Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Bernoulli Nicolaus 63-708 Jacob I 654-705 Nicolaus 66-76 Johann I 667-748 Nicolaus I 687-759 Nicolaus II 695-76 Daniel 700-78 Johann II 70-790 Johann III 744-807 Jacob II 759-789 Modul 04 Anwendungen der Differenzialrechnung. Komplee Zahlen Lernumgebung
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung ii Modul 04 für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften Winter 003/04 Erstausgabe Winter 005/06 Geändertes Layout. Erweiterung Winter 006/07 Ergänzungen. Herbst 007 MathType. Fehlerkorrekturen Herbst 008 Ergänzung Herbst 009 Erweiterungen Herbst 0 Erweiterung komplee Zahlen) Herbst 03 Erweiterung last modified: 9. Mai 03 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung, 405 Basel www.walser-h-m.ch/hans
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung iii Inhalt Kürzester Weg über die Straße... Sensibilität... 3 Durchschnitts -Quadrat... 4 Mittelwertsatz... 3 5 Null durch Null... 3 6 Null durch Null... 4 7 Bernoulli - de l Hôpital... 4 8 Bernoulli - de l Hôpital... 4 9 Bernoulli - de l Hôpital... 4 0 Falscher Grenzwert... 5 Wer ist stärker?... 7 Wer ist stärker?... 7 3 Wer ist stärker?... 8 4 Wer ist stärker?... 8 5 Rund um die Eulersche Zahl... 8 6 Rund um die Eulersche Zahl... 0 7 Bernoulli - de l Hôpital... 8 Komplee Zahlen: Rechenbeispiele... 9 Konjugation... 3 0 Betrag... 3 Betrag... 3 Betrag... 4 3 Addition und Betrag... 4 4 Rein imaginäre Zahlen: Sind alle Rechnungen möglich?... 4 5 Rein imaginäre Zahlen: Welche Rechungen sind möglich?... 4 6 Satz von Vieta: Kubische Gleichung... 5 7 Satz von Vieta: Gleichung vierten Grades... 5 8 Imaginärteil... 5 9 Lösungsverhalten einer kubischen Gleichung... 5 30 Quadratische Gleichung... 7 3 Quadratische Gleichung... 7 3 Quadratische Gleichung... 7 33 Quadratische Gleichung... 7 34 Quadratische Gleichung... 8
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung Kürzester Weg über die Straße Der kürzeste Weg über die Straße ist rechtwinklig zum Straßenrand. Warum spielt es praktisch keine Rolle, wenn wir nicht so genau rechtwinklig über die Straße gehen? Beispiel: Die Straße sei 0 m breit. Wie viel länger wird der Weg über die Straße bei einer Abweichung gegenüber dem rechten Winkel von a), b) 5? Bearbeitung d s! Der Weg über die Straße Die Straße habe die Breite d. Die Länge des schrägen Weges s ist: Wegen ist! = 90 ist die Funktion s!) daher sehr wenig sensibel. = 0. In der Nähe von! s! = d s! sin! d cos s!) = sin a)!s.5 mm b)!s 38. mm Sensibilität a) Eine Kugel habe einen Radius von m. Wie viel ändert sich das Volumen, wenn der Radius um cm vergrößert wird? Wie viel ändert sich das Volumen der Erdkugel Radius 6366 km), wenn der Radius um cm vergrößert wird? b) Eine Kugel habe einen Radius von m. Wie viel ändert sich der Umfang, wenn der Radius um cm vergrößert wird? Wie viel ändert sich der Umfang der Erdkugel Radius 6366 km), wenn der Radius um cm vergrößert wird? a)!v 0.7 m 3,!V 5.0964 0 m 3 b)!u =!u 0.068 m
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung Bearbeitung Zur Aufgabe a) gibt es zwei Lösungswege:. Lösungsweg: Differenz der Volumina:!V = 4 3 r +!r)3 4 3 r3. Lösungsweg: Oberfläche mal Dicke:!v 4r!r Der erste Lösungsweg ist eakt, enthält aber eine Differenz, was bei großen Zahlen Fall der Erdkugel) computertechnisch zu so genannten Auslöschungseffekten und damit zu falschen Resultaten führen kann. Durch formales Ausrechnen ergibt sich:!v = 4 3 r +!r)3 4 3 r3 = 4 3 3r!r + 3r!r +!r 3 Damit können wir ohne Auslöschung rechnen. Der zweite Lösungsweg ist nur approimativ, für!r << r ist die Approimation aber so gut, dass dieser Lösungsweg vorzuziehen ist. Mein Taschenrechner ergibt folgende Resultate: r = m r = 6366 km Erster eakter) Lösungsweg!V = 0.69 m 3!V 5.0964 0 m 3 Zweiter approimativer) Lösungsweg!V 0.566 m 3!V 5.0964 0 m 3 3 Durchschnitts -Quadrat Vier Quadrate haben die Seitenlängen 4cm, 5cm, 7cm und 8cm. Gesucht ist das Durchschnitts -Quadrat a) bezüglich der Seitenlänge. b) bezüglich der Fläche. c) Kommentar? a) Durchschnittliche Seitenlänge = 6cm b) Durchschnittliche Fläche = 38.5cm c) Durchschnittliche Fläche = 38.5cm 36 cm = Durchschnittliche Seitenlänge). Die beiden Durchschnitte sind nicht kompatibel
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 3 4 Mittelwertsatz Es sei f ) = 5 + 3 sin ), =! und = 4!. 3!! 3! 4! f ) = 5 + 3 sin ) Nach dem Mittelwertsatz gibt es mindestens ein!!, 4! Wie viele gibt es in diesem Beispiel? Welche sind es? 3, nämlich 3!, 5!, 7!, so dass! = f f f ). 5 Null durch Null Bestimmen Sie sin mit Taschenrechner oder Computer. Bearbeitung Ecel liefert: sin) sin)/ 0.8447098 0.8447098 0.5 0.4794554 0.9588508 0.5 0.4740396 0.9896584 0.5 0.467473 0.99739787 0.065 0.064593 0.99934909 0.035 0.03449 0.9998375 0.0565 0.056436 0.9999593 0.00785 0.00784 0.99998983 0.0039065 0.0039064 0.99999746 0.009535 0.00953 0.99999936 0.000976563 0.00097656 0.99999984 0.0004888 0.0004888 0.99999996 0.000444 0.000444 0.99999999 0.00007 0.00007.00000000
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 4 6 Null durch Null sin ) sin ) =? a) mit Additionstheorem b) mit Bernoulli - de l Hôpital Bearbeitung a) sin ) = sin b) sin sin ) = sin )cos sin cos 7 Bernoulli - de lʼhôpital 3 sin =? = cos cos ) = ) = Bearbeitung Wir wenden zwei Mal die Regel von Bernoulli de l Hôpital an 3 sin = 8 Bernoulli - de lʼhôpital ) =? ln ) = 0 ln 9 Bernoulli - de lʼhôpital ) =? narctan a tan! n! n 3 sin )cos = 6 cos sin = 0 Bearbeitung narctan atan! n ))) = n! ) = arctan atan! ) a +tan! ))! + atan! = a!
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 5 Beispiel Beispiel für a =. 0 Falscher Grenzwert Es sei: n Wert 3 3.8698476 4 4.4859487 5 4.84099694 6 5.443687 7 5.366403834 8 5.534686509 9 5.663095979 0 5.766307 5.840933638 5.90346536 3 5.953954 4 5.99595073 5 6.094969 6 6.058075888 7 6.087585 8 6.0669438 9 6.030309 0 6.353843 6.48546 6.60045968 3 6.70490 4 6.79070797 5 6.869863 6 6.9404005 7 6.003508 8 6.060677 9 6.3644 30 6.5755534 3 6.995076 3 6.376756 f ) =!! Gesucht ist der Grenzwert f ) =!! ). Falsche Überlegung Zunächst ist! =. Somit wird: = = f!! Allerdings sieht der Funktionsgraf so aus: = 0!
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 6-0 3 4 5 - - Funktionsgraf. Auch die Werteta- Aus dem Funktionsgraf ergibt sich die Vermutung: f! belle bestätigt diesen Befund: = f).00000000 0 0.53670 00 0.50569 000 0.500506 0000 0.500050 00000 0.500005 000000 0.500000 Wo liegt der Fehler? Richtige Überlegung Die zweistufige Limesbildung ist nicht korrekt. Erster Lösungsweg Wir formen den Funktionsterm um: Damit wird: f ) =!! =!! +! +! =!! ) +! = +! = +!
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 7 f ) =!! + = Zweiter Lösungsweg Wir formen das Problem mit der Substitution = t weiter: um. Aus! wird dann t!0 und Für t!0!!t f t) = t ergibt sich eine null zu null -Situation; wir müssen die Regel von Bernoullide l Hôpital anwenden: Wer ist stärker? a)!! t t!0 t = t!0 t = b) =! c) 0.99 00 ) = d) a)!!! 000.00 e ln) ) = = b) = 0! c) 0.99 00 ) = 0 d) Wer ist stärker? a)! c)! a)! c)!! 000.00 e ln) ) = e ) = b) e =! 3 e ln) ) = d)! log a ln) = = e ) = b) e = 0! 3 e log ln) ) = d) a ) ln)! = ln a)
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 8 3 Wer ist stärker?! ln) ) ln) 5! ) a) c)! ln) ) ln) 5! ) a) c) = b)! = d) a! = b) = 0 d) a! log a ln)! ln) ) = log a ln) = ln) ) = = 0 der einzige Gag bei diesen Aufgaben) 4 Wer ist stärker? a) c) ln + ln + = = b) = ln + d) ln + ) = a) c) ln + ln + = 0 = b) d) = ln + ln + ) = 5 Rund um die Eulersche Zahl a) Berechnen Sie mit dem Taschenrechner + n Was ist n ) n? n! + n für n =, 0, 00, 000, 0000. b) Berechnen Sie mit dem Taschenrechner + 3 n ) n für n =, 0, 00, 000, 0000. Was ist n! n + 3 n?
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 9 c) Berechnen Sie mit dem Taschenrechner + n )n für n =, 0, 00, 000, 0000. n Was vermuten Sie für + n! n? d) Berechnen Sie mit dem Taschenrechner + n Was vermuten Sie für n! n + n? n für n =, 0, 00, 000, 0000. n a) + n! b) + 3 n n n n! + n! n )n c) d) Folge divergiert. = e ).64877 = e 3 ) 0.0855369 = Beweise a) und b) sind Sonderfälle von: n! n + a n = c) und d) sind Sonderfälle von: n a! + n a n a a = n a! + n a n a a = e a Dies beweisen wir wie folgt: n! n! n + n a n Für den Eponenten erhalten wir: + n a ) falls a < = + * e falls a = +, falls a > = e n! n ln + n a
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 0 n! nln + n a = n! ln + n n a = n! Nun wenden wir die Regel von Bernoulli de l Hôpital an. n! n ln +n a Daraus folgt die Behauptung. ) = n! 6 Rund um die Eulersche Zahl an a +n a n ) ) = n! an a+ +n a n ) ln +n )a * falls a < =, + falls a =, - 0 falls a > Bestimmen Sie bei den folgenden Termen soweit möglich) die Grenzwerte für! +,!,!0 und!0: a) e b)! e + e c) e!! e! a) e! =,! e ) =, e =, e = 0 y -4-3 - - 3 4 - - y = f ) = e b)! e ) + e ) = 0,! e ) + e ) = 0, e + e e =, + e =
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung y -4-3 - - 3 4 - - c)! e e ) =, y = f ) =! e + e! e e ) =, e e = ), e e = 0 y 40 30 0 0-4 -3 - - -0 3 4-0 -30-40 7 Bernoulli - de lʼhôpital y = f ) = e!! e! In der Vorlesung hatten wir das Problem ln ) = ln ln = ) =? wie folgt behandelt: Bernoulli - de lhôpital ) 3 = ) ) = 0 In der Pause tauchte dann die Frage auf, ob die Sache auch vertauscht angegangen werden kann:
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung ) = ln =? ln Zähler und Nenner haben dann beide den Grenzwert Null, also ist auch so die Regel von Bernoulli de l Hôpital anwendbar. Was ergibt sich? Bearbeitung ln ) ) = = ln Bernoulli - de lhôpital ) = ln ) ln ) ) Das macht den Kohl nicht fett. Es ist noch schmer geworden. Immerhin zeigt die ) = 0. Grafik, dass ln -4-3 - - 3 4 - - y = f ) =! ln ) 8 Komplee Zahlen: Rechenbeispiele 3! 3i) + + 5i ) =! + 8i)!! i) =! + 5i ) = 3 + i) + 5i) = = 7 4 + 5i 3+i!3i = a+bi b!ai =
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 3 3! 3i) + + 5i ) = 3.5 + i! + 8i)!! i) =! + 9i! + 5i ) =.5! 5i 3 + i) + 5i) = 6! 0) + i + 5 3) = + 35i 7 4 + 5i 3+i!3i = 3+i!3i +3i +3i = 0+3i 4+9 = i a+bi b!ai = a+bi b+ai b!ai b+ai = ab+a i+b i!ab = i b +a 9 Konjugation Machen Sie sich anhand von Beispielen und auch allgemein klar, dass das Konjugieren mit den Rechenoperationen +, -,, / vertauschbar sind. Es ist also zum Beispiel: z + w = z + w 0 Betrag Welches sind die kompleen Zahlen mit dem Betrag 5, bei denen sowohl Real- wie auch Imaginärteil ganze Zahlen sind? Es gibt solche Zahlen, nämlich: w = 3 + 4i, w =!3 + 4i, w =!3! 4i, w = 3! 4i, w = 4 + 3i, w =!4 + 3i, w =!4! 3i, w = 4! 3i, w = 5, w =!5, w = 5i, w =!5i Die reellen Zahlen sind ein Sonderfall der kompleen Zahlen Imaginärteil Null), ebenso die so genannten rein imaginären Zahlen Realteil Null). Betrag Man mache sich klar, dass der komplee Betragsbegriff mit dem Betragsbegriff bei reellen Zahlen kompatibel ist. Überlegung Das Quadrat frisst das Vorzeichen. u + 0i = u + 0 = u = u
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 4 Betrag Zeigen Sie: zw = z w. Also: Der Betrag des Produktes ist gleich dem Produkt der Beträge der Faktoren. Sei z = + iy und w = u + iv. Dann ist einerseits z = + y und w = u + v, und daher: z w = + y ) u + v ) = u + v + y u + y v Andererseits ist zw = + iy) u + iv = u! yv) + i v + yu. Daher ist: zw = u! yv) + v + yu) = u! yuv + y v + v + yuv + y u = u + y v + v + y u = z w 3 Addition und Betrag Sind die Operationen Addieren und Subtrahieren mit der Betragsbildung verstauschbar? In Formeln: z + w =? z + w z! w =? z! w Antwort Nein. Es gelten die so genannten Dreiecksungleichungen: z + w! z + w z! w z! w 4 Rein imaginäre Zahlen: Sind alle Rechnungen möglich? Mit den reellen Zahlen allein kann man problemlos rechnen. Geht das auch für rein imaginäre Zahlen? Antwort Nein. Beim Multiplizieren ergeben sich nicht rein imaginäre Zahlen sondern reelle Zahlen). On ne reste pas en famille. 5 Rein imaginäre Zahlen: Welche Rechungen sind möglich? Welche Rechnungen sind mit rein imaginären Zahlen möglich, so dass das Resultat wieder eine rein imaginäre Zahl ist?
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 5 Antwort Addition und Subtraktion 6 Satz von Vieta: Kubische Gleichung Wie lautet der Satz von Vieta für eine kubische Gleichung von der Form: Antwort Falls a =, so gilt: 3 + b + c + d = 0 b =! + + 3 ) c = + 3 + 3 d =! 3 7 Satz von Vieta: Gleichung vierten Grades Wie lautet der Satz von Vieta für eine Gleichung vierten Grades von der Form: Antwort 4 + b 3 + c + d + e = 0 b =! + + 3 + 4 ) c = + 3 + 4 + 3 + 4 + 3 4 d =! 3 + 4 + 3 4 + 3 4 e = 3 4 8 Imaginärteil Wie lässt sich Im z aus z und z berechnen? Im z) = z!z i = i z! z) 9 Lösungsverhalten einer kubischen Gleichung a) 3! 6 +! 6 = 0 b) 3! 5 + 8! 4 = 0 c) 3! 7 +6!0 = 0 Tipp: Eine Lösung ist jeweils simpel.
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 6 a) 3! 6 +! 6 = 0 {,,3 } y 3 3 4 - y = 3-6 + -6 Nullstellen von y = f ) = 3! 6 +! 6 b) 3! 5 + 8! 4 = 0 {,, }, eine einfache Lösung und eine Doppellösung y 3 4 - y = 3-5 + 8-4 Nullstellen von y = f ) = 3! 5 + 8! 4 c) 3! 7 +6!0 = 0 {,3 + i,3! i}, eine reelle Lösung und zwei konjugiert komplee Lösungen. y y = 3-7 + 6-0 -4-3 - - 3 4 - - Reelle Nullstelle von y = f ) = 3! 7 + 6! 0
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 7 30 Quadratische Gleichung a) Welche quadratische Gleichung hat die beiden nicht konjugiert kompleen Lösungen = 3 + i und =! 3i? b) Welche quadratische Gleichung hat die Lösungen = 3 und = 3 + i? a) +!5 + i) +! 5i = 0 b) +!6 + i) + 9 + 6i) = 0 Nicht alle Koeffizienten sind reell. 3 Quadratische Gleichung a) Welche quadratische Gleichung hat die beiden nicht konjugiert kompleen Lösungen z = 3 + 4i und z =!3 + 4i? b) Welche quadratische Gleichung hat die Lösungen z = 0 und z = i? a) z! 8iz! 5 = 0 b) z! iz = 0 Nicht alle Koeffizienten sind reell. 3 Quadratische Gleichung Gesucht sind die Lösungen der quadratischen Gleichung z! 6iz!3 = 0. z = + 3i, z =! + 3i Lösungsweg Diskriminante D =!6i)! 4!3) =!36 + 5 =6 D = 4. z = 6i+4 = + 3i, z = 6i!4 =! + 3i 33 Quadratische Gleichung Gesucht sind die Lösungen der quadratischen Gleichung z! 4iz! 53 = 0. z = 7 + i, z =!7 + i Lösungsweg Diskriminante D =!4i)! 4!53) =!6 + =96 D =4.
Hans Walser: Modul 04, Anwendungen. Komplee Zahlen. Lernumgebung 8 z = 4i+4 = 7 + i, z = 4i!4 nicht konjugiert komple. =!7 + i. Die beiden Lösungen sind zwar komple, aber 34 Quadratische Gleichung Gesucht sind die Lösungen der quadratischen Gleichung: z = 4 + 5i, z =! 3i z! 6 + i)z + 3! i = 0 Lösungsweg Diskriminante D = 6 + i)! 4 3! i = 36 + 4i! 4! 9 + 8i =!60 + 3i. Weiter ist D = 464 = 68. Für die Berechnung des Argumentes! von D ist zu beachten, dass D im zweiten Quadranten liegt. Wir erhalten:! = arctan 3 60 ) +.656 Für die Quadratwurzel der Diskriminante erhalten wir somit: Daraus ergibt sich schließlich: z = 6+i++8i D = 68 cos! = 8+0i + i sin! ) = + 8i = 4 + 5i, z = 6+i!!8i = 4!6i =! 3i