist.
Aussagen Quantor-Notation: Existenzquantor x R : x 2 = 2 Lies: es existiert ein x in der Menge R so dass generell: x M : A( x) ist eine Aussage, die wahr ist, wenn A(x) für ein zulässiges x wahr ist. lies als mindestens ein
Aussagen Beispiele: x M : x = x ist wahr x, y R : x + y = y + x ist wahr x, y R : x > y ist falsch x R : n N : n x ist wahr
Aussagen Beispiel: gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit ( f ) Eine Folge von Funktionen n f n : ( a, b) R heißt gleichmäßig gleichgradig stetig, wenn ε > : δ > : x ( a, b) : x ( a, b), x x < δ : n N : f ( x) f ( ) < ε n n x
Nebenbemerkung Bemerkung: Symbole machen Aussagen präzise sind aber schwer zu lesen. Besser: sinnvolle Mischung aus Text und Symbolen.
µ γ ϑ ε Logische Schlüsse β Φ α Σ δ Ψ ξ Ω
Beispiel einer Schlussregel Logische Argumentation eines Technikers: Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. Die Taktstörung ist es diesmal nicht. Also haben wir einen Kriechstrom in der Sensorik. korrekte Schlussweise? Inhalt verstanden?
Beispiel einer Schlussregel Beispiel: Ich gehe Donnerstags in die Mathematik- oder in die Biologievorlesung. An diesem Donnerstag fällt Mathe aus. Also gehe ich in die Biovorlesung. Zusammenhang mit vorherigem Beispiel? Wahrheitswerte bekannt?
Beispiel einer Schlussregel Beispiel: Wenn p eine Primzahl oder eine gerade Zahl ist und p ist ungerade, dann ist p eine Primzahl. gleicher logischer Schluss? wieso?
Beispiel einer Schlussregel Eine logisch korrekte Argumentation drückt unsere gemeinsame Welterfahrung aus ist unabhängig vom Inhalt der Aussagen ist unabhängig vom Wahrheitswert der Aussagen hängt von der Verknüpfung der Aussagen ab
Analyse einer Schlussregel Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. Die Taktstörung ist es diesmal nicht. Also haben wir einen Kriechstrom in der Sensorik. Elementare Aussagen: A = B = Es liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer vor. Es liegt ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor.
A = B = Analyse einer Schlussregel Es liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer vor. Es liegt ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. Die zusammengesetzte Aussage Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. entspricht der oder Verknüpfung: C = A oder B Symbol: C = A B Junktor
oder-verknüpfung Angenommen A, B sind Aussagen. Ist dann C = A B wieder eine Aussage? Beispiel: A B A B A = Ich fahre heute. B = Ich fahre morgen. f f f f w w w f w w w w Bem.: oder bedeutet nicht entweder-oder
Analyse einer Schlussregel Die Aussage: Die Taktstörung ist es diesmal nicht. entspricht sinngemäß der Verneinung von: A = Es liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer vor. also: D = nicht A Symbol: D = A A A statt f auch statt w auch
Analyse einer Schlussregel Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. Die Taktstörung ist es diesmal nicht. entspricht sinngemäß E = C und D Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor und die Taktstörung ist es diesmal nicht. Symbol: E = C D
und-verknüpfung Die und-verknüpfung: Merkregel: And Beispiel: A B A B A = Ich habe Hunger. B = Ich habe Durst.
Analyse einer Schlussregel Gesamtaussage: E =ˆ Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. Die Taktstörung ist es diesmal nicht. Also haben wir einen Kriechstrom in der Sensorik. =ˆ B entspricht: aus E folgt B bzw. E impliziert B Symbol: E B
Implikation eine wahre impliziert-verknüpfung: Wenn es 5 Minuten geregnet hat, dann ist die Erde nass. A Prämisse A B tritt auf ja ja nein ja B Konklusion
Implikation eine falsche impliziert-verknüpfung: Wenn es Montag ist, dann regnet es. A B Prämisse Konklusion diese Zeile unterscheidet A B tritt auf wahre von falschen ja Implikationen ja ja ja
Implikation Wahrheitstabelle der impliziert-verknüpfung: A B A B Ex falso quod libet Wenn Weihnachten und Ostern auf einen Tag fallen, dann.
Implikation Ist die Implikation wahr oder falsch? ( = ) 2 ist irrational ( = ) exp() = ( = ) ( = ( = ) ( = ) 2) A B A B Also gilt z.b.: ( = ) GoldbachscheVermutung
Implikation A B Achtung: bedeutet (in der Aussagenlogik) nicht, man kann mit A beweisen, dass B stimmt A B ist einfach eine verknüpfte Aussage, deren Wahrheitswert durch den von A bzw. B gegeben ist. lesen Sie auch mal im Skript nach
Implikation Zusammenfassung: Aussagenlogik arbeitet unabhängig vom Inhalt der Aussagen und muss deshalb auch alltagssprachlich unübliche Implikationen zulassen. A B A B Die Wahrheitswerte sind aber so zugeordnet, dass übliche Implikationen (kausale Zusammenhänge) korrekt behandelt werden. Bem.: An und bzw. oder stellt die Alltagssprache weniger Anforderungen.
Analyse einer Schlussregel Die Argumentation des Technikers: Bei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. Die Taktstörung ist es diesmal nicht. Also haben wir einen Kriechstrom in der Sensorik. entspricht der Verknüpfung: ( A B) ( A) B mit: A = B = Es liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer vor. Es liegt ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor.
Analyse einer Schlussregel ( A B) ( A) B A( p) B( p) = = Die Zahl p ist gerade. Die Zahl p ist eine Primzahl. Wenn p eine gerade Zahl oder eine Primzahl ist und p ungeade ist, dann ist p eine Primzahl.
Analyse einer Schlussregel Logik Wir empfinden B A B A ) ( ) ( unabhängig vom konkreten Inhalt der Elementaraussagen A, B als korrekten Schluss. A ( ) B A B A ( ) B B
Analyse einer Schlussregel ( A B) ( A) Unsere Schlussregel ist eine Tautologie, d.h. eine Aussageverknüpfung, die unabhängig vom Inhalt und den Wahrheitswerten der beteiligten Elementaraussagen stets wahr ist. B Es zeigt sich: korrekte logische Schlüsse entsprechen jeweils tautologischen Implikationen.
Tautologische Implikationen Beispiel: A ( A B) B immer erst ausprobieren (experimentieren, spielen) A = B = ergibt: Das Seil reißt. Armin fällt. Das Seil reißt und wenn das Seil reißt, fällt Armin. Also fällt Armin. korrekter Schluss?
Tautologische Implikationen Logik Ob lässt sich nachrechnen. A (A ) B B B B A A ) ( ein logisch korrekter Schluss ist, A ( ) B B
Tautologische Äquivalenzen Beim Umformen von Aussagen helfen tautologische Äquivalenzen Beispiel: A = B = Ich bin besoffen. Ich bin müde. Dann sind: ( A B) ( A ) ( B) Müde und besoffen bin ich nicht. Ich bin nicht müde oder ich bin nicht besoffen. sinngemäß identisch, d.h. äquivalent (Regel von de Morgan)
äquivalent-verknüpfung Die äquivalent-verknüpfung: Zwei Aussagen sind äquivalent, wenn sie den selben Wahrheitswert haben A B A B
Tautologische Äquivalenzen Die intuitive Äquivalenz von: ( A B) ( A ) ( B) Müde und besoffen bin ich nicht. Ich bin nicht müde oder ich bin nicht besoffen. lässt sich durch Nachrechnen bestätigen: ( A B ) A BB
Tautologische Äquivalenzen Weitere tautologische Äquivalenzen : A ( A) Doppelte Verneinung ( A B) ( B A) Kontraposition ( A A) A Idempotenz ( A B) ( B A) Kommutativität A B C) ( A B) C ( Assoziativität A ( B C) ( A B) ( A C) Distributivität
Kontradiktion Tautologie: Aussage die stets wahr ist. Kontradiktion: Aussage die stets falsch ist. Beispiel: (spielen A ( A) A = Ich mag Logik.) A A
Aussageformen Tautologien und Kontradiktionen lassen sich auch auf Aussageformen anwenden, da sie unabhängig vom Wahrheitswert der beteiligten Aussagen wahr bzw. falsch sind. Beispiel: : x [,] x < x > x R ist wahr ( x [, ] ) [, ] = { x x x } benutzte Tautologie: ( A B) ( A) ( B)
Aussageformen Beispiel: x R : x 2 = ist falsch also: ( 2 : x = ) x R ist wahr 2 äquivalent formuliert: x R : x ist wahr tautologische Äquivalenz: ( x M : A( x) ) x M : A( x) genauso: ( x M : A( x) ) x M : A( x) experimentieren!
Aussageformen A = Niemand mag mich. äquivalent formuliert mit: M(x) = x mag mich A ( Person x : M ( x) ) bzw. A Personen x : M ( x) Achtung: die Negation von A ist nicht gleichbedeutend mit der Aussage Alle mögen mich., sondern A Person x : M ( x)
Aussageformen Logik Beispiel: gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit Eine Folge von Funktionen ( ) n f R ), ( : b a f n heißt gleichmäßig gleichgradig stetig, wenn ε δ δ ε < < > > ) ( ) ( : : ),, ( ) :, ( : : x f x f n x x b a x b a x n n N Frage: wann ist nicht gleichmäßig gleichgradig stetig? ( ) f n ε δ δ ε < > > ) ( ) ( : : ),, ( ) :, ( : : x f x f n x x b a x b a x n n N
Aussageformen Vorsicht: Quantoren vertauschen nicht ohne weiteres Beispiel: A( F, M ) = F hat was mit M. Männer M : Frau F : A ( F, M ) ist nicht äquivalent mit Frau F : Männer M : A( F, M )
Zusammenfassung Eine Aussage ist ein Sachverhalt, der entweder wahr oder falsch ist. Durch Verknüpfung von Aussage(forme)n mit Junktoren entstehen weitere Aussage(forme)n. Durch Quantoren werden Aussageformen zu Aussagen. Der Wahrheitswert einer Verknüpfung folgt aus der entsprechenden Wahrheitstabelle. Logische Schlussfolgerungen entsprechen tautologischen Implikationen. Aussage(forme)n lassen sich umformen mit Hilfe von tautologischen Äquivalenzen.
µ γ ϑ ε Beweise β Φ α Σ δ Ψ ξ Ω
Beweise Einführung Als Beweis einer Aussage bezeichnet man eine Folge von logischen Schlüssen, die zeigt, dass die Aussage wahr ist. Eine wahre Aussage heißt auch Satz oder Theorem. Ein Hauptsatz ist ein besonders bedeutender Satz. Ein Lemma ist ein Hilfssatz in einem längeren Beweis. Ein Korollar ist eine Folgerung aus einem zuvor bewiesenen Satz.
Beweise Gegenbeispiel Behauptung: Für jede natürliche Zahl n ist der Ausdruck n 2 + n + 4 eine Primzahl. Äquivalente Aussage: n N : n 2 + n + 4 ist prim
Beweise Gegenbeispiel angezweifelt: x M : A( x) z.b. nach vielen glücklosen Beweisversuchen ( : A( x) ) x M Versuche zu beweisen, d.h. x M : A( x) Strategie: finde x, so dass A(x) falsch ist, d.h. ein Gegenbeispiel
Beweise Direkter Beweis n Satz: Sei eine gerade Zahl. 2 Dann ist auch n gerade. äquivalente Formulierung mit { n N k : n = k} G = N 2 Satz: n N : n G n 2 G
Beweise Direkter Beweis Diskussion: Die Aussage ist von der typischen Form: x M : A( x) B( x) A( x) B( x) x M Zu zeigen: ist wahr für alle A B A B Es genügt zu zeigen, dass B(x) nicht falsch ist, wenn A(x) wahr ist. bzw. dass B(x) wahr ist, wenn A(x) wahr ist.
Beweise Direkter Beweis Der Nachweis wird in geeignete Beweisschritte zerlegt. Jeder Schritt hat die Form einer wahren Implikation. A ( x ) Z ( x ), Z ( x ) Z ( x ),K, Z ( x ) B ( x ) ( 2 x Z m Als wahre Implikationen dienen Definitionen und Sätze.
Beweise Direkter Beweis Wenn A(x) und die Implikation A( x) Z( x) wahr sind, dann zeigt die Tabelle, dass Z ( x) wahr ist. Mehrfache Anwendung ergibt, dass Z2( x), Z3( x), K, Zm( x), B( x) wahr sind. A B A B
Beweise Indirekter Beweis Weitere Strategie: indirekter Beweis/Widerspruchsbeweis Zu zeigen: x M : A( x) B( x) Nimm an, dass A(x) wahr ist und dass B(x) falsch ist. Zeige mit direktem Beweis, dass eine falsche Aussage F folgt. Nutze die Tautologie: ( A B F) ( A B)
Zusammenfassung Logische Regeln folgen der Alltagslogik. Logische Verknüpfungen können sehr kompliziert werden. Keine Diskussion über logische Korrektheit (Tabellen!)
Kurs Zusammenfassung Unser Ziel war: Ihr bisheriges Mathematikverständnis zu erschüttern. Unser Ziel ist: Ein neues umfassenderes Mathematikverständnis aufzubauen.