Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen und die möglichen Lösungsverfahren zeigen. Beispiel: Die für eine Klassenfahrt vorgesehene Jugendherberge hat laut Herbergsverzeichnis insgesamt 18 Zimmer und 76 Betten. Die Zimmer sind Drei- und Fünfbettzimmer. Für die Zimmerverteilung muss der Fahrtleiter die Anzahl der Drei- bzw. Fünfbettzimmer kennen. Auch ohne weitere Informationen kann man aus obigen Angaben das Problem nach folgender Methode lösen: 1.1 Aufstellen der Gleichungen: Anzahl der Dreibettzimmer: Anzahl der Fünfbettzimmer: x y Gesamtzahl der Zimmer: x + y = 18 Gleichung (1) Anzahl der Betten in den Dreibettzimmern: 3 x Anzahl der Betten in den Fünfbettzimmern: 5 y Gesamtzahl der Betten: 3 x + 5 y = 76 Gleichung (2) Die beiden Gleichungen (1) und (2) ergeben zusammen ein sogenanntes lineares Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (Variablen). Wir suchen nun ein Zahlenpaar (x y), dessen Zahlen x und y sowohl Gleichung (1) als auch Gleichung (2) erfüllen: x + y = 18 und 3 x + 5 y = 76 Statt x + y = 18 und 3 x + 5 y = 76 schreibt man übersichtlicher x + y = 18 3 x + 5 y = 76 1.2 Lösen des Gleichungssystems Es gibt im Wesentlichen drei verschiedene Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems. Alle Verfahren haben das Ziel, die Zahl der Variablen und der Gleichungen auf eine Gleichung mit einer Variablen zu reduzieren, die dann nur noch nach dieser Variablen aufgelöst werden muss. 1

Durch Einsetzung der so erhaltenen ersten Lösung in die übrige Gleichung erhält man schließlich die Lösung für die zweite Variable. Wir wollen jetzt das obige lineare Gleichungssystem mit den drei Verfahren lösen: 1.2.1 Einsetzungsverfahren Bei diesem Verfahren wird eine Gleichung nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Der so entstehende Term wird dann in der anderen Gleichung für die entsprechende Variable eingesetzt. In unserem Beispiel sieht das folgendermaßen aus: Gleichung (1) wird nach y aufgelöst und ergibt y = 18 - x Der Term 18 x wird nun in die Gleichung (2) für y eingesetzt 3 x + 5 (18 - x) = 76 Diese so entstandene Gleichung enthält jetzt nur noch die Variable x und kann nach dieser aufgelöst werden: 3 x + 90-5 x = 76 zusammenfassen -2 x + 90 = 76 + 2 x 90 = 76 + 2 x -76 14 = 2 x : 2 7 = x Durch Einsetzen dieses Wertes in die Gleichung 1 erhält man den Wert für die Variable y ( y = 18-7 = 11) Lösung Die Herberge besitzt 7 Drei- und 11 Fünfbettzimmer. Das Zahlenpaar ( 7 11 ) löst das obige Gleichungssystem. L = { (7 11) }. Zusammenfassung: Lösen eines linearen Gleichungssystems nach dem Einsetzungsverfahren 1. Löse eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen, z.b. y auf: y =... 2. Setze den so erhaltenen Term anstelle von y in die andere Gleichung ein. In dieser Gleichung kommt die Variable y dann nicht mehr vor. 3. Löse die erhaltene Gleichung nach x auf: x =... 4. Setze die für x erhaltene Zahl in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und berechne den y-wert. Das Einsetzungsverfahren ist besonders günstig, wenn nur eine der beiden Gleichungen die Form x =... (oder y =...) hat. 2

1.2.2 Gleichsetzungsverfahren Bei diesem Verfahren werden beide Gleichungen nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Die so entstandenen Terme werden dann gleichgesetzt. Dieses Verfahren basiert auf folgender Überlegung: Sind zwei Terme einem dritten gleich, so sind diese untereinander gleich. T1 = T3 T2 = T3 T1 = T2 In unserem Beispiel sieht das folgendermaßen aus: Beide Gleichungen werden z.b. nach x aufgelöst. Man erhält damit: x = 18 y Gleichung (1' ) 3 x = 76-5 y Gleichung (2' ) Um nicht mit Brüchen arbeiten zu müssen, bietet es sich hier an, Gleichung (1' ) mit 3 zu multiplizieren, um auf der linke Seite den gleichen Term zu erhalten wie bei Gleichung (2' ) x = 18 - y 3 3 x = 18-3 y 3 x = 54-3 y Gleichung (1'' ) Nun können die rechten Seiten der beiden Gleichungen (1'' ) und (2' ) gleichgesetzt werden. Da sie beide dem Term 3 x gleich sind, müssen sie untereinander gleich sein (siehe obige Überlegung). 54-3 y = 76-5 y Diese so entstandene Gleichung enthält jetzt nur noch die Variable y und kann nach dieser aufgelöst werden: 54-3 y = 76-5 y + 5 y 54 + 2 y = 76-54 2 y = 22 :2 y = 11 Durch Einsetzen dieses Wertes in die Gleichung (1') erhält man den Wert für die Variable x ( x = 18-11 = 7) Lösung: Die Herberge hat natürlich immer noch 7 Drei- und 11 Fünfbettzimmer. Das Zahlenpaar ( 7 11 ) löst das obige Gleichungssystem. L = { (7 11) }. 3

Zusammenfassung: Lösen eines linearen Gleichungssystems nach dem Gleichsetzungsverfahren 1. Löse beide Gleichungen nach einer Variablen, z.b. x, auf. 2. Setze die so erhaltenen Terme gleich. In dieser Gleichung kommt die Variable x nun nicht mehr vor. 3. Löse die erhaltene Gleichung nach y auf: y =... 4. Setze die für y erhaltene Zahl in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und berechne den x-wert. Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders günstig, wenn beide Gleichungen die Form x =... (oder y =...) haben. 1.2.3 Additionsverfahren Bei diesem Verfahren werden die Gleichungen so umgeformt, dass bei gliedweiser Addition der beiden Gleichungen eine der Variablen herausfällt. Dieses Verfahren basiert auf folgender Überlegung: Eine Balkenwaage, die sich im Gleichgewicht befindet, bleibt in diesem Zustand, wenn auf beiden Seiten gleich große Gewichte hinzugelegt werden. In unserem Beispiel sieht das folgendermaßen aus: x + y = 18 Gleichung (1) 3 x + 5 y = 76 Gleichung (2) Durch Multiplikation der Gleichung (1) mit -5 erhält man: -5 x - 5 y = -90 Gleichung (1' ) 3 x + 5 y = 76 Gleichung (2) Gliedweise Addition der beiden Gleichungen liefert einen neue Gleichung: -2 x = -14 : (-2) x = 7 Durch Einsetzen dieses Wertes in die Gleichung (1) ergibt sich wieder die Lösung für die zweite Variable: 7 + y = 18-7 y = 11 Lösung: Natürlich ergeben sich wieder die gleichen Zahlen. 4

Zusammenfassung: Lösen eines linearen Gleichungssystems nach dem Additionsverfahren 1. Multipliziere die erste und/oder zweite Gleichung mit von 0 verschiedenen Zahlen so, dass beim Addieren der linken und rechten Seiten der Gleichungen die Variable x (oder y) herausfallen wird. 2. Addiere die linken und rechten Seiten der Gleichungen und notiere die neu erhaltene Gleichung. In dieser Gleichung kommt die Variable x (oder y) nun nicht mehr vor. 3. Löse die neu erhaltene Gleichung nach y (oder x) auf. 4. Setze die für y (oder x) erhaltene Zahl in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und berechne den x (oder y)-wert. Das Additionsverfahren eignet sich besonders dann, wenn in dem Gleichungssystem in keiner der Gleichungen x oder y freisteht. 1.3 Lösungsmengen Das obige Jugendherbergs-Beispiel hatte genau eine Lösung, L = { (7 11) }. Die folgenden beiden Beispiele zeigen, dass es aber auch anders ausgehen kann. Beispiel 1: x = 2 y + 4 Gleichung (1) 3 x - 6 y = 12 Gleichung (2) Durch Einsetzen von Gleichung (1) in Gleichung (2) erhalten wir: 3 (2 y + 4) - 6 y = 12 Gleichung (2 ) und nach Klammerauflösung und Vereinfachung 12 = 12 Gleichung (2 ) Gleichung (2 ) ist eine wahre Aussage. Hieraus folgt, dass es unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems gibt. Alle Zahlenpaare, die Gleichung (1) erfüllen, lösen das System, so z.b. (6 1), (8 2), (10 3) und (0-2). Überprüfen Sie das durch Einsetzen. Obwohl das System unendlich viele Lösungen hat, können aber nicht beliebige Zahlenkombinationen als Lösungen genommen werden. Überprüfen Sie selbst, dass z.b. (1 1), (-3 0) und (13 5) keine Lösungen sind. Alle Zahlenpaare (x y), bei denen x = 2y + 4 ist, sind Lösungen des Systems. Wir schreiben das kurz in folgender Form: L = { (x y) x = 2y + 4 }. 5

Beispiel 2: y = 3 x 8 Gleichung (1) 6 x - 2 y = 14 Gleichung (2) Durch Einsetzen von Gleichung (1) in Gleichung (2) erhalten wir: 6 x - 2 (3 x - 8) = 14 Gleichung (2 ) und nach Klammerauflösung und Vereinfachung 16 = 14 Gleichung (2 ) Gleichung (2 ) ist eine falsche Aussage. Hieraus folgt, dass es keine Lösungen des Gleichungssystems gibt. Wir schreiben dieses Ergebnis in der Form: L = { } (Die Lösungsmenge ist die leere Menge). 1.4 Geometrische Betrachtung Wenn wir alle Lösungen des Beispiels 1 in einem xy-koordinatensystem darstellen, ergibt sich eine Gerade. Das ist nicht weiter verwunderlich, denn wir können Gleichung (1) leicht 1 in die Form y = x 2 umwandeln. 2 Schreiben wir die Gleichung (2) in dieser Form, so erhalten wir ebenfalls 1 y = x 2 2 Das bedeutet, dass die den beiden Gleichungen zugeordneten Geraden sozusagen aufeinanderfallen und es damit unendlich viele gemeinsame Punkte gibt. Im Beispiel 2 hat Gleichung (1) bereits die übliche y = mx + b Form einer Geradengleichung, nämlich y = 3 x 8. Wenn wir Gleichung (2) ebenfalls in diese Form bringen, erhalten wir y = 3 x 7. Beide Geraden haben die gleiche Steigung ( m = 3), verlaufen also parallel. Da Gerade 1 bei -8 durch die y-achse geht, Gerade 2 aber bei -7, verlaufen sie aber getrennt parallel und haben damit keine gemeinsamen Punkte. Zusammenfassend wollen wir festhalten, dass zwei Geraden in einer Ebene drei prinzipiell verschiedene Lagen zueinander haben können. Sie können unterschiedliche Steigung haben (d.h. nicht parallel) es gibt einen gemeinsamen Punkt gleiche Steigung haben ( d.h. parallel sein ), dann sind sie entweder identisch es gibt unendlich viele gemeinsamen Punkte oder verlaufen getrennt es gibt keinen gemeinsamen Punkt 6

Bevor Sie nun Übungsaufgaben zum Lösen von Gleichungssystemen machen, möchten wir Sie noch darauf hinweisen, dass prinzipiell alle drei Verfahren gleichermaßen nützlich sind. Die Entscheidung, welches Verfahren im speziellen Fall benutzt werden sollte, hängt von den Gegebenheiten der Gleichungen ab. Es ist letztlich Ihre Entscheidung, mit welchem Verfahren Sie arbeiten möchten. Liegt ein Gleichungssystem mit mehr als zwei Variabeln vor, so ist eine Variante des Additionsverfahrens das am meisten benutzte. 2 Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und Variablen Bei solchen Systemen werden das Einsetzungs- und das Gleichsetzungsverfahren in der Regel relativ schnell unübersichtlich. Hier ist das Gaußsche Eliminationsverfahren, das auf dem Additionsverfahren basiert, die bessere Wahl (eliminare (lat) = wegschaffen, entfernen). Die Grundidee des Verfahrens ist die Elimination von Variablen zur Herstellung einer "Dreiecksform", die sich dann von "unten her aufrollen" lässt. Wir wollen dieses Verfahren am Beispiel eines Systems von drei Gleichungen mit drei Variablen erläutern. Es ist ohne weiteres auf Systeme mit höheren Gleichungs- und Variablenzahlen übertragbar. Beispiel: (1) 3x - 4y - 3z = 3 Mit Gleichung (1) soll z aus den Gleichungen (2) (I) (2) x + 3y + 3z = 8 und (3) entfernt werden. Damit keine Brüche vor- (3) -2x + 3y + 5z = 12 kommen, wird erst einmal Gleichung (3) mit 3 multipliziert. Das führt zu System II. (1) 3x - 4y - 3z = 3 Gleichung (1) wird nun zur Gleichung (2) addiert und (II) (2) x + 3y + 3z = 8 das Ergebnis als neue Gleichung (2) notiert; (3) -6x + 9y +15z = 36 das 5-fache der Gleichung (1) wird zur Gleichung (3) addiert und das Ergebnis als neue Gleichung (3) notiert. Man erhält damit das System III. (1) 3x - 4y - 3z = 3 Gleichung (2) wird nun benutzt, um aus Gleichung (3) (III) (2) 4x - y = 11 y zu entfernen. Hierzu wird das (-11)-fache der Glei- (3) 9x -11y = 51 chung (2) zu Gleichung (3) addiert. Daraus ergibt sich das System IV (1) 3x - 4y - 3z = 3 Das System IV hat jetzt "Dreiecksform". (IV) (2) 4x - y = 11 (3) -35x = -70 Es lässt sich nun "von unten her aufrollen". 7

Ermittlung von x, y und z: aus (3): -35x = -70 :(-35) x = 2 x = 2 in (2) eingesetzt: 4 2 y = 11-8 - y = 3 (-1) y = -3 x = 2 und y = -3 in (1) eingesetzt: 3 2-4 (-3) - 3z = 3 6 + 12-3z = 3-18 - 3z = -15 :(-3) z = 5 Das Zahlentripel ( 2-3 5 ) löst somit das obige Gleichungssystem. Ein weiteres Beispiel: (1) 2x + y + 3z = 11 Mit Gleichung (1) wird z aus den Gleichungen (2) (I) (2) x + 2y + z = 8 und (3) entfernt. Hierzu wird Gleichung (2) mit -3 (3) 4x + 2y + 6z = 16 und Gleichung (3) mit -1 multipliziert. Das führt zu System II. (1) 2x + y + 3z = 11 Gleichung (1) wird nun zur Gleichung (2) addiert und (II) (2) -3x - 6y - 3z = -24 das Ergebnis als neue Gleichung (2) notiert; (3) -4x - 2y - 6z = -16 das 2-fache der Gleichung (1) wird zur Gleichung (3) addiert und das Ergebnis als neue Gleichung (3) notiert. Man erhält damit das System III. (1) 2x + y + 3z = 11 (III) (2) -x - 5y = -13 (3) 0 = -6 falsche Aussage! Hier ergibt sich in (3) eine falsche Aussage. Daraus folgt, dass es keine Lösung gibt. 8

Und noch ein Beispiel: (1) x + y + z = 10 Mit Gleichung (1) wird z aus den Gleichungen (2) (I) (2) -2x + 2y - z = -15 und (3) entfernt. Hierzu wird Gleichung (3) mit -1 (3) 3x - y + 2z = 25 multipliziert. Das führt zu System II (1) x + y + z = 10 Gleichung (1) wird nun zur Gleichung (2) addiert und (II) (2) -2x + 2y - z = -15 das Ergebnis als neue Gleichung (2) notiert; (3) -3x + y - 2z = -25 das 2-fache der Gleichung (1) wird zur Gleichung (3) addiert und das Ergebnis als neue Gleichung (3) notiert. Man erhält damit das System III. (1) x + y + z = 10 Das 1-fache der Gleichung (2) wird zu Gleichung (3) (III) (2) -x + 3y = -5 addiert und das Ergebnis als neue Gleichung (3) (3) -x + 3y = -5 notiert. Man erhält damit das System IV. (1) x + y + z = 10 (IV) (2) -x + 3y = -5 (3) 0 = 0 wahre Aussage! Hier ergibt sich in (3) eine wahre Aussage. Daraus folgt, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Alle Zahlentripel, bei denen x = 3y + 5 und z = -4y + 5 ist, sind Lösungen des Systems. Kurz : L = { (x y z) x = 3y+5 und z = -4y +5 } Übungsaufgaben: 1. Lösen Sie jede der folgenden Aufgaben mit den drei Verfahren: a) y = x + 6 b) 9x 2y = 26 c) 3x + 4y = 17 y = x 4 y = 3x 7 x + 4y = 11 2. Lösen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren x + y z = 4 x y + 2z = 8 x + 3y 4z = 18 3. Auf der Talfahrt kommt ein Schubschiff in einer Stunde 24 km weit, auf der Bergfahrt aber nur 18 km. Welche Geschwindigkeit hat das Schiff relativ zum Wasser? Welche Geschwindigkeit hat das Wasser? Lösungen dazu: L = { ( 21 3 ) } ; L = { ( 3 2 ) } ; L = { ( 4 5 ) } ; L = { (1-3 2 ) }; L = { ( 5 1 ) } 9