Übungsblatt 0 Musterlösung Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen MA2304 - SS6 Aufgabe 45 Fehlerkonstante von MSV Betrachten Sie ein allgemeines lineares q Schrittverfahren α q j y i+ j = h β q j f t i+ j y i+ j. a Hat das Verfahren die Konsistenzordnung p so gilt für den Konsistenzfehler et i h y i... y i q+ = C p+ h p+ y p+ t i+ q +O p+2 sofern für die exakte Lösung yt C p+2 [t 0 T] gilt. Bestimmen Sie die Konstante C p+ in Abhängigkeit der Koeffizienten α j und β j. b Berechnen Sie für das folgende Verfahren die Ordnung p und die Konstante C p+. y i+ = y i +h 3 f i + 4 3 f i + 3 f i+. Lösung 45 Fehlerkonstante von MSV a Für den lokalen Fehler gilt mit der exakten Lösung yt und lokalen AWP mit y t l = ft l yt l für l i+ yt l = y l für l i e t i hy i...y i q+ = yti+ y i+ = yt i+ β q j ft i+ j yt i+ j α q = yt i+ α q β q j y t i+ j = yt i+ q +qh α q = yt i+ q +qh α q α q j y i+ j α q j yt i+ j β q j y t i+ q +q jh α q j yt i+ q +q jh β k y t i+ q +kh α k yt i+ q +kh. Für die Taylorentwicklung von yt+kh gilt: yt+kh = y t+kh = p+ p y l t kh l +O p+2 l= y l+ p+ t kh l +O p+ = l yl t kh l +O p+.
Einsetzen dieser Entwicklungen in die Formel für e liefert mit c l := yl t i+ q : p+ e = c l qh l α q p+ p+ β k lc l kh l α k c l kh +O l p+2 = p+ p+ α k c l kh h l β k lc l kh +O l p+2 α q p+ = α k k l lβ k k l h l y l t i+ q +O p+2. α q }{{} =:C l Da das Verfahren nach Aufgabenstellung Ordnung p hat fallen alle Terme mit h l l p weg d.h. C l = 0 für alle l p. Übrig bleibt dann e = α k k p+ p+β k k p h p+ y p+ t i+ q +O p+2. α q p+! }{{} =C p+ b Für das Verfahren ist die Schrittzahl q = 2. Die Koeffizienten lauten Nun haben wir α 2 = α = 0 α 0 = β 2 = 3 β = 4 3 β 0 = 3. C 0 = 0! α0 +α +α 2 0 = = 0 C =! α +2α 2 β 0 +β +β 2 = 2 2 = 0 C 2 = 2! α +4α 2 2β +2β 2 = 4 2 2 4 = 0 C 3 = 3! α +8α 2 3β +4β 2 = 8 3 8 3 = 0 C 4 = 4! α +6α 2 4β +8β 2 = 6 4 4 = 0 C 5 = 5! α +32α 2 5β +6β 2 = 32 5 20 3 = 96 00 3 = 4 3. Somit besitzt das Verfahren die Ordnung p = 4 mit der Fehlerkonstanten C 5 = 4 3. Aufgabe 46 Konsistenzordnung Beweisen Sie dass die Definition der Konsistenzordnung für lineare Mehrschrittverfahren mit q = mit der Definition der Konsistenzordnung für die Einschrittverfahren übereinstimmt. Lösung 46 Konsistenzordnung Aufgabe zum Selbststudium. 2
Aufgabe 47 Existenz von Mehrschrittverfahren Betrachten Sie die Determinante der Bedingungsgleichungen: α j j l = l β j j l für l = 0...p die zur Bestimmung der Konsistenzordnung eines linearen q-schrittverfahren herangezogen werden können. Beweisen Sie damit folgende Aussagen: a Es existiert kein q-schrittverfahren der Ordnung 2q +. b Es existiert genau ein q-schrittverfahren der Ordnung 2q mit α q =. c Es existiert genau ein explizites q-schrittverfahren der Ordnung 2q mit α q =. Lösung 47 Existenz von Mehrschrittverfahren Wir betrachten die Bedingungsgleichung für ein Verfahren der Ordnung p. Als Matrix geschrieben lautet {}} { =:A p R { p+ 2q+2 α 0 }} { α 0 0 0 0 0 2 q α 2 0 4 q 2 0 2 2 2 2q. 0 8 q 3 0 3 3 4 3q 2 α q = 0 0 6 q 4 0 4 4 8 4q 3 β 0 β.............. β 0 2 p q p 0 p p2 p pq p 2. β q Wir treffen nun Aussagen über Matrizen dieser Art zu treffen. Betrachtet man die folgende Interpolationsaufgabe: Finde π P 2q+ so dass =:x πx i = c i und π x i = ĉ i für i = 0...q für gegebene c i ĉ i und paarweise verschiedene x i. So stellt man fest dass genau ein Polynom π = 2q+ γ jx j mit der gegebenen Eigenschaft existiert. Wir beweisen zunächst die Eindeutigkeit. Seien also π und π 2 gegeben. Für die Differenz π := π π 2 gilt dann πx i = 0 und π x i = 0 für i = 0...q. 3
Somit kann man π darstellen als πx = Qx Grad 2q+2 {}}{ q x x i 2 wobei Qx ebenfalls ein Polynom ist. Da aber π höchstens Grad 2q + haben kann folgt sofortdass Qx = 0 und damint auch π = 0. Existenz Wir betrachten den Operator L : R 2q+2 R 2q+2 der durch γ := γ 0 γ γ 2q+ c 0 c...c q ĉ 0 ĉ...ĉ q =: c gegeben ist. Offensichtlich ist L linear und wie wir gerade gesehen haben auch injektiv. Da die Dimensionen endlich sind und übereinstimmen folgt sofort auch die Surjektivität. Das heißt zu jedem Vektor c existiert mindestens ein Vektor γ somit ist auch die Existenz von π bewiesen. Bemerkung: Man nennt dieses eindeutig bestimmte Polynom π Hermitesches Interpolationspolynom zu den Punkten x i. Wählt man x i = i für i = 0...q so ist c i = 2q+ γ j i j = Lγ i und ĉ i = 2q+ γ j ji j = Lγ q++i für i = 0...q. Die Matrixdarstellung von L ist: 0 0 0 0 0 2 4 8 6 2 2q+......... q q L = q 3 q 4 q 2q+ 0 0 0 0 0 0 2 3 4 2q + 0 2 2 3 4 4 8 2q +2 2q......... 0 2q 3q 2 4q 3 2q +q 2q Da L bijektiv ist hat diese Matrix vollen Rang außerdem ist L = A 2q+ damit hat auch die Matrix A 2q+ vollen Rang. zu a Wir suchen x = α 0 α α 2...α q β 0 β β 2... β q so dass A 2q+ x = 0. Da A 2q+ vollen Rang hat existiert nur die triviale Lösung α 0 = α = α 2 =... = α q = β 0 = β = β 2 =... = β q = 0. Dies ergibt jedoch kein s-schrittverfahren. 4
zu b Wir suchen x so dass A 2q x = 0. Da A 2q+ R 2q+2 2q+2 den Rang 2q +2 hat hat die Matrix A 2q R 2q+ 2q+2 den Rang 2q +. Alle Lösungen liegen also in einem -dimensionalen Unterraum von R 2q+2. Wir müssen noch zeigen dass für eine nichttriviale Lösung x mit α q 0 existiert. Dann gibt es nämlich genau eine Lösung mit α q =. Sei also α 0...α q β 0...β q eine nichttriviale Lösung von mit α q = 0. Somit gilt α i i l = l β i i l für l = 0...2q. Insbesondere gilt damit für alle Polynome p P 2q dass α i pi = β i p i. Wählt man speziell P 2q 2 {}}{ px := x i 2 so gilt pi = 0 = p i für i = 0...q. Insgesamt folgt 0 = β q p s und da p s 0 gilt β q = 0. Man erkennt also dass die Bedingungsgleichung für ein Verfahren der Stufe q mit Ordnung 2q erfüllt ist. Nach Aufgabenteil a kann die so bestimmte Lösung nur trivial sein im Widerspruch zur Annahme. zu c Hier wird x gesucht mit A 2 x = 0. Man bemerkt dass A 2 R 2q 2q+2 den Rang 2q hat und somit alle Lösungen x in einem 2-dimensionalen Unterraum von R 2q+2 liegen. Zu zeigen ist dass es eine nichttriviale Lösung gibt mit α q 0 β q. Dann kann man α q und β q als Parametrisierung des Lösungsraumes verwenden und es existiert genau eine Lösung mit α q = β q = 0. Offenbar ist die Lösung aus Aufgabenteil b auch hier Lösung und mit der gleichen Rechnung erhält man dass dabei auch β q 0. Daraus folgt die Existenz einer Lösung von A 2 x = 0 mit α q 0 β q. 5
Aufgabe 48 BDF-Verfahren Aufgaben zum Selbststudium Berechnen Sie die Koeffizienten des BDF-Verfahrens für q = 3. Lösung 48 BDF-Verfahren Die Lagrange Interpolationspolynome L j j = 0...3 mit lauten L 0 t = L 0 t i+ = L 0 t i = 0 L 0 t i = 0 L 0 t i 2 = 0 L t i+ = 0 L t i = L t i = 0 L t i 2 = 0 L 2 t i+ = 0 L 2 t i = 0 L 2 t i = L 2 t i 2 = 0 L 3 t i+ = 0 L 3 t i = 0 L 3 t i = 0 L 3 t i 2 = t t i t t i t t i 2 t i+ t i t i+ t i t i+ t i 2 = t t it t i t t i 2 6h 3 L t = t t i+t t i t t i 2 = t t i+t t i t t i 2 t i t i+ t i t i t i t i 2 2h 3 t t i+ t t i t t i 2 L 2 t = t i t i+ t i t i t i t i 2 = t t i+t t i t t i 2 2h 3 L 3 t = t t i+ t t i t t i t i 2 t i+ t i 2 t i t i 2 t i = t t i+t t i t t i 6h 3 Die Ableitungen und die Auswertung ergeben L 0t = t t it t i +t t i t t i 2 +t t i t t i 2 6h 3 L 0t i+ = 6h2 +3h 2 +2h 2 6h 3 = 6h L t = t t i+t t i +t t i+ t t i 2 +t t i t t i 2 2h 3 L t i+ = 6h2 2h 3 = 3 h L 2t = t t i+t t i +t t i+ t t i 2 +t t i t t i 2 2h 3 L 2t i+ = 3h2 2h 3 = 3 2h L 3t = t t i+t t i +t t i+ t t i +t t i t t i 6h 3 L 3t i+ = 2h2 6h 3 = 3h. Insgesamt ergibt sich das Verfahren 6 y i+ 3y i + 3 2 y i 3 y i 2 = hf i+ 6
oder umgeschrieben y i+ = 8 y i 9 y i + 2 y i 2 +h 6 f i+. Aufgabe 49 BDF-Verfahren mit Newton Betrachten Sie das AWP y = fty yt 0 = y 0 mit y R n und ein q-schritt BDF- Verfahren: y i+ = α q j y i+ j +hβ q f t i+ y i+. Die Näherung y i+ soll nicht mit Hilfe einer Fixpunktiteration sondern mit dem Newton Verfahren berechnet werden. Zeigen Sie dass dann im k-ten Iterationsschritt ein Gleichungssystem mit der Matrix Id hβ q D y f t i+ y k i+ gelöst werden muss wobei Dy f die Jacobi-Matrix der Funktion f bezeichnet. Geben Sie dieses Gleichungssystem an. Lösung 49 BDF Verfahren mit Newton Für das BDF Verfahren mit Schrittzahl q y i+ = α q j y i+ j +hβ q f t i+ y i+ lässt sich der Wert y i+ als Nullstelle der Funktion F i y i+ mit F i y i+ = y i+ + α q j y i+ j hβ q f t i+ y i+ berechnen. Der k-te Schritt des Newton Verfahrens lautet dann y k+ i+ = Fi yk i+ y k y i+ F i y k i+ i+. mit der Jacobi Matrix F i y k f y i+ = Id hβq y k i+ y i+. 7